2023年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷（学生版+解析版）

2023年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）8s60。的值等于（）

A.-B.1C.—D.—

222

2.（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”

是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所

示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）

A.X2-2x+2=0B.X2-2x+l=0C.X2-2x=0D.X2-2X-3=0

4.（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，

小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（

)

A.15个B.20个C.30个D.35个

5.（3分）如图,点A,B,C是O上的三个点，若NAoB=76°,则NC的度数为（

)

A.24°B.33°C.38°D.76°

6.（3分）把二次函数），=x?+2x+l先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度,

新二次函数表达式变为（）

A.y=（x+3y+2B.γ=（x-l）2+2C.y=（x-l）2+lD.y=（x+3）2-l

7.（3分）如图，在菱形AB8中，对角线AC,BZ）相交于点O,添加下列条件，能使菱

形ABCD成为正方形的是（）

A.AC=BDB.ACVBDC.AD=ABD.AC平分Z∩43

8.（3分）如图，扇形AOB中，半径。4=2,ZAOB=UOo,C是AB的中点，连接AC、

BC,则图中阴影部分面积是（）

9.（3分）二次函数y=0χ2+⅛r+c（a*0）的图象如图所示，则一次函数y=0x-2⅛（4≠0）与

反比例函数y=£（CWO）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

10.（3分）如图,正方形ΛBCZ）的边长为12,E是Λβ中点，P是对角线AC上一点,且色ΔJ一7=-1,

AC3

在CD上取点G,使得NFEG=45。，EG交AC于，，则C4的长为（）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）抛物线y=2（x—3『+1的顶点坐标是.

12.（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2,则斜

坡AB的长为.

BD

ACE

13.（3分）图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，Ao和CB相

交于点。，点A、3之间的距离为1.2米，ABHCD,根据图②中的数据可得C、。之间

的f距离为一l米.>

J∖AL2栗B

图①图②

14.（3分）如图，A,C是反比例函数y=A（x<O）图象上的点，过点A,C分别作ABLx

X

轴，C£>J_x轴，垂足分别是点5,D,连接Q4,AC,OC,线段OC交45于点£,且E

恰好是OC的中点.当ΔAEC的面积为士时，Z的值是

15.（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，EB=8,AB=4,连接A£,将ΔABE

沿AE所在的直线翻折，得到AAQE,B'E交AD于点、F,将△ABZE沿3'E所在的直线翻

折，得到aA5'E,A'E交4）于点G,箜的值为

GA'

三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8

分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16.（5分）计算：tan60o+2sin300+1√2-11-2cos450.

17.（7分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为''中国第五

大发明”.小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮

票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好.

（I）小明从中随机抽取一张邮票是“立春”的概率是—.

（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一

张邮票.请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概

率（这三张邮票依次分别用字母A,B,C表示）.

ABC

18.（8分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑Aβ的高度∙如图，他们在地面上C点测

得最高点A的仰角为37。，再向前70"?至。点，又测得最高点A的仰角为45。，点C,D,

8在同一直线上，求该建筑物他的高度.（参考数据：sin37。/，CoS37。），tan37。《3）

554

19.（8分）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活.为提高我县特产红富士苹果的影响力，

某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售.已知苹果的成本价为6元/千克，如

果按10元/千克销售，每天可卖出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，

日销售量减少20千克.

（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？

（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？

20.（8分）如图，在ΔAfiC中，AC=BC,以3C为直径作O,交AC于点尸，过C点作

CE>LAC交AB延长线于点。，E为CD上一点,且=

（1）求证：BE为:.O的切线；

（2）若AF=2,tanA=2,求BE的长.

21.（9分）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，给坐标互为相反数，则称这两

点关于X轴斜对称.其中一点叫做另一点关于X轴的斜对称点.如：点（T⑵，（1,-2）关于X

轴斜对称.在平面直角坐标系Xoy中，点A的坐标为（2,1）.

(I)下列各点中，与点A关于X轴斜对称的是—(只填序号)；

①(3,-1),②(一2,1),(3)(2,-1),@(-1,-1).

(2)若点A关于X轴的斜对称点3恰好落在直线y=fcv+l上，ΔAO8的面积为3,求人的

值；

yA

y八

•A∙A

►>

0XO---------------X

备用图

(3)抛物线y=x2-bx-∖上恰有两个点〃、N与点A关于X轴斜对称，抛物线的顶点为D，

且ΔDMN为等腰直角三角形，到6的值为.

22.(10分)将正方形ABCz)的边4?绕点A逆时针旋转至AE,记旋转角为α,连接3E,

过点8作B尸，直线OE,垂足为点/，连接CF.

DCFr二

ABABAB

图1图2图3

，”的值为；

(1)如图1,当a=30。时，ΔBΞF的形状为_

—CF----

(2)当90°<α<180°时，

①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，

请说明理由；

②如图3,正方形ABCr)边长为4,DNLBE,CMLBE,在ΛE旋转的过程中，是否存

在Δ4M7V与ΔBEF相似？若存在，则b的值为,若不存在，请说明理由.

2023年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）8S&）。的值等于（）

A.ɪB.1C.—D.—

222

【解答】解：CoS60。=L

2

故选：A.

2.（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”

是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所

示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）

故选：A.

3.（3分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）

A.X2-2X+2=0B.X2-2X+1=0C.x2-2x=0D.x2-2x-3=0

【解答】解：A.Δ=⅛2-4αc=(-2)2-4×l×2=^<0,

.∙.∕-2x+2=0没有实数根，故选项不符合题意;

B.Δ=⅛2-4αc=(-2)2-4×l×l=0,

2x+l=0有两个相等实数根，故选项符合题意;

C.Δ=⅛2-4αc=(-2)2-4×l×0=4>0,

.∙.χ2-2x=0有两个不相等实数根，故选项不符合题意；

D.Δ=⅛2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16>O,

.∙∙Y-2x-3=0有两个不相等实数根，故选项不符合题意.

故选：B.

4.(3分)在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，

小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有(

)

A.15个B.20个C.30个D.35个

【解答】解：设袋中有黄球X个，由题意得二=0.3,

解得x=15,则白球可能有50-15=35个.

故选：D.

5.(3分)如图，点A,B,C是O上的三个点，若ZAOB=76°,则NC的度数为(

)

A.24oB.33oC.38oD.76°

【解答】解：NC」ZAO3,ZAo3=76°,

2

.∙.NC=38。，

故选：C.

6.(3分)把二次函数y=f+2x+l先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度,

新二次函数表达式变为()

A.y=(x+3>+2B.y=(x-l)2+2C.y=(x-l)2+lD.y=(x+3)2-l

【解答】解：y=∕+2x+l=(x+l)2,

将二次函数y=(x+lf的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新

的二次函数y=（χ+l-2>+l,gpJ=（Λ-D2+1.

故选：C.

7.（3分）如图，在菱形AB8中，对角线AC,Bz）相交于点O,添加下列条件，能使菱

形ABCD成为正方形的是（）

A.AC=BDB.ACVBDC.AD=ABD.AC平分Z∩43

【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：

（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，

即ZABC=90。或AC=8D,

故选：A.

8.（3分）如图，扇形AoB中，半径Q4=2,NAoB=I20。，C是AB的中点，连接AC、

BC,则图中阴影部分面积是（）

D∙

ZAOB=I20o,C为弧AB中点,

ZAOC=ZBOC=60°,

OA^OC=OB=2,

.∙.ΔAOC∖MOC是等边三角形,

.*.AC=BC=OA=2,AM=1,

.∙.ΔAOC的边AC上的高是√22-l2=√3,

ABOC边BC上的高为√L

.•・阴影部分的面积是迎正-Lχ2χ6+里庄老-'2x6=3万—2√L

360236023

故选：A.

9.(3分)二次函数y=办2+∕7χ+c∙(αwθ)的图象如图所示，则一次函数y=公-2⅛(α≠0)与

反比例函数y=£(CWO)在同一平面直角坐标系中的图象大致是()

X

4

；„4

K

【解答】解：•二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧,函数图象交于了釉的负半

轴

.∙.4>0,。>0,CV0,

，反比例函数丫=£的图象必在二、四象限；

X

一次函数y=or-26一定经过一三四象限，

对称轴为直线x=-l,且与X轴的交点为(-3,0),

.∙.另一个交点为(1,0),

.∙.-A=-ι.

2a

：.b=2a,

把(-3,0)代入y=ax2+2办+c得，‰-6tz+c=0,

:.c=Ta，

方程QX-2b=£整理得依2_2bx-c=0,即ax2-4ax+3a=0,

X

x?—4x+3=0,

2

λ(-4)-4×3=4>0,

一次函数y=0v-2⅛(αwθ)与反比例函数y=2(c≠0)的图象有两个交点，

X

故选：£).

ΔΓ1

10.(3分)如图，正方形ABCD的边长为12,E是A3中点，尸是对角线AC上一点，且色一=-,

AC3

在8上取点G,使得N庄G=45。，EG交AC于“，则C”的长为()

【解答】解：如图，过点尸作CZW于点T.

四边形ABcD是正方形，

.∙.ZB=90o,AB=BC=12,ZDAC=ZBAC=45°,

AC=√2AB=12√2,

AF1

.*---二一,

AC3

.∙.AF=4√2,

FTLAB,

r.ZFAT=ZAFT=45°,

r.AT=FT=4,

AE=EB=6,

∙∙.EΓ=Aε-AT=6-4=2,

.∙.EF=√ET2+FT2=√22÷42=2√5,

设EH—X,FH=y.

ZEHF=ZAHE,NHEF=NEAH=45。,

.∖ΛEHF^ΛAHE,

.EFHEHF

一~∖E~~H∖~~EH'

2Λ∕5_X_y

6y+4√2X'

解得X=3Λ∕Γ5,y=5>/2,

经检验x=3>∕Γδ,y=5√∑是方程的解，

:.FH=5y/2,

.∙.CH=AC-AF-FH=12√2-4√2-5√2=3√2.

故选：C.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11.(3分)抛物线y=2(x-3)2+l的顶点坐标是_(3,1)_.

【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为(3,1),

故答案为：(3,1).

12.(3分)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2,则斜

E

【解答】解：斜面坡度为1:2,AC=12m,

/.BC=6m，

贝IJAB=√ΛC2+BC2=√I22+62=6√5(w).

故答案为：6#m.

13∙（3分）图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，4）和CB相

交于点O,点A、5之间的距离为1.2米，ABHCD,根据图②中的数据可得C、。之间

的距离为0.96米.

【解答】解：AB//CD,

..ADCO=ZABO,NCDO=NBAO,

:.∖CDO^∖BAO,

.CD_0.8

••—,

AB1

AB=1.2米，

CD0.8

..----=—,

1.21

解得：C£>=0.96米，

故答案为：0.96.

14.（3分）如图，A,C是反比例函数y='（x<0）图象上的点，过点A,C分别作Afi∙Lx

X

轴，CoJ轴，垂足分别是点3,D,连接AC,OC,线段OC交45于点E,且E

恰好是OC的中点.当ΔAEC的面积为3时，Z的值是-4.

2一一

E为OC的中点,

.∙.BE为AS9的中位线.

设点B的坐标为(6,0),则。(240),A(b,~),C(2b,-),E(b,—)■

b2b4b

.∖DB^b∖,AE=---,

b4b

h<0,

解得A=T4.

故答案为：-4.

15.（3分）如图，在矩形ABC。中，点E为8C上一点，EB=8,ΛB=4,连接A石，将ΔA5E

沿AE所在的直线翻折，得到AABZ,B'E交AD于点F,将△4夕石沿EE所在的直线翻

折，得到A'E交AO于点G,"的值为

【解答】解法一：由折叠的性质可知，AB=A'B=Aβ,=4,BE=B'E=8,AE=AE,

ZAEB=ZAEBr=ZAEB,ZB=ZABZABE,

四边形A38为矩形，

.∙.ZB=90o,BC//AD,

二.ZAEB=ZFAE,

.∙.ZABzE=N8=90。，ZFAE=ZAEB,

:.EF=AF,

设EF=A尸=x,则BfF=BfE—EF=8—x,

在MAABN中，由勾股定理可得A尸=9产+A/,

即X2=(8-x)2+42,

解得：x=5,

.∖EF=AF=5,EF=3,

∕~EB'F3

.∙.tan/FAB=-----=—,

AB,4

过点G作G”,QE于点“，如图,

则GW//河，

GEEH

—=——，ZEFBf=ZHGF

GNHB,9

HF2

.∙.IanZHGF=——=-,

HG4

设H尸=34,HG=4a,

在RtAAEB中，IanZAEB=-=-=-,

BE82

.∙.tanZA,EBr=-

2

HC1

在RtΔEHG中，tanZGEH=—=-

EH2

即狼

.∙.EH=8a,

BtF+HF+EH=BE=8,

.∙.3+3α+84=8,

解得：a=-,

11

r,O540“C515

.∙.EH=8×—=—»H卜=3X—=—,

11111111

:.HBf=B,F+HF=3+—=—,

1111

40

.GEEHU5

∙∙GA7^HF-48^6,

11

故答案为：

6

解法二：过点A作4K//A。，交房的延长线于点K,如图,

由折叠的性质可知，AB=AB=A!B,=4,BE=BfE=S,ZAEB=ZAEB=ZAEB,

ZB=ZABE=ZABE,

四边形ABC。为矩形，

/.ZB=90o,BCHAD,

.・.ZAEB=ZFAE,

/.ZAB,E=ZB=90o,ZFAE=ZAEB,

:.EF=AF,

设所=A尸=%,则笈/=斤万一JEF=8-x,

在M△ABN中，由勾股定理可得A产=笈产+AB7?,

即X2=(8-x)2+42,

解得：x=5,

.∖EF=AF=5,8F=3,

A!KHAD,

.∖ZFAB,=ZKABf,ZAFB=ZAKB,

在aABz/7和△ABrK中，

ΛAFB,=ZAfKBf

<ZFAB,=ZKAfB,,

AB,=A,B,

:.ΔABfF^∕∖A,B,K（AAS），

.∙.BF=BtK=3,

:.FK=BF+KB=6,

AK/MD,

.EGEF5

∙∙GA~~FK~6'

故答案为：-.

6

三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8

分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16.（5分）计算：tan60。+2sin30。+1夜-II-2cos45。.

【解答】解：tan600+2sin300+1√2-11-2cos45o

=√5+2xL（√5-l）-2x立

22

=ʌ/ɜ+1+λ∕2-1-y∣2.

=6.

17.（7分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五

大发明”.小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮

票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好.

（1）小明从中随机抽取一张邮票是“立春”的概率是-.

-3-

（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一

张邮票.请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概

率（这三张邮票依次分别用字母A,B,C表示）.

ABC

【解答】解：（D一共有三种可能，P（抽到立春）=L

3

（2）列树状图:

开始

第一次立春清明雨水

立春清明雨水立春清明雨水立春清明雨水

P（至少一张雨水）

18.（8分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测

得最高点A的仰角为37。，再向前70加至。点，又测得最高点A的仰角为45。，点C,D,

8在同一直线上，求该建筑物ΛB的高度.（参考数据：而37。二，cos37。/，Ian37。/）

554

【解答】解：由题意得，CD=70m,NACB=37。，ZADB=45°,

设AB=χtnf

在RtAABD中，NAz)B=45。，

.,.BD=AB=Xm,

.,.BC=(x+70)m,

在RtΔABC中，tan370=-=-^≈-,

BCx+704

解得XB210,

经检验，x≈210是原方程的解且符合题意,

该建筑物AB的高度约为210〃?.

19.(8分)抖音直播购物逐渐走进了人们的生活.为提高我县特产红富士苹果的影响力，

某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售.已知苹果的成本价为6元/千克，如

果按10元/千克销售，每天可卖出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，

日销售量减少20千克.

(1)为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？

(2)售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？

【解答】解：(1)设每千克售价X元时，所得日均总利润为700元，

由题意可得：(x-6)[160-20×(x-10)]=700,

解得XI=I1，X2=13>

当XI=Il时，160—20x(x-10)=160-20x(ll-10)=140,

当马=13时，160-20x(X-Io)=I60-20X(13-10)=100,

为了尽快减少库存，

售价为11元；

(2)解：设利润为W元，

由题意可得：W=(X-6)[160-20(Λ∙-10)]=(X-6)(360-20X)=-20√+480X-2160,

-∙-20<0,

.∙.当X=-一比2—=12时，利润W取得最大值，此时W=720,

2×(-20)

答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元.

20.(8分)如图，在AASC中，AC=BC,以BC为直径作O,交AC于点E,过C点作

8L4C交AB延长线于点。，E为CD上一点,且£B=£D.

(1)求证：BE为。的切线；

(2)若AF=2,tanA=2,求BE的长.

【解答】(1)证明：AC=BC,

：.ZCABZABC,

EB=ED,

:.ZEBD=ZD.

CD±AC,

.∙.ZA+z×D=90o,

ZABC+ZEBD=90°,

:.NCBE=180o-(ZABC÷ZEBD)=90o.

：.OB.LBE,

OB是O的半径，

..BE为O的切线；

(2)W-：设8与二。交于点G,连接8/，BG,如图,

BC为O的直径，

NCFB=NCGB=90。,

∙.ZAcD=90。，

••・四边形CfBG为矩形.

:.BG=FC.

在RtΔAFB中，

BF

AF=2，tanA=2=,

AF

.∙.BF=4.

AC=BC=X9贝IJCF=X-2.

CF2+BF2=BC2,

.∙.(x-2)2+42=X2,

解得：x=5，

.∙.FC=3,BC=5.

.∙.BG=3.

NCBE=90。，BG工CE,

XCBGs^BGE.

.BGGE

"^CG~^G,

3EG

—=----,

43

:.EG=-.

4

.∙.BE=BGr+EG1=—

4

21.（9分）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，给坐标互为相反数，则称这两

点关于X轴斜对称.其中一点叫做另一点关于X轴的斜对称点.如：点（T,2）,（1,-2）关于X

轴斜对称.在平面直角坐标系X。），中，点A的坐标为（2,1）.

（1）下列各点中，与点A关于X轴斜对称的是①④（只填序号）；

①(3,-1),②(—2,1),③(2,-1),@(-1,-1).

（2）若点A关于X轴的斜对称点5恰好落在直线y=fcv+l上，ΔAO8的面积为3,求2的

值;

・A

>>

0X0X

备用图

（3）抛物线y=χ2-⅛r-l上恰有两个点“、N与点A关于X轴斜对称，抛物线的顶点为£）,

且ΔDMN为等腰直角三角形，到6的值为

【解答】解：（1）根据题意得：与点A关于X轴纵对称的点的纵坐标为-1,横坐标为不等

于2,

②③不是点A关于X轴纵对称的点，①④是点A关于X轴纵对称的点,

故答案为：①④;

（2）由题意可得点8的纵坐标为-1,设点8的坐标为（乂-1）,

①当x>0时，如图，分别过点A、点B作AMLy轴于例，作BNLy轴于N,

.∙.x=4,

.∙.点3的坐标为(4,-1),

，点8恰好落在直线y=fcv+l上，

.∙.4%+l=T,解得人=」，

2

.•《的值为一」；

2

②当x<0时，如图，分别过点A、点8作AM_Lx轴，作BNJ.y轴于N,AM.BN交于

.*.X=—8,

.∙.点B的坐标为(-8,-1),

.点8恰好落在直线y=fcv+l上,

.∙.-8*+l=-l,解得氏=1,

4

的值为

4

综上，Z的值为-乙或，；

(3)令y=T,则12一^一1=一1

F=O,%2=b,

不妨假设"(0,-1),N(AT),

.抛物线的顶点M,三⅛,

ΔDMV是等腰直角三角形,

解得A=O或2（0不符合题意舍去），

.∙.b=2.

22.（10分）将正方形ABeZ）的边ΛB绕点A逆时针旋转至A£,记旋转角为α,