2022-2023学年江苏省南通下册5月高一数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通下册5月高一数学试卷

（含解析）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z=l-Ci,则z2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列说法正确的是（）

A.互斥事件与对立事件含义相同

B.互斥事件必是对立事件

C.对立事件必是互斥事件

D.对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件

3.已知向量方=（-3,2,5）,b=（1",一1），且五1石，则x的值为（）

A.4B.1C.3D.2

4.若a,%y表示不同的平面，I表示直线，则下列条件能得出a〃6的是（）

A.a内有无数条直线与夕平行B/la,11p

C.l//a,1///3D.a±r，1y

5.若0＜a＜，＜/?＜〃,且cos0=_g,sin（a+＜）=：,贝!!sina的值是（）

1I一，23

Ain_r_n_

3272727

6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，

草也.薨，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2

的正方形，上棱EF=|,EF〃平面4BCD,EF与平面力BCD的距离为2,该刍费的体积为（）

A.6B.C,D,12

7.在A4BC中，BA=2,BC=4,D为AC的中点，BE1AC于E,"是线段BE上的动点,

则

~HDCA=

A.-8B.8C.-6D.6

8.在锐角△ABC中，A,B,C分别为△ABC三边a,b,c所对的角.若cosB+JWsinB=2，且

满足关系式甯+等=驾鬻，则a+c的取值范围是（）

A.（/3,2^]B.（苧，学]C.（苧，手）D.（3,273]

二、多选题（本大题共3小题，共15分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列各式中，值为年的是（）

A.2s讥15。皿15。B.2：黑/C.1-2s出215°D.言除

10.某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如

下：

甲/kg260250210250280

乙/kg220260230250290

则（）

A.甲种水稻产量的众数为250

B.乙种水稻产量的极差为70

C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数

D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

11,八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正

八边形4BCDEFGH,其中|。川=1,则下列结论正确的有（）

A.OA-OD=-^

B.OB+0H=-yJl^E

C.AHHO=BCBO

D.而在加向量上的投影向量为苧•备

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

12.如图，D,E,F分别是边长为4的正三角形三边C4AB4C的中点，将ADE，BEF，

CFD分别沿DE,EF,FD向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体ABC-DEF.则二

面角C-4B-E的余弦值为；几何体ABC-DEF的外接球表面积为

sin(27T-Q)£Qn(7r+a)sin(-a)

13.已知角a终边上有一点则tan(-a-n')cos(n-a')tan(3n-a')

14.正六棱柱底面边长为10,高为15,则这个正六棱柱的体积是

15.如图所示，在△ABC中，AN=^AC,P是BN上的一点，若方=小刀+春前，则实

数m的值为

16.设4BC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C.若拉+3。2=°2,则普=,

tanB--------

tanA的最大值是.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

若虚数z同时满足下列两个条件：①z+4的实部与虚部互为相反数；②z+5是实数.这样

的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.

18.(本小题12分)

已知点A(—1,0),3(0,1),点P(x,y)为直线y=x-l上的一个动点.

(I)求证：41PB恒为锐角；

(II)若四边形力BPQ为菱形，求的.质的值.

19.(本小题12.0分)

防洪是修建水坝的重要目的之一.现查阅一条河流在某个水文站50年的年最大洪峰流量(单

位：1007H3.ST)的记录，统计得到如下部分频率分布直方图：

频率

0.044

0.040

0.036-

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008—

0.004-

->

oTi102030405060年最大洪峰流量/loom%”

记年最大洪峰流量大于某个数的概率为p,则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为1-p.

定义重现期(单位：年)为概率的倒数.规定：当p<50%时，用p报告洪水，即洪水的重现

期T="当p>50%时，用l-p报告枯水，即枯水的重现期丁=7=.如p=上,则报告

pl-p100

洪水，重现期7=100(年)，通俗的说法就是“百年一遇”.

(1)补齐频率分布直方图(用阴影表示)，并估计该河流年最大洪峰流量的平均值元(同一组数据

用该区间的中点值作代表)；

(2)现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五卜年一遇的洪水.用频率估计概率，求它能承

受的最大洪峰流量(单位：100m3£-1)的最小值的估计值.

20.(本小题12.0分)

三棱台ABC-AiBiQ中，△ABC为正三角形，BC=2,CQ==1,CCj1BC.

(1)求证：BCIAB"

(2)若二面角Bi-BC-4的平面角大小为60。，且在线段eg上有点D使得平面DAB平分四

面体48CC1的体积，求BD与面遇M所成角的正弦值.

0

B,

21.(本小题12.0分)

在①bc=t(b+c),其中t为角4的平分线AO的长(40与BC交于点0),(2)b=acosC-

,csin4这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在ABC中，内角4B，C所

对的边外别为a,b,c,.

(1)求角A的大小；

(2)求m=¥的取值范围.

22.(本小题12.0分)

如图，在直角梯形ABC。中，AB//DC,/4BC=90。，AB=2DC=2BC,E为AB的中点,

沿CE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PELEB,M为PB的中点，N是BC上

的动点(与点B,C不重合).

(1)证明：平面EMN_L平面PBC;

(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为花?若存在，确定N点位置;若不存在,

请说明理由.

答案和解析

1.【正确答案】C

【分析】

本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，属于基础题.

根据复数代数形式的乘法运算法则化简复数z2,再根据复数的几何意义判断即可.

解：因为z=l—

所以z2=(1-y/li)2=1-2/3i+(73i)2=-2-26i，

所以z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,-2⑸，位于第三象限.

故选：C.

2.【正确答案】C

【分析】

本题考查互斥事件和对立事件的联系和区别，属于基础题.

根据互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可得到答案.

解：一般地，对于事件A与事件B,若力CB为不可能事件，则称事件力与事件8互斥,

若4nB为不可能事件，4UB为必然事件，则称事件4与事件B互为对立事件.

逐项分析：

A,互斥事件与对立事件的含义不同，/错误；

8、互斥事件不一定是对立事件，8错误；

C、对立事件一定是互斥事件，C正确；

D、对立事件一定是互斥事件，。错误.

故选C.

3.【正确答案】4

【分析】

本题主要考查空间向量的垂直与数量积的知识点，属于基础题，难度不大.

首先根据五1石可以得为了=0.化简从而得到答案.

解：由题可得万％=0，

3xl+2x+5x(—1)=0,

解得x=4,

故选

4.【正确答案】B

【分析】

本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力，属于基

础题.

解：a内有无数条直线与0平行时，a可能与口相交，A不符合题意；

若，JLa,110,且a,夕表示不同的平面，所以a//。，8符合题意；

若“/a,〃/0,a可能与0相交，C不符合题意；

若aly,/?1y,a可能与/?相交，0不符合题意.

5.【正确答案】A

【分析】

本题考查两角和与差的三角函数、同角三角函数关系的运用，属于一般题.

利用同角三角函数关系式求出sin£,cos(a+£),再根据两角差的正弦公式得sizia的值即可.

解：.・•0VQV、＜/?VTT,

・•・sin/?=V1-cos2p=当2，

吗Va+£V手

•••cos[a+0)=-Jl-sin2(a+£)=一殍，

1

:.sina=sin[(a+/?)-/?]=sin(a+/?)cos/?—cos(a+£)sin0=@

故选4

6.【正确答案】B

【分析】

本题主要考查了多面体的体积计算.

根据题意将多面体分割成三棱柱与四棱锥两部分，再分别求它们的体积即可求解.

解：如图，作FN//AE,FM//ED,则多面体被分割为棱柱与棱锥部分,

因为EF与平面ABCD的距离为2,所以四棱锥F-NBCM的高为2,

所以V四棱镭F_NBCM=1四边形NBCMX?

=1x2x(2-1)x2=|,

313

V棱柱ADE-NMF=S直截曲X2=-x2x2X-=3,

所以该多面体的体枳为V=V四棱链F-NBCM+'便粒4DE-NMF=5+3=

故选8.

7.【正确答案】c

【分析】

本题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积，属于中档题.

解：法一：HD-CA=(llB+BD)-CA=HB-CA+BD-CA=-CA+BC)­(BA-BC)

=X网2-|FC|2)=1(4-16)=-6.

法二：将H特殊到B,则近.演=前.襦=*瓦5+玩).(函—近)=R|函|2一|前|2)=

—(4—16)=-6.

8.【正确答案】D

【分析】

本题主要考查正弦、余弦定理的应用，考察辅助角公式以及两角和与差的正弦公式等，属于中档

题.

根据cosB+CsinB=2sin(B+1)=2以及锐角三角形可求得B的值，正弦定理和余弦定理角化

边,化简等+空=驾等区即可求出b的值;利用A+B+C=兀求得C=亭-4且标4<3

bc3sinC362

再利用三角恒等变换求a+c=2R(sinA+s讥C)的取值范围.

解：cosB+V_3sinB=2sin(B+^)=2,

•••sin(B+5)=1,又锐角三角形ABC,所以B=[,

由余弦定理得，

cosBcosC_层+/一浜次+从一/_2a2_巴

bc2abc2abc2abcbe

由正弦定理得，

Q_b_c

sinAsinBsinC1

.2sinAsinB_2asinB_V3a

**3sinC3c3c'

由已知得，誓+经£=交磬嘤，

bc3sinC

.*=续，解得b=

—=W=2=2R

sinBV3乙乙八，

2

，R=1.

在锐角△ABC中，由Z+8+C=TT,8得4+。=今

c271.LI兀/4,兀1

-'-C=--A'即<4<下

a+c=2R(sinA+sinC')=2\sinA+sin(4-4)]=3sinA+y/3cosA=243sin(4+)),

由守<A+^<竽，得苧<sin(A+W1)

•­•3<2/3sin(>4+^)<2g

：.a+c的取值范围是(3,2宿].

故选D

9.【正确答案】BCD

【分析】

本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题.

利用二倍角公式以及两角和与差的正切公式，结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.

解：2sinl5°cosl5°=sin30°=

1+tanl5°tan45°+tanl5°

2(1—tanl5°)-2(1—tan45°tanl5°)

=1tan(45°+15")=1tan600=苧；

773

1-2sin215°=cos30°=彳；

3tanl5032tanl5°3垢。八。/3

l-tan，许Vl-tan，店Vtan30=三'

...值为苧的是BCD.

故选：BCD

10.【正确答案】ABD

【分析】

本题考查样本的数字特征，属于基础题.

解：由题意得，甲种水稻产量的众数为250,乙种水稻产量的极差为290-220=70,甲种水稻

产量的平均数为:(260+250+210+250+280)=250,乙种水稻产量的平均数为3220+

260+230+250+290)=250,甲种水稻产量的方差为*100+0+1600+0+900)=520,乙

种水稻产量的方差为g(900+100+400+0+1600)=600.

11.【正确答案】AB

【分析】

本题考查平面向量的加法，数量积运算，投影向量，属于中档题.

利用数量积的定义判断4C,平面向量的加法判断B,求用在方向量上的投影向量判断D.

解：图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|。川=1,

对于A-^OA•披=1X1Xcos学=一噂；故正确.

42

对于B:而+丽==-，2灰，故正确.

对于C:|丽|=|玩|而|=|前|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立.故错误.

对于。:而在荏向量上的投影向量为|4H卜cos爷二一苧*'^•片苧故错误.

故选：AB.

12.【正确答案】

20兀

丁

【分析】

本题考查了二面角的求法，外接球的表面积，考查了空间想象能力与计算能力，属于较难题.

(1)取DE的中点P,EF的中点Q,AB中点G,则二面角C-AB-E为NCGE,再根据几何关系

分别计算GE.OE即可得；

(2)取外接球球心。，设ABC中心为P，DEF中心为Q,根据OP+0Q=PQ=列式求解

可得球半径，进而得到表面积即可.

解：取0E的中点P,EF的中点Q,连接4P,BQ,

故AP1DE,BQ1EF,

根据面面垂直的性质可得API平面DEF,BQJ■平面DEF,故AP"BQ,且力P=BQ,故四边形

APQB为矩形.

所以aB=PQ=^FD=1.

根据图形的对称性，易得ABC为正三角形，

取力B中点G,因为EA=EB,CA=CB,

则CGJ.4B,EGLAB,则二面角C-AB—E为NCGE,

且GE=VAE2—AG2=J22—(1)2=,

作GO-LPQ,易得GO=AP=且Z_CGE/.CGO+Z.OGE.OE=VGE2—GO^—J<-]=

故cosZ-CGE=cos(^/-OGE+90°)=-sin/-OGE=—=——,

即二面角C-AB-E的余弦值为一空;

(2)设几何体ABC-DEF的外接球球心为。，设△ABC中心为P,DEF中心为Q，易得P,O,Q

共线，如图，设外接球半径OC=。。=R,

根据正三角形中的关系，CP=强DQ=a

因为OP+0Q=PQ=V3，则V0C2-CP2+y/OD2-DQ2=<3>即JR2—g+JR2_三=同

即R2T=3+/?2_92必\/?2号,故2=26•JR2T解得R2美，

故外接球表面积为S=4nR2=等,

故答案为一¥；衅.

5J

13.【正确答案】一^

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角的三角函数的基本关系，属于基础题.

由题意利用任意角的三角函数的定义求得sina的值，再利用诱导公式求得要求式子的值.

解：•角a终边上有一点P（，3,l）,|op|=八石）

2+1=2,

・•・sina=1

stn(2n-a)tan(ii+a)sm(—a)

则

tan(—a—TT)cos(n—a)tan(3n—a')

—sinatana(—sina')1

=-sina

-tana(-cosa)(-tana)

故答案为-机

14.【正确答案】225073

【分

本题考查棱柱体积的求法，属于基础题.

由已知求出正六棱柱的底面积，代入棱锥体积公式得答案.

解：・•・正六棱柱底面边长为10,

•••正六棱柱的底面积为S=6x1x10x10xsin60°=300x苧=150<3.

又正六棱柱的高为15,

.•.这个正六棱柱的体积是150宿x15=2250/3.

故2250/3.

15.【正确答案】总

【分析】

本题考查平面向量共线的性质以及平面向量基本定理的运用，属于基础题.

根据N,P,8三点共线，转化为方=加近+白丽，巾+卷=1即可求解.

解：因为到N,P,B三点共线，又前近，

因此有9=mAB+^AC=mAB+(■丽，从而m+=

故答案为泉

16.【正确答案】—2

在

T

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，正余弦定理，基本不等式等基础

知识，考查运算求解能力，是较难题.

由已知可得乒-c2=—3a2,利用同角三角函数基本关系式，正余弦定理可求瞥的值；利用诱导

公式与三角形内角和得ta/M=-tan(C+B),利用两角和的正切公式展开，结合第一空结论化筒

得丁为W，利用基本不等式即可求解其最大值.

7—^TZiano

tan£?

解：设AABC的三边a,b,c所对的角分别为4,B,C,b2+3a2=c2,

・•・b2—c2=-3a2,

,Q2+C2—庐

，则四匹=陋乂"邑=殁2ac

tanBcosCsinB以

-2ab

222

_a+c-b_4Q2_

=。2+力2—2=%=一乙

vb2—c2=—3a2<o,即bVc,即BVC,故B<<C.

vtanA=-tan(C+B)=—tanB+tanC

1-tanFtanC

__tanB_]_J__/2

2

=l+2tanB=-L-+2tanB‘初=丁'

tanB

当且仅当j=2tanB即tanB=，时等号成立,

tanB2

故tanA的最大值是孝.

4

故-2,

4

17.【正确答案】解：假设存在虚数z,

设z=a+bi(a,b£R,且bW0),

iHilfa+bi4—6R

则Ja+bi,

la+4+b=0

f,10b

得b-西L,n

IQ+b=—4

.，bM0,.../+J2=1O,

(a+b=—4

解彳噬二崛二I

.,•存在虚数Zi=-1-3i或Z2=-3-i满足上述条件.

本题考查了复数相等的充要条件，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

假设存在虚数z,设2=&+49/6/?,且640),由已知条件列出方程组，求解即可得到a,b

的值，则答案可求.

18.【正确答案】(I)证明：•••点P(%,y)在直线y=%—l上，

・•・可得点P(x,x-1).

P2=(-1—x#l—x)，丽=(-%,2—%).

P4•PB=-x(-1-x)+(1-x)(2-x)=2x2-2x+2=2(x-02+|>0,

・•・cos乙APB>0.

若a,P,B三点在一条直线上，则胡〃而，

得到(％+1)(%-2)—-1)=0,此方程无解，

:.Z.APB。0.

•••乙4PB恒为锐角.

(口)解：•••四边形ABPQ为菱形，

\AB\=|函，即VI=Vx2+(x-2)2.

化简得到好-2x+1=0,

解得x=l,得到P(l,0).

设Q(a,b),

VQ-R4，

(a—l,b)=(-1,—1),

二1一1=一1,

U=-1

解得a=0,b=—1.

.,屈•而=(0,-2)•(1,-1)=0+2=2.

本题考查了向量的夹角公式、菱形的定义与性质，属于中档题.

(1)只要证明网・丽>0且4P,B三点不在一条直线上即可；

(H)利用菱形的定义可求得点P,Q的坐标，进而得出.

19.【正确答案】解：⑴由频率分布直方图知年最大洪峰流量在区间[10,20),[20,30),[30,40),

[50,60]

上的频率分别为10x0.008=0.08,10x0.020=0.2,10X0.044=0.44,10x0.004=0.04,

所以年最大洪峰流量在区间[40,50)的频率为1一(0.08+0.2+0.44+0.04)=0.24.

所以频率分布直方图中缺失的小矩形的高度为0.24+10=0.024.

补齐频率分布直方图如下：

s

o.

o.

o.s

o.

o.s

s

o.5060年最大洪峰流量/1oOm's

o.

所以该河流年最大洪峰流量的平均值

x=(0.008x15+0.02x25+0.044x35+0.024x45+0.004x55)x10=34.6;

(2)设水坝能承受的最大洪峰流量的最小值为a.

由题意知7=/=50,所以p=4=0.02,即要求年最大洪峰流量大于a的概率小于等于0.02.

所以可由样本的98%分位数作为a的估计值.

由频率分布方图可知年最大洪峰流量在区间［50,60］的频率为0.04,

所以样本的98%分位数在［50,60］内.

设样本的98%分位数为由l-0.004x(60-m)=0.98,得m=55.

所以样本的98%分位数的估计值为55.

所以，a的估计值为55(单位：100m3-s-1).

本题考查频率分布直方图，平均数，以及用样本估计百分位数，属于中档题.

(1)设［40,50)的频率为x,根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，即可求

出久，从而求出［40,50)组的纵轴，即可得到频率分布直方图，从而可求出平均值；

(2)依题意根据百分位数计算规则计算可得.

20.【正确答案】(1)证明：如图19-1,取BC中点M

♦.,由AABC为正三角形AM1BC

•••BG〃MC且/Ci=MCB\MCC［为平行四边形：.B〔M1BC

］

vBMDAM=MBC1面AMB1■■BC1ABX

G.

图19-1

（2）由（1）可知二面角/一BC-A的平面角即乙4MBi=60%作为。1AM,vBC1面AMBi，BCu

面ABC・•・而ABC1面AMB、•:而ABCn面AMB、=AM:.当。1面ABC

以0为原点，OB1为z轴，04为x轴,平行于MB为y轴，则％（。,。,|），4（苧砌'B（一号,1,0），

C（一苧M（一苧,0,0），故苗=西=（乎,0,|），

可知G（0,—1,|）,设面Z8B遇1法向量元=（x,y,z）,

则［票弓=。,即［胃7=3°，取元=（1,0咛，

（BB-n=0%-y+z=0、3）

12L

由平面DAB平分四面体ABCCi的体积可知D为CC\中点，即0（一半，一1,|）,丽=件，-25）,

设BC与面BB144所成线面角为。，从而

.ABD-n9/oAH

sin0=［__q一=T-TTV247.

\BD\|n|247

（2）（方法2）如图19-2,•・・平面DAB平分四面体的体积，

设BC】与交于点N,则N为81M的中点，

vAM=BrM=由（I）知，4AM/为的二面角/一8。一4的平面角，

・•.乙4MBi=60。，.•.AAMBi为正三角形，・•./'_£B/，

又BCJL面AMB、,BCu平面BB、C\C:.面AMB、1平面881clC,而AMB、n平面BBR'C=

BiM

Q

4N_L平面BB1C1C,14N=E，在AABB1中，BB^=AB=2,ABi=6,

・•・S^ABBI——SRDBB、=SBBRR一S"、DB\—SADBC=2三设点°到平面的距离为八,

H-.T7.R1人>A3913373,9/13

D-ABB—TV/A-DBB^'-X/lX——=-X-X——，:.Il="，

A113432426

设BD与平面BBM遇所成的角为仇则sme=&=当穿

本题考查直线与平面所成角的向量求法，直线与平面所成的角，二面角，线面垂直的性质，面面

垂直的判定及性质，截面问题，几何体的体积问题等，属于综合题.

21.【正确答案】解：(1)方案一：选条件①be=t(b+c).

由题意可得=S△力

:.^ctsinZ-BAD+^btsinZ-CAD=^besinZ.BAC.

•・・4D为NB4C的平分线,Z,BAD=2LCAD=AC,

・•・ctsinZ-BAD+btsinZ-BAD=bcsin(24BAD),

即t(c+b)sinz.BAD=bcsin(2Z-BAD)

又be=t(b+c),

・•・sinzBi4D=sin(24B/D),即sinZ-BAD=2sinZ-BADcosz.BAD,

•・•Z.BAD6(0,?),・•.CQSZ-BAD=

・・・乙BAD=p

・•・^BAC=y.

方案二：选条件②b=acosC—芋csin4

由正弦定理得,sinB=sinAcosC—/sinCsinA,

又B=yr—(4+C)，sin(4+C)=sinAcosC-?sinCsin4,

<3

・•・sinAcosC+cosAsinC=sirL4cosc———sinCsin^，

・•・cos/lsinC=——sinCsinTl，

vsinC>0,

：■tanA=—

v0</4<7T,

.2n

•­A=—.

sinA+sinB