2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题13-17题-(解析版)

2021年全国新高考I卷数学试题变式题13T7题

原题13

1.已知函数/(x)=x3(a2-2T)是偶函数，则a=.

变式题1基础

2.已知m丰0,/(x)=二'+「为偶函数，则机=_________.

ex-m

变式题2基础

3.已知函数〃x)=d是偶函数，则〃1)=

变式题3巩固

4.若函数/(x)=xln(ax+Jl+9x2)(其中”0)为偶函数，则。=.

变式题4巩固

5.若函数/(x)=log2(4、+a)-x为偶函数，则a=.

变式题5提升

6.若函数/(x)=(x-3)-(ax-b)为偶函数，且在(0,+巧上单调递增，则/(2-x)>0地解集

为.

变式题6提升

7.对于函数/(x)="(X+J+sinx,若/⑸+〃_5)=4，则a=________.

X+1

原题14

8.已知。为坐标原点，抛物线C：『=20、(。>0)地焦点为尸，2为。上一点,尸尸与》轴

垂直，。为x轴上一点，且PQ±OP，若户。|=6，则C地准线方程为.

变式题1基础

9.设抛物线丁=2px(p>0)地焦点为尸，点40,2).若线段FA地中点5在抛物线上，则B

到该抛物线准线地距离为.

变式题2基础

10.已知抛物线C-.y=mx\m&R,m^0)过点尸(-1,4)，则抛物线C地准线方程为.

变式题3巩固

11.抛物线C：/=2川(夕>0)地焦点为厂,其准线与》轴地交点为人,假如在直线

x+y+4=0上存在点"，使得ZFMA=90°，则实数。地取值范围是.

1

变式题4巩固

12.直线》-^-2=0与抛物线/=2「,(2>0)交于人，8两点,若线段”被点"(4,2)平

分，则抛物线地准线方程为.

变式题5提升

13.已知点力(0,6)，抛物线C：/=2PHp>0)地焦点为F，射线FA与抛物线C相交于

点M，与其准线相交于点N.若忻-\MN\=\-.l，则P地值等于.

变式题6提升

14.已知抛物线£■：/=2px(p>0)地焦点为尸，0为坐标原点，点A在E上，且

\AF\=2|。四，若=710，则P=.

原题15

15.函数/(x)=|2x-l|-21nx地最小值为.

变式题1基础

16.函数/(x)=gx2+x-21nx地最小值为.

变式题2基础

17.函数y=(x+l)e2*地最小值是.

变式题3巩固

2

18.函数/(x)=5在xe［0,3］地最大值为.

变式题4巩固

19.函数/(x)=?在(0超2］上地最大值是_.

变式题5提升

20.函数/(X)=-2x-1Inx|+2地最大值为.

变式题6提升

工优—x2—2x(X<1)(］-

c，当xe(-oo,/n］时-0o,l——，则实数”7地取

)2x-3(x>1)ke

值范围是.

原题16

22.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸地某款对称轴把纸对折，规

格为20dmx12dm地长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格地

2

图形，它们地面积之和E=240dn?,对折2次共可以得到5dmx12dm,1Odmx6dm,

20dmx3dm三种规格地图形，它们地面积之和邑=180dm\以此类推,则对折4次共可以

得到不同规格图形地种数为。假如对折〃次，那么=dm2.

A=1

变式题1基础

23.纸张地规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定地尺寸.现在我国采用国际标准,

规定以/O,Al,A2,BI,82,…等标记来表示纸张地幅面规格.复印纸幅面规格

只采用A系列和8系歹山其中4（〃wN,〃W8）系列地幅面规格为①Al,A2....

N8所有规格地纸张地幅宽（以x表示）和长度（以N表示）地比例关系都为

x:y=1:拒。②将/。纸张沿长度方向对开成两等分,便成为A1规格,A1纸张沿长度方

向对开成两等分,便成为/2规格，…，如此对开至48规格.现有Z。，A\,A2,/8

纸各一张.若44纸地宽度为2dm,则/I纸地长度为dm。A\,A2,48八张

纸地面积之和等于dm2.

变式题2基础

24.“杨辉三角”是中国古代数学文化地瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于

1261年所著地《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，

比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成地“杨辉三角''中，记第2行地第3个数

字为q,第3行地第3个数字为的,…，第〃+1行地第3个数字为见，则

111

q+&+牝+…+~=-----1-------1-…H-----=

第。行1

第1行11

第2行12

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

变式题3巩固

25.如图甲是第七届国际数学教育大会（ICME-7）地会徽.它地主题图案是由一连串如

图乙所示地直角三角形演化而成地.设其中地第一个直角三角形是等腰三角形，且

。4=44=44=44=-“=44=1,它可以形成近似地等角螺线，记。4，，

L,。4地长度组成数列血｝（””,1。48）,且仇=一1一则%=____________

an+an+\

（〃GN*,l<W<8），数歹lj也｝地前7项和为.

3

图甲图乙

变式题4巩固

26.等比数列｛%｝中,囚,出，。3分别是下表一、二、三行中地某一个数，且中地任何

两个数不在下表地同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

则数列｛为｝地通项公式为o若数列｛"｝满足6"=（-l）"lna"，当〃为偶数时，数

列也“｝前2n项和为.

变式题5提升

27.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉,

圆代数学家朱世杰丰富和发展地一类数列求和方式，有菱草垛，方垛，刍童垛，三角垛

等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示地“菱草垛”：自上而下,第一层1件，以后每一层

比上一层多1件，最后一层是〃件.已知第一层货物单价1万圆，从第二层起，货物地单价是

上一层单价地（，第〃层地货物地价格为，若这堆货物总价是64-112^）“万圆，则

变式题6提升

28.九连环是中国地一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来,

4

这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究地课题和例子.中国地末

代皇帝溥仪(1906-1967)也曾有一个精美地由九个翡翠缎相连地银制地九连环(如图).现

假设有〃个圆环，用％表示按某种规则解下〃个圆环所需地最小移动次数.已知数列｛%｝

满足下面款件：q=1,%=2,勺=限+2"'("23,〃eN*),记｛叫地前项和为,则：⑴

%=°(2)^oo=•

银和翠玉制九连环

清(1644-1911)

原题17

+1,〃为奇数,

29.已知数列｛%｝满足q

。,,+2,〃为偶数.

(1)记2=%,,写出4也,并求数列也｝地通项公式。

(2)求｛4｝地前20项和.

变式题1基础

30.己知数列｛%｝满足《=1吗用=片-2"一4+2”

(1)求生,％,%地值，猜想数列｛0”｝地通项公式(不需要证明).

(2)令。=〃•,求数列也“｝前〃项地和Tn

变式题2基础

31.在数列｛““｝中,q=；，点(见，%+i)(〃eN*)在直线y=x+；上

(1)求数列｛%｝地通项公式。

(2)记I=」一，求数列也｝地前〃项和7；.

变式题3巩固

32.已知数列｛%｝满足q=1,。向=一一

(1)求证数列｛七｝为等差数列。

5

(2)求数列｛%｝地通项公式.

变式题4巩固

33.已知数列｛a,,｝中

nn

(1)求生,%,4及数列｛a“｝地通项公式。

22+aa

(2)设看=a(—a2i~A+---+(T)"'aj,求功及看.

变式题5提升

34.已知数列｛%｝中,《=1,%=3,且满足

-----------=--------------+----!---储eN*)

(1)设4=/^-("€”),证明：｛々｝是等差数列。

a

4+1-n

b

(2)若£,=二("eN*)，求数列｛c“｝地前〃项和5,,.

变式题6提升

35.已知函数〃x)=^|F，数列｛4"｝满足％=1,4用

(1)求数列｛&“｝地通项公式。

(2)令I=-a2a3+a3a4-的5+…一”2向，求北.

6

参考结果:

1.1

【思路】利用偶函数地定义可求参数“地值.

【详解】因为〃x)=L(a•2*-2-')，故/(-x)=-X3(a-2T-2)

因为/(x)为偶函数，故/(-x)=/(x),

时/(a•2、-27)=*(a•2"2、)，整理得到(a-1)(2，+2T)=0,

故a=l,

故结果为：1

2.±1

【思路】依据偶函数地定义得：/(-x)=/(x),即可求出，〃地值.

【详解】解：因为/(X)是偶函数,所以是(r)=f(x),

即x(e*+m)x(—+m)

ex-me~x-m

WWm2=1,即加=±1.

故结果为：±1.

【思路】首先利用奇偶性求得。，然后求得/(I).

【详解】依题意/(X)是偶函数，所以/(-x)=/(x),

所以-5.匚卫=/.2士@,整理得/史业上。=o,

3T+13X+13、+1

所以•(1+〃)=0=>〃=一1,

所以.小)=《1^),

3-11

所以〃l)=lx171v.

故结果为：I

4.-3

7

【思路】依据函数为偶函数，利用/(-x)=/(x)恒成立，化简式子进而得到结果.

【详解】因为函数〃X)=幻11(亦+川+9/)为偶函数,

又/(-x)=-xIn［加+Jl+9x?),

则”r)=/(x)恒成立，

所以xIn(办+Vl+9x2j=-xIn+\J\+9x2j恒成立，

即ax+Vl+9x2=/一L----恒成立，

Vl+9.r2-ax

即X2(9-*+I=I恒成立，所以9_/=o,又a<o,所以。=_3.

故结果为：-3.

5.1

【思路】利用偶函数地性质列方程求。

【详解】•••函数/(x)=log,(4'+。)-x为偶函数，

v

f(-x)=/(x),B|Jlog2(4+a)-x=唾2(4"+a)+X

xx

log2(4+a)-log2(4~+a)=2x

x

・・・log2(4、+。)=log2(l+6f4)

x

・•.4、+a=1+a4

:.a=1,

故结果为：1.

6.l)U(5,+oo)

【思路】先依据偶函数得到/(X)=-9)，依据在(0,+8)上单调递增判断出a>0,把2-x代

入后解不等式即可.

【详解】•••/(x)=(x-3>(ax-b)=ax2-(34+b)x+36为偶函数，

/(-x)=ar2+(3。+6)工+36=凉-(3。+/?)%+36,

二3Q+b=0,即b=-3a,

/(x)=ax2-9a=a^x2-9),

8

•••/(x)在(0,+8)上单调递增,j>0,

/(2-x)=a(-x-1)(5-x)>0,

.•.(x+l)(x-5)>0,解得x<-l或x>5,

・•.不等式地解集为(7,-1)U(5,M).

故结果为：(-«>,-1)U(5,+00).

7.2

【思路】由题设得〃对卷+竺半，易知y=〃x)-a为奇函数，即可得/(5)+/(-5)有关。

X+1

地表达式,进而由己知求。值.

2

Y、*A”、,、a(x+l)+sinxlax+sinx_2ax+sinx

【详解】•­,/r(x)=———-------=a+——--------，又y=——^―;—为奇函数，

x+1x+\x+1

.•./(5)+〃-5)=24=4,即0=2.

故结果为：2

c3

8.x=——

2

【思路】先用坐标表示P，。，再依据向量垂直坐标表示列方程，解得乙即得结果.

【详解】抛物线C：y2=2px(P>0)地焦点喑,0),

■■P为C上一点,P尸与x轴垂直，

所以尸地横坐标为代入抛物线方程求得P地纵坐标为土P,

不妨设P(g,P),

因为。为x轴上一点，且尸。，OP,所以。在尸地右侧，

又尸。1=6,

LUD

.-.0(6+1,0),.-.P0=(6,-p)

因为尸0_LOP,所以而•丽=5x6-p2=0,

Qp>0,1.p=3,

3

所以。地准线方程为x=

3

故结果为：x=-j.

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

9

9.3拉

4

【详解】试题思路：依据抛物线方程可表示出焦点F地坐标，进而求得B点地坐标代入抛物

线方程求得P，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线地距离.

P

解：依题意可知F坐标为（20）

PP?

・•.B地坐标为（41）代入抛物线方程得2=1,解得

J2

二抛物线准线方程为x=-2_

返返％

所以点B到抛物线准线地距离为4+2=不'，

故结果为42‘

考点：抛物线地定义。抛物线地简单性质.

【思路】代入P（T4）求解抛物线C:y="滔（机e凡机沪0），再化简成标准形式求解准线方程

即可.

【详解】由题，4=%（-1）2=>机=4,故。:了=41=尤2=与故抛物线（：地准线方程为

1

蚱一百

故结果为：

16

【点睛】本题主要考查了依据抛物线上地点抛物线方程以及准线地问题.属于基础题.

11.14立+oo）

【思路】依据题意求出点尸，A地坐标，设出点M坐标，由垂直关系得屈.丽=0,再利用

A>0建立有关P地不等式即可求解.

【详解】解：由题意，尸停o）,/卜多o）,

,・•忖在直线工+歹+4=0上,设点材（工,-％-4）,

:.AM=[x+—,-x-4|,FM=|x--,-x-4|,

又NFM4=90。,

10

・•・AM•FM=卜+5）［一事］+（—上一勺?=0,即2x2+8x+16--^-=0,

J.A=8~-4x2x16-勺=2p"-6420,解得pW-4及或pN4及，

又夕>0,

・•.〃地取值范围是卜力,+oo）.

故结果为：［4>/2,+8）,

12.x=—1

【思路】设4（士,乂）,8（吃，必），由点差法建立关系式,可求出P=2,即可求解

【详解】设4（石,乂）,5（/,%）,由线段Z8被点“（4,2）平分,可知必+%=4,

又必2=2pjq,y；=20匕,所以（乂+%）（乂-%）=22（士-々），

由题意可知，直线/地斜率存在，且为1,

所以占所以4x互二A=2。，

X］~X2

即4xl=2p,所以p=2.

故抛物线地准线方程为x=-1.

13.2

【思路】过点M作MK垂直于准线于点K，依据已知款件可得|〃K|：|W|=1：2，可得

ZMNK=30。,设准线与x轴相交于点E，依据|尸司=P,|。旬=若即可求得P地值.

【详解】抛物线C：V=2px（p>0）地焦点为E坐标为［go］,准线为x=/

过点M作MK垂直于准线于点K,

由抛物线地定义知|必1=|"国，

因为怛M：|A/N|=1:2,所以|A/K|:|MV|=1:2,

\MK\1

所以sinNMVK=同同=于可得NA/NK=30°,

设准线与x轴相交于点E,则|所|=P,|NE|=2|Od=26,

11

\EF\=2百x,=2,

在尸中，祸=tan30",所以0=怛同=怪叫tan30,

所以P地值等于2.

故结果为：2.

14.20

【思路】设4(x°J。),进而结合抛物线地定义与己知款件得N［曰，土°),进而由|。4|=M解得

结果.

【详解】解：设“(">),由题知尸尸

因为M周=2|OF|,所以M尸|=2|OF|=p

因为点A在E上，

所以W日=Xo+5=p,解得/=5,

所以45,土p),

所以侬=而=厚］=条解得P=2®,

故结果为：2五

15.1

【思路】由思路式知/(x)定义域为(。,田),讨论0<x4；,x>l,并结合导数研究

地单调性,即可求/(x)最小值.

【详解】由题设知:/(x)=|2x-l|-21nx定义域为(0,+8),

12

.•.当0<x4；时,/(x)=1-2x-2Inx,此时f(x)单调递减。

12

当；<x〈l时J(x)=2x-l-21nx,有八x)=2--40,此时/(x)单调递减。

2x

2

当x>l时J(x)=2x-l-21nx,有Ax)=2—>0,此时/(幻单调递增。

x

又/(x)在各分段地界点处连续，

•••综上有：0<x41时,/(x)单调递减,x>I时,/(x)单调递增。

,-./(x)>/(l)=l

故结果为：1.

⑹|

【思路】(1)求导数，确定函数/(x)在区间上地单调性，即可求出函数/(X)在区

间g,e上地最小值.

.,2x2+x-2(x+2)(x-l)

【详解】/'(x)=x+l-一=--------=-----——

XXX

当时/'(x)<0,

当X€(l,e)时/'(x)>0,

所以/(x)在上递减，在(旧递增，

所以函数y=/(x)在X=1处得到最小值，即/⑴而产/⑴=：.

【点睛】本题考查导数知识地运用，考查函数地单调性与最值，考查学生地计算能力，属于

中档题.

17.--

2d

【思路】对^=(x+\)e2x求导，讨论函数地单调性，求函数地极小值即为最小值.

［详解］y=62，+2。+1)/，=(2》+3)小\令/=0,则工=_j时，

y<o,>0,；.y=(x+l)e2"在上单调递减，在(一,收)上单调递增•

3是函数地唯一极小值点，即为最小值点,，x=-；3,=-51.

故结果为：-

2e'

【点睛】本题考查利用导数求函数地单调性和最值，属于基础题.

13

【思路】利用导数得到函数单调性，即可求解.

【详解】解：/(司=生二=乌立，

ee

当0<x<2时J'(x)>0,原函数单调递增，

当2Vx<3时J'(x)<0,原函数单调递减，

4

所以/(X)3=〃2)=”,

4

故结果为：4-

e

19.-

e

【思路】求出导函数，求解极值点，然后判断函数地单调性求解函数地最大值即可.

【详解】函数/(x)=3J'(x)=T^,令/(x)=0,解得x=e.

因为0<e<e2,函数〃x)在xe(O,e］上单调递增，在xe［e,e2］单调递减。

x=e时J(x)得到最大值,/,)=：.

故结果为

e

【点睛】本题考查函数地导数地应用，熟练掌握利用导数研究函数地单调性，极值与最值是

解题地关键.

20.l-ln2

【思路】由题去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值.

【详解】由题知当时J(x)=-2x—lnx+2,

...r(x)=_2-l<0

X

•・./(x)在［1,+8)为减函数，

二/(X)max=/(1)=0。

当0<xv1时J(x)=-2x+InX+2,

.,r(x)=_2+l=Z?£±l)

XX

.•.当X€(0,1)时J'(x)>o,当X€(；,1)时J'(x)<0,

14

•••/«max=./■(!)=1-In2,

综上可知J(x)11m=In2.

故结果为：l-ln2.

【思路】先分类讨论，求解在不同区间地最值,利用最值得到地款件对参数阳进行讨论.

【详解】当％,1时，当（力=（*+1。、-2）,

令/'（x）>0,则1112Vx<1或x<-l。/1x）<04!|-l<x<ln2,

；・函数lx）在（T,ln2）上单调递减，在（-co,T）,（ln2,l）单调递增，

二函数曲）在x=-l处得到极大值为4-1）=1-},

在x=ln2出地极小值为/（ln2）=-（ln2）2,/（l）=e-3.

当x>1时,/（x）=2x—3”1—x„2——,

综上所述产地取值范围为卜1,2-5

故结果为：1-1,2-；］

2e

22.5720」"37）

2”T

【思路】（1）按对折列举即可。（2）依据规律可得S,,,再依据错位相减法得结果.

【详解】（1）由对折2次共可以得到5dmxl2dm』0dmx6dm,20dmx3dm三种规格地图形，所

以对着三次地结果有：gxl2,5x6,10x3：20x（共4种不同规格（单位dm）。

5533

故对折4次可得到如下规格：V12,5x6,5x3,10x5,20x*共5种不同规格。

（2）由于每次对着后地图形地面积都减小为原来地一半,故各次对着后地图形，不论规格怎样,

其面积成公比为:地等比数列,首项为120（dm）第〃次对折后地图形面积为120x（；］'，对

于第n此对折后地图形地规格形状种数，依据（1）地过程和结论，猜想为〃+1种（证明从

略），故得猜想S“J2：2+1）,

设、„.5c=S卒c=1〒20x2+丁120x3+丁120x4+1,+1204（n+^l），

15

nl1120x2120x3120/7120（/7+1）

则；S=F—+y+…+

22'22r

两式作差得:

-S=240+120（-+-4-+---+-^T|120（«+l）

2{2222'-'J

=24O+60（T）」2O（〃+1）

,12"

1-

2

/八120120（«+1）“八120（M+3）

=360一一y----——^=360-----——L,

2"一］2”2〃

mu「八240（H+3）八15（〃+3）

因此,S=720------L=720——7r.

故结果为：5。720」5（〃：3）

2，i

【点睛】方式点睛：数列求和地常用方式:

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解。

（2）对于｛a„b„｝结构，其中｛%｝是等差数列,｛或｝是等比数列，用错位相减法求和。

（3）对于｛%+”,｝结构，利用分组求和法。

（4）对于1—I结构，其中｛«„｝是等差数列,公差为“dw0），则—=」一］，利用

aa

〔"MmJ„n+l«„+.）

裂项相消法求和.

23.8空也

4

【思路】可设40=01，2,3,…,8）地纸张地长度为口，则数列｛叫成以当为公比地等比数歹！

设4地纸张地面积S*,则数列｛SJ成以3为公比地等比数列，然后利用等比数列地通项公式

求出数列｛S,｝地首项，并利用等比数列地求和公式求出结果.

【详解】可设=0,1,2,3,…,8）地纸张地长度为的，面积为黑”

儿地长度为的=等明，所以数歹电“｝是以日为公比地等比数歹山

16

44纸地宽度为2加，则,N4纸地长度为％=2&dm

_/_2^2

所以⑷纸地长度为2(a)(a)

所以,4纸地面积为邑二冬"争8~2岳此

所以，数列｛S“｝是以32a为首项，以g为公比地等比数歹(

32拉x|1-于

2550

因此，这8张纸地面积之和等于------dm2.

1」4

2

故结果为：8。誓

【点睛】本题考查数列应用题地解法，考查等比数列通项公式与求和公式地应用，考查运算求

解能力，属于中等题.

24.220工

〃+1

【思路】首先依据杨辉三角得到%=Ct,，然后计算q+2+%+…+卬。=220。接着利用裂

111

项相消对一+—+…+—进行求和.

%a2an

【详解】解法一

由题意知见=C：+1,

a1+«2+a3+---+«l0=C^+C^+C^+---+C^=1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220.

11122

——H-+…H；-=----1-------1-…+

c；C'l1x22x3

解法二由题意知%=C；+［，所以6+W+。3+…+%0=C；+C；+

c；+…+C；］=C；+C；+C；+…+C：尸c；+c2・・+c：尸c；+

17

C；+…+c：=…=c：°+c；。+c：=g+c：=c：2=

11111122

--1---1---1=-dH---1--;—=----1------F…+

aaa

\2nJC3C〃+]1x22x3

；^1)=2[0-{|+(泊＞-+9-马卜2(1一去卜念.

故结果为：220,—

【点睛】本题主要考查组合数地运算性质及数列裂项求和，属于中档题目.

25.G272-1

【思路】依据勾股定理可得出+1,可得出｛,｝为等差数列，求出｛%｝地通项公式，可求

得“=-〃+而i,利用裂项相消法可求得数列｛"｝地前7项和.

【详解】AO/“4向是以/。44用为直角地直角三角形，由勾股定理可得=。：+1,

所以，数列｛%｝（〃€N*,14〃48）为等差数列，且首项为a；=1,公差为d=l,

:.a^=\+（n-\）d=n;:an>0,所以,a“=册.

贝也=^=帅印=（6+内）（6-内厂”+册包

因此，数歹lj｛d｝地前7项和为凡=（-1+后）+（—血+后）+…+（—近+a）=2立一1.

故结果为：6。2行-L

【点睛】方式点睛：数列求和地常用方式：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和。

（2）对于｛“/“｝型数歹I」,其中｛〃“｝是等差数列,也“｝是等比数歹山利用错位相减法求和。

（3）对于｛a„+b,｝型数列，利用分组求和法。

（4）对于］」一型数列，其中｛““｝是公差为4（4丰0）地等差数列，利用裂项相消法求和.

26.n\n3

【思路】依据等比数列地定义和表格中数据地特点得到卬=2,4=6,%=18。由

0=（-1）%4=（一1）"（卜2-如3）+（-1）"・〃1113,利用分组求和可得结果.

18

【详解】当q=3时，贝*2=4,或%=14,显然不合题意。

当4=2时，当且仅当的=6,%=18时，符合题意。

当时q=10,。2=4,或%=6,显然不合题意.

因此q=2,%=6,。3=18。公比g=3,故a“=23i

则”=(-l)，，lna„=(-l)"ln(2-3,,-1)=(-l)n(ln2-ln3)+(-l)"-nln3

则bt+b2+h3+L+b2n

=[-l+l-l+L+(-l)J-(ln2-ln3)+[-l+2-3+L+(-1)叫In3=〃ln3.

故结果为：a„=2-y-\«ln3.

”◎6

【思路】由题意可得第〃层地货物地价格为=〃(('

依据错位相减法求和即可求出.

【详解】解：由题意可得第n层地货物地价格为

设这堆货物总价是S“=lD+21(J+3((j+-T

则1+2.Q+30+…+〃]£|，②,

由①-②可得1=1+({|+图+(£|+.•.+({!

=『7iQ)=8-(8+〃)(j，

8

S“=64-8(8+〃)[£],

•.・这堆货物总价是64-1联)‘万圆，

19

8(8+〃)=112,.，.〃=6,

故结果为：。6.

【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及思路问题和解决问题地能力，属于

中档题.

2102-154

28.341-———.

3

【思路】分〃为偶数和"为奇数两种情况，由题中款件，利用叠加法，由等比数列地求和公式，求

出数列地通项，即可求出a”再由分组求和地方式，即可求出5100.

【详解】（1）当"为偶数时，

3-1n3-5353

a„=a„2+2"-'=a„,+2"一+2'"=a„6+2"+2-+2"=.•.=%+2'"'+2'"+2"-+---+2

=2"-'+2"7+2*5+…+23+2=2°一：)=-(一2)。

1-223V7

当"为奇数时,

31-5352

a„=a,+2"-'=an4+2'"'+=an6+2'"'+2"-+2'at+2'-'+2"-+2"-+---+2

1_1

=2"~'+2'-3+2"-5+…+2?+1==-(2"+,-l)

1-223、)

9+l

.-.a9=1(2-1)=341

(2)So。=(%+%+…+%))+(%+4+…+%oo)

=|［（22-1）+（24-1）+-+（2100-1）］+|［（23-2）+（25-2）+-+（210,-2）］

=1（22+23+24+25+---+2l00+2101）+1（-150）=2：；54

,102_iCA

故结果为：341。Z3

3

【点睛】关键点点睛：

求解本题地关键在于依据题中款件，讨论〃为奇数和〃为偶数两种情况，利用叠加法（累加法）

求出数列地通项即可。在求数列地和时，可利用分组求和地方式求解.

29.(1)仿=2,%=5也=3〃-1。(2)300.

【思路】（1）方式一：由题意结合递推关系式确定数列｛"｝地特征，然后求和其通项公式即可。

20

(2)方式二：分组求和，结合等差数列前〃项和公式即可求得数列地前20项和.

【详解】解：(1)|方式一］【最优解】：

显然2M为偶数，则a2„+l=a2„+2,出,+2=+1,

所以%+2=%,+3,即％=2+3,且4=%=%+1=2,

所以｛2｝是以2为首项,3为公差地等差数列，

于是4=2也=5,6“=3”-1.

［方式二］:奇偶分类讨论

由题意知％=1,。2=2,%=4,所以4=。2=2也=4=。3+1=5.

由。用-%=1(〃为奇数)及4皿-。”=2(〃为偶数)可知，

数列从第一项起，

若"为奇数,则其后一项减去该项地差为1,

若〃为偶数,则其后一项减去该项地差为2.

所以=3("wN"),则a=4+(〃-l)x3=3〃-l.

［方式三］:累加法

由题意知数列｛叫满足q=l,a向=a“+3+5(〃wN*).

所以4=a,=a.+—-+-~—=1+1=2,

'2122

3(-1)33(-1)2一

b2=4=%—2-=〃3+1=。2+5~1—~—F1=6F2+24-1=2+3=5,

aa+

则b“=Ct2n=(2n~~2n-\)(。2“-1一々2〃-2)+…+(02-％%=1+2+1+24--12+1+4

=〃X1+2(〃-1)+1=3/7-1.

所以々=2也=5，数列也,｝地通项公式4=3〃-1.

(2)［方式一］:奇偶分类讨论

S20=a］+a2+a3+---+a20=(a］+ay+a54----^z19)+(a2+a44-a6+---+tz2())

=(by-14-Z>2-1+4-］+…+b、o-1)+4+b2+by+…+a。

=2x(Z)1+Z?l0)xl0-10=300.

2

［方式二卜分组求和

21

a

由题意知数列｛4｝满足％=1，a2„=的,1+1，“2”+1=2„+2,

所以。2用=出，+2=出1+3・

所以数列｛4｝地奇数项是以1为首项,3为公差地等差数列。

同理，由々“+2=々向+1=，“+3知数列｛%｝地偶数项是以2为首项,3为公差地等差数列.

从而数列｛4｝地前20项和为：

$20=(ai+a3+a5H-----H£ri9)+(fl2+a4+a6'1-----hfl20)

=10x1+^^x3+10x2+^^x3=300.

22

【整体点评】(1)方式一：由题意讨论｛",｝地性质为最一般地思路和最优地解法。

方式二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列地性质。

方式三：写出数列｛对｝地通项公式，然后累加求数列｛2｝地通项公式，是一种更加灵活地思路.

(2)方式一：由通项公式分奇偶地情况求解前〃项和是一种常规地方式。

方式二：分组求和是常见地数列求和地一种方式，结合等差数列前〃项和公式和分组地方式

进行求和是一种不错地选择.

30.(1)。2=2,%=4,%=8,猜想%=2"-'(2)T„=(n-1)2"+1.

【思路】(1)依据递推关系代入即可得解，依据特征猜想公式。

(2)利用错位相减法求和.

【详解】(1)解％=1-1+2=2,%=4-4+4=4吗=16-16+8=8,

猜想4=2"'

]

(2)由(1)bn=n-2"-

7；,=lx2°+2x2l+3x22+---+rtx2n-1.........①

27；=1x21+2x22+3x2、…+"x2"........②，由①-②得

-7；=l+2l+22+---+2,,-,-nx2n=(1-«)2"-1,

所以7；=(“-1)2"+1

22

【思路】由款件结合等差数列定义，证明｛%｝为等差数歹山依据等差数列通项公式求数列｛«„｝

地通项，⑴由⑴可得“=4（1-一1）,利用裂项相消法求其前"项和人

nn+1

【详解】⑴•••点七,%）在直线y=x+g上，

1

1p1

aa

n+l-„=］，又％=于

数列也J为首项为公差为3地等差数列,

n

,14“11、

(2)由(1)hn=-—------=4(-------)

anan+\n(n+1)n〃+1

•*-Tn=4（1一＜）+4（:一］）+…+4（工^―）

223n71+1

“I11111、

=4（1H------F…H--------）

223n〃+1

4n

n+1

3-2/?

32.（1）证明见思路。（2）a=----.

n2/7-1

【思路】（1）证明二77一―T7=1（常数），即得证。

4+1+14+1

（2）由题得」7+化简即得解.

。"+12

【详解】解：⑴数列｛,%1｝满足4=1,例=一一1-r.

+z

整理得」77一一T7=ST7――T7=1（常数），

。向+1%+1%+1%+1

所以数列｛不匕｝是以g为首项,1为公差地等差数列.

（2）由于数列｛二不是以;为首项,1为公差地等差数列.

%十1/

所以即

3-2〃

所以

2〃一1

33.(1)g=5,4=7,4=9。勺=2〃+1。(2)(0=-240,

23

2n2+4〃+3,〃=2左-1（左£N*）

n

-2n~-4n,n=2k（kGN"）

【思路】（1）分别令〃=2,3,4利用递推公式以及q=3可得的,生,%,将递推公式整理可得

鬻=巴『，可得｛备）是常数列,结合其首项即可求得｛«„｝地通项公式。

（2）利用并项求和结合等差数列前〃项和公式可得时一当〃为偶数时，采用并项求和求当

〃23且〃为奇数时,Tn=T,i+%?，再检验九写成分段地形式即可.

【详解】（1）当”=2时,g=^q+；=|x3+g=5,

”，…3+114r1

当〃=3时,。3+T=-X5+-=7,

3~333

..4+115rle

当〃=4时=——♦。3+了=:乂7+：=9,

4444

"c〃+11—rm,〃+1〃+1〃+1/八

当"N2时，由=---%_|+—可得知+1=----%T+--------=--------（%T+1）,

nnnnn

所以3=31,所以［J］是常数列，

〃+1nI〃+1J