七年级数学上学期期末考试真题汇编（人教版）探究与表达规律（八个知识点） （解析版）

专题04探究与表达规律（八个考点）专题讲练

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1、知识储备

考点1.数列的规律

考点2.数表的规律

考点3∙.算式的规律

考点4.图形的规律（一次类）

考点5图形的规律（二次类）

考点6.图形的规律（指数类）

考点7.程序框图

考点8.新定义运算

2、经典基础题

3、优选提升题

捷妥知全储备

1.解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获

得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件,一般有下列几个类型：

1）数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号〃之间的关系.

2）等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号〃之间的关系.

3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号〃之

间的关系.

4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循

环变换周期，进而观察商和余数.

5）数形结合的规律：观察前”项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性

结论.

2.常见的数列规律：

1）1,3,5,7,9,...,2/2-1（〃为正整数）.

2）2,4,6,8,IO.......2n（W为正整数）.

3）2,4,8,16,32,2"（〃为正整数）.

4）2,6,12,20,/1（«+1）（〃为正整数）.

5）-X,+x>-X,+x,-X,+x,...,（T）"x（〃为正整数）.

几。I+1）

6）特殊数列：①三角形数:136,10,15,21,…,

2

②斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前

两个数的和.

P经典基，题•

考点L数列的规律

【解题技巧】

①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为(-1)"或(-1)"T或(T)"+∣；

②数字规律：数字规律需要视题目而确定；

③字母规律：通常字母规律是呈指数变换，常表示为：罐等形式。

例1.(2022•黑龙江牡丹江•七年级期末)按顺序观察下列五个数-1,5,-7,17,-31......,找

出以上数据依次出现的规律，则第〃个数是.

【答案】(-2)π+l

【分析】所给的数可转化为：-1=1-2］，5=1+22,-7=1-23,17=1+23-31=1-2$,...据此即可得

第"个数，从而可求解.

【详解】解：0-l=l-21,5=1+22,-7=13,17=l+24,-31=l-25,

回第奇数个数为：1-2"；第偶数个数为：1+2"；倒第n个数为：(-2)n+l.故答案为:(-2)"+l.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律.

变式1.(2022•云南红河•八年级期末)一组按规律排列的单项式3”、5区、7a∖9/.......依

这个规律用含字母〃(〃为正整数，且〃21)的式子表示第〃个单项式为

【答案】(2"+l)/

【分析】找出前3项的规律，然后通过后面儿项验证，找出规律得到答案.

【详解】解：34=(2×1+1)a',5标=(2×2+l)a2,7凉=(2×3+l)a3,—

第"个单项式是：(2π+l)an.故答案为:(2π+l)an.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是找出前几项的规律，然后验证，最后

得到规律.

变式2.(2022•山东烟台•七年级期末)按一定规律排列的单项式：√,-√,X7,-X9,X11.......,

第〃个单项式是()

A.(-l)"√n-'B.(-∣),,^1X2Λ+'C.(-l)π^'√n-'D.(-l),,√n+l

【答案】B

【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第”个单项式即可.

【详解】解：0x3,-X5,√,-X9,一，……，

团系数是奇数项为-1,偶数项为1,即系数的规律是(-I)”,,指数的规律为2〃+1,

回第〃个单项式为（T）Iχ2向，故选：b

【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题

的关键.

考点2.数表的规律

【解题技巧】

例1.（2022•绵阳市七年级期中）将正奇数按下表排成5歹Ij:

第1歹IJ第2列第3列第4列第5列

第1行1357

第2行1513119

第3行17192123

・・•…・・・2725

若2021在第m行第"列，则m+n=()

A.256B.257C.510D.511

【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2-5歹I,偶数行排在第1-4列，

根据2021在正奇数中的位置来推算m,n.

【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2-5歹U,偶数行排

在第1-4列，

其次，奇数可以用2χ-l表示，当X=K）II时，Ix-1=2021,即2021是排在第1011个位

置.

在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4=252.........3,因此2021应该在第253行，第4

列，

即m=253,“=4..∙.m+"=257,故选：B.

变式1.（2022•山东济南•七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（α,

b）表示第。行，从左至右第b个数，例如（4,3）表示的数是9,则（15,10）表示的数

是（）

1

23

456

78910

••••••

A.115B.114C.113D.112

【答案】A

【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1,即可得出（15,

1)表示的数，然后得出(15,10)表示的数即可.

【详解】解：因为(1,1)表示的数是：1,(2,1)表示的数是：1+1=2,(3,1)表示的

数是：1+1+2=4,

(4,1)表示的数是:1+1+2+3=7,(5,1)表示的数是：1+1+2+3+4=11,......

所以(α,D表示的数是：

Γl+(α-l)l(a-l)a(a-∖∖a2-a+2

l+l+2+3+4+……+(a-l)=l+l=~~——~~="ʌ~~<=-~~—,

222

所以(15,1)表示的数是："+2=15一二15+2=]O6,

22

所以(15,10)表示的数是：106+10-1=115,故选A.

【点睛】本题考查了找图形和数字规律，从题目分析发现每一行的第一个数字都等于前面数

字的个数再加1是本题的关键.

变式2.(2022•广东湛江•七年级期末)各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律

得出“，力的值分别为()

□E□□0□3□E∏

A.9,10B.9,91C.10,91D.10,110

【答案】C

【分析】分析前三个图形，有：右上=左上+3,左下=左上+4,右下=右上X右下+1,由此即

可求出a、b、c

【详解】由前三个图形，有：右上=左上+3,左下=左上+4,右下=右上X右下+1,

.∙.c=6+3=9√.β=6+4=10.∙.fe=ac+l=10×9+l=91故选：C

【点睛】本题考查规律中的数字变换，分析前面的图形，得出：右上=左上+3,左下=左上+4,

右下=右上X右下+1,找出给定的数之间的关系时解题关键.

考点3..算式的规律

【解题技巧】

算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现

期中的规律。

常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。

例1.(2022•山东淄博•期末)观察下列等式：

(x2-l)÷(x-l)=x+l；

5432

(x-l)÷(x-l)=x+x+x+x+li

(x7-l)÷(x-l)=x6+x5+x4+x5+x2+x+l；

根据以上等式总结规律并计算，则1+2+2?+23+24+2'+2"+2,=.

【答案】255

【分析】根据所给出的等式找到规律，再利用式子的规律进行逆用即可求解.

【详解】解：由给出等式可知，(x"-l)÷(x-l)=x"τ+χ2+...+V+x+1,

01+2+22+23+24+25+26+27=(28-l)÷(2-l)=255故答案为：255.

【点睛】本题考查数字的变化规律,能够根据题中所给式子探索出式子的规律是解题的关键.

变式l.(2022∙内蒙古赤峰•八年级期末)已知：2+3=22x3；3+?=32x。4+合=4々4；

33881515

5+⅛=52χ⅛"∙,若9+"=92χ∙符合前面式子的规律’则(α+'+l)的值是()

aCL

A.90B.89C.IOOD.109

【答案】A

【分析】根据已知中的规律可得，分数的分子与整数相同，分母是整数的平方减L然后求

出。、b,再相加即可.

77334455

2

【详解】解：≡2÷r^×-,3÷-=3^×-,4÷-=4^χ-，5÷-=5×->

09+-=92×-ψ,b=9,α=92-l=80,瓯+加1=80+9+1=90.故选：A.

aa

【点睛】对数字变化规律的考查，比较简单，观察出加数的分子、分母与整数加数的关系是

解题的关键.

变式2.(2022・四川凉山•七年级期末)下面是按一定规律排列的一列数：

那么，在第9个数、第10个数、第11个数、第12个数中，最大的数是()

A.第9个数B.第10个数C.第11个数D.第12个数

【答案】A

【分析】先分别计算出前3个数，由此得到一般性的规律，再分别求出第9个，第10个,

第11个，第12个数，比较大小即可.

所以较大的数为第9个数，故选：A.

【点睛】本题考查数字类规律题，有理数的混合运算，解题关键是由特殊得一般性的规律.

考点4.图形的规律(一次类)

【解题技巧】通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。

图形的规律(一次类)

例1.(2022•山东威海•期末)用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋

子数为()

第1个第2个第3个第4个

A.6069个B.6066个C.6072个D.6063个

【答案】A

【分析】根据前4个图形的棋子个数，可以得到规律第"个图形有("+l)x3=(3"+3)个棋

子，据此求解即可.

【详解】解：第1个图形有(1+1)*3=6个棋子，第2个图形有(2+l)χ3=9个棋子，

第3个图形有(3+l)*3=12个棋子，第4个图形有(4+l)x3=15个棋子，

团可知第〃个图形有（〃+1）x3=（3〃+3）个棋子，

回第2022个图形有3x2022+3=6069个棋子，故选：A.

【点睛】本题主要考查了图形类的规律，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键.

变式1.（2022•河南驻马店•七年级期末）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而

成，图案①需8根小木棒，图案②需15根小木棒，…，按此规律，图案⑦需小木棒的根

数是（）

OOOoɔo-

①②QP

A.49B.50C.55D.56

【答案】B

【分析】根据每增加一个图形，就增加7根小木棒，可得图案〃需小木棒的根数为7〃+1,

就可以求得图案⑦需小木棒的根数.

【详解】解：∙图案①需8根小木棒，图案②需15根小木棒，图案③需22根小木棒，…

可得图案“需小木棒的根数为7"+1,•,・图案⑦需小木棒的根数是：7x7+1=50,故B正

确.故选：B.

【点睛】此题考查/利用图形进行规律妈纳的能力，关键是能通过观察、猜想、验证，I川纳

总结出其中的规律.

变式2.（2022・四川广安•七年级期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分

为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或

白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（）

个

图1图2图3图4图5

A.3031B.3032C.3033D.3034

【答案】B

【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可.

【详解】解：根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2,

第2个图形中黑色正方形的数量为3,第3个图形中黑色正方形的数量为5,

第4个图形中黑色正方形的数量为6........

当“为奇数时，黑色正方形的个数为3×^(n+D-l,

当”为偶数时，黑色正方形的个数为(3xg〃)，

团第2021个图形中黑色正方形的数量是3×^(2021+l)-l=3032.故选：B.

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第"个图形中黑色正方形的数量是解题的关

键.

考点5图形的规律(二次类)

【解题技巧】通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。

例L(2022∙吉林长春•七年级期末)如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地

面.观察下列图形，探究并解答问题.

⑵在第5个图中，共有瓷砖块；在第〃个图中，共有瓷砖块.

⑶如果每块黑瓷砖30元，每块白瓷砖40元，当〃=10时，铺设长方形地面共需花多少钱

购买瓷砖？

【答案】⑴35,"("+2)(2)63,5+4)(〃+2)⑶6240

【分析】(1)通过观察发现规律，在第5个图中，共有白色瓷砖的数量为7x5块，将上面的

规律写出来即可；(2)通过观察发现规律，在第5个图中，共有瓷砖的数量为7x9,将上面

的规律写出来即可；

(3)求出当"=IO时，黑色和白色瓷砖的个数，然后计算总费用即可.

(1)解：根据题意得：在第1个图中，共有白色瓷砖的数量为3=3x1；在第2个图中，共

有白色瓷砖的数量为8=4x2；在第3个图中，共有白色瓷砖的数量为15=5x3；在第4个图

中，共有白色瓷砖的数量为24=6x4；在第5个图中，共有白色瓷砖的数量为35=7x5；......

在第”个图中，共有白色瓷砖的数量为"(〃+2).故答案为：35,“(〃+2)

(2)解：根据题意得：在第1个图中，共有瓷砖的数量为5=3x5；在第2个图中，共有瓷

破的数量为24=4x6；在第3个图中，共有瓷砖的数量为35=5x7；在第4个图中，共有瓷砖

的数量为48=6x8；在第5个图中，共有瓷砖的数量为63=7x9：......在第八个图中，共有瓷砖

的数量为5+4）5+2）;故答案为:63,5+4）（"+2）

（3）解：根据题意得：当〃=10时，共有白色瓷嵇的数量为IoXI2=120,共有瓷砖的数量

为（10+4）×（10+2）=168,团共有黑色瓷砖的数量为168-120=48,回铺设长方形地面共需的

费用为=40x120+48x30=4800+1440=6240答：当"=10时，铺设长方形地面共需花6240

元钱购买瓷砖.

【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，此题有一定拔高难度，

属于难题，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律.

变式1.（2022•重庆七年级期末）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①

个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑

色小圆圈，…，按照此规律，第⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（）

①②③

A.63B.64C.80D.81

【答案】A

【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解.

【详解】解：第①个图形中一共有1+2=3个小圆圈，

第②个图形中一共有2+3x2=8个小圆圈，

第③个图形中一共有3+4x3=15个小圆圈，…，

按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数是7+8x7=63,故选：A.

【点睛】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律,

难度不大.

变式2.（2022•山东青岛•七年级期末）如图1,将一个边长为2的正三角形的三条边平分，

连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点.如

图2,将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被

剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=10个结点.……按照上面的方式，将一

个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖

分的网格中的结点个数从上往下共有个结点（填写最终个结点）

【分析】根据规律可知结点个数为1+2+3+4+……+〃个，〃为三角形边长数加1,据此即可求

解.

【详解】解:将一个正三角形的三条边平分,该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下:

共有1+2+3=与'3=6个结点,

将一个正三角形的三条边三等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有

1+2+3+4=-×4=10个结点,

2

将一个正三角形的：条边”等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有

XIX〃=心型个结点，：

22

将一个正三角形的三条边2022等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有:

1+2022+1_.__ʌ..1,...、，

1+2+3+...+2023=----------------X20z23=2047276个结点，故答aλ案为：2047276.

2

【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据图形的变化正确总结出规律是解题的关键.

考点6.图形的规律（指数类）

【解题技巧】通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。

例1.（2022•江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1,周长记为G的等边三角形

卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为;的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再

剪去一个边长为;的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为（、'、《…的等边三

角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为C”，则Cn-C"」=.

【答案】pr

【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C,Q,C,根据

3C4,

周长相减的结果能找到规律即可求出答案.

1511111

【详解】解：G=1+1+1=3,C2=l+l+-^—,Cs=1+1+—×3=—,Q=I+1+—×2+—×3

224448

23

一,•••

8

则（∣）∕故答案为：击•

Cn-Cn∙1=∙∙"F=τ∙

【点睛】此题考查图形变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中运算规律，应用规律

解决问题.

变式1.（2022•日照九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操

作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角

三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面

【答案】C

【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积

为原来面积的一半即可解答.

【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，

第一次：余下面积5ι=g,第二次：余下面积52=»,第三次：余下面积53=5，

当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为52。2k击，故选：C.

【点睛】本题考查剪纸问题，图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，

属于中考常考题型.

变式2.（2022•常州市七年级期中）（1）为了计算1+2+3+...+8的值,我们构造图形（图1）,

共8行，每行依次比上一行多一个点.此图形共有（1+2+3+...+8）个点.如图2,添出图形

的另一半，此时共8行9列,有8x9=72个点,由此可得1+此3+...+8=万χ72=36.

用此方法，可求得1+2+3+...+20=(直接写结果).

(2)观察下面的点阵图(如图3),解答问题：

填空：φl+3+5+...+49=；②1+3+5...+(2n+l)=.

【答案】(1)210；(2)①625；②("+IR(3)图见解析，-~ɪ

2×32020

【分析】(1)利用题干中所给方法解答即可；(2)由点阵图可知：一个数时和为1=12,2个

数时和为4=22,3个数时和为9=32,・・・n个数时和为“2,由此可得①为25个数,和为252=625；

②为(n+l)个数，和为(。+1)2；(3)按要求画出示意图，依据图形写出计算结果.

【详解】解：(1)l+2+3+∙∙∙+20=L(1+20)×20=21×10=210;故答案为：210；

2

(2)由点阵图可知：一个数时和为1=?,2个数时和为4=22,3个数时和为9=32,...,n

个数时和为

①Y1+3+5+...+49中有25个数，,1+3+5+...+49=252=625.

②：1+3+5...+(2n+l)中有S+1)个数，,1+3+5...+(2n+l)=(n+l)2.故答案为：625；(n+1)2；

(3)由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1,

21121

第一次将正方形分割为］和§两部分，第二次将正方形的§分割为铲和铲两部分，・・•,

以此类推，

第2020次分割后，剩余的面积为去，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面

积应该是：

2222.2222I

]+?+予++手颉，∙∙++学两="落■，

111111α2020_1

+-2O2

左右两边同除以2得：§+铲+3+^≡Γ=ɪ2×3°',原式=云浮两•

【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法.前两

小题考察学生数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数

与形的要求较高，考察学生的发散性思维.

考点7.程序框图

例1.（2022•河南信阳•七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的X值是正整数，最

后输出的结果是32,则满足条件的X值为（）

否

A.11B.4C.11或4D.无法确定

【答案】C

【分析】根据题意列出等式，进而可以求解.

【详解】解：由题意可得，当输入X时，3x-l=32,解得：X=Il,

即输入411，输出结果为32：当输入X满足3x-l=ll时，解得x=4,

即输入x=4,结果为11,再输入11可得结果为32,故选：C.

【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据题意列出等式是解决本题的关键.

变式L（2022∙温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的X值为24,我们

发现第1次输出的结果为12,第2次输出的结果为6,…，则第2021次输出的结果为（）

A.6B.3C.24D.12

【分析】根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数

循环出现，据此作答即可.

【解答】解：第1次输出的数为：∣×24=12：第2次输出的数为：∣×12≈6；

11

第3次输出的数为：5X6=3；第4次输出的数为：3+3=6；第5次输出的数为X6=3；…

由此得从第2个数开始，每2个数循环出现，

V（2021-1）÷2=1010,工第2021次输出的数为3.故选:B.

变式2∙(2022•河南郑州•七年级期末)乐乐在数学学习中遇到了神奇的"数值转换机"，按如

图所示的程序运算，若输入一个有理数X,则可相应的输出一个结果V.若输入X的值为T,

则输出的结果y为()

结果为正γ-eς-γ--1

I输Λx∣∕[⅞(-3)∣f!减8-ΓA［输出结虾I

结果非正

A.6B.7C.10D.12

【答案】B

【分析】把X=-I代入程序中计算，判断结果比0小，以此类推，得到结果大于0,输出即

可.

【详解】解:把X=-I代入运算程序得：(U)X(-3)-8=3-8=-5<0,

把x=-5代入运算程序得：(-5)×(-3)-8=15-8=7>0,输出的结果y为7.故选B.

【点睛】本题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键.

考点8.新定义运算

例L(2022•九龙坡•九年级模拟)定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数

字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍"为正整数)，我们就说这

个自然数是一个""喜数".例如：24就是一个“4喜数"，因为24=4x(2+4)；25就不是一

个""喜数"，因为253"(2+5).(1)判断44和72是否是“n喜数"？请说明理由；(2)请求

出所有的“7喜数”之和.

【答案】(1)72,见解析；(2)210

【分析】(1)根据力喜数”的意义，判断即可得出结论；

(2)先设出"7喜数"的个位数字。和十位数字b,进而得出b=20,即可得出数值，然后求

和即可.

【详解】解:(I)44不是一个“n喜数",因为44≠n(4+4),

72是一个“8喜数"，因为72=8x(2+7),

(2)设存在“7喜数”，设其个位数字为。，十位数字为b,(α,b为1到9的自然数)，

由定义可知：IOb+α=7(α+b),化简得：b-2a,

因为α,b为1到9的自然数，α=1,b=2：a=2,b=4；a=3,fa=6；a=4,b=8.四

种情况，

二“7喜数”有4个：21、42、63、84,二它们的和=21+42+63+84=210.

【点睛】此题主要考查了新定义“n喜数"，理解和应用新定义是解本题的关键.

变式1.(2022•江苏七年级月考)定义一种新运算：观察下列各式：

l*2=l×3+2=5,4*(-2)=4×3-2=10,3*4=3×3+4=13,6*(-1)=6×3-1=17.

(1)请你想想：α*b=；(2)若αM,那么α*bb*a(填“="或B)；

(3)先化简，再求值：(a-b)*(α+2b),其中α=3,b--2

【答案】(1)3α+b;(2)≠;(3)4α-b,14

【分析】(1)根据所给算式归纳即可；(2)根据(1)中总结的规律计算；

(3)先根据(1)中总结的规律化简，再把a=l代入计算.

【详解】解：(1)根据题意得：a*b=3a+b.故答案为：3a+b

(2)Va*b=3σ+b,b*a=3b+a..'.a*b≠b*a.故答案为：≠.

(3)(a-b)*(a+2b)=3(a-b)+a+2b=4a-b.当a=3,b=-2时,原式=12+2=14.

【点睛】本题考查了新定义，数字类规律探究，以及整式的加减，根据题干中的算式得出规

律是解答本题的关键.

变式2.(2022・重庆梁平•七年级期中)阅读材料，解决下列问题

如果一个正整数十位上的数字为a,个位上的数字为b,则这个数表示为IOa+人

有这样一对正整数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相

反的两个数，我们把这样的一对数互称为"反序数".比如：123的反序数是321,4056的反

序数是6504,根据以上阅读材料，回答下列问题：(1)已知一个三位数，其数位上的数字为

连续的三个自然数，经探索发现：原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198.你知道

为什么吗？请说明理由.

⑵若一个两位数与其反序数之和是一个整数的平方，求满足上述条件的所有两位数.

【答案】⑴见解析

(2)29,38,47,56,65,74,83,92

【分析】(1)设连续自然数中间的一个数为X,则其他的两个数为x-l,x+l,表示出原三

位数与反序数，进行验证即可；

(2)设两位数十位数字为a,个位数字为b,表示出两位数与反序数，根据题意确定出即可.

⑴

解：设连续自然数中间的一个数为X,则其他的两个数为x-1，x+L

根据题意可得：[100(X+1)+10Λ-+JC-1]-[100(XT)+10Λ^+X+1]

=100x+100+11Λ-1-100Λ+IOO-Ilx-I

=198,

团原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198.

⑵设两位数H立数字为d个位数字为6,

根据题意得：

IOa+b+10∕>+a=ll(a+6),

团该两位数与其反序数之和是一个整数的平方.，

0a+⅛=ll,

M=2,b=9；

a=3,b=8；

α=4,b=7；

a=5,b=6；

a=7f。=4；

a=8,⅛=3;

a=9,b=2↑

则满足条件的数为：29,38,47,56,65,74,83,92.

【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，绝对值，解决本题的关键是理解阅读材料，找出

式子存在的规律.

Q

1.（2022•晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入X的值为625,则第

2020次输出的结果为（）

A.1B.5C.25D.625

【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案.

111

【解答】解：当x=625时，-χ=125.当x=125时，gx=25,当x=25时，-χ=5,

当x=5时，EX=1，当X=I时，x+4=5,当x=5时，∣x=l,…

依此类推，以5,1循环，（2020-2）÷2=1009,能够整除，所以输出的结果是1,故选：

A.

2.（2022•山东泰安•期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10...,这样的数称为"三

角形数”，而把数4、9、16...,这样的数称为"正方形数则第5个"三角形数"与第5个"正

方形数”的和是（）

A.35B.40C.45D.50

【答案】B

【分析】分别探究“三角形数"与"正方形数"的存在规律，求出第5个"三角形数"与第5个"正

方形数"，再求第5个"三角形数"与第5个"正方形数"的和.

【详解】第1个"三角形数J1,第2个"三角形数J1+2=3,第3个"三角形数"：1+2+3=6,

第4个"三角形数J1+2+3+3=10,第5个"三角形数1+2+3+4+5=15,

第1个“正方形数J1,第2个“正方形数J22=4,第3个"正方形数"：32=9,

第4个“正方形数J42=16,第5个"正方形数"：52=25,1315+25=40.故选：B.

【点睛】本题主要考查了"三角形数"与"正方形数"，解决问题的关键是探究“三角形数"与"正

方形数"的规律，运用规律求数.

3.（2022•河北保定•七年级期末）观察下列图形,它们是按一定规律排列的，依照此规律,

第2022个图形中共有个五角星（）

★★★★★

★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

A.6068B.6067C.6066D.6065

【答案】B

【分析】第一个图形五角星数目：1+3=1+3×1,第二个图形五角星数目：1+3+3=l+3×2,

第三个图形五角星数目：l+3+3+3=l+3x3,第四个图形五角星数目：l+3+3+3+3=l+3x4,.......

得出第〃个图形五角星数目：1+3+3+…+3=l+3x”,即可得出第2022个图形中五角星数目.

【详解】解：回第一个图形五角星数目：l+3=l+3xl,

第二个图形五角星数目：l+3+3=l+3χ2,

第三个图形五角星数目：l+3+3+3=1+3x3,

第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3=1+3x4,

第〃个图形五角星数目：l+3+3+∙∙∙+3=l+3×n=l+3n,

团第2022个图形中五角星数目为：l+3×2022=6067.

故选：B.

【点睛】本题考查了图形个数的规律，解题关键是根据已知图形的变化规律找到第“个图形

个数表达式.

4.（2022•辽宁本溪•七年级期末）如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成

的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第〃（"之2）个图案中

有白色六边形地面砖的块数是（）

第1个第2个第3个

A.4n-4B.4n-2C.4〃+2D.4n+4

【答案】C

【分析】观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地面砖包围，再每增加一个黑色地面

移就要增加四个白色地面砖.

【详解】解：团第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个.

团第〃(“≥2)个图案中白色六边形个数为：6+4(n-l)=(4n+2)个，故选：C.

【点睛】本题考查利用平移设计图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关

键是发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖.

5.(2022•湖北鄂州,七年级期末)如图所示的数表由1开始的连续自然数组成，观察其规律：

1

234

56789

10Il1213141516

171819202122232425

则第〃行各数之和是()

A.2n2÷lB.n2-n-∖-lC.(2∕z-l)(∕j2-n÷l)D.{2∕z÷l)(π2-n÷l)

【答案】C

【分析】根据题意可得每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第

一个数为("-I?+1,最后一个数为n2,每行数的个数为2〃-1,从而得到中间的数为n+1，

即可求解.

【详解】解：第1行的和为1;有1个数；

第2行的和为：2+3+4=9=3x3;有3=(2×2-l)个数；

第3行的和为：5+6+7+8+9=35=5x7,有5=(2×2-l)个数；

第4行的和为：10+11+12+13+14+15+16=91=7x13,有7=(4×2-l)个数；

第5行的和为：17+18+19+20+21+22+23+24+25=189=9×21,有9=(5x2-1)个数：

由此发现，每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第一个数为

（rt-l）2+l.最后一个数为二,每行数的个数为2"-1,

0中间的数为（“T+1+犷=〃2-〃+1，

2

回第“行各数之和是（2〃-。（〃2一〃+1）故选：C

【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键.

6.（2022•山西九年级模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：

把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正

三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯

基地毯（如图）.若图1中的阴影三角形面积为L则图5中的所有阴影三角形的面积之和

是（）

&履

图1图2图3图4图5

278127

A.一B.------

64256256

【答案】B

【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的剩下的阴影部分面积等于原阴影部分

4

面积的?，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解.

4

【解答】解：图2阴影部分面积=1-二=4,图3阴影部分面积=WX?=谆）2,

44444

图4阴影部分面积=1X（∙∣）2=（∙∣）3,图5阴影部分面积=1X（∙∣）3=（∙∣）4=悬.故

选：B.

7.（2022•江苏镇江市•）如图，小明在3x3的方格纸上写了九个式子（其中的"是正整数）,

每行的三个式子的和自上而下分别记为4,4,小，每列的三个式子的和自左至右分别记为

Bi,B2,B3,其中，值可以等于789的是（）

2"+12"-32"+5

2"+72"-92"+11

2"-132"+152"+17

BlB3

A.AiB.BiC.A2D.B3

【答案】B

【分析】把4,A2,8ι,83的式子表示出来，再结合值等于789,可求相应的"的值，即可

判断.

【详解】解:由题意得:Λι=2n+l+2n+3+2n+5=789,整理得:2n=260,

则不是整数，故的值不可以等于；nnn整理得：n

nAl789Λ2=2+7+2+9+2+ll=789,2=254,

则n不是整数,故4的值不可以等于789；Bi=2"+l+2π+7+2π+13=789,整理得：2"=256

=28,

则是整数，故］的值可以等于nπn整理得:n

n8789；S3-2+5+2+ll+2+17=789,2=252,

则"不是整数，故&的值不可以等于789；故选：β.

【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子.

8.（2022•山东烟台•期中）如图，第"个图形需要的棋子数量是.（用含有”的代

数式表示）

［答案］("+l)("+2)

2

2,3

【分析】根据题意可得：第1个图形需要的棋子数量是3=q；第2个图形需要的棋子数

3×44x5

量是6=l+2+3=寸；第3个图形需要的棋子数量是IO=I+2+3+4=早；第4个图形需要的

棋子数量是15=1+2+3+4+5=三：......；由此发现规律，即可求解.

2,3

【详解】解：第1个图形需要的棋子数量是3=詈：

第2个图形需要的棋子数量是6=1+2+3；

第