2023年江苏中考数学一轮复习训练第14讲 四边形

第14讲四边形2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）

—%单选题

1.（2022・南通）如图，在回ABeD中，对角线4C,BD相交于点O,AC1BC,BC=4,∆ABC=60°,

若EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F,设BE=x,OE2=y,则y关于X的函数图象大致

为（）

A.

C.

2.（2022・无锡）如图，在mABCD中，AD=BD,∆ADC=105°,点E在AD上，4EBA=

60。，则罂的值是（）

DEλ

A.IB.1C.0D.在

3222

3.（2022•无锡）下列命题中，是真命题的有（）

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是

正方形④四边相等的四边形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

4.（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A,B,D恰好

都落在点。处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜

同学得出以下结论：

①GFIlEC；②AB=等/0；③GE=√6DF;®0C=2√2OF;（S）∆COFCEG.

其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④

5.（2022•海门模拟）如图，菱形ABCD的边长为4,NA=60°,E是边AD的中点，F是边AB上

的一个动点，将线段EF绕着E逆时针旋转60°,得到EG,连接EG、CG，则BG+CG的最

小值为（）

A*-------F------------¾

A.3√3B.2√7C.4√3D.2+2√3

6.（202L无锡）如图，D、E、F分别是&ABC各边中点，则以下说法错误的是（）

HDC

A.ABDE和XDCF的面积相等

B.四边形AEDF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形

D.若乙4=90°,则四边形AEDF是矩形

7.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将AABC沿着AC所在的直线翻折得到△

AB1C,BC交AD于点E,连接BD，若NB=60。，∆ACB=45o,AC=巫）,贝IJBD

的长是（)

A.1B.√2C.√3D.苧

8.（2021•秦淮模拟）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长

所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：

①乙BCD=∆A+∆B+∆D；②若AB=AD,BC=CD，则AC1BD；③若乙BCD=2∆A,

则BC=CD；④存在凹四边形ABCD,有AB=CD,AD=BC.其中所有正确结论的序号是

（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①③④

9.（2021•仪征模拟）将一个边长为4cn的正方形与一个长，宽分别为8cm,2cm的矩形重叠放在一

起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）

10.（2021•天宁模拟）下列命题中，真命题是（)

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.有一个角是直角的平行四边形是矩形

D.一组邻边相等的平行四边形是正方形

二、填空题

11.（202L徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E,F分别在线段AB,AD上.若

BE=FD=2cm,矩形AEGF的周长为20Sn,则图中阴影部分的面积为cm.

12.（2021・常州）如图，在平面直角坐标系xθy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在X轴

正半轴上.若BC=3,则点A的坐标是.

13.（2021•南京）如图，将^∖ABCD绕点A逆时针旋转到^AB'C'D"的位置，使点B落在BC

上，BC与CD交于点E,若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为.

----∖D

--.⅛'

14.（2021•扬州）如图，在^ABCD中，点E在AD上，且EC平分乙BED,若NEBC=30。，

BE=10,则^∖ABCD的面积为

15.（2021・连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OEIan,垂足为E,

4C=8,BD=6,则OE的长为.

B

16.（2022•徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处.若点E在边

AB上，AB=3,BC=5,则AE=.

E

B'............—

17.（2022∙无锡）如图，正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交

AE、BC于点H、G,则BG=.

18.（2022,泗洪模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为3c7∏2和i2cλn2的两个小正方形，若随机向

大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为

3cm2

19.（2022♦苏州）如图，在平行四边形ABCD中，ABLAC,AB=3,AC=4,分别以A,C

为圆心，大于^AC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线，与BC交于点

E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为.

20.（2022♦宿迁）如图，在矩形ABCO中，AB=6,BC=S,点M、N分别是边BC的中点，某一时，

刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出

发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停

止运动，连接EF,过点B作EF的垂线，垂足为从在这一运动过程中，点H所经过的路径长

是.

ΛE4------XfD

三、综合题

21.（2022・徐州）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF.求证:

/I/

(1)∆ABE^ΔCDF;

(2)四边形AECF是平行四边形∙

22.(2022•镇江)已知，点E、F、G、//分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD,ADl..

(1)如图1,当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB-,

(2)如图2,已知4E=/",CF=CG,当/E、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩

形；

(3)如图3,AE=DG,EG、FH相交于点。，OE；OF=4：5,已知正方形ABCD的边长为16,FH

长为20,当AOEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论.

23.(2022•南通)如图，矩形4BCD中，AB=4,AD=3,点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时

针旋转得到/F,旋转角等于4BAC,连接CF.

(1)当点E在BC上时，作尸MI4C,垂足为M,求证AM=AB;

(2)当4E=3√Σ时，求CF的长；

(3)连接DF,点E从点B运动到点D的过程中，试探究D尸的最小值.

24.(2022•无锡)如图，在EIABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点

E、F,连接DE、BE

求证:

(1)∆DOF^∆BOE;

（2）DE=BE

25.（2022・无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=20,BC=4,点E在BC上，CE=

AE,将aABC沿Ae翻折到^AFC,连接EF.

（1）求EF的长；

（2）求SinNCEF的值.

26.（2022・无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙

（墙的长度为IOm）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅

栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为Xm（如图）.

（1）若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时X的值；

（2）当X为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

27.（2022•海陵模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=IO,点E是AD上一点，且AE=m（m是常

数），作ABAE关于直线BE的对称图形4BFE,延长EF交直线BC于点G.

D

B

备.田田

(1)求证：EG=BG;

(2)右m=2.

①当AB=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；

②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；

(3)随着AB的变化，是否存在常数m,使等式BG-4AE=AB2总成立？若存在，求出m的值；若

不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：过O点作OMLAB于M,

ΛZACB=90o,

,.∙ZABC=60o,

ΛZBAC=90o-60o=30o,

.∙.AB=2BC=8,

AC=y∕AB2-BC2=√82-42=4√3,

：四边形ABCD为平行四边形，

∙,∙AO—-；AC—25/3，

,0M=%0=√5,

.*.AM=√402一OM2=3;

设BE=x,OE2=y,贝IjEM=AB-AM-BE=8-3-χ=5-χ,

VOE2=OM2+EM2,

.∙.y=(x-5)2+3,

V0<x≤8,当x=8时y=12,

符合解析式的图象为C.

故答案为：C.

【分析】过O点作OM_LAB于M,利用30。角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利

用勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到OM的长，利用勾股

定理求出AM的长；设BE=x,0E2=y,可表示出EM的长；然后利用勾股定理可得到OE2=OM?+

EM2,可得到y与X之间的函数解析式及X的取值范围，即可得到符合题意的函数图象.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，过点B作BFLAD于F,

Y四边形ABCD是平行四边形，

ΛCD=AB,CD/7AB,

ΛZADC+ZBAD=180o,

∖9∆ADC=105°

ΛZA=75o,

∙.βZABE=60o,

JZAEB=180o-ZA-ZABE=45o,

VBFlAD,

JNBFD=90。，

JNEBF=NAEB=45。，

ΛBF=FE,

VAD=BD,

ΛZABD=ZA=75o,

/.ZADB=30o,

设BF=EF=X,则BD=2x,由勾股定理，得DF=√3x，

,DE=DF-EF=(√3-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-√3)x,

由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=(2-√3)2x2+x2=(8-4√3)X2,

•OEz_(√3-l)X2_1

AB2(8-4√⅛)X22

.DE√2

•♦而=1^'

VAB=CD,

.√2

"CD~T'

故答案为：D.

【分析】过点B作BFJ_AD于F,根据平行四边形的性质可得CD=AB,CD〃AB,由平行线的性质

可得NADC+NBAD=180。，结合NADC的度数可得NA的度数，利用内角和定理可得NAEB=45。，

进而推出BF=FE,由等腰三角形的性质可得NABD=NA=75。，则NADB=30°,设BF=EF=X,则

BD=2x,由勾股定理，得DF=√5x,DE=DF-EF=(K-I)X,AF=(2-√3)x,由勾股定理可得AB?,据

此可得空的值，然后结合AB=CD进行求解.

ZiD

3.【答案】B

【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；

②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.

故答案为：B.

【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理

可判断③.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：Y矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点。处，

.∙.DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFG0,ZAGE=Z0GE,ZAEG=Z0EG,

ZOEC=ZBEC,

.*.ZFGE=ZFGO+ZOGE=90o,ZGEC=ZOEG+ZOEC=90°,

NFGE+NGEC=180°,

ΛGF√CE,

.∙.①符合题意；

设AD=2a,AB=2b,则DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,

CG=OG+OC=3a,

在RtAAGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2,即GE⅛ι2+b2,

在RtZiEBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2,即CE2=b2+(2a)2,

在Rt∆CGE中，由勾股定理得CG2=GE2+CE2,

(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,

整理，解得：b=√2a,

ΛAB=√2AD,

.∙.②不符合题意；

设OF=DF=X,贝IJCF=2b-x=2√2a-x,

在Rt∆COF中,由勾股定理得OF2+OC2=CF2,

.∖X2+(2a)2=(2a-x)2,

解得：X=¥a,

OF=DF=①a,

Λ√6DF=√6×^a=√3a,

又,：GE2=a2+b2,

ΛGE=√3a,

.∙.GE=√6DF,

.∙.③符合题意；

V2√20F=2√2×^a=2a,

ΛOC=2√2OF,

•••④符合题意；

,.∙无法证明ZFCO=ZGCE,

,,,无法判断ZkCOFsaCEG,

二⑤不符合题意；

，正确的有①③④.

故答案为：B.

【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,

ZAGE=ZOGE,NAEG=NOEG,NoEC=NBEC,从而可得NFGE=NFGo+N0GE=9(Γ,Z

GEC=ZOEG+ZOEC=90°,得NFGE+/GEC=I80。，可判定GF〃CE；设AD=2a,AB=2b,贝IJ

DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,得CG=OG+OC=3a,由勾股定理得GE2=a?+b2,CE2=b2+

(2a)2,CG2=GE2÷CE2,即得(3a)2=a2+b2÷b2+(2a)2,解得b=√^a,从而得AB=√^AD;设

OF=DF=x,则CF=2b-x=2√∑a-x,由勾股定理得OF2+OC2=CF?,即X?+(2a)2=(2a-x)2,解得

X=孕b从而得OF=DF=学b进而求得GE=√^DF;又2√^OF=2√^x孕ι=2a,从而可得

ΛOC=2√2OF;因条件不足，无法证明NFCo=NGCE,因而无法判断aCOFsaCEG.据此逐项分析

即可得出正确答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点El连接

E,C,E,B

V

7-4

AFʒʃB

此时CE的长就是GB÷GC的最小值;

VMN√AD,

ΛHM=iAE,

VHBlHM,AB=4,ZA=60o,

.∙.MB=2,ZHMB=60o,

.∙.HM=1,

ΛAE'=2,

.∙.E点与E，点重合，

VZAEB=ZMHB=90o,

ΛZCBE=90o,

在RtAEBC中，EB=2√3,BC=4,

ΛEC=2√7，

故答案为：B.

【分析】取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点E，，连接EC,EB,此时

CE的长就是GB+GC的最小值；利用三角形的中位线定理可得到HM=；AE,可求出HM的长；利

用30。角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AE的长，利用勾股定理求出BE的长；然后利用勾股

定理求出EC的长.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：Y点D、E、F分别是^ABC三边的中点，

，DE、DF为AABC得中位线，

，ED〃AC,且ED=JAC=AF5同理DF〃AB,且DF=ɪAB=AE,

•••四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；

△BDES匕BCA,△CDFs&CBA

；・SABOE=/SABE,∆CDF=^∆BCA'

：.XBDE和ADCF的面积相等，故A正确;

9：AB=BC,

.∙.DF=1AB=AE,

.∙.四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；

VZA=90o,则四边形AEDF是矩形，故D正确；

故答案为：C.

【分析】根据三角形中位线定理可得ED〃AC,且ED=ɪAC=AF,DF〃AB,且DF=ɪAB=

AE,可证四边形AEDF一定是平行四边形，由NA=90。，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证

ABDEsABCA,ACDF~XCBA,利用相似三角形的性质可得S=/SABC4,S^CDF=

、

1SΔBCA,据此判断AB、D；由力B=BC,可得DF=ɪAB=AE,从而得出四边形AEDF不一定

是菱形，据此判断C.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：Y四边形ABCD是平行四边形

ΛAB=CDZB=ZADC=60o,ZACB=ZCAD

由翻折可知：BA=AB,=DC,ZACB=ZACB,=45o,

.∙.AAEC为等腰直角三角形

ΛAE=CE

ΛRt∆AEBNRIZkCDE

ΛEB,=DE

：在等腰Rt∆AEC中，AC=显

.'.CE=√3

V⅛Rt∆DECΦ,CE=y∕3，ZADC=60o

，NDCE=30。

.∙.DE=1

在等腰RSDEB，中，EB-=DE=1

.'.BD=√2

故答案为：B

【分析】由折叠的性质可得AAEC为等腰直角三角形，结合平行四边形的性质可证RtAAEB，丝

Rt∆CDE,由全等三角形的性质可得EB∙DE,在等腰Rt^AEC中，用勾股定理可求得CE的值，解

RtADEC可求得DE的值，在等腰RtADEB，中，用勾股定理可求解.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：①如图1.连接AC并延长到点E.

V乙BCE=∆BAC÷乙B,

乙DCE=∆DAC+∆Df

∙∙Z.BCE+Z-DCE=Z.BAC+Z-B+Z-DAC+Z-D.

即乙BCD=∆BAD+∆B+∆D.

所以结论①正确；

②如图2,连接BD,作直线AC.

VAB=AD,

.∙.点A在线段BD的垂直平分线上.

∙∙∙CB=CD,

：.点C在线段BD的垂直平分线上.

.∙.点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.

•••直线AC是线段BD的垂直平分线.

.∙.AC1BD.

所以结论②正确;

③如图③，

由①可知，/.BCD=Z,A+∆B+∆D,

当乙BCD=2Z.A时，有ZLA=∆A+∆B+∆D,

：.∆A=Z.B+Z.D.

因再无其它已知条件证得BC=CD,所以结论③错误；

④如图④，假设存在凹四边形ABCD,连接AC.

-AC=CAf

•♦△ABC=ΔCDA(SSS).

：•zl=z4∕z3=z2.

ΛAB∕∕CD,BC√DA.

.∙.四边形ABCD是平行四边形∙

∙.∙平行四边形是凸四边形，

这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾.

二不存在凹四边形ABCD,使得AB=CD,AD=BC.

所以结论④错误.

故答案为：A.

【分析】①如图1，连接AC并延长到点E,利用三角形外角和定理可得NBCD=NBAD+NB+ND；

②如图2,连接BD,作直线AC,根据线段垂直平分线的性质与判定，可得ACLBD；

③由①得∕BCD=∕BAD+NB+ND,结合zBC。=2/A,可得∕A=NB+ND,无法证明BC=CD;

④如图④，假设存在凹四边形ABCD,连接AC.证明四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形

是凸四边形，据此判断即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：A、重叠部分为矩形，长是4宽是2,所以面积为4x2=8；

B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2,高是4,所以面积大于8；

C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图B的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图

为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；

22

D、如图，BD=√4+4=4√2，GE=DE=2,HF=BF=2,

ΛGH=4√2-4,

∙*∙Ssaβs⅛=因越产3=8√Σ-4，小于8；

故答案为：B.

【分析】A、阴影部分是长方形，根据长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积=8；

B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2,高是4,根据平行四边形的面积公式即

可求出阴影部分的面积＞8；

C、图C阴影部分的倾斜度比图B阴影部分的倾斜度小，得出图C中平行四边形的底比图B中平行

四边形的底小，高是4,从而得出图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；

D、先求出BD的长，从而求出GH的长，利用梯形的面积公式求出阴影部分的面积＜8,即可得出重

叠部分的面积最大的是图B.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项

说法是假命题；

B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是假命题；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法是真命题；

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，本选项说法是假命题；

故答案为：C.

【分析】根据平行四边形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B；根据矩形的判定定理

可判断C；根据正方形的判定定理可判断D.

11.【答案】24

【解析】【解答】Y矩形AEGF的周长为20Cnl,

：.AE+AF=10,

设AE=X,贝IJAF=IO—%,AB=%+2,AD=12-x,

S阴影=SABCD-^AEGF=ABXAD-AEXAF

=(久+2)(12—%)—x(10—x)

-12x+24—X2—2x—IOx+X2

=24,

故答案为24.

【分析】由矩形的性质及周长，可求出AE+AF=10,设AE=X,贝IJAF=I0-％,AB=x+

2.AD=12—X,由5的影=S矩形ABCD-S矩形AEGF，利用矩形的面积公式代入计算即得结论.

12.【答案】（3,0）

【解析】【解答】解：；四边形OABC是平行四边形，

.∙.OA=BC=3,

点A的坐标是（3,0）,

故答案是：（3,0）.

【分析】由平行四边形的性质可得OA=BC=3,据此不难得到点A的坐标.

13.【答案琦

【解析】【解答】解：过点C作CM〃CD交BC于点M,

Y平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AB'C'D'

：.AB=AB',AD=AD，乙B=乙AB'C'=乙D=乙D',∆BAD=∆B'AD'

.'.Z.BAB'=∆DAD',乙B=ZD,

.,.ΔABB'S∆ADD'

.BB'_AB_AB_3

••俞=而=前=4,

•：BB'=1

-DD1=1

ʌCD=CD-DD

=CD-DD,

=AB-DDr

4

=3-3

=W

∙.∙Z.AB'C=ΛAB'C'+乙CB'M=/.ABC+乙BAB'

.∙.ZCB'M=∆BAB,

'：BC=BC-BB=4-1=3

:∙B'C=AB

'：AB=AB'

：.ZABB'=∆AB'B=∆AB'C'

,."AB'∕∕C,D',CD//CM

：.AB'//CM

ΛZAB'C'=∆B'MC

：.ZAB1B=乙B'MC

在ΔABB'和ΔB'MC中，

∆BAB=LCBM

∆AB,B=∆B,MC

AB=BC

.".ΔABB'三ΔB'CM

：.BB'=CM=I

•：CMuClD

Λ∆CMESΔDC'E

CMCE13

二谓=DE=J=5

.CE_3

∙,CD≈8

..CE=W3CD=^3AB=3^×3=9l

OOOO

9

-

故答案为:8

【分析】过点C作CM〃CD交BC于点M,利用旋转的性质可得AB=ABJAD=ADJ同时可

证得两平行四边形的对角相等，由此可推出NBAB'=ZDAD,,ZB=ZD,,可推出^ABB's匕

ADDL利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD'的值，即可求出

CD"B'C；再证明aCMEs^DC'E,利用相似三角形的性质可求出CE的长.

14.【答案】50

【解析】【解答】解：过点E作EFLBC,垂足为F,

∙.∙∕EBC=30°,BE=IO,

/.EF=iBE=5,

,.∙四边形ABCD是平行四边形，

ΛAD√BC,

ΛZDEC=ZBCE,

又EC平分NBED,即NBEC=NDEC,

NBCE=NBEC,

ABE=BC=IO,

，四边形ABCD的面积=BCXEF=10×5=50,

故答案为：50.

【分析】过点E作EF_LBC,垂足为F,由含30。角的直角三角形的性质得出EF=BE=5,根据平

行四边形的性质及角平分线的定义得出NBCE=NBEC,从而可得BE=BC=10,由平行四边形ABCD

的面积=BC×EF,据此计算即可.

15.【答案】ɪ

【解析】【解答】解：；菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=8,DB=6,

ΛA0=4,DO=3,ZAOD=90o,

ΛAD=5,

11

在Rt^ADO中，由等面积法得:^AODO=^AD-OE,

AODO3×412

：-OE

AD^5^="5^

故答案为：ɪ

【分析】由菱形的性质得出AO=4,Do=3,NAOD=90。，利用勾股定理求出AB=5,由^ADO的面积

~A0DO=^AD-OE,据此求出OE的长.

16.【答案琦

【解析】【解答】解：由折叠性质可得CF=BC=5,BE=EF,

由矩形性质有CD=AB=3,BC=AD=5,

VZD=90o,

：.DF=√CF2-CD2=4，

所以AF=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=X,则AE=AB-BE=3-x,⅛Rt∆AEFΦ：

AE2+AF2=EF2,

(3—X)÷I2=X2，

解得％=

∙9∙AE=3—=

故答案为：3

【分析】由折叠的性质可得CF=BC=5,BE=EF,由矩形性质可得CD=AB=3,BC=AD=5,利用勾股

定理可得DF,由AF=AD-DF可得AF,设BE=EF=x,则AE=3-x,利用勾股定理可得x,进而可得

AE.

17.【答案】I

【解析】【解答】解：连接AG,EG,如图，

=HG垂直平分AE,

ΛAG=EG,

∙.∙正方形ABCD的边长为8,

.,.ZB=ZC=90o,AB=BC=CD=8,

∙.∙点E是CD的中点，

ΛCE=4,

设BG=x,则CG=8-x,

由勾股定理，得

EG2=CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+x2,

/.(8-x)2+42=82+X2,

解得：x=l.

故答案为：1.

【分析】连接AG,EG,根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=EG,根据正方形

的性质可得NB=/C=90。，AB=BC=CD=8,由中点的概念可得CE=4,设BG=x,则CG=8-x,然后在

Rt∆CEG.RtAABG中，利用勾股定理计算即可.

4

-

189

【解析】【解答】解：・・,两个空白正方形的面积分别为12和3,

・•・边长分另IJ为2遮和遮，

.∙.大正方形的边长为2g+√3=3√3.

...大正方形的面积为(3√5)2=27，

••・阴影部分的面积为27-12-3=12,

4

=-

.∙.米粒落在图中阴影部分的概率=9

4

-

9

【分析】根据空白正方形的面积可得边长分别为2国和旧，则大正方形的边长为3g，求出大正方形

的面积，然后求出阴影部分的面积，接下来根据几何概率公式进行计算即可.

19.【答案】10

【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O,

根据作图可得MNLAC,且平分AC,

・••AO=OC,

・.♦四边形ABCD是平行四边形，

・•・ADHBC,

∆FAO=Z-OCE,

又•・•∆AOF=∆COE,AO=CO,

AOF=△COE,

ʌAF=EC,

・・・AFHCE,

・・・四边形AECF是平行四边形，

YMN垂直平分AC,

：•EA—EC9

四边形AECF是菱形，

・・・ABLAC,MNlAC,

・・・EFHAB,

BEOC,

-'-EC^AO=1'

.∙.E为BC的中点，

RtΔABC中，AB=3,AC=4,

：.BC=^AB2+AC2=5，

AE=^BC=，

四边形AECF的周长为4AE=10.

故答案为：10.

【分析】设AC与MN的交点为O,根据作图可得MN_LAe且平分AC,则Ao=OC,根据平行四边

形以及平行线的性质可得/FAO=/OCE,证明z∖AOF0Z∖COE,得至IJAF=EC,推出四边形AECF是

平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF〃AB,根据平行线分线段成比例的性

质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC,由直角三角形斜边上中线的性质可得AEWBC,据

此求解.

20.【答案】李兀

【解析】【解答】解：：点M、N分别是边AD、BC的中点，

连接MN,则四边形ABNM是矩形，

.∙.MN=AB=6,AM=BNyAD==4,

根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q,如图，

A©________A/D

・・・四边形ABCD是矩形,

ΛAD∕∕BC,

JzMQM〜ΔFQN,

.NF_NQ_1

,・西一函一2

1

：.NQ=WN=2

当点E与点A重合时，则NF=44M=2,

.∙.BF=BN+NF=4+2=6,

ΛAB=BF=6

・・"4BF是等腰直角三角形，

Z.AFB=45°,

VBH±AF,

，乙HBF=45°

由题意得，点H在以BQ为直径的加上运动，运动路径长为加长，取BQ中点0,连接HO,N0,

JZHON=90o,

又上BNQ=90°,

BQ=JBN2+NQ2=√42+22=2√5,

∙*∙ON=OH=OQ=*BQ=V5,

.∙.而的长为笔鉴=卓兀

IoUL

故答案为：孚乃

【分析】连接MN,则四边形ABNM是矩形，MN=AB=6,AM=BN=4,根据矩形的性质可得

AD//BC,证明AAQMs^FQN,根据相似三角形的性质可得NQ,当点E与点A重合时，则NF=2,

BF=BN+NF=6,推出AABF是等腰直角三角形，得至l」/AFB=/HBF=45。，由题意得：点H在以BQ

为直径的加上运动，运动路径长为加长，取BQ中点O,连接HO,NO,利用勾股定理求出BQ,

有ON=OH=OQ可得ON的值，然后根据弧长公式进行计算.

2L【答案】(1)证明：Y四边形ABCD是平行四边形，

：.ABHCD,AB=CD,

：.Z.ABE=Z.CDF,

又BE=DF,

△△ABECDF(SAS)；

(2)证明：V∆ABE=ΔCDF,

.,.AE=CF,∆AEB=Z.CFD

.∙∙∆AEF=4CFE

：.AEHCF,

.∙.四边形AECF是平行四边形∙

【解析】【分析】⑴根据平行四边形的性质可得AB〃CD,AB=CD,根据平行线的性质得/ABE=N

CDF,结合BE=DF,然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；

(2)根据全等三角形的性质可得AE=CF,ZAEB=ZCFD,结合邻补角的性质可得NAEF=NCFE,

推出AE/7CF,然后根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证

明.

22•【答案】(1)证明：Y四边形ABCD为正方形，

C.∆A=(B=90°,

.∖∆AEH+∆AHE=90°.

Y四边形EFGH为正方形，

：.EH=EF,乙HEF=90°,

ΛzΛEH÷zBEF=90o,

：・乙BEF=乙AHE.

在AAEH和XBFE中，

VzΛ=LB=90°,4AHE=乙BEF,EH=FE,

：.AAEH三ABFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE+BE=AB；

(2)AE=CF

(3)解：Y四边形ABCD为正方形，

：.ABHCD.

9：AE=DG,AEIlDG,

・・・四边形AEGD为平行四边形.

：.ADHEG.

：.EGHBC.

过点H作HM，BC,垂足为点M,交EG于点、N,

.HN_HO

^TTM~TΓF,

VOE；。尸=4：5,

设。E=4x,OF=Sx,"N=∕ι,则2=，

IbZU

；・h=4(4—%).

：.S=ɪ∙OF∙H/V=j∙4x∙4(4-x)=-8(x-2)2+32.

.∙.当x=2时∙，ΔOEH的面积最大，

：-0E=4x=8=；EG=OG,OF=5久=IO=WHF=OH，

二四边形EFGH是平行四边形.

【解析】【解答］解：(2)AE=CF,证明如下：

Y四边形ABCD为正方形，

.,.∆A=乙B=90o,AB=BC=AD=CD,

VAE=AH,CF=CG,AE=CF,

二AH=CG,

：.AAEH三AFCG,

二EH=FG.

VAE=CF,

AAB-AE=BC-CF,B∣JBE=BF,

.∙.ZSBEF是等腰直角三角形，

.,.NBEF=NBFE=45。，

VAE=AH,CF=CG,

ΛZAEH=ZCFG=45o,

ΛZHEF=ZEFG=90o,

ΛEH√FG,

四边形EFGH是矩形.

【分析】(1)根据正方形的性质可得/A=/B=90。，EH=EF,ZHEF=90o,根据同角的余角相等可得

ZBEF=ZAHE,证明^AEH丝4BFE,得至IJAH=BE,据此证明；

(2)同理证明AAEH0AFCG,得到EH=FG,根据线段的和差关系可得BE=BF,推出AEBF是等腰

直角三角形，得到/BEF=NBFE=45。，易得/AEH=/CFG=45。，则NHEF=NEFG=90。，推出EH〃

FG,然后根据矩形的判定定理进行解答；

(3)根据正方形的性质可得AB〃CD,易得四边形AEGD为平行四边形，则AD〃EG,过点H作

HM±BC,垂足为点M,交EG于点N,设0E=4x,OF=5x,HN=h,根据平行线分线段成比例的性

质可得h,由三角形的面积公式可得S,根据二次函数的性质可得S的最大值以及对应的X的值，进

而求出OE、OF,然后结合平行四边形的判定定理进行解答.

23•【答案】(1)证明：如图1中，作FM_LAC,垂足为M,

・.,四边形ABCD是矩形，

JNB=90。，

VFMlAC,

ΛZB=ZAMF=90o,

Y旋转角等于NBAC,

・•・NBAC=NEAF,AE=AF

ΛZBAE=ZMAF,

在AABE和^AMF中，

(ZB=∆AMF

Iz.BAE=Z.MAF

IAE=AF

ΛΔABE^ΔAMF(AAS),

ΛAB=AM;

(2)解：解：当点E在BC上，在RtZkABE中，

AB=4,AE=3√2,

BE=^AE2-AB2=J(3√2)2-42=√2>

V∆ABE^ΔAMF,

JAB=AM=4,FM=BE=6,

在RtZkABC中，AB=4,BC=3,

••AC=AB2+BC2=

二CM=AC-AM=5-4=1,

VZCMF=90o,

∙∙CF=CM2+FM2=2=√5∙

当点E在CD上时，过点F作FN_LAe于点N,

VZBAC=ZEAF,

ΛZBAE=ZFAN,

VAB//CD,

・・・ZBAE=ZAED=ZFAN,

在ZkADE和ZkANF中，

乙D=乙ANF

∆AED=乙FAN

AE=AF

Λ∆ADE^ΔANF(AAS),

ΛAD=NF=3,AN=DE

在Rt∆ADE中

DE=AN=>JAE2-AD2=J(3√2)2-32=3-

.,.CN=AC-AN=5-3=2

在Rt∆CNF中

CF=y∕FN2+CN2=√32+22=√13;

,CF的值为√5或g.

(3)解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DHj_FM于点H,

V△ABE^ΔAMF,

ΛAM=AB=4,

β.∙ZAMF=90o,

・•・点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小,

VZCMJ=ZADC=90o,ZMCJ=ZACD,

Λ∆CMJ^ΔCDA,

・CM_MJ_CJ

β*CD~AD~AC,

.1_MJ_CJ

,,厂丁一T

∙∙∙M∕=3CJ=1，

∙∙∙DJ=CD-CJ=4-^=?；

：NCMJ=/DHJ=90°,ZCJM=ZDJH,

Λ∆CMJ^ΔDHJ,

CM

_•-=

DHCZ

D

∕,5

1

∙I⅜

F-_

H一

不

H=11-

.D5

ΛDF的最小值为日：

当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为NBAC,得到线段

AR,连接FR,过点D作DQJ_AR于点Q,DKJ_FR于点K,

VZEAF=ZBAC,ZDAR=ZBAC,

ΛZDAE=ZRAF,

在^ADE和ZkARF中

AE=AF

∆DAE=∆RAF

AD=AR

/.△ADE^∆ARF(SAS),

ΛZADE=ZARF=90o,

・♦・点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，

VDQlAR,DKlRF,

JZR=ZDQR=NDKR=90。，

・•・四边形DKRQ是矩形，

ΛDK=QR,

412

JAQ=AD∙cos∆BAC=3Xg=管，

β/AR=AD=3,

・•・DK=QR=AR-AQ=总

.∙.DF的最小值为,，

..3.11

•弓〈丁

ΛDF的最小值为|.

【解析】【分析】(1)作FMJ_AC,垂足为M,利用矩形的性质和垂直的定义可证得NB=NAMF=

90°,利用旋转角等于NBAC,可证得NBAE=∕MAF,AE=AF,利用AAS证明AABEG4AMF,利

用全等三角形的性质可证得结论.

（2）分情况讨论：当点E在Be上，在RtAABE中，利用勾股定理求出BE的长，利用全等三角形

的性质可得到AB,FM的长；在RtAABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可求出CM的长，利

用勾股定理求出CF的长；当点E在CD上时，过点F作FNJ_AC于点N,易证/BAE=NAED=N

FAN,利用AAS证明AADEG4ANF,利用全等三角形的性质可证得AD=NF=3,AN=DE,利用勾股

定理求出AN的长，即可得到CN的长；然后在RsCNF中，利用勾股定理求出CF的长，综上所述

可得到CF的值.

（3）分情况讨论：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DHJ_FM于点H,利用全等三角形的

性质可得到AM的长，同时可得到点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，利用

有两组对