2023年中考数学训练：旋转综合压轴题

2023年中考数学专题训练:旋转综合压轴题

1.如图1,在cΛBC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0o<a<180o)得到A*,把4C

绕点A逆时针旋转夕得到AC',连接BC'.当α+A=180。时，我们称AAEC是ABC

的“旋补三角形"，ΔAB'C'边BC'上的中线A。叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋

补中心”.

⑴在图2,图3中，∆AB'C'是.∙.ABC的“旋补三角形"，AO是/BC的“旋补中线”.

①如图2,当ABC为等边三角形时，AO与BC的数量关系为AD=BC；

②如图3,当∕β4C=90°,8C=8时，则AD长为.

(2)在图1中，当一ABC为任意三角形时，猜想An与BC的数量关系，并给予证明.

(3)如图4,在四边形ABC。，ZC=90o,ZD=150o,BC=12,CD=243,DA=6,

在四边形内部是否存在点P，使APDC是的“旋补三角形”？若存在，给予证明,

并求，R45的“旋补中线”长；若不存在，说明理由.

2.(1)如图1,已知ACAB和,CDE均为等边三角形，。在AC上，E在CB上，易得

线段AD和8E的数量关系是一

(2)将图1中的.CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线8E交于点F.

①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；

②图2中ZAFB的度数是一.

(3)如图3,若4C4B和，COE均为等腰直角三角形，ZABCADEC=90°,AB=BC,

DE=EC,直线AD和直线8E交于点F,分别写出/4FB的度数，线段A。、8E间的

数量关系.

CCC

图3

3.在，ASC中，ZS4C=90o,AB=AC=4√2.。为BC的中点，E,尸分别为AC,AD

上任意一点，连接M,将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,连接尸G,AG.

(1)如图1,点E与点C重合，且Gp的延长线过点8,若点P为尸G的中点，连接PD,

求PO的长;

⑵如图2,EP的延长线交AB于点点N在AC上，ZAGN=ZAEG且GN=MF,

求证：AM+AF=y∕2AEi

(3)如图3,尸为线段Ar)上一动点，E为AC的中点，连接BE,H为直线BC上一动点,

连接£77,将45E"沿EH翻折至ABC所在平面内，得到Z∖3'E"，连接B'G,直接

写出线段BC的长度的最小值.

4.已知，如图1,正方形ABa)的边长为5,点E、F分别在边A8、Ao的延长线上,

且BE=DF,连接EF.

图I图3

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(1)证明：EF-LAC;

(2)将4AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角ɑ满足0。＜。＜45。时，设EF与射线48

交于点G,与AC交于点H,如图所示，试判断线段“、HG、GE的数量关系，并说

明理由.

(3)若将AAEF绕点A旋转一周，连接DF.BE,并延长EB交直线DF于点P,连接PC,

试说明点尸的运动路径并求线段PC的取值范围.

5.如图，将ASC的边AB绕点A逆时针旋转得到线段AD,连接8O∙

(1)如图1,连接C。，若NBAD=90°,ZADC+ZABC=i80o,AC=IyIi，BC=4,

求CQ的长；

⑵如图2,点E在BD上，且满足BC=OE,连接AE,点F为AB上一点，连接OF

交AE于点M,若ZBDF=ZBCA,NAQ8+ZABC=180。，求证AM=EM；

2

(3)如图3,若NBM＞=120。，ZAC8=60。，AB=9,点P在直线AC上且满足AP=]BC,

将,ASP沿虚线GH折叠使得点P的对应点P落在AB上，连接PP,与折痕GH交于点。,

请直接写出8P最小时，点。到AB的距离.

6.【问题初探】

(1)如图1,等腰RtZXABC中，AB=AC,点。为A8边一点，以BO为腰向下作等腰

Rt∆BDE,NDBE=90。.连接CO,CE,点尸为8的中点，连接AF.猜想并证明

线段"与CE的数量关系和位置关系.

AA

D

BCB

E

Sl图2

【深入探究】

(2)在(1)的条件下，如图2,将等腰Rt48DE绕点B旋转，上述结论是否仍然成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【拓展迁移】

(3)如图3,等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=MOo.在RtZXBDE中，NDBE=90°,

ZBDE=-ZBAC.连接CO,C£,点尸为C。的中点，连接AF.RtABDE绕点B旋

2

转过程中，

①线段"与CE的数量关系为：

②若BC=4g,BO=2百，当点F在等腰ABC内部且NBCF的度数最大时，线段AF

的长度为__________

图3

7.如图1,矩形OE>E厂的一边落在矩形ABC。的一边上,并且矩形OOEF矩形ABC0,

其相似比为1:4,矩形ABC。的边AB=4,BC=4√3∙

(1)矩形OoE/的面积是」

(2)将图1中的矩形。。£尸绕点。逆时针旋转90。，若旋转过程中。尸与OA夹角(图2中

的NFO4)的正切的值为X,两个矩形重叠部分的面积为>,求>与X的函数关系式；

(3)将图1中的矩形QOE尸绕点。逆时针旋转一周，连接EC、EA,∆ACE的面积是否

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存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由.

8.(1)如图1,在正方形Aa)E中，点F,G分别在边AE,AC上，若NRDG=45。，

则尸G,EF,CG之间的数量关系为：；(提示：以点Z)为旋转中心，将ΔDCG顺

时针旋转90。)

图1图2图3

解决问题：

(2)如图2,若把(1)中的正方形改为等腰直角三角形，ZADC=90。,E,F是底

边AC上任意两点，且满足ZED尸=45。，试探究AE,EF,FC之间的关系；

拓展应用：

(3)如图3,若把(1)中的正方形改为菱形ACz)E,ZE≈60o,菱形的边长为8,G,

尸分别为边AC,AE上任意两点，且满足NFOG=60。，请直接写出四边形。E4G的面

积.

9.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1,在RtZXABC中，ZA=9Qo,

AB=Ae,点D、E分别在边A3、AC上，AD=AE,连接£)E、DC,点M、尸、N

分别为DE、DC,BC的中点，且连接/W、PN.

图1图2

(1)观察猜想

线段PM与PN填(“是"或“不是”)“等垂线段

(2)VADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置,连接BD,CE,试判断PM与PN

是否为，，等垂线段，，，并说明理由.

(3)拓展延伸

把VAr)E绕点A在平面内自由旋转，若DE=2,BC=A,请直接写出PM与PN的积

的最大值.

10.把两个等腰直角三角形,ABC和VADE按图1所示的位置摆放，将V49E绕点A按

逆时针方向旋转，如图2,连接50,EC,设旋转角为a(0°<a<360。).

(2)如图2,(1)中8。与EC的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若

不成立，请说明理由；

(3)如图3,当点。在线段BE上时，求证：BELCE；

(4)当旋转角α=(填度数)时，△•£>的面积最大.

11.在等腰ABC中，ZABC=90°,AB=BC,将斜边AC绕点A逆时针旋转一定角度

得到线段AO,Ao交BC于点G,过点C作CFj_AQ于点F.

图1图2图3

(1)如图1,当旋转22.5。时，若BG=I,求AC的长;

(2)如图2,当旋转30。时，连接8。，恰好使BD//AC,延长CF交8。于点E,连接EG,

求证：AG=CE+EG；

⑶如图3,点M是AC边上一动点，在线段上存在一点M使NB+24+NC的值最

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小时，若N4=2,请直接写出CNM的面积.

12.在RtZ∖4BC中，ZACB=9()°,ZABC=30°,AC=2,将√U5C绕点B顺时针旋

转一定的角度ɑ得到点A,C的对应点分别是O,E,连接AO.

(1)如图1,当点E恰好在AB上时，求-AZ)E的大小；

⑵如图2,若a=60。，点f是AB的中点，判断四边形CEZ)F的形状，并证明你的结论.

(3)如图3,若点尸为AO中点，①求证：C、E、F三点共线.②求CF的最大值.

13.如图①，RtΔABC和RtABOE重叠放置在一起，ZABC=Nz)BE=90。，且Aβ=2BC,

BD=IBE.

AA

(1)观察猜想：图①中线段AO与CE的数量关系是—，位置关系是一；

(2)探究证明：把ΔB0E绕点3顺时针旋转到图②的位置，连接AD,CE,判断线段AD

与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；

⑶拓展延伸：若把MDE绕点8顺时针旋转呢0啜/180。)，直线CE与直线AO相交于点

F,BD=3,则跳'的最大值为

14.问题提出

在等腰直角ABC中，AB=BC,NABC=90。，点DE分别在边AB,AC上(不同

时在点AC),连接DE,将线段OE绕点E顺时针旋转90。，得到线段FE,连接AF,

图1图2图3

问题探究

(1)先将问题特殊化，如图1,点。，E分别与点AC,重合，直接写出AF与BC的位

置关系；

(2)再探讨一般情形，如图2,证明(1)中的结论仍然成立.

(3)如图3,在等腰直角ABC中，AB^BC,NABC=90。，。为AB的中点，点E在边

AC上，连接L>E,将线段OE绕点E顺时针旋转90。，得到线段正，点G是点C关于

直线AB的对称点，若点G,D,F在一条直线上，求会的值.

15.如图，将矩形ABa)绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEE,使点C恰好落到线段AO

上的E点处，连接CE,连接CG交BE于点H.

(1)求证：CE平分NBED；

(2)取5C的中点连接MH,求证：MH//BG；

⑶若8C=2AB=4,求CG的长.

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（2）若将AD顺时针旋转α度（0。＜c＜90°）至A尸，求ZBPD的度数？

（3）若将A。逆时针旋转α度（0。＜。＜180。）至AP,请分别求出0。＜a＜90。、（Z=90。、

90。＜1＜180。三种情况下的—3尸。的度数（图2、图3、图4）.

17.［操作］如图1.ΛBC是等腰直角三角形，NAC8=90°，。是其内部的一点，连接

CD.将CQ绕点（顺时针旋转90。得到CE,连接OE,作直线A。交BE于点£

⑴求证：ADCgBEC；

⑵求NAFE的度数：

（3）［探究］如图2,连接图1中的AE,分别取AB、DE、AE的中点M、MP,作AMVP.若

BE=S,则Z∖"NP的周长为

18.如图，ABC是等边三角形，点。是8C边的中点，以。为顶点作一个120。的角，

角的两边分别交直线43、AC于M、N两点，以点、D为中心旋转NMDN(NgV的度

数不变)

图①

(1)如图①，若八M2ΛB,求证：BM+CN=BD；

(2)如图②，若QM与AB不垂直，且点M在边AB上，点N在边AC上时，(1)中的结

论是否成立？并说明理由；

(3)如图③，若ZW与AB不垂直，且点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，(1)

中的结论是否成立？若不成立，写出8M、CN、BD之间的数量关系，并说明理由.

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参考答案:

1.⑴①3：②4

(2)AD=BC

(3)存在，√39

2.(1)AD=BE;(2)①AD=