湖南省永州市2024届高二年级上册数学期末统考模拟试题含解析

湖南省永州市2024届高二上数学期末统考模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直三棱柱ABC—451G中，AC±BC,AC=AAl=4,BC=3,则异面直线AQ与5c所成角的余弦值为

（）

A.15a

55

C.叵D.逑

55

2.曲线y=2x—工在l=1处的切线的斜率为（）

X

A.-1B.1

C.2D.3

3.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到

垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知5c的顶点A（2,0）,B（l,2）,且AC=BC,则

△A5C的欧拉线的方程为。

A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0

C.4x+2y+l=0D.2x-4y+l=0

4.命题“若x,y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是

A.若尤+y是偶数，则X与y不都是偶数

B.若尤+y是偶数,则x与y都不是偶数

c.若尤+y不是偶数，则％与y不都是偶数

D.若x+y不是偶数，则％与y都不是偶数

2x-y+l>0

5.若x,y满足约束条件XVI，则z=x+y的最大值为（）

0

A.2B.3

C.4D.5

6.如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点厂的直线依次交抛物线及准线于点A5C,若忸。|=2忸同，且|AF|=4,

则抛物线的方程为（）

A.y2=x

B.y2=2x

C.y2=3x

D.y2=4x

22

7.过双曲线工—==1（a>0,匕>0）的左焦点歹作圆。：x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A,B,双曲

ab

线的左顶点为C,若NACB=120。，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=y/3xB.y=-y/^x

C.y=±y/3xD.y=±^-x

3

2

8.已知函数/（%）=?—若数列｛g｝的前〃项和为S〃，且满足S〃=/（《乙+1），则%的最大值为（）

A.9B.12

63

C.20D.—

4

9.在平面区域iKyK”内随机投入一点P,则点尸的坐标；（阳j）满足不等式%+y>l的概率是

（）

13

A.-B.-

44

12

C.—D.一

33

10.“〃>根>0”是“方程加/+〃,2=i表示焦点在％轴上的椭圆,，的（）

A.充要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

22

11.已知椭圆工+与=1（a〉b>0）的右焦点为尸，椭圆上的A,8两点关于原点对称，|E41=21尸81,且必,EBW

ab

4

-a2,则该椭圆离心率的取值范围是（）

9

12.定义域为R的函数“X）满足/⑴=1,且/'（x）的导函数7则满足2/（%）<x+l的尤的集合为

A.{x|-l<x<l}B.{%|%<1)

C.{x|x<-l或x>l}D.{x|x>l}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某学生到某工厂进行劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩

余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为20cm的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的

一半，打印所用原料的密度为lg/cn?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.（取»=3）

14.如图，在长方体ABC。-©"。）中，点P,。分别是棱3C,上的动点，BC=4,CD=3,CC=2^,直线

CC与平面PQC所成的角为30°,则AP。。的面积的最小值是一

15.复数z=l+i（其中i为虚数单位）的共朝复数1=

22

16.已知尸是椭圆C:二+2r=l（a〉6〉0）的一个焦点，P为椭圆。上一点，。为坐标原点，若POF为等边三角

a"b

形，则椭圆C的离心率为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

jr

17.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为菱形，ZDAB^-,侧面"0?为等腰直角三角形，PA=PD,

（2）求直线AB与平面所成角的正弦值

18.（12分）如图，在四棱锥P—A3CD中，ABC。为平行四边形，AB1AC,平面ABC。，且

PA=A3=3,AC=2,点E是的中点.

（1）求证：P5〃平面AEC；

（2）在线段M上（不含端点）是否存在一点“，使得二面角"-AC-E的余弦值为巫？若存在，确定M的位置;

10

若不存在，请说明理由.

19.（12分）如图，正方形ABC。和四边形ACE歹所在的平面互相垂直，CE±AC,EF//AC,AB^RCE=EF=\.

（1）求证：Ab〃平面3£>E；

（2）求平面ABE与平面的夹角.

20.（12分）已知圆C的圆心为C（l,2）,且圆C经过点P（5,5）

（1）求圆C的标准方程；

（2）若圆x2+y2=相2（加>o）与圆。恰有两条公切线，求实数机的取值范围

21.（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,其中b=4,Z?sinAcosC+csinBcosA=2A/3»Sia>b

（1）求角3的值；

（2）若SMC=46，判断△ABC的形状

22.（10分）已知抛物线C：>2=12x的焦点为尸，经过点尸的直线/与抛物线。交于A3两点，其中点A在第一象

限；

广\AF\

（1）若直线/的斜率为也，求焉的值；

\FB\

（2）求线段A3的长度的最小值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】以c为坐标原点，向量&，CB'死方向分别为x、丁、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹

角公式进行求解即可.

【题目详解】以c为坐标原点，向量&，CB）方向分别为x、丁、z轴建立空间直角坐标系，

则A（4,0,0）,Q（0,0,4）,C（0,0,0）,4（0,3,4）,

所以急=（—4,0,4），=（0,3,4），抚.由=16，|比|=4后，|4/=5，

t-疝山162加

因此异面直线AQ与BC所成角的余弦值等于cos<AQ,CB,>=।।=-------『=--.

AcJ.U5x405

故选：D.

2、D

【解题分析】先求解出导函数，然后代入％=1到导函数中，所求导数值即为切线斜率.

【题目详解】因为y'=2+J,所以y'ki=2+l=3,

X-

所以切线的斜率为3.

故选：D.

3、D

【解题分析】由题设条件求出AB垂直平分线的方程，且△ABC的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线

的定义，即垂直平分线即为欧拉线.

2-03

【题目详解】由题设，可得七B=——=—2,且A3中点为（一,1）,

1-22

,1113x1

...AB垂直平分线的斜率左=一厂=;，故垂直平分线方程为y=-（x—）+1=-+-,

《AB22224

VAC=BC,则△ABC的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，

...△ABC的欧拉线的方程为2x-4y+l=0.

故选:D

4、C

【解题分析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若尤,y都是偶数，则％+y也是偶数”的逆否命

题是若％+y不是偶数，则x与y不都是偶数

考点：四种命题

5、C

【解题分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解

【题目详解】作出可行域如图所示，把目标函数z=x+y转化为y=-%+2,平移，

经过点胆。,3）时，纵截距z=x+y=l+3=4最大，所以z=x+y的最大值为4.

故选：C

6、D

【解题分析】如图根据抛物线定义可知I91=心进而推断出/BCD的值，在直角三角形中求得。，进而根据

BD//FG,利用比例线段的性质可求得P,则抛物线方程可得.

【题目详解】如图分别过点A,3作准线的垂线，分别交准线于点E,D

设|8F|=a,则由已知得：|BC|=2a,由定义得：|叨|=。，故4CE>=30。

在直角三角形ACE中，Q|AE|=4,\AC\=4+3a

.-.2|AE|=|AC|,:.4+3a=8,从而得a=g

BD//FG,,求得P=2,所以抛物线的方程为y2=4x

23a

故选：D

J

7、C

【解题分析】根据NACB=120°,OA^OC,可以得到NATO=30。，从而得到。与c的关系式，再由。，b,c的

关系，进而可求双曲线的渐近线方程

【题目详解】解：由NACB=120。，OA=OC,

则ZAOC=60°

£4是圆的切线，.•.NA/O=30。，

■-OF=2OC,:.c=2a>所以人=yjc2—a2=6a,

8、C

2

【解题分析】先得到％=全-段及递推公式（4+i+%）（%+「%—2）=0,要想叫最大，则分两种情况，a2负数

且最小或出为正数且最大，进而求出最大值.

【题目详解】g%①，当”=1时，％=?—母，当论2时，S,i=H②,所以①一②得:

4=Z"；+i—5""+i一Z"；'整理得：（%+。”）（%—a”—2）=0,所以4+1=一。,，或%+i-%=2,

当外,•,旬）是公差为2的等差数列，且。11=一。1（）时，的最小，％最大，此时为）=g+8义2=-%=—/，所以

DminU—8，此时卬=20；

当%=-%且%，・，町是公差为2的等差数列时，的最大，为最大，此时41=。3+8*2=-。2+16=%,所以

a

（2）nlflx=8，此时q=12

综上：%的最大值为20

故选：C

【题目点拨】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.

9、A

【解题分析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.

【题目详解】根据题意作出示意图，如图所示：

于，所求概率P_SADE=2=J_・

一q.7.4

□ABCD乙r

故选：A.

10、A

【解题分析】由椭圆的标准方程结合充分必要条件的定义即得.

22

土+二=1

【题目详解】若〃〉相＞0,则方程丁丁一表示焦点在1轴上的椭圆;

mn

22

乙+乙=1

反之，若方程1-丁一表示焦点在X轴上的椭圆，则〃＞加＞0；

mn

所以＞7"＞0"是"方程"V+")2=1表示焦点在X轴上的椭圆”的充要条件.

故选：A.

11、B

2

【解题分析】如图设椭圆的左焦点为E,根据题意和椭圆的定义可知忸4=§a,\BE\=^a,

利用余弦定理求出cosZBFA,结合平面向量的数量积计算即可.

【题目详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E,贝!怛耳+忸耳=2a,

因为点4、5关于原点对称，所以四边形EBE4为平行四边形,

94

由|A同=2忸耳，得，忸与=§a,忸E|=§a,

16242A2

---ClH------CL-4-C<仆

\BEf+\BFf-\EFf99^59

在中，cosNEBF=2

2\BE\\BF\c4244

2x—ax—a

33

o5

所以cosZBFA=-cosZEBF=-e2——,

44

4242

<—a,

9449

12、B

【解题分析】利用动力＜x+l构造函数g(x)=V(x)—x—1,进而可得g，(x)=V(x)—1＞0.得出g(x)的单调性结合g(l)=

0即可解出

【题目详解】令g(x)=2/(x)—x—1.

EL1

因为r(x)>5>

所以gf(x)=w)-i>o.

所以g(x)单调增函数

因为八1)=1,所以g(l)=须1)-1—1=0.

所以当x<l时，g(x)<0,即切

故选B.

【题目点拨】本题主要考察导数的运算以及构造函数利用其单调性解不等式.属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4500

【解题分析】根据题意可知大圆柱的底面圆的半径尺=10cm,两圆柱的高/i=20cm,设小圆柱的底面圆的半径为厂，

再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答

案.

【题目详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径尺=10cm,两圆柱的高/z=20cm,

设小圆柱的底面圆的半径为「，

则有2乃泌=』xIjiRh,即40〃厂=200〃，解得r=5,

2

所以该模型的体积为吟一匕、=兀Kh-兀4=1500^-(cm3),

所以制作该模型所需原料的质量为1500»xl=4500(g).

故答案：4500.

14、8

【解题分析】设三棱锥C-C'P。的高为九CQ=x,CP=y,由体积法求得的关系，由直线CC与平面。P。成

的角为30。，得至Ux龙8,再由山一"2=北，一3°,能求出APQC'的面积的最小值

【题目详解】解：设三棱锥C-OPQ的高为Tz,CQ=x,CP=y,

由长方体性质知CC',C5，C。两两垂直，所以PQ=1珠+,2,pc=Jy2+i2,QC=正+12,

cos/PC,QJC'+QC二+1?2+12-(八/=12

2PCQC26+12・J/+125(J+12)(/+12)

lx2y2+12x2+12y2

sinZPC'Q=71-cos2ZPC'e

\(%2+12)(/+12)

2222

所以ECPQ=^C'PC'QsinZPC'Q=1^xy+12x+12y,

由%£72=%YP2得gxgjx2y2+12三+12丁2./l=gxg•孙-2Q,

1111

所以HL尸历

•..直线CO与平面OP。成的角为30°,

.•.人=2扇1130。=百，

111112

•-----1-----二一---------1----->—

…dy24*x2y2xy

/.xj>8,

再由体积可知：Vc-CPQ—Vc-CPQ9

n-hSc，po=-x2s/3xy,SACPQ=xy,

36

•••△P0。的面积的最小值是8

故答案为：8

15、l-i##-i+l

【解题分析】根据共辗复数的概念，即可得答案.

【题目详解】由题意可知：复数z=l+i（其中i为虚数单位）的共轨复数W=i_i，

故答案为：1-i

16、石—1##—1+百

【解题分析】根据题中几何关系，求得点P坐标，代入椭圆方程求得”,仇。齐次式，整理化简即可求得离心率.

【题目详解】根据题意，取点尸为第一象限的点，过点P作。F的垂线，垂足为"，如下所示:

因为△OP尸为等边三角形，又E（c,0）,

W<|OH|=cos60°xc=|,|PH|=sin60°xc=^-c

（cJ3}*%2

则点P的坐标为-,^-c，代入椭圆方程可得：二+多=1,

（22J4a24b2

又匕2=储—02,整理得：e2+^-=4,

1-e2

即e?=4-26，解得e=l-6（舍）或e=g-1.

故答案为：73-1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析，⑵正

4

【解题分析】（1）题中易得PELAD,BEYAD,利用勾股定理可得?石，3石，从而可证得线面垂直；

（2）以E为原点，EA为x轴，为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值

jr

【题目详解】（1）证明：在四棱锥P—ABCD中，底面A8CD为菱形，ZDAB=-,

侧面△4QP为等腰直角三角形，PA=PD,AB=PB=2,点E为棱A。的中点

C.PEYAD,PE=LBELAD,3E="斤=5

PE2+BE2=PB1，PE±BE,

ADcBE=E,..PE，平面A3CZ>

（2）以E为原点，EA为x轴，E5为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1,O,。），B（0,A/3,0）,P（O,O,1）,C（-2,V3,0）,

BA=（l,-73,0）,PB=（0,A-l）,PC=（-2,73,-1）,

设平面PBC的法向量〃=（x,y,z）,

n-PB=_z=0

则L，取y=i，得〃=（。,1,73）,

n-PC=一2]+J3y-z=0

设直线A5与平面PBC所成角3,

BAn出百

..•直线A3与平面P8C所成角的正弦值为：sin8=

|BA|-|H一五一7

【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角.空间角的求法一般都是建立空间直角坐标系，用

空间向量法求得空间角

18、（1）见解析（2）存在，PM==PB

3

【解题分析】（1）连接5。交AC于歹点，由三角形中位线性质知EF7/M,由线面平行判定定理证得结论;

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，假设PM=XPB（O</1<1），可用2表示出“点坐标；根据二面角的向量

求法可根据二面角的余弦值构造出关于2的方程，从而解得结果.

【题目详解】（1）连接3。交AC于R点，连接所,

四边形ABC。为平行四边形，.♦.p为5。中点，又E为PD中点、，：.EF//PB,

「EFu平面AEC,依N平面AEC,；.PB〃平面AEC；

（2）上4,平面ABC。，ABJ_AC,.〔AB,AC,两两互相垂直,

则以A为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系:

则4（0,0,0）,C（2,0,0）,0（2,—3,0）,P（0,0,3）,B（0,3,0）,

设M（羽y,z）,且前=X而（0＜力＜1），

%二0

则（x,y,z—3）=丸（0,3,—3）=（O,34—34）,；.＜y=34,即M（0,34,3—34）,

z=3—32

、.’33、.

设平面AEC的法向量J=（百,%,zj,又AE=[L-5,IJ,AC=（2,0,0），

Tii,AE=x—yd—Z]—07

则＜22，令X=1，则须=0，Z[=1,♦珥=；

勺-AC=2%!=0

设平面MAC的一个法向量”=(%,为，Z2)，又AM=(0,343—34)，AC=(2,0,0)，

二面角M-AC-E的余弦值为巫,

「•二面角M-AC—七为锐二面角，

10

21

，4=—不满足题意，舍去，即4=—.

33

二在线段PB上存在点M,时，二面角"—AC—E的余弦值为典.

310

【题目点拨】本题考查立体几何中的线面平行关系的证明、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够利用共

线向量的方式将所求点坐标表示出来，进而利用二面角的向量求法构造方程；易错点是忽略二面角的范围，造成参数

值求解错误.

19、(1)证明见解析

⑵£

【解题分析】(1)由题意可证得CE±CD,CELBC,CDLBC,所以以C为坐标原点，CD,CB,CE所在直线分别

为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明,

(2)求出两个平面的法向量，利用空间向量求解

【小问1详解】

•.•平面ABCD，平面ACER,平面ABC。ACEF=AC,CE±AC,

CE_L平面ABC。，ACELCD,CELBC,CDLBC,

以C为坐标原点，CD,C8,CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则A(应，虚,0)1(0,0,0),。(忘,0,0),外0,0,1),尸[坐,坐,[,

(22J

BD=(6,-6,0),BE=。-®AF=,1.

I22)

设平面BDE的法向量为〃=(%,%,4),

\BD-n=yjlx.-42yx=0「

贝！厂，令z、=y[2,贝!|〃=(1』,后)，

BE,〃--+Z]=0

,/AER=0,AP<Z平面3£>E,

；•AF〃平面BDE.

【小问2详解】

AB=(-叵0,0),BE=(0,-国)，

设平面ME的法向量为帆=（X2，%，Z2），

AB•m=—yp2x2—0

则令z[=^2,则机二(0,1,A/2).

BE-m=+z2=0

m-n

A|cos(m,n)|二

\m\-\n\

由图可知平面ABE与平面BED的夹角为锐角,

IT

所以平面ME与平面BED的夹角为二.

AZ

20、(1)(x-iy+(y-2)2=25；

(2)(5—6,5+6).

【解题分析】(1)根据给定条件求出圆C的半径，再直接写出方程作答.

⑵由给定条件可得圆C与圆。相交，由此列出不等式求解作答.

【小问1详解】

依题意，圆C的半径厂=|PC|=,(1-5)2+(2-5『=5，

所以圆C的标准方程是：(x—l)2+(y—2)2=25.

【小问2详解】

22

圆0：x+y=m2(加>0)的圆心o(o,o),半径为冽，

因圆。与圆。恰有两条公切线，则有圆。与圆C相交，即|加一5|<|OC|<%+5,而|。。|=6