湖南长沙铁一中2023-2024学年高考仿真卷数学试题含解析

湖南长沙铁一中2023-2024学年高考仿真卷数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．45 B．42 C．25 D．362．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（）A． B． C． D．3．若集合，，则（）A． B． C． D．4．函数（）的图象的大致形状是（）A． B． C． D．5．已知命题，，则是（）A．， B．，.C．， D．，.6．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．集合，，则（）A． B． C． D．8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240 B．264 C．274 D．2829．函数（，，）的部分图象如图所示，则的值分别为（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，10．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．11．已知复数满足，则=（）A． B．C． D．12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．运行下面的算法伪代码，输出的结果为_____．14．已知集合，若，且，则实数所有的可能取值构成的集合是________.15．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；其中正确命题的序号为_____．16．设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为其中，为参数，为常数．（1）写出与的直角坐标方程；（2）在什么范围内取值时，与有交点．18．（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；求当为何值时，栈道总长度最短.19．（12分）已知，函数的最小值为1．（1）证明：．（2）若恒成立，求实数的最大值．20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.21．（12分）已知函数f(x)=ex-x2-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k的取值范围；（2）证明：f(x)的极大值不小于1．22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点．（1）求证：平面平面；（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【详解】由题,.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.2、B【解析】

将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选：B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.3、B【解析】

根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.【详解】依题意，；而，故，则.故选：B.【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.4、C【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】故选C．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5、B【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.6、B【解析】

由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，..故选：【点睛】本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.7、A【解析】

计算，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.8、B【解析】

将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积.故选B项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题9、D【解析】

由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，，则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果10、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.11、B【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由，得，所以，.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.12、A【解析】

基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，其和等于的概率．故选：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出的值,用裂项相消法求和即可.【详解】模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：.故答案为:【点睛】本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.14、.【解析】

化简集合，由，以及，即可求出结论.【详解】集合，若，则的可能取值为，0，2，3，又因为，所以实数所有的可能取值构成的集合是.故答案为:.【点睛】本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.15、④【解析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.16、.【解析】

配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解.【详解】，顶点为因为函数的值域是，令，可得或.又因为函数图象的对称轴为，且，所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），．（2）【解析】

（1）利用，代入可求；消参可得直角坐标方程.（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，与有交点，可得，解不等式即可求解.【详解】（1）（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得：与有交点，即【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.18、，；当时，栈道总长度最短.【解析】

连，，由切线长定理知：，，，，即，，则，，进而确定的取值范围；根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.【详解】解：连，，由切线长定理知：，，，又，，故，则劣弧的长为，因此，优弧的长为，又，故，，即，，所以，，，则；，，其中，，-0+单调递减极小值单调递增故时，所以当时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.19、（1）2；（2）【解析】分析：（1）将转化为分段函数，求函数的最小值（2）分离参数，利用基本不等式证明即可．详解：（Ⅰ）证明：，显然在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即．（Ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，当且仅当时，取得最小值，所以，即实数的最大值为．点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．20、（1），（2）最大值，最小值【解析】

（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据求解.（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.【详解】（1）因为曲线的参数方程为所以两式平方相加得：因为直线的极坐标方程为.所以所以即（2）如图所示：圆心C到直线的距离为：所以圆上的点到直线的最小值为：则点M(2，0)到直线的距离为最大值：【点睛】本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21、（1）；（2）见解析【解析】

（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果；（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.【详解】（1），由，记，，由，且时，，单调递减，，时，，单调递增，，由题意，方程有两个不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，记，则，因为，所以，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即函数的极大值不小于1.解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，因为，，所以.即函数的极大值不小于1.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.22、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）先证明，可证平面，再由可证平面，即得证；（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值为，可求解，转