2023年中考数学考前第11讲：思想方法性问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第U讲：思想方法性问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本

策略.数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能

力的根本所在.因此，在复习时要注意总结体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数

学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识和能力.

类型一分类讨论思想

分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给

出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各情况下相应的结论.分类的原

则：⑴分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类必须是同一个标准；⑶分类讨论要逐

级进行：⑷分类必须包含所有情况，既不能重复，也不能有遗漏.

类型二数形结合思想

数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析问题，将抽象的数学语言和直观

的图形语言结合起来表示问题，从而解决问题的数学思想.运用数形结合思想解决问题，关

键是要找到数与形的契合点.数形结合在不等式（组）、函数等知识中有着广泛的应用，综合

题中始终渗透着对数形结合思想的考查.

类型三转化与化归思想

转化与化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思想是化未知为已知,

把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规的问题化为常规问题，把实际问题数

学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题化为有章可循、容

易解决问题的思想.

类型四数学建模思想

数学建模思想就是构造数学模型的思想，即用数学的语言一一公式、符号、图表等刻画

一个实际问题，然后经过数学的处理一一计算解决问题.利用模型思想解决问题的关键：（1）

抓住关键的字、词、句，把生活中的语言转化为数学语言，结合生活中的经验，灵活运用数

学知识进行解决；（2）充分利用各种数学思想把实际问题转化为数学问题，然后解答.

【例题1】分类讨论思想

将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（0o<a<360。），得到矩形AEFG.

（1）如图，当点E在BD上时，求证：FD=CD;

第1页共30页

(2)当α为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

备用图

【例题2】数形结合思想

如图，在在四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90o,且AD=12cm,AB=8cm,DC=IOcm,若动点

P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm

的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时

出发，并运动了t秒，回答下列问题：

(1)BC=18cm：

(2)当t=述秒时,四边形PQBA成为矩形.

5

(3)当t为多少时，PQ=CD?

(4)是否存在t,使得ADQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理

第2页共30页

【例题3】转化与化归思想

（如图1,研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面一的“视线角”α约为20。，而当手指

接触键盘时，肘部形成的“手肘角邛约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平,

且与屏幕BC垂直.

（1）若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；

⑵若肩膀到水平地面的距离DG=IOOCm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上，

其到地面的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°?

（参考数据：sin69。《/，cos21o≈jj,tan20o≈^∙,tan43o≈∣∣,所有结果精确到个位）

第3页共30页

【例题4】方程思想

(如图，C,D是以AB为直径的。O上的点，AC=BC,弦CD交AB于点E.

(1)当PB是。O的切线时，

求证：ZPBD=ZDABi

(2)求证：BC2-CE2=CEDE;

(3)已知0A=4,E是半径OA的中点，求线段DE的长.

【例题5】函数思想

在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.

(1)设矩形的相邻两边长分别为X,y.

①求y关于X的函数表达式；

②当yN3时，求X的取值范围：

(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10,你认为圆圆和方方

的说法对吗？为什么？

第4页共30页

一、选择题：

1.已知函数y=(k-3)χ2+2x+l的图象与X轴有交点，则k的取值范围是(B)

A.k<4B.k<4C.k<4且"3D.k"且23

2.如图，数轴上有A、B、C、D、E、F六个点，每两个相邻的点的距离相等，那么下列说法

中错误的是()

A.表示.原点的数在C、D之间B.有三个点表示的数是负数

C.这六个数中没有表示整数的点D.C点与原点最接近

ABCDEF

3.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按

时赶到了学校.如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是()

B.学校离家的距离为2000米

C.到达学校时共用时间20分钟

D.自行车发生故障时离家距离为IOoo米

4.如图是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P

是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使aABP为等腰直角三角形的点P的个数是()

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.如图，抛物线y=aχ2+bx+c的图象交X轴于A(-2,0)和点B,交y轴负半轴于点C,

且OB=OC.下列结论：①2b—c=2；②a=1；③ac=b-1；醉土龙>0.其中正确的个数有

2c

第5页共30页

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：

6.AsB两地相距450km,甲，乙两车分别从A,B两地同时出发，相向而行.已知甲车速

度为120km/h,乙车速度为80km/h,过t(h)后两车相距50km,则t的值是.

7.如图，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD±,若AE=JmNEAF=45°,

则AF的长为—.

8.如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数

是.

9.如图所示，在aABC中，ZB=90",AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B

以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、

Q分别从A、B同时出发，秒钟后P、Q间的距离等于2、西厘米。

10.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三

角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,扩充后等腰三角形绿地的周长.

三、解答题：

11.已知AABC中，AB=20,AC=15,BC边上的高为12,求AABC的面积.

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12.(某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的

几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大

客车以出发时速度的”继续行驶，小轿车保持原速度不变.小轿车司机因路线不熟错过了景

7

点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口.两车

距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示.

请结合图象解决下面问题：

------小轿车

-------大客车

s/km

D

(1)学校到景点的路程为—km,大客车途中停留了—min,a=—；

(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h,请你帮助小轿车司机计算折返时是

否超速？

(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，

需等待一分钟，大客车才能到达景点入口.

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13.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=幺(×>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)

X

两点.

(1)直接写出m=,n=；

(2)根据图象直接写出使kx+b<$成立的X的取值范围：

X

(3)在X轴上找一点P使PA+PB的值最小，求出P点的坐标.

14."五・一"期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位,

发现小陈家C在自己的北偏东45。方向，于是沿河边笔直的绿道I步行200米到达B处，这

时定位显示小陈家C在自己的北偏东30。方向，如图所示，根据以上信息和下面的对话，请

你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处(精确到1米)(备用数据:

Ji=I.414,75≈1.732)

第8页共30页

15.(如图，已知抛物线y=aχz+bx+6(a≠θ)与X轴交于点A(-3,0)和点B(l,0),与y轴交于

点C.

(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；

(2)点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC,求点M的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点E,使4tan∕ABE=IItanNACB?若存在，求出满足条件的所有

点E的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

第9页共30页

2023年中考数学考前冲刺第U讲：思想方法性问题答案解

析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本

策略.数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能

力的根本所在.因此，在复习时要注意总结体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数

学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识和能力.

类型一分类讨论思想

分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给

出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各情况下相应的结论.分类的原

则：⑴分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类必须是同一个标准；⑶分类讨论要逐

级进行：（4）分类必须包含所有情况，既不能重复，也不能有遗漏.

类型二数形结合思想

数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析问题，将抽象的数学语言和直观的

图形语言结合起来表示问题，从而解决问题的数学思想.运用数形结合思想解决问题，关键

是要找到数与形的契合点.数形结合在不等式（组）、函数等知识中有着广泛的应用，综合题

中始终渗透着对数形结合思想的考查.

类型三转化与化归思想

转化与化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思想是化未知为已知,

把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规的问题化为常规问题，把实际问题数

学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题化为有章可循、容

易解决问题的思想.

类型四数学建模思想

数学建模思想就是构造数学模型的思想，即用数学的语言一一公式、符号、图表等刻画

一个实际问题，然后经过数学的处理一一计算解决问题.利用模型思想解决问题的关键：⑴

抓住关键的字、词、句，把生活中的语言转化为数学语言，结合生活中的经验，灵活运用数

学知识进行解决；（2）充分利用各种数学思想把实际问题转化为数学问题，然后解答.

【例题1】分类讨论思想

（将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0yα<36（）θ）,得到矩形AEFG.

第10页共30页

(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD=CD;

(2)当α为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

备用图

【分析】(1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD=AB,再根据AB=CD,即可得

出FD=CD:

(2)当GC=GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角a的度数.

【解答】⑴如图1,连接AE

BA

图1

由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD=AF,NEAF=NABD.

VAB=AE,ΛZABD=ZAEB,

ΛZEAF=ZAEB,ΛBD√AF,

二四边形BDFA是平行四边形，.∙.FD=AB.

VAB=CD,ΛFD=CD.

(2)如图2,当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG,CG,BG,

第11页共30页

F

D

BA

图2

易知点G也是AD的垂直平分线上的点，.∙.DG=AG.

∙'∙∆ADG是等边二角形，

.∙.NDAG=60°,.∙.α=60°.

如图3,当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG,BG,DG,

同理，AADG是等边三角形，

；.ZDAG=60。，此时a=300。.

综上所述，当a为60。或300。时∙，GC=GB.

【归纳】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就

需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案.

【例题2】数形结合思想

如图，在在四边形ABCD中，AD〃BC,NB=90。，且AD=12cm,AB=8cm,DC=IOcm,若动点

P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动：动点Q从C点出发以每秒3cm

的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时

出发,,并运动了t秒，回答下列问题：

(1)BC=18cm：

第12页共30页

(2)当t=£■秒时,四边形PQBA成为矩形.

5

(3)当t为多少时，PQ=CD?

(4)是否存在t,使得ADQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由.

【解答】解：根据题意得：PA=2t,CQ=3t,则PD=AD-PA=I2-23

(1)如图，过D点作DEJ_BC于E,则四边形ABED为矩形，

/.DE=AB=8cm,AD=BE=12cm,

在RtZ∖CDE中，VZCED=90o,DC=10cm,DE=8cm,

•■•EC=VDC2-DE2=6cm,

BC=BE+EC=18cm.

故答案为18；

(2)VAD√BC,ZB=90β

当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，

即2t=18-3t,

解得t=单秒，

故当t=毕秒时，四边形PQBA为矩形；

5

故答案为毕；

5

(3)

①当PQ〃CD时，如图，

VADΛzBC,

・・・四边形CDPQ是平行四边形，

ΛP,Q,=CD,DP,=CQ',

Λ12-2t=3t,

.∙∙H⅛L∙秒，

5

②如图，梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ=CD,

第13页共30页

易证，四边形PDEF是矩形,

ΛEF=DP=12-2t,

易证，Z∖CDE丝ZXQPF,

ΛFQ=CE=G,

ΛCQ=FQ+EF+CE=6+12-2t+6=3t,

Λt=21

5

（4）4DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论:

①当QC=DC时，即3t=10,

3

②当DQ=DC时，—=6,

2

Λt=4;

6

③当QD=QC时，3t・左=5,

•.痔

故存在使得是等腰三角形，此时的值为空■秒或

3ADQCt4秒.

3

【归纳】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合

寻找解题的思路，使问题得以解决.

【例题3】转化与化归思想

（如图1,研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角''α约为20。，而当手指

接触键盘时，肘部形成的“手肘角''β约为100。.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平,

且与屏幕BC垂直.

第14页共30页

(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；

(2)若肩膀到水平地面的距离DG=IOOcm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,

其到地面的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°?

(参考数据：sin69o≈j^,cos21o≈γ^,tan20o≈γj-.tan43o≈j^,所有结果精确到个位)

【分析】(1)在Rt∆ABC中利用三角函数即可直接求解；

(2)延长FE交DG于点L利用三角函数求得NDEl即可求得P的度数，从而作出判断.

【解答】(1)：RtAABC中，tanA=9，

.BCBC.gθ、

..AB=------=---------≈.=55(cm).

tanAtan20oɪ

11

(2)如图，延长FE交DG于点I,则四边形GHFl为矩形,

ΛIG=FH,

ADl=DG-FH=100-72=28(Cm).

在RtZSDEI中，sinZDEI=—=—=—,

DE3015

ΛZDEI≈69o,

.∙.p=180°-69°=lll°≠100°,

此时β不符合科学要求的100°.

【归纳】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题.在解三角形

中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问。

【例题4】方程思想

(如图，C,D是以AB为直径的。O上的点，AC=BC,弦CD交AB于点E.

(1)当PB是。O的切线时，

求证：ZPBD=ZDAB;

第15页共30页

(2)求证：BC2-CE2=CEDE;

(3)已知0A=4,E是半径OA的中点，求线段DE的长.

【分析】(1)由AB是。。的直径知/BAD+/ABD=90。，由PB是。O的切线知NPBD+

ZABD=90o,据此可得证;

(2)连接OC,设圆的半径为r,ijE∆ADE^ΔCBE,由/=前知NAC)C=NBoC=90。，再

根据勾股定理即可得证；

(3)先求出BC,CE,再根据BC2-CE2=CEDE计算可得.

【解答】

(I);AB是G)O的直径，

ΛZADB=90o,ΛZBAD+ZABD=90o.

VPB是。O的切线，

ΛZABP=90o,ΛZPBD+ZABD=90o,

NBAD=NPBD.

(2)VZA=ZDCB,ZAED=ZCEB,

Λ∆ADE^ΔCBE,

DFAF

A—=—,即DE∙CE=AE∙BE.

BECE

如图，连接OC.

设圆的半径为r,

则OA=OB=C)C=r,

第16页共30页

则DE∙CE=AE∙BE=(OA—OE)(OB+OE)=F-OE2.

VAC=BC,

.∙.NAOC=NBOC=90°,

ΛCE2=OE2+OC2=OE2+r2,

BC2=BO2+CO2=2r2,

则BC2-CE2=2r2-(OE2+r2)=r2-OE2,

ΛBC2-CE2=DECE.

(3)VOA=4,Λ0B=0C=0A=4,

.*.BC=√OB2+OC2=4√2.

又是半径OA的中点，

ΛAE=0E=2,

则CE=√OC2+OE2=√42+22=2√5.

∙/BC2-CE2=DECE,

(4的2-(2√5)2=DE∙2√5,

解得DE=皆.

【归纳】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之

间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向己知的转化.

【例题5】函数思想

在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.

(1)设矩形的相邻两边长分别为X,y.

①求y关于X的函数表达式；

②当yN3时，求X的取值范围；

(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10,你认为圆圆和方方

的说法对吗？为什么？

【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与X之间的关系；②直接利用y>3得出X

的取值范围；

(2)直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案.

【解答】

(1)①由题意可得xy=3,则y=3.

X

②当沦3时，->3,解得烂1,

第17页共30页

.∙.x的取值范围是OVXSL

(2)；一个矩形的周长为6,.∙.x+y=3,

Λx÷-=3,整理得χ2-3x+3=0.

X

Vb2-4ac=9-12=-3<0,

.∙.矩形的周长不可能是6,

.∙.圆圆的说法不对.

：一个矩形的周长为10,

・・x+y=5,

Λx÷-=5,整理得χ2-5x+3=0.

X

∙.E-4ac=25-12=13>0,...矩形的周长可能是10,

方方的说法对.

【归纳】在解答此类问题时，建立函数模型一求出函数表达式T结合函数表达式与函数的性

质作出解答.要注意从几何和代数两个角度思考问题.

【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

一、选择题：

1.已知函数y=(k—3)χ2+2x+l的图象与X轴有交点，则k的取值范围是(B)

A.k<4B.k<4C.k<4且厚3D.仁4且厚3

【解析】①当k-3≠0时,(k-3)x2+2x+l=0,

Δ=b2-4ac=22-4(k-3)×l=-4k+16>0,k<4；

②当k—3=0,即k=3时，y=2x+1,与X轴有交点.故选B.

2.如图，数轴上有A、B、C、D、E、F六个点，每两个相邻的点的距离相等，那么下列说法

中错误的是()

A.表示原点的数在C、D之间B.有三个点表示的数是负数

C.这六个数中没有表示整数的点D.C点与原点最接近

▲▲.A._A.▲_A__.

ABCDEF

【解答】A点到F点的距离是63,且相邻的点之间的距离相等，所以每两个相邻点间距离

4

为」÷5=二”原点在C、D之间，391>321，因此原点靠近D点，A、B、C三点表示的数

第18页共30页

是负数，B点表示的数是分数.故选D。

3.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按

时赶到了学校.如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是()

A.修车时间为15分钟

B.学校离家的距离为2000米

C.到达学校时共用时间20分钟

D.自行车发生故障时离家距离为1000米

【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断.

【解答】解：由图可知，修车时间为15-10=5分钟，可知A错误；B、C、D三种说法都符

合题意.

故选A.

4.如图是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P

是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使aABP为等腰直角三角形的点P的个数是()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解析】由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有2

个,以点A为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有1个满足条件的有3个.

5.如图，抛物线y=aχ2+bx+c的图象交X轴于A(-2,0)和点B,交y轴负半轴于点C,

且OB=C)C.下列结论：①2b—c=2；②a=∖③ac=b-1；④^土^>0.其中正确的个数有

2c

()

第19页共30页

【解析】在y=aχ2+bx+c中,当x=0时，y=c,.*.C(O,c),ΛOC=-c,VOB=OC,ΛB(-

c,O).VA(-2,O),・・・一c、一2是一元二次方程aχ2+bx+c=0的两个不相等的实数根，

/.-c(—2)=2,β/c≠0».∙.a=L②正确；

a2

Ya=：,-c、一2是一元二次方程gχ2+bx+c=0的两个不相等的实数根，；.一c+(-2)=

b

-P即2b—c=2,①正确；

2

把B(—c,0)代入y=aχ2+bx+c,W0=a(-c)2÷b∙(-c)+c,BPac2-bc÷c=O.Vc≠O,Λac

—b+l=0,Λac=b-1,③正确;

；抛物线开口向上，.∙.a>0.:抛物线的对称轴在y轴左侧，.∙.一b<0,.∙.b>O..∙.a+b>O.:

2a

抛物线与y轴负半轴交于点C,.∙.c<0..∙.也<0,④不正确.

c

故选Co

二、填空题：

6.A、B两地相距450km,甲，乙两车分别从A,B两地同时出发，相向而行.已知甲车速

度为120km/h,乙车速度为80km/h,过t(h)后两车相距50km,则t的值是.

【解析】分相遇前和相遇后两种情况讨论.

①当甲，乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t=450-50,解得t=2；

②当两车相遇后，两车又相距50km时，根据题意，得120t+80t=450+50,解得t=2.5.

7.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD±,若AE=遥，NEAF=45。,

贝UAF的长为—.

【分析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=X,则NF=&x,再利

用矩形的性质和己知条件证明^AMES^FNA,利用相似三角形的性质：对应边的比值相等

可求出X的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.

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【解答】解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,

Y四边形ABCD是矩形，

ΛZD=ZBAD=ZB=90o,AD=BC=4,ΛNF=V2x,AN=4-x,

∙.,AB=2,，AM=BM=I,YAE=遍，AB=2,ΛBE=1,ΛME=VBM2+BE2=√2,

VZEAF=450,ΛZMAE+ZNAF=450,

VZMAE+ZAEM=450,ΛZMEA=ZNAF,Λ∆AME<^∆FNA,

包=也，：.3旦,解得：X=t.∙.AF=而诞处.

EVAN√2x4-x33

故答案为：

3

8.如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，则该等腰三角形各内角的度数

是.

【解析】设NA,ZB,/C是该等腰三角形的三个内角，且NA=1/B.设NA=x。，则/B

2

=2xo.

①若NB是顶角，则∕A,NC是底角，于是有NC=NA=x。.

VZA+ZB+ZC=180°,

.∙.x+2x+x=180.解得x=45。，

故NA=NC=45,ZB=90°.

②若NB是底角，因为NAJNB,所以NA是顶角，ZC=ZB=2xo.

VZA+ZB+ZC=180o,

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.∙.2x+2x+x=180.解得x=36,故∕A=36°,ZB=ZC=72o.

综上所述，等腰三角形的各内角为45。、45。、90。或36。、72。、72°.

9.如图所示，在AABC中，NB=90。，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B

以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、

Q分别从A、B同时出发，秒钟后P、Q间的距离等于2灰厘米。

【分析】设t秒后PQ=2√ξ,则BP=6-2t,BQ=3-t,在直角ABPQ中，根据勾股定理

BP2+BQ2=PQ2可求t的值.

【解答】在直角三角形中AB=6cm=2BC=2χ3cm,

且P的移动速度是Q的移动速度的2倍，

ΛBP,BQ满足BP=2BQ的关系

设t秒后PQ=2√5'

则BP=6-2t,BQ=3-t,

且(6-2t)2+(3-t)2=(2,^5),

解得t=l.故1秒后PQ间的距离为2JE

10.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三

角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的周长.

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90o,AC=8,BC=6,

由勾股定理有：AB=IO,应分以下三种情况：

①如图L当AB=AD=Io时,

VAClBD,

ΛCD=CB=6m,

Λ∆ABD的周长=IO+10+2χ6=32m.

②如图2,当AB=BD=Io时,

∖∙BC=Gm,

ΛCD=IO-6=4m,

JAD=VAC2+DC2=V82+4j4λ∕Sm'

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,△ABD的周长=10+10+4∖用=（20+4、、,%）m.

③如图3,当AB为底时，设AD=BD=X,则CD=X-6,

由勾股定理得：22

AD=√g+(x-6)=×

解得，X=学,

,△ABD的周长为：AD+BD+AB=-m.

3

故答案为：32m或(20+4,后)m或②m.

三、解答题:

11.已知aABC中，AB=20,AC=15,BC边上的高为12,求aABC的面积.

【解答】解：作ADjLBC于D,则AD为BC边上的高，AD=12.分两种情况:

①高AD在三角形内，如图所示：在RtZ∖ADC中，由勾股定理得：

AC2=AD2+DC2,

ΛDC=9,

在RtAADB中，由勾股定理得：

AB2=AD2+BD2,

.∙.BD=16,

.∙.BC=BD+DC=16+9=25,

.".SΔABC^×25×12=150;

2

②高AD在三角形外，如图所示:

在RtAADC中，由勾股定理得：

AC2=AD2+DC2

ΛDC=9,

在RtAADB中，由勾股定理得:

AB2=AD2+BD2,

第23页共30页

ΛBD=16,

ΛBC=BD-DC=16-9=7,

∙"∙SABC=,*∙×7×12=42.

2

故答案为：150或42.

12.(某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的

几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大

客车以出发时速度的也继续行驶，小轿车保持原速度不变.小轿车司机因路线不熟错过了景

7

点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口.两车

距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示.

请结合图象解决下面问题：

------小轿车

-------大客车

s/km

D

(1)学校到景点的路程为—km,大客车途中停留了—min,a=—；

(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h,请你帮助小轿车司机计算折返时是

否超速？

(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，

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需等待一分钟，大客车才能到达景点入口.

【分析】(1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据

时间计算a的值；

(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的

路程，从而可得结论；

(3)先计算直线CD的表达式，计算小轿车驶过景点入口6km时的时间，再计算大客车到达

终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6km的速度与80km/h作比较可得结

论.

(4)利用路程÷速度=时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可.

【解答】(1)由图形可得学校到景点的路程为40km,大客车途中停留了5min,

4∩

小轿车的速度为'V=l(km∕min),

60-20

a=(35-20)×l=15.

故答案为40,5,15.

(2)由⑴得a=15,.∙.大客车的速度为畀/km∕min)∙

小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60—35)x∕xB=5¾km),40-^-15=y(km).

答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有包km.

7

(20k÷b=0,Ik=1,

(3)设直线CD的表达式为s=kt+b,将(20,0)和(60,40)代入得・解得・

60k+b=40,M=-20,

・・・直线CD的表达式为s=t-20.

当s=46时,46=t-20,解得t=66.

40-15

小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为^∩6=35(min),

-X--

27

小轿车司机折返时的速度为6÷(35+35-66)=∣(km∕min)=90km/h>80km/h.

答：小轿车折返时己经超速.

40

(4)大客车的时间：γ=80(min),80—70=10(min).

2

故答案为10.

13.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数丫=9(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)

X

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两点.

（1）直接写出m=,n=；

（2）根据图象直接写出使kx+bV∙^成立的X的取值范围

X

（3）在X轴上找一点P使PA+PB的值最小，求出P点的坐标.

【分析】（1）将点A、B坐标代入即可得：

（2）由函数图象即可得；

（3）作点A关于X轴的对称点C,连接BC与X轴的交点即为所求.

【解答】解：（I）把点（m,6）,B（3,n）分别代入y=2∙（×>0）得：m=l,n=2,

X

故答案为：1、2；

（2）由函数图象可知，使kx+b<±∙成立的X的取值范围是O<x<l或x>3,

X

故答案为：0<x<l或X>3;

（3）由（1）知A点坐标为（1,6）,B点坐标为（3,2）,

则点A关于X的轴对称点C的坐标（1,-6）,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将点B、C坐标代入，得：

∫3k+b=2

lk+b=-6,

解得：,

Ib=-IO

则直线BC的解析式为y=4×-10,

当y=0时，由4x-10=0得：X=—,

・・・点P的坐标为（彳，0）.

14.〃五•一〃期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位,

发现小陈家C在自己的北偏东45。方向，于是沿河边笔直的绿道I步行200米到达B处，这