2022年北京第五十一中学高二数学理模拟试题含解析

2022年北京第五十一中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设命题p：x2+2x﹣3＜0q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的(

)条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】命题p：x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．即可判断出命题p与q关系．【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．又q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数参考答案：B3.在曲线的切线中，与直线平行的切线方程是（

）A. B.C. D.或参考答案：D试题分析：先求导函数，然后设切点为（a，b），根据在P点处的切线平行于直线y=4x-1建立等式，解之即可求出a，得到切点坐标，从而求出所求解：曲线y=x3+x-2求导可得y′=3x2+1,设切点为（a，b）则3a2+1=4，解得a=1或a=-1,切点为（1，0）或（-1，-4）,与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0,故答案为D考点：导数研究曲线上某点切线方程点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线平行的应用，属于中档题．4.把一枚硬币掷三次，三次都出现正面的概率为（

）（Ａ）

（Ｂ）

（Ｃ）

（Ｄ）参考答案：A略5.等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：D【考点】等比数列的性质．【分析】由首项和公比的值，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，让其等于126列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，化简得：2n=64，解得：n=6．故选D6.若平面α的一个法向量为=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D【考点】平面的法向量．【分析】点A到平面α的距离为d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），∴点A到平面α的距离为d===．故选：D．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．7.“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为

A．a，b，c都是奇数B．a，b，c不都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数参考答案：D8.已知异面直线a、b的方向向量分别为、，平面α、β的法向量分别为、，则下列命题中是假命题的是(

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)A．对于，若存在实数x、y使得，则共面B．若∥，则a⊥αC．若=，则l与所成角大小为D．若二面角α—l—β的大小为γ，则γ=<,>或π－<,>.参考答案：C略9.关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．或参考答案：D10.．“1＜m＜2”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:是数列中的第______项;

(2)______.(用表示)参考答案：略12.如图是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，对下列四个判断：①y=f（x）在（﹣2，﹣1）上是增函数；②x=﹣1是极小值点；③f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数；④x=3是f（x）的极小值点；其中正确的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．②④参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过导函数的图象，判断出函数的单调区间，函数的极值，从而得出答案．【解答】解：对于①：在区间（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，故①错误；对于②：在区间（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）递减，区间（﹣1，2）上，f′x）＞0，f（x）递增，∴x=﹣1是极小值点，故②正确；对于③：在区间（﹣1，2）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，故③正确；对于④：f（﹣3）＜0，故④错误；故选：C．13.已知点A在x轴上，点B（1，2，0），且|AB|=,则点A的坐标是_________________.参考答案：(0,0,0)或（2，0，0）14.椭圆的右顶点和上顶点分别为A和B，右焦点为F．若|AF|、|AB|、3|BF|成等比数列，则该椭圆的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】AF=a﹣c，，3BF=3a，AF?3BF=AB2，可得a2+b2=3a（a﹣c），c2﹣3ac+a2=0，即e2﹣3e+1=0，解出即可得出．【解答】解：∵AF=a﹣c，，3BF=3a，∴由AF?3BF=AB2，a2+b2=3a（a﹣c），∵b2=a2﹣c2，∴c2﹣3ac+a2=0，则e2﹣3e+1=0，解得或（舍去）．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为

.参考答案：16.已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为

．参考答案：，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，.

17.函数的值域是________________.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定点及直线,动点P到直线l的距离为d,若.(1)求动点P的轨迹C方程；(2)设M、N是C上位于x轴上方的两点,B坐标为(1,0),且,MN的延长线与x轴交于点,求直线AM的方程.参考答案：（1）（2）【分析】（1）直接把条件用坐标表示，并化简即可；（2）设，由可得的关系，的关系，再结合在曲线上，可解得，从而能求得的方程．【详解】（1）设，则由，知又，∴由题意知：∴∴∴点的轨迹方程为（2）设，∵∴为中点，∵∴∴又，∴又，∴∵，∴，∴∴直线方程为【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．

19.已知数列{an}中，，其前n项和Sn满足：．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的，都有．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ），当时，，当时，，即有．【详解】（Ⅰ）由，于是，当时,，即，，∵，数列为等比数列，∴，即．

（Ⅱ），∴当时，，当时，显然成立，综上，对于任意的，都有．【点睛】本题考查了数列的递推式，等比数列的求和、放缩法，属于中档题．

20.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{an}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求Sn．参考答案：【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）由题意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，从而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，从而．【解答】解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，从而（Ⅱ）由已知可得故a1=4从而21.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=2csinB，b=2，cosA=．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）求cos（2A+）．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：a=2c，由余弦定理可得：c2+2c﹣8=0，即可解得c的值．（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，即可根据两角和的余弦函数公式计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵bsinA=2csinB，∴由正弦定理可得：ba=2cb，可得：a=2c，又∵b=2，cosA=，∴由余弦定理cosA=，可得：=，∴整理可得：c2+2c﹣8=0，解得：c=2或﹣4（舍去）．（Ⅱ）∵cosA=，∴sinA==，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=（﹣）×﹣×=﹣．22.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）参考答案：【考点】频率分布直方图；频率分布表．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6