消元-解二元一次方程组（单元教学设计）大单元教学人教版七年级数学下册

8.2消元一解二元一次方程组(单元教学设计)

一、【单元目标】

通过情境引入，引起学生学习的兴趣，同时引发学生思考二元一次方程组的解法；可以

在课堂上进行分组讨论，调动每个学生的积极性，用不同的方法来解决问题，促进学生思维

的发散性；

(1)通过列举《一千零一夜》里面的故事，引发孩子将故事里面的文字转化为数学问

题，并自己列出二元一次方程组；再抛出问题一一如何解出这个二元一次方程组，加深学生

对二元一次方程组的理解，并对二元一次方程组的解有清晰的认识；

(2)通过小组合作探究，让学生参与教学过程，用头脑风暴的方式激发学生的积极性，

同时对二元一次方程组的解法有更加深刻的理解；

(3)通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑

推理素养；

(4)在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转

化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；

二、【单元知识结构框架】

消元一解二元一次方程组

I加减法

三、【学情分析】

1.认知基础

代入法和加减法解二元一次方程组，是解决二元一次方程组问题的关键，也是最基础的

计算技巧；通过了解代入法和加减法，可以发现二元一次方程组的解法核心就是“消元”，

将二元转化为一元，从而达到解二元一次方程组的目的；

2.认知障碍

学生在使用代入法还是加减法解二元一次方程组时，会纠结用哪个方法比较好，解的过

程中会出现计算错误，尤其是带有复杂系数的二元一次方程组；另外就是对于算出的结果不

进行检验，导致答案错误；对于一些需要整体代入的二元一次方程组，往往会出现手足无措

的情况，做题技巧单一；

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约2课时

教学重点：代入法解二元一次方程组，加减法解二元一次方程组，整体代入解二元一次

方程组；

教学难点：整体代入解二元一次方程组；

五、【教学问题诊断分析】

【情境引入】

《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上，另一部分在地上.树

上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分

之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多."你知道树上、地上各有多少只

鸽子吗？

(x+y=3(ʃ■—1),

我们可以设树上有X只鸽子，地上有y只鸽子，得到方程组J可是这

lx—l=y+l.

个方程组怎么解呢？有几种解法？

5.1.1用代入法解二元一次方程组

问题L(用代入法解二元一次方程组)用代入法解下列方程组:

'2χ-3尸1,①

2x+3y=-19,①

⑴(2)jy+lx+2

x+5y=l;②

43:②

【破解方法】对于方程组(1),比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为X=I一

2χ-3y=1,(3)

5y,然后代入①求解；对于方程组(2),应将方程组变形为'…观察③和④中

.4χ-3y=-r5,④

_3y+l

未知数的系数，绝对值最小的是2,一般应选取方程③变形，得X

-2,

【解析】解：⑴由②，得x=l-5y.③

把③代入①，得2(1—5月+3了=—19,

2-10y+3y=-19,一7尸一21,y=3.

把尸3代入③，得X=-14.

X=-14,

所以原方程组的解是

尸3；

2A~3y=l,③

(2)将原方程组整理,得

4x~3y--5.④

t

由③，得χ=∙"2^!⑤

把⑤代入④，得2(3y+l)—3y=-5,

7

3/=-7,y=-ɜ.

7

把y--§代入⑤，得X=-3.

X——3,

所以原方程组的解是47

L亍

x+1CZ>

-ɜ—-2y,①

问题2：(整体代入法解二元一次方程组)解方程组:

2(X+1)—y=ll.②

【破解方法】当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分

相等时，可把这一部分看作一个整体求解.

【解析】由①，得x+l=6y.把x+l=6y代入②，得2X6y—y=ll.解得y=l.把y=l

x-∖-1x~5，

代入①，得∖-=2XLx=5.所以原方程组的解为

ɔ(y=l.

x~2

一'是二元一次方程组

{y=l

ax+by=7,

的解，则a一6的值为()

aχ-by=1

A.1B.—1C.2D.3

【破解方法】解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系

数的方程组，解方程组即可.

【解析】把解代入原方程组得∣∣"22La+6=7f,解得∖a-所2,以i=T故选B.

5.1.2加减消元法解二元一次方程组

问题4：用加减消元法解下列方程组:

]4x+3y=3,①

⑴

[ɜɪ-2y=15;②

(C、x+ɪ

l-0.3(y—2)——ξ一①

⑵

y-14x+9

、4=下^一1.②

【破解方法】(1)观察X,y的两组系数，X的系数的最小公倍数是12,y的系数的最小

公倍数是6,所以选择消去八把方程①的两边同乘以2,得8x+6y=6③，把方程②的两边

同乘以3,得9χ-6y=45④，把③与④相加就可以消去y；(2)先化简方程组，得

(2x+3y=14,③

…观察其系数，方程④中X的系数恰好是方程③中X的系数的2倍，所以应

14x—5尸6.④

选择消去X,把方程③两边都乘以2,得4x+6尸28⑤，再把方程⑤与方程④相减，就可以

消去X.

【解析】：⑴①X2,得8x+6y=6.③

②X3,得9x—6尸45.④

③+④，得17x=51,X=3.

把x=3代入①，得4X3+3尸3,尸一3.

一二

y=~3；

[2x+3y=14,③

（2）先化简方程组，得，,厂、

[4x—5ry=6.（4）

③X2,得4x+6y=28.⑤

⑤一④，得Ily=22,y=2.

把y=2代入④，得4χ-5X2=6,X=4.

x~^49

所以原方程组的解是C

（y=2.

X-I-3τʃ∙~~~5

问题5：（用加减法整体代入求值）已知不y满足方程组ι一’求代数式x-y

3x+y=-1,

的值.

【破解方法】观察两个方程的系数，可知两方程相减得2χ-2y=—6,从而求出x-y

的值.

【解析】解①②②一①，得2x—2尸一1一5,③y,得Ly=-3.

问题6：（构造二元一次方程组求值）已知fy与-2%ι∕k2L5是同类项，求而和n

的值.

【破解方法】根据同类项的概念，可列出含字母〃和n的方程组，从而求出/"和n.

_一〃+1=〃-1,①

【解析】解：因为;与一是同类项,

T"+"2;Tvili所以.3R-2C-5=1.②

/77—2/7+2=0,③

整理,得

37一2〃-6=0.④

勿=4,

④一③，得2r=8,所以ΛZ=4.把zzz=4代入③，得2〃=6,所以〃=3.所以当，时,

〃=3

Xkmy与-2/T产-吁5是同类项.

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.

1.方程3x-5y=9,用含X的代数式表示y为（）

9-3Xŋ9-5Λ„9+5），

AΛ.V=-------B.X=-------C.X--------

533

【答案】D

【分析】根据等式的性质即可求解.

【详解】解:3x-5y=9

-5y=9-3x

9-3X3x-9

y===^τ^,

故选：D.

【点睛】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质，代数式的意义是解题的关键.

2.用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是()

A.由①得x=2券B.由①得y=2子C.由②得X=等D.由②得y=2x-5

【答案】D

【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中y的系数为-1,故对②进行变形比较容易.

【详解】解：观察可知，由②得V=2x-5代入后化简比较容易，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组,解题的关键是熟练掌握代入消元法.

2cιx+=3Γɪ~ɪ

「二的解为"1,则代数式的值是

{ax-by=1[γ=-l

()

ʌ.-2B.2C.3D,-3

【答案】B

χ一]

一，代入原方程组，可得出关于a,6的二元一次方程组，利用①-②，可求

{J=-I

出代数式力的值.

fx=l[Ia-b=3①

【详解】解：将I代入原方程组得A,£，

[y=-lα+⅛=l(2)

①-②得：a-2b=2,

代数式》的值是2.

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解即使方程组中每个方程都成立的一组未知数的值,

正确理解定义是解题的关键.

4.将方程5x-3y=x+2y变形成用y的代数式表示X,则X=.

【答案】ɪʃ

4

【分析】要用含y的代数式表示X,一般要先移项使方程的左边只有含有字母X的项，再把

系数化L

【详解】解：5x-3y=x+2y,

移项得：5x-x=2y+3y,

合并同类项得：4x=5y,

系数化成1得：χ=[y.

故答案为：

【点睛】本题主要考查二元一次方程的变形，利用解一元一次方程的步骤解出所要表示的未

知数即可.

[2x-3y=7

5.若X,y满足方程组/,则x+y=

[x-4y=2

【答案】5

【分析】由①-②，即可求解.

]2x-3y=7①

【详解】解:[x-4y=2②

由①一②得：x+y=5.

故答案为：5

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组,熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.

6.解下列方程组;

x-y=S

⑴

x=6y-2

3n+2y=5

⑵

4x-y=3

■依CfcJQ/八IX=Io

【答案】(1)<C

[y=2

【分析】(1)两个方程相减，得出5y=10,求出y=2代入②求出X即可;

(2)①+②X2,得出Ilx=I1,求出x=l代入①求出y即可.

x-y=8

【详解】(1)解:

x=6y-2

'x-y=8①

整理得：

x-6y=-2@

①-②得：5γ=10,

解得：y=2,

把y=2代入②得：X—6x2=—2,

解得：x=l(),

(x=10

故方程组的解为C；

3x+2y=5①

(2)解:

4x-y=3②

①+②X2得：Ilx=Il,

解得：x=l,

把X=I代入①得：3+2y=5,

解得：y=ι,

(x=1

故方程组的解为，.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题

的关键.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

【变式1】下列选项为二元一次方程组LX=5的解的是()

9x+13y=53

x=2x=3X=4

.y=3y=2J=I

【答案】C

【分析】利用加减消元法解二元一次方程即可选择.

x+y=5①

【详解】解:

9x+13y=53②

φ×9,得9x+9y=45③,

②-③，得4y=8,

解得。=2,

将y=2代入①得，x=3,

fx=3

.∙.原方程组的解为C

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，掌握加减消元思想是解题的关键.

ΓX=ɪΓɪ=2

【变式2】己知，，一.是关于x,y的二元一次方程，="+〃的解，贝IJk6的值是

[y=ιly=3

()

A.k=l,%=OB.Jl=-I,b=2C.k=2,h=-1D.Z=-2,b=∖

【答案】C

fjy—ɪX=2

【分析】根据二元一次方程解的定义把〈一，，一。分别代入二元一次方程，=丘+〃中得

[y=ι[y=3

到关于上6的方程组，解方程组即可得到答案.

【详解】解：∙.∙[=∣，是关于%y的二元一次方程》=履+b的解，

[y=ι[y=3

k+b=∖

2k+b=3

故选C∙

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是

使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键.

【变式3】关于x、y的二元一次方程组，'，]有，小华用加减消元法消去未知数X,

[3x+y=-15②

按照他的思路，用②x2-①得到的方程是.

【答案】7y=-33

【分析】利用加减消元法进行计算即可.

6%—5V=3①

【详解】解：解二元一次方程组。令时，

[3x+y=75②

用②x2-①得到的方程是：7y=-33,

故答案为：7y=-33.

【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键.

【变式4】己知∣2x-y-3∣+(x+2y—5『=0,贝∣]3x+y=.

【答案】8

【分析】根据绝对值的非负性及完全平方的非负性得到正确的结果.

【详解】解：∙.12x-y—3|+(x+2y—5)2=0,

2x-y-3=0φ

x+2y-5=0②

.∙.①+②得：3x+y-8=0,

3x+y=8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了绝对值的非负性及完全平方的非负性，解二元一次方程组，熟记绝对值

的非负性及完全平方的非负性是解题的关键.

【变式5】解下列方程组

X=1+y

⑴

2x+3y=-3'

2x-ly=40

⑵

3x-Sy=5θ;

3(x-l)=y+5

⑶i

5(y-l)=3(x+5)

Xy+ι.

----------=1

⑷〈23

3x+2γ=10

X=O

【答案】（1）

y=-1

x=6

⑵

y=-4

x=5

⑶

y=7

X=3

⑷〈1

【分析】（1）利用代入法解答即可;

（2）利用加减法解答即可；

（3）化简后利用代入法解答即可；

（4）化简后利用加减法解答.

【详解】⑴解：/3二3②.

把①代入②得：2（l+y）+3y=—3.

解得：y=~ι.

把y=T代入①得：X=O,

∫X=O

.∙.原方程组的解为:jy=-l

2x-7y=40①

(2)解:

3x-8y=50②

①χ3-②x2得：-5y=20,

把V=T代入①得：2x-7x(Y)=40,

・•％=6,

x=6

，原方程组的解为:

y=-4

-y=3x-8φ

(3)解：原方程组变为：

5y-3x=20(2)-

把①代入②得：5(3x—8)—3x=20.

.*.X=5.

把χ=5代入①得：y=l,

x=5

二；

{y=7

⑷解：原方程组变为：[，一：)’=胃,

[3x+2γ=10(2)

①+②得：6x=18.

%=3.

②-①得：今=2.

x=3

・・・原方程组的解为：1.

y=2

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法,恰当的使用代入法和加减法是解题的关键.

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

3x÷4y=5

1.方程组-7x+8>7的解是()

x=2X=-5.5x=lx=l

A.B.C.D.

y=-0.25y=4y=0.5γ=-0.5

【答案】C

【分析】①x2-②求X的值，然后代入①式求）的值，然后可得结果.

3x+4y=5①

【详解】解:

-7x+8y=-3②’

①x2-②得，13x=13,

解得，x=l,

将x=l代入①式得3+4y=5,

解得，y=0∙5,

X=I

方程组的解为

y=0.5,

故选C.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组.解题的关键在于正确的运算.

x=2ιnx+ny=28

2.己知，Q是二元一次方程组的解，贝∣j6m+4w的立方根为（）

y=3mx-ny=4λ

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】先将X与y的值代入方程组，解出即可机与〃的值，然后再把机与W的值代入代数

式，结合立方根的定义，计算即可.

X=2mr÷ny=28

【详解】解：∙.∙。是二元一次方程组Zl的解,

y=3twc-ny=4

X=22m÷3n=28

...把■。代入二元一次方程组，可得:

）=32m-3n=4

"7=8

解得:

〃=4

6∕%+4〃=6χ8+4χ4=64,

,.∙√64=4，

6m+4”的立方根4.

故选：B

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、求代数式的值、立方根的定

义，解本题的关键在求出机与〃的值.

3.在平面直角坐标系中，将点4（-2,x-2y）向右平移4个单位长度得到点8（2x-y,l）,若

点4与点6关于了轴对称，贝∣]y-χ的值是：（)

Λ.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据点平移的规律，得出点A(-2,x-2y)向右平移4个单位长度后的坐标为

(2,x-2y),再结合题意，列出方程组，解出x、的值，然后代入代数式，计算即可得出

答案.

【详解】解：点A(-2,x-2y)向右平移4个单位长度后的坐标为(2,x-2y),

乂∙.∙点A(-2,x—2y)向右平移4个单位长度得到点β(2x-y,l),

2x-y=2

可得:

x-2y-l

•••解得:

y-尤=一1,

.∙.y-χ的值是-1.

故选：A

【点睛】本题考查了平移、解二元一次方程组，解本题的关键在正确求出无、y的值.

fx+y=6

4.二元一次方程组C＜的解是一.

∖2x-y=6

(x=4

【答案】C

[y=2

【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可.

χ+y=6①

【详解】解：ɔ'/，

[2x-y=6②

①+②得：3x=12,

解得：x=4,

把x=4代入①得：4+y=6,

解得：尸2,

方程组的解为:[

Iy=2

=4

-

y=2

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据方程组中未知数系数的特点选择恰当

的方法消元是解决此题的关键.

f3x+y=3k

5.已知关于X,y的二元一次方程组-ɔ,,的解满足χ-y=6,则％的值为_______.

[x-c5y=2↑-κ

31

【答案】

【分析】求得原方程组的解，再将方程组的解代入x-y=6,得到关于女的方程，解方程即

可得出结论.

3x+y=3%①

【详解】解:

x-5y=2l-k®

①一②x3得：

16y=6女—63,

6Λ-63

••,y=k，

①χ5+②得：

16x=14⅛+21,

14Z+21

.,.X=

16

14⅛+21

X=

16

•••原方程组的解为: