2022-2023学年湖南省衡阳市县演陂桥中学高二数学理摸底试卷含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市县演陂桥中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.设某大学的女生体重(单位:)与身高(单位:)具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列说法不正确的是(

)A．与具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加1，则体重约增加D．若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为

参考答案：D略3.若过椭圆+=1的上顶点与右焦点的直线l，则该椭圆的左焦点到直线l的距离为（）A．1 B． C． D．2参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆+=1，可得a，b，c．可得：上顶点，右焦点，则可得直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由椭圆+=1，可得a=2，b=，c==1．可得：上顶点（0，），右焦点（1，0），则直线l的方程为：x+=1，即x+y﹣=0．该椭圆的左焦点（﹣1，0）到直线l的距离==．故选：C．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.点P(1,0,-2)关于原点的对称点P/的坐标为（

）

A．(-1,0,2)

B．(-1,0,2)

C．(1,0,2)

D．(-2,0,1)参考答案：B5.已知e是自然对数的底数，若函数f（x）=ex﹣x+a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．参考答案：A【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】将问题转化为f（x）=ex﹣x+a＞0对一切实数x恒成立，求出函数的导数f′（x），利用导数判断函数的单调性，求出最小值，最小值大于0时a的范围，即a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ex﹣x+a的图象始终在x轴的上方，∴f（x）=ex﹣x+a＞0对一切实数x恒成立，∴f（x）min＞0，∵f′（x）=ex﹣1，令f′（x）=0，求得x=0，当x＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时，f（x）取得极小值即最小值为f（0）=1+a，∴1+a＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞），故选：A．6.条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的

（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要条件参考答案：A7.

若x2+y2＞1，则下列不等式成立的是（）A．|x|＞1且|y|＞1B．|x+y|＞1C．|xy|＞1D．|x|+|y|＞1参考答案：D

解：取x=0.5，y=﹣2，则|a|＜1排除A，取x=0.5，y=﹣1，则|x+y|＜1排除B，取x=0.5，y=﹣2，则|xy|=1排除C，故不等式成立的是D．故选D．法二：画出不等式表示的平面区域即得。8.的展开式中，只有第6项的系数最大，则的系数为（

）

A.45

B.50

C.55

D.60参考答案：A略9.已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围为(

)A. B. C. D.或参考答案：B由，得．令且，则，即

（*）．由，得，所以函数在上单调递增，在单调递减，且时，，图象如图所示．由题意知方程（*）的根有一根必在内，另一根或或．当时，方程（*）无意义；当时，，不满足题意，所以时，则由二次函数的图象，有，解得，故选B．点睛：函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数零点（方程的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与有一定关系的函数和的图象问题，且与的图象易得．10.已知f(x)＝alnx＋x2(a>0)．若对任意两个不等的正实数x1，x2都有>2恒成立，则a的取值范围是

()．A．(0,1]

B．(1，＋∞)C．(0,1)

D．[1，＋∞)参考答案：D由k＝知，f′(x)＝＋x≥2，x∈(0，＋∞)恒成立，即a≥x(2－x)恒成立．∵x(2－x)的最大值为1，∴a≥1.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为

（n∈N*）．

参考答案：1+++…+＞略12.在平面直角坐标系中,不等式(为常数)表示的平面区域的面积为8,则的最小值为__________参考答案：略13.要做一个母线长为30cm的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为

cm．参考答案：10

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．【解答】解：设圆锥的高为hcm，∴V圆锥=π×h，∴V′（h）=π．令V′（h）=0，得h2=300，∴h=10（cm）当0＜h＜10时，V′＞0；当10＜h＜30时，V′＜0，∴当h=10，r=10cm时，V取最大值．故答案为10．14.函数的最大值为_________.参考答案：略15.不等式的解集为

．参考答案：略16.圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为

▲

；参考答案：2

略17.已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

参考答案：设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)∵kl＝tan60°＝∴l的方程为y＝(x－c)即：x－y－c＝0∵F1到直线l的距离为2∴＝c＝2∴c＝2∴椭圆C的焦距为4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0直线l的方程为y＝(x－2)由消去x得，(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0由韦达定理可得∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得得＝·＝

⑤又a2＝b2＋4⑥由⑤⑥解得a2＝9b2＝5∴椭圆C的方程为＋＝1.

19.已知函数()，设是的导函数.(Ⅰ)求，并指出函数()的单调性和值域；(Ⅱ）若的最小值等于0，证明：.参考答案：（Ⅰ）由题意得：.

因为所以函数在上是单调增函数，值域为.

……６分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：有且只有一个解，设满足，则当时，；当时，.所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，是极小值.从而.因为函数()是减函数且，，所以.因为，所以.

……14分20.已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．21.(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且.(1)确定角C的大小；

（2）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值参考答案：（Ⅰ）由及正弦定理得，，，是锐角三角形，.（Ⅱ）由面积公式得，由余弦定理得，由②变形得.22.（本小题满分12分）在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人，其中女性70人、男性50人。女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动。

（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表：

（Ⅱ）休闲方式与性别是否有关？

参考答案：解：（Ⅰ）的列联表为

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