广西壮族自治区南宁市市华侨实验中学高二数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市市华侨实验中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的最小值是（

）A.2

B.

C.5

D.8参考答案：C略2.设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则P（Y≥1）等于（）A．B．C．D．参考答案：A3.已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】直线与圆． 【分析】利用直线垂直的性质求解． 【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直， ∴a（2a﹣1）﹣a=0， 解得a=0或a=1． 故选：C． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用． 4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则?的值为（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，?=?=，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解答】解：由题意可得，?=?===，故选：C．5.平面内有两定点A，B及动点P，设命题甲：“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线的定义得到：若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离，从而判断出结论即可．【解答】解：设“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值|k|，若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．故命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选：B．6.设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为（）A．15 B．16 C．49 D．64参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】直接根据an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出结论．【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，故选A．【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．7.用数字2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（

）A.120 B.72 C.48 D.60参考答案：B【分析】根据偶数末位是中的一个可知有种情况；前方数字全排列共有种情况，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据排列组合知识可得偶数个数为：个【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，属于基础题.8.已知向量=（3，1），=（﹣2，5），那么2+等于（）A．（﹣1，11） B．（4，7） C．（1，6） D．（5，﹣4）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解：向量=（3，1），=（﹣2，5），那么2+=（4，7）．故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．9.曲线在点（1,）处的切线与坐标轴围成的三角面积为

()A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知向量＝(1,x,－2)＝(2,1,x)且⊥，则x的值为____A、－1B、0

C、1

D、2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设P(x,y)，其中x,y∈N，则满足x+y≤4的点P的个数为________.参考答案：15个略12.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

种．参考答案：60【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．13.数列的前项的和，则

．参考答案：14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为

．参考答案：15.已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=

．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，即d=，解得r=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．16.若点A（2,0）关于直线对称的对称点为点B，则点B的坐标________．参考答案：17.对于集合,定义，，设，则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，）.求双曲线C的方程；参考答案：x2－y2=6；

略19.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若，且，证明：.参考答案：解：（Ⅰ）由，易得的单调增区间为，单调减区间为，函数在处取得极大值，且（Ⅱ）由，，不妨设，则必有，构造函数，，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，，且在上单调递减，所以，即证.

20.（本小题满分14分）(1)证明：当时，不等式成立；(2)要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；

(3)（特保班做）请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．参考答案：解：（1）证明：左式－右式＝,∵，∴，

∴不等式成立．

（2）∵对任何且，式子与同号，恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为且．（3）

根据（1）（2）的证明，可推广为：若且，，，则有．21.（12）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．参考答案：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…（1分）f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）由条件②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]?（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣322.（Ⅰ）比较（x+1）（x﹣3）与（x+2）（x﹣4）的大小．（Ⅱ）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，由作差法分析可得：（x+1）（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣4）=（x2﹣2x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣8）=5＞0，即可得（x+1）（x﹣3）＞（x+2）（x﹣4）；（Ⅱ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，结合题意可得x+y=18，矩形菜园的面积为xym2．由基本不等式分析可得≤==9，即可得xy的最大值，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为（x+