2022年福建省莆田市第二十二中学高二数学理下学期摸底试题含解析

2022年福建省莆田市第二十二中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．2.曲线上的点到直线的最短距离是(

)

A．

B．

C．

D．0参考答案：B略3.设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为(

)A．8 B．7 C．2 D．1参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4.已知垂直竖在水平地面上相距米的两根旗杆的高分别为米和米，地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等，则点的轨迹是（A）椭圆 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线参考答案：B5.已知X的分布列如图：则的数学期望E(Y)等于X﹣101P

A．

B．1

C．

D．参考答案：A6.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：C【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值【解答】解：∵ax=by=3，∴x=loga3=，y=logb3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C7.用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“k到k+1”左边增加的项数是（

）A.项 B.项 C.项 D.项参考答案：D【分析】分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.【详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.8.在正方体中，下列几种说法错误的是A．

B．C．与成角

D．与成角

参考答案：9.极坐标和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A.直线、圆

B.直线、椭圆

C.圆、圆

D.圆、椭圆参考答案：D10.双曲线与椭圆（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，则（）A．a2+b2=m2 B．a2+b2＞m2 C．a2+b2＜m2 D．a+b=m参考答案：A【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先计算双曲线的离心率，再计算椭圆的离心率，最后由双曲线与椭圆（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，得a、b、m的等式，化简即可得结果【解答】解：双曲线的离心率为椭圆的离心率为∵双曲线与椭圆（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数∴×=1∴a2m2=（a2+b2）（m2﹣b2）∴a2+b2=m2故选A【点评】本题考察了双曲线的标准方程，椭圆的标准方程，及双曲线与椭圆的几何性质离心率的求法，辨别双曲线与椭圆的焦点位置是解决本题的关键二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．参考答案：（﹣1，﹣1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．【解答】解：由题意，可得故答案为：12.等差数列前9项的和等于前4项的和，若，，则

参考答案：1013.若z1=a＋2i，z2=3－4i，且为纯虚数，则实数a的值是

．参考答案：14.某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为

．参考答案：5015.“”是“”的__________条件．(填充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件

、既非充分又非必要条件)参考答案：略16.已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对?x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤1，其区间长度是3又∵对?x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调∴∴﹣1≤k≤1，其区间长度为2∴P=故答案为：．17.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点.

(1)证明：直线平面；

(2)若=8，且二面角的平面角的余弦值为，试求的长度.参考答案：解：(1)连结QM，因为点，，分别是线段，，的中点所以QM∥PA且MN∥AC，从而QM∥平面PAC且MN∥平面PAC又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC

而QK平面QMN所以QK∥平面PAC

(2)方法1：过M作MH⊥AK于H，连QH，则∠QHM即为二面角的平面角,设，且则，又，且，所以，解得，所以的长度为。

方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，则A（0,8,0），M（0,4,0），N（4,0,0），P(0,8,8)，Q(0,4,4)，设K（a,b,0）,则a+b=4,=(0,-4,4)，

记，则

取则，则，

又平面AKM的一个法向量，设二面角的平面角为则|cos|=，解得，所以所以的长度为。略19.（本小题满分12分）已知抛物线C:，过点K（,0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，且直线BD与x轴相交于点P（m,0）,求m的值.参考答案：设AD，的方程为将代入中整理得

4分从而

5分∴直线BD方程为即

8分令y=0,得=2，10分

即P(2，0)

∴m=2

12分20.参考答案：21.如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣B的平面角的正切值；（Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）要证平面ABD⊥平面ACD，关键是证AC⊥平面ABD，只需证AC⊥BD，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC可证；（2）设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理，可得∠EFA为二面角的平面角，从而可求；（Ⅲ）过点E作EM⊥AF，垂足为M，则EM⊥平面ACD，设点B到平面ACD的距离为h，根据E是BC的中点，可得h=2EM，故可求【解答】解：（Ⅰ）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，∴AC⊥平面ABD又AC?平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD．（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF