24届高三新结构一模压轴汇编（教师版）

·1.(2024·广东深圳·高三深圳中学开学考试)已知函数f(x(满足f(x+y(=f(x(+f(y(-2，f(1(=40,B.,C.,D.,,x21<x22-x1>0，而当x>0f(x(>2，于是f(x2-x1)>2，又f(x+y(=f(x(+f(y(-2，因此f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)-2>f(x1)，则函数f(x)是增函数，而f(ax2-4x)+f(2x)=f[(ax2-4x)+2x]+2=f(ax2-2x)+2=1，令x=-1,y=-1，得f(-2)=-2，令x=-2,y=-1，得f(-3)=-4，则2a=-3t2+4t=-3t-2+在t∈,1点，P为椭圆上一点(非顶点)，I为△PF1F2内切圆圆心，若=，则椭圆的离心率e为P为椭圆上一点(非顶点)，F|(=(a+c(r，S△IFF=|F1F2|r=cr，3.(2024·广东中山·高三中山纪念中学开学考试)已知f(x(=lnx-ax3，g(x(=xex-lnx-x-，若A.,B.,C.,D.,【解析】g(x(=xex-lnx-x-定义域为(0,+∞(，/(x(=ex+xex--1=，令h(x(=xex-1，再x>0上h/(x(∴h(x(再x>0上单调递增，0=-lnx0，则在x∈(0,x0(上h(x(∈(-1,0(，在x∈(x0,+∞(上h(x(∈(0,+∞(，∈(x0,+∞(上g/(x(>0，∴g(x(在(0,x0(上单调递减，在(x0,+∞(上单调递增，∴g(x(min=g(x0(=x0ex-lnx0-x0-=1+x0-x0-=>0，则>0等价于f(x(>0，f(x(=lnx-ax3，定义域为(0,+∞(，令j(x(=，则j/(x(==，j/(x(<0，1即j(x(的最大值在x=e3处取得，xxj(x(=→-∞,3作j(x(=图象如下：4.(2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)双曲线C:2-=1的右支上一点P在第一象限，F设圆与三角形三边相切于点M,N,Q,a+c=8,|NF2|=c-a=2,|IN|=1,I(3,1)，tan(∠IF1N+∠IF2N(+2|PM|3,∴133, tan(∠IF1N+∠IF2N(+2|PM|3,∴133,则有λ=,μ=，λμ=2，6.(2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知对任意实数x都有f(x)则f(x)=(2x+c)exfI(x)>0⇒x>-，fI(x)<0⇒x<-f(-2)≥h(-2)(-5≥-3af(-f(-2)≥h(-2)(-5≥-3a解得：≤a<)，因为x+y=2,x+y=2,x1x2+y1y2=08.(2024·湖北武汉·高三武钢三中校考开学考试)已知fx是定义在0,+∞上的单调函数，满足ffx-ex-2lnx+2=e-1，则函数fx的零点所在区间为()【解析】设fx-ex-2lnx+2=t，即fx=ex+2lnx-2+t，ft=e-1理即可判断零点所在区间．设fx-ex-2lnx+2=t，即fx=ex+2lnx-2+t，ft=e-1，因为fx是定义在0,+∞上的单调函数，所以由解析式可知，fx在0,+∞上单调递增.故ff1<0，即fx的零点所在区间为,1(.9.(2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试)已知在锐角△ABC2=sin2B-cos2B+2B-+，所以<2B<π,即<2B-<π,-+∈,，2sin(2B-+2sin(2B-+10.(2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0(的左、右顶点,y0(所以tan∠PA2F==3,tan∠PA1F==1，故tanθ=tan(∠PA2F-∠PA1F(==.故选:A.11.(2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试)已知函数f(x)=mx2-xlnx存在极小值点x0，且f(x0)<-e3，则实数m的取值范围为()0,B.0,C.0,D.0,【解析】函数f(x)=mx2-xlnx的定义域为(0,+∞)，求导得f,(x)=2mx-1-lnx，f(e2m-1)=2me2m-1-1-(2m-1)=2m(e2m-1-1)>0，则存在x1∈于是f(x)min=f=ln2m，当0<m<时，f<0，而f=-1-ln=-lnm>0，f(x2)=02)f(x)>0，函数f(x)递增，2,f(x)<0，函数f(x)递减，函数f(x)在x=x2取得极大值，又f=-1+2lnm，令h(x)=-1+2lnx,0<x<，求导得h(x)=-+<0，f(x)<0，函数f(x)递减，3,+∞)由f(x0)=0，f(x0)=mx-x0lnx0=<-e3，即有x0-x0lnx0+2e-3<0，令φ(x)=x-xlnx+2e3,x>1，求导得φ(x)=-lnx<0，,+∞)上0,.12.(2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试)已知向量,,满足==2，-=2，所以-=-O=B所以BC≤BD+DC，所以-≤33. x令f(x)=lnx+ex-2x且x>1，故f(x) x+ex-2，所以g(x)=f(x)在(1,+∞)上递增，故f(x)>f(1)=e-1>0，所以f(x)在(1,+∞)上递增，故f(x)>f(1)=e-2>0，xlnx-x2且x>1，而h(1)=-1<0，h(e)=ee-e2>0，可得tan∠F1PF2=tan∠PF2Q-∠PF1Q===≤=，A.有且仅有一点P使二面角B-l-C取得最小值B.有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最小值C.有且仅有一点P使二面角B-l-C取得最大值D.有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最大值所以∠BMC是二面角B-l-C的平面角，设∠BMC=θ,∠AMC=α,∠AMB=β,AM=t，则θ=α-β,tanα=，tanβ=，tanθ=tanα-β===，令ft=，则f,t==，t>0，ft单调递增，当t∈2,2[时，f,t<0，ft单调递减，f2=>f0=0所以有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最大值.16.(2024·浙江·高三浙江金华第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 x-32+y2=1，且圆C与x轴交于M,N两点，设直线l的方程为y=kxk>0，直线l与圆C相交A.k1+k2=2k3B.2k1+k2=k3C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k3AM:y=k1x-2，与圆C:x-32+y2=1联立，消y整理得x-2[1+kx-2k+4[=0，∴A,1同理可得B,.∵kOA=kOB， 1+k2k+41+k 1+k=4k+21+k,即(1+k1k2((k1+2k2(=0.∵k1k2≠-1，∴k2=-k1，设P(x0,y0(，∴kkk222,,17.(2024·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学开学考试)已知斜率为k(k>0(的直线过抛物线C：y2=4x的焦点F且与抛物线C相交于A,B两点，过A,B分别作该抛物线准线的垂线，x2-(2k2+4(x+k2=0，所以x1x2=11+x2=2k4，由已知和抛物线定义知：===x2=1,x2x2=1,x1+x2=2k4,奇函数，f(x(-2x为偶函数．令函数g(x(=〈f,0.若存在唯一的整数x0，使得不等式∴f(-x(+(-x(2=-f(x(-x2，f(-x(+2x=f(x(-2x，两式相减整理得f(x(=2x-x2，x当a<0时，需满足gx0∈0,-a只有一个整数解，∵g1=1，g-1=3，则1<-a≤3，即-3≤a<-1；当a>0时，需满足gx0∈-a,0只有一个整数解，∵g2=0，g3=-3，g4=-8，则-8≤-a<-3，即3<a≤8.综上，实数a的取值范围为-3,-1∪3,8.1.(2024·广东深圳·高三深圳中学开学考试)在空间直角坐标系Oxyz中，A0,0,0，B1,1,0，C0,2,0，D-3,2,1，Ex2,2,1在球F的球面上，则()C.点D到平面ACE的距离等于D.平面ACD与平面ACE的夹角的正弦值等于设F(0,1,z)，因为FC=FD，则(1-2)2+z2=(0+3)2+(1-2)2+(z-1)2，由FE=R，(x2-0)2+(2-1)2+(1-5)2=26，得x2=3，E(3,2,1)，=(0,2,0)，A=(3,2,1)，设平面ACE的一个法向量=(a,b,c)，A.函数F(x)=f(x)-h(x)至多有一个零点而h(x(=-kx+2恒过定点(0,2(，则F(x(=0无零点，其中e-x=-lnx1，e-x=lnx2，-x-x-x<e-x，2=e-2对于选项D,当k=1时，hx=-x+2，画出fx=e-x与hx=-x+2的图象，如图所示：则e-x=-xM+2，画出gx=lnx与hx=-x+2的图象，如图所示：gx=hx的最小根为xm，则-lnxm=-xm+2，由于y=-lnx与y=e-x互为反函数，则关于y=x对称，而y=-x+2也关于y=x对称，故e-x=-xM+2与-lnxm=-xm+2相加得，-lnxm+e-x=-xM+2-xm+2=2，N分别为线段AB,AD上异于点A的动点，且满足AM=AN，点H为MN的中点，将点A沿MN折至A.若点M为AB的中点，则五棱锥A-MBCDN的体积为 B.当点M与点B重合时，三棱锥A-BCD的体积为C.当点M与点B重合时，三棱锥A-BCD的内切球的半径为4-23D.五棱锥A-MBCDN体积的最大值为且AH=x，底面MBCDN的面积为16-x2(0<x≤4)，所以五棱锥A-MBCDN的体积为x16-x2(0<x≤4).4 得<x≤4.所以V(x)max=V=，D正确.4.(2024·广东中山·高三中山纪念中学开学考试)已知定义域为0,+∞的函数fx满足fx+A.fln2=log2eB.fx≥1C.a2023<a2024D.0<an≤1【解析】∵[xfx[=fx+xfx=ex，∴xfx=ex+c.设φx=ex-x-1，则φx=ex所以φx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，φ(x)min=φ0=0，由fan+1=a=fan，所以ea=，因为函数fx定义域为0,+∞,a-1≥0n+1≥0，a-1<anea，即证1-anea-1<0，令gx=1-xex-1，则gx=-xex，当x>0时，gx<0，所以gx在0,+∞上单调递减.n+1<ann{单调递减，5.(2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)若f(x(是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=,x2A.f(1(一定为正数B.2是f(x(的一个周期C.若f(1(=1，则f=1D.若f(x(在0,上单调递增，则f(1)≠因为偶函数f(x(的图像关于直线x=1对称，所以f(x+2(=f(-x(=f(x(，故B正确；f(x)=f2≥0；假设f(1)=，由f(1)=f2=f4=及f(x(≥0，x∈[0,1[，得f=故f>f，这与f(x(在0,上单调递增矛盾，故D正确.6.(2024·湖南长沙·高三长郡中学A.f(x(为奇函数B.f(x(在，π（单调递减C.f(x(在(0,2π(有且仅有两个零点D.f(x(是周期函数f(x((，[1+f(x([，∴--sinx+[1+f(x([=1， x∴f(x x又f(-x(=--sinx=-f(x(，∴函数f(x(为奇函数，故A正确；所以f(x(由f(x(=所以函数f(x(在(0,2π(的零点数即为y=sinx与y=-的交点数，结合函数y=sinx,y=-的图象可得f(x(在(0,2π(有且仅有两个零点，故C正确；xxf(xxxD错误.7.(2024·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考开学考试)已知函数fx，gx的定义域均为R，它们的导函数分别为fx，gx，且fx+g2-x=5，gx-fx-4=3，若gx+2是偶函数，则下A.g2=0B.fx的最小正周期为4C.fx+1是奇函数D.g2=5，则fk=2024两边求导得，-g-x+2=gx+2，B选项，因为fx+g2-x=5，g-x+2=gx+2，所以fx+gx+2=5①,因为gx-fx-4=3，所以gx+2-fx-2=3②,则①②相减得，fx+fx-2=2③,又fx-2+fx-4=2④,则③④相减得fx-fx-4=0，即fx=fx-4，又fx≠fx-2，故fx的最小正周期为4，B正确；C选项，假如fx+1为奇函数，则f-x+1+fx+1=0，但fx+fx-2=2，当x=2可得f2+f0=2，显然不满足要求，故fx+1不是奇函数，C错误；由B选项得fx+fx-2=2，故f2+f0=2，解得f2=2，且f3+f1=2，由B选项知fx的一个周期为4，故f4=f0=0，所以f1+f2+f3+f4=4，则fk=506[f1+f2+f3+f4[=506×4=2024，D正确.C.若A1Q=5 2 2 3 3-3λ(，所以W,Q,F三点共线，，△PAB则A1Q=3+2λ+12+2μ-22=5，化简得2λ+12+2μ-22=2，H=2-1=1， 2 2——1——DQ=DC+DQ=DC+DD-x1,1-y1,-z1=0,2a,-2a，AE+EQ=2-2a2+4a2+3+2a+12+1-2a2=8a2-8a+4+8a2+5=2、2a-2++a2+(,故KL+VL=（a-2++a2+，由勾股定理得KV=+2+=+，故AE+EQ=2、2a-2++a2+的最小值为22+=9+210，9.(2024·湖北武汉·高三武钢三中校考开学考试)已知函数fx，gx的定义域为R，gx为gx的导函数，且fx+gx-8=0，fx-2-g6-x-8=0，若gx为偶函数，则下列一定成立的A.g4=0B.f1+f3=16C.f2023=8D.fn=160【解析】由gx是偶函数，则g-x=gx，两边求导得-g-x=gx，对于A，由fx+gx-8=0⇒fx-2+gx-2-8=0⇒fx-2=8-gx-2，代入fx-2-g6-x-8=0，得8-gx-2-g6-x-8=0，又gx是奇函数，则gx-2=-g6-x=gx-6⇒gx+6-2=gx+6-6⇒gx+4=gx，故f1+f3=16，故B正确；对于C：令x=2023得f2023+g2023-8=0⇒f2023+g4×505+3-8=0，即f2023+g3-8=0，若f2023=8，则g3=0，g3=g-1+4=g-1=0对于D：令x=4，得f4+g4-8=f4+g0-8=0，故f4=8，g2=g2-4=g-2=-g2，所以g2=0，令x=2，得f2+g2-8=0，则f2=8则f1+f3=16，由gx是以4为周期得fx+gx-8=0，所以fn=5[f1+f2+f3+f4[=5×8+16+8=160，故D正确.10.(2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试)已知函数fx，gx的定义域为R，gx是gx的导函数，且fx+gx-8=0，fx-g4-x-8=0，若gx为偶函数，则()A.f1+f3=16B.f4=8C.f-1=f-3D.gk=0【解析】因为fx+gx-8=0，令x=1，则f1+g1-8=0①,fx-g4-x-8=0，令x=3，则f3-g1-8=0②,联立①②可得f1+f3=16，故A正确；由题可知gx=-g4-x，又因为gx是偶函数，所以gx是奇函数，由gx=-g-x=-g4-x可得gx=gx+4，所以gx的周期为4，fx=8-gx，故f4=8-g4=8，故B正确；因为g-1=-g1，由gx=gx+4得g-3=g1，故g-3=-g-1，又f-3=8-g-3，f-1=8-g-1，若f-3=f-1，则g-3=g-1，11.(2024·山东·高三山东省实验中学校联考SD,∠SDC=120°,SD=CD=2BC=2,P为棱SB上一点，则下列结论正确的是()B.若SP=PB，则过点A,D,P的平面α截此四棱锥所得截面的面积为D.直线AP与平面SCD所成角的正切值的最大值为对于A，因为AD⊥SD,AD⊥DC，又SD∩DC=D,SD,DC⊂面SDC，所以AD⊥面SDC，所以点A到平面SDC的距离为AD=BC=1，又因为∠SDC=120°,SD=CD=2， 2 2因为AD⊥面SDC， 所以四棱锥S-ABCD外接球的半径为R=r2+2=22+2=，所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π,故C正确； 套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选C.E(X(=1.5D.P(X=1(=依题意，An+1=An×+(1-An(×，则An+1-=-An-(n≥1,n∈N(，又n=1时，A1-=-=，n-1,An=-×-nnn=+×-n，n,PX=1士,EX士，上的动点(不包括端点)，过A，B1，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是()B.存在一点E，使得点A1和点C到平面AEB1的距离相等C.正方体被平面AEB1所截得的截面的面积随着D1E的增大而增大 E=a0<a<1，1-a(2=a2-2a+2，B1F=12+(1-a(2=a2-2a+2，梯形AB1FE的高为a2-2a+2-2=a2-a+，梯形AB1FE的面积为×(2+2a(×a2-a+=(a+1(a2-2a+3=(a+1(2(a2-2a+3(，令f(a(=(a+1(2(a2-2a+3((0<a<1(，有f'(a(=2(a+1((a2-2a+3(+(a+1(2(2a-2(=4(a+1((a2-a+1(=4(a+1(（a-2+>0.可得函数f(a(单调递增，可得正方体被平面AEB1所截得的截面面积随着D1E的增大而增大，-ABFD=×a×1×1-×1×(1-a(=|DM|=|EN| st+s3-t消去y后整理为(3s2-t2(x2-18sx+(3t2+27(=0，-1(x2-bx+1=0.(x(=-x为单调函数，即g'(x(=-1为非正或非负函数.'(1(=-1，故-1≤0，即ex≥-b(x-1(恒成立.x16.(2024·浙江·高三浙江金华第一中学校考开学考试)已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+g2-x=5，gx-fx-4=7．若x=2是gx的对称轴，且g2=4，则下列结论正确的是 A.fx是奇函数B.3,6是gx的对称中心C.2是fx的周期D.gk=130又因为fx+g2-x=5，所以f-x+g2+x=5，故fx=f-x，即fx为偶函数，故A错误；对于B，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，联立得g(2-x)+g(x+4)=12，因为gx-fx-4=7，则4-f-2=7，即f-2=-3，则f2=-f-2=3；显然f2≠f0，所以2不是fx的周期，故C错误；对于D，因为x=2是gx的对称轴，所以g(6-x)=g(x-2)，所以gx+2=gx-2，即gx=gx+4，所以gx周期为4，p(0<p<1(，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记作B.若X∼NB(r,p(，则P(X=k(=pr(1-p(k-r，k=r,r+1,r+2,⋅⋅⋅C.若X∼NB(r,p(，Y∼B(n,p(，则P(X≤n(=P(Y≥r(D.若X∼NB(r,p(，则当k取不小于的最小正整数时，P(X=k(最大X=k(为k-1个相乘再乘，即k，对于B，若X∼NB(r,p(，则P(X=k(=C-pr-1(1-p(k-rp=C-pr(1-p(k-r，+j(0≤j≤n-r)个数的取法有C+j种，这些取法可按ar的值r=r+i(0≤i≤n-r-j)时的取法有Crr--+iCri种，n-r-i则C+i-r-i=C+j，又X∼NB(r,p(，Y∼B(n,p(，设q=1-p，则p+q=1，则P(X≤n(=C+iprqi=C+prqi(p+q)n-r-i，n-rn-r-in-r--r化简得=C+iprqi⋅C-r-ipqn-r-i-j=C+iC-r-ipr+jqn-r-j，可得C+rpr+jqn-r-j=P(Y≥r(，故C正确.--(1-1解得≤k≤1+,C.PC+PD的最小值为23——”——”=(-2,-2,2(，AC1=(-2,2,2(,——”AC1=(-2,2,2(是平面A1BD一个法向量，——”—”=|4-4λ+4λ-4λ+4|，λ=-4±216不满足条件，P|23(2-2λ(2+4λ2+(2λ-2(对于C，PC+PD=(2-2λ)2+(-2λ)2+(2λ)2+(2-2λ)2+(2-2λ)2+(2λ)2=23λ-2++(λ-2+(.λ-2++(λ-2+表示P(λ,0(与E,，F,-距离之和，PE+PF≥EF=1，PC+PD≥23，C对.对于D，PA=(-2λ)2+(2-2λ)2+(2λ)2=12λ2-8λ+4，2-2= 因为NA=（2-2+2=，∴PC+PD≥CD=23，C正确. ∴截面圆半径r=2-2=，1D分别交AD，AA1于M，N，O1A=O1M=O1N=，角顶点的等腰直角三角形，直角边BA,BC与椭圆分别交于另外两点A,C．若这样的△ABC有且(y=kx+1+y2=1，得(1+a2k2(x2+2a2kx=0， ∴xA=-12由|BA|=|BC|，得(k-1([k2+(1-a2(k+1[=0，2(2-4<0，解得1<a<3； a/a/c2=2 0,.：2.(2024·广东深圳·高三深圳中学开学考试)已知关于x的不等式2ex-2xlnx-(-∞,2e+ln2[x-2xlnx-m>0在,+∞（上恒成立，令f(x(=ex-xlnx，则f'(x(=ex-lnx-1，令g(x(=ex-lnx-1，则g'(x(=ex-，'=e-2<0,g'(1(=e-1>0，'(x0(=0x-1=则x0=-lnx0，g(x(在,x0,+∞(时，g'(x0(>0，g(x(在(x0,+∞(上单调递增，故g(x)min=g(x0(=ex-lnx0-1=+x0-1>2-1=1>0，所以≤f=e-ln=e+ln2，3.(2024·广东中山·高三中山纪念中学开学考试)已知0<a<b<1，设W(x(=(x-a(3(x-b(，fk(x(=，其中k是整数．若对一切k∈Z，y=fk(x(都是区间(k。,。+∞(上的严格增(1。,。3[.【解析】W'(x(=3(x-a(2(x-b(+(x-a(3=(x-a(2(3x-3b+x-a(=(x-a(2(4x-a-3b(，令g(x(=W'(x(=(x-a(2(4x-a-3b(，'(x(=2(x-a((4x-a-3b(+4(x-a(2=6(x-a((2x-a-b(，fk(x(的几何意义是点(k,W(k((和点(x,W(x((连线的斜率，因此当k≥1时，fk(x(严格递增，W=-a3-b=-4，WI=2(a-b(=，故曲线在x=处的切线方程为y+4=x-,令x=0，化简得y=-(a-b(3(3a+b(，3+31-=8，画出y=(t-1(3及y=16FAB的内切圆半径r由三角形△F1AB的内切圆半径为r=|F2AF2=，在Rt△F1AB中，(AF1(2+(AB(2=(BF1(2，即(m+2a(2+(m+n(2=(n+2a(2，化简得m2+2ma+mn=2na③,由②③可得m=2a-2(x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，1+x2=2,x1x2=a2b2，=1+12⋅(x1+x2(2-4x1x2=，x0==.0=x0-c=-∴AB的垂直平分线为:y+=-x-,.∴|PF|=c-xP=,∴==,则=, 2 22F,AF则BU=BW,AV=AW,F2U=F2V，BF2=3a,AF2=x-a,F2U=F2V=BF2+AF2-AB=a=r，BF2=a2，从而4c2=a2 5-c,-,1=kBF=2c，k2=kBA==2k1，∴tan∠ABF=tan(α-β(===2k11≤42，当且仅当k1==时等号成立，2=2ac6+2*，使得不等式(m-an((m+an+3(>0成立，则m的取值范围为.m>或m<-〈.n=a1+(a2-a1(+(a3-a2(+⋯+(an-an-1(=1+-1+-2+⋯+（-n-1==1-（-n，所以(m-an((m+an+3(>0，解得m>an或m<-an+3，-an+3=-1+n+3<-,递增，可得-an+3的最小值为-a5=-,则-an+3∈-,-（,n=1+nn-an+3=-1-n+3,递减，可得-an+3的最大值为-a4=-，-an+3∈（-,-，*，使得不等式(m-an((m+an+3(>0成立，只需m>(an(min=或m<(-an+3(max=-，FC与y轴交于M,N两点，且|MN|=|AB|，则直线AB的斜率为.设AB:x=my+1,A(x1,y1(,B(x2y2(，则A1(-1,y1(,B1(-1,y2(，2-4my-4=0，可知|AB|=1+m2|y1-y2|=4(m2+1(，圆C的圆心C(-1,2m(，半径r=|y1-3=×4(m2+1(，解得m2=或m2=-(舍去10.(2024·福建泉州·高三福建省安溪第一中学校联考开学考试)若过点(1,0(可以作曲线y=ln(x+a(,lnx0+a,x0>-a，整理得x0+alnx0+a-x0+1=0，由题意该方程在-a,+∞有两个根，所以函数gx=x+alnx+a-x+1在-a,+∞有两个零点，所以首先有gxmin=g1-a=-1-a+1=a<0(否则gx不可能有零点，矛盾)，其次当x→+∞时，gx→+∞,所以gx在1-a,+∞上，有且仅有一个零点，所以还需保证gx在-a,1-a上有1个零点，现在来说明x趋于-a(x>-a)时，gx→a+1,gx<a+1，所以gx=x+alnx+a-x+1=---a（+1→a+1，11.(2024·福建·高三校联考开学考试)方程cos2x=3cosx-2的最小的29个非负实数解之和为 .3 ,使得f取到最大值的数列{an{的个数为.C种..CC+2C1=25270种.C交于A，B，AF与C的另一个交点为D，BF与C的另一个交点为E.若ΔABF与ΔDEF的面积由题意，得A(t,2t(,B(t,-2t(，即|AB|所以直线AD的方程为y=(x-1(，(x-1(，化简得tx2-(t2+1(x+t=0，:x1+x2=，因为A(t,2t(，可得点D的横坐标为-t=，:SΔABF=X4tX(t-1(=2t.(t-1(，SΔDEF=XX（1-=14.(2024·江苏镇江·高三扬中市第二(an,bn(在函数y=3…ann-1=a1.a2.a3…an-1,n≥2，n在函数y=的图象上，n=,n-bn-1=，n≥2，=b11=1=，n=+(n-1)=1+，an===，因为==-，所以-+-+⋯+-=2-，4+1-1【解析】曲线x-e4-22+y2=1表示圆心为De4+2,0，半径r=1的圆，则PD=x0-e4-22+e2x，令fx=x-e4-22+e2x，则fx=2x-e4-2+2e2x，令gx=fx=2x-e4-2+2e2x，则gx=2+4e2x>0，所以当x<2时gx<0，即fx<0，即fx在-∞,2上单调递减，当x>2时gx>0，即fx>0，即fx在2,+∞上单调递增，所以fx在x=2处取得极小值即最小值，即fxmin=f2=e8+e4，所以PD=x0-e4-22+e2x≥e8+e4=e2e4+1，所以PQmin=PDmin-r=e2e4+1-1.4+1-1Fx轴垂直时，AB=6.a2+b2=c2m⇒3m2-1y2+12my+9=0，所以Δ=144m2-363m2-1=36m2+1>0,y1y2=,y1+y2=，所以PB的方程为y=x-x2+y2，令y=0⇒x=+x2=+my2+2=-2y2(my1+4((my2++my2+22(my1+2(y2+4y2-5y1=-2y2(m2y1y2+my1+4my2+6(+2m2y1y+8my-5my1y2+22my1y2+8y2-5y1-8my1y2-12y22-y2=-(y1+y2(，2.(深圳一模19).已知动点P与定点A(m,0(的距离和P到定直线x=的距离的(2)设点B(-m,0(，若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AM∥BN，且AN与BM相交于点Q.(x-m)2+y2n2mxn2m=mn，(2)设点M(x1,y1(,N(x2,y2(,M,(x3,y3(，其中y1>0,y2>0且x3=-x2,y3=-y2，2 8y=1,A(22,0(,B(-22,0(， 8y = -y2-x2-22= 因此，M,A,M三点共线，且BN=x2+222+y=-x2-222+-y22=,AM,(法一)设直线MM的方程为x=ty+22，联立C的方程，得t2+2y则y1+y3=-42t,y1y3=-8t2+2t2+2，由(1)可知AM=x1-=4-x1,BN AM+ BN=AM+BN=AM⋅BN2-1+2-3=AM=4-x3，4-1+4-34-14-3=2-12-3=4-y1+y3=4-⋅-=1，4-2ty1+y3+2y1y34-2t⋅-+2⋅-(法二)设∠MAx=θ,则有=，解得AM=,所以+=+=+=1，由椭圆定义BQ+QM+MA=8，得QM=8-BQ-AM，∵AM⎳BN,∴==8-BAM，所以AQ+BQ=8N++8AM+BN-2AM⋅BNAM+BN=8-=8-2=6.8-AM⋅BNAM+BN=得[(m2-n2(s2-n2[y2+2sm(m2-n2(y+(m2-n2(2=0，1+y3=-(m2-(n1y3=(mmn2因为|AM|=x1-=x1-n,|BN|=|AM/|=x3-n，所以+=+=所以+=+==x1-n(+x3-n(=y1++y3+x1-x3-n(y1+y3+=，(m-+|AM|cosθn(m-+|AM|cosθn m2-n2n-mcosθ, |AM/|=m(m--|AM/|cosθn,解得|AM/|= m2-n2n+mcosθ,所以AQ+BQ=+=2n+=2n+=2n+=，由内切圆性质可知，S=AB+AQ+BQ⋅r，当S=λr时，λ=AB+AQ+BQ=m+=(常数).2=4y的焦点为F.设Mx0,y0(其中x0>0，y0>2=4y+1上一点.过M作抛物线C1的两条切线MA，MB，A，B为切点.射线MF交抛物线C2于另一点D.(2)求四边形MADB面积的最小值.2=4y所以抛物线在点Ax1,y1处切线的斜率为x1，则切线MA的方程为y-y1=x-x1，整理得x1x=2y+y1，同理，MB的方程为x2x=2(y+y2(，所以直线AB方程为y=x.2-4kx-8=0，=1+k2|x0-x3|=1+k2⋅16k2+32=41+k2×k2+2，则d1+d2=+===×|4k-(x1+x2(|，+y(，得x2-2x0x+4y0=0，1+x2=2x0，x1x2=4y0(其中4x-16y0=4×4(y0+1(-16y0=2)，+k2×=42+k2×|2k-x0|，x=4(y0+1((y0>x=4(y0+1((y0>0(x2-8=x0+2≥×(28(2=16，CB.2+2+，-2<x1<2，则+=1①,假设AC⊥AF，即AC⊥AF，—y—y所以AC⋅AF=0，又=(-2-x1,-y1)，=(1-x1,-y1)，所以x+y+x1-2=0②,由①②消去y1得到x+4x1+4=0⇒x1=-2fx=ty+1+=1，得(3t2+4(y2+6ty-9=0，，则y1+y2=,y1y2=，所以|AB|=(y1+y2(2-4y1y2⋅1+t2=1+t2=，2=(x1+2(2+y+(x2+2(2+y=(ty1+3(2+y+(ty2+3(2+y=(t2+1((y+y(+6t(y1+y2(+18=(t2+1((y1+y2(2-2(t2+1(y1y2+6t(y1+y2(+18=所| -18t4+18t2+72(3t2+4(2以CA+2=+18+2=+18=+18，设m=3t2+4,m≥4，+|BC|2+2=+18=2162-5+7+18=216-2++18≥+18=，2+2+2+2+F.所以等轴双曲线N的方程为-=1；(2)设E(x1,y1)，F(x2,y2)，G(x3,y3),H(x4,y4),rx=my-23)y2-4my-2=0，,y1y2=-，同理可得y3+y4=-,y3y4=-，所以|EF|=(1+m2([(y1+y2(2-4y1y2[=(1+m2(+=m2+3，|GH|=(1+n2([(y3+y4(2-4y3y4[=(1+n2(+= n2+3，,2=5C2=2，不妨设P在第一象限以及x轴正半轴上，Px0,y0，则Q-x0,-y0，则+=AQ=⋅===-2，则AQ的直线方程为y=-x+2，y=kx+2+=1，整理得2k2+1x2+8kx=y=kx+2M=；（y=kx+2（y=kx+2P=；|AM|APAN|AQ||AM|APAN|AQ|1 =2=设t=k2+2,t (2k2+1((k2+8(，=8t22t-3((t+6(2t2+9t-18= -++2，而-++2=-18-2+，2,，P的直线与C交于A,B两点(点A在点B的左侧).(2)若直线AF与C交于点D，记△BDP内切的半径为r，求r的取值范围.,==+，得k2x2+(k2-2(x+=0，由Δ=(k2-2(2-k4=4-4k2>0，得-1<k<1,k≠0，x1+x2=2-k2,x1x2=1，所以0<x1<而F,0所以直线AF的斜率存在，所以直线AF的方程为y=x-,y+2x-2x1+x+y=0，化简得2x1x2-2x+x+x1=0，解得x=或x=x1，+2+y+2|y2|，2+2+y+2|y2|r=x2+|2y2|，所以r=2+2+y 1+1+1x2+y(x2+21==2+22+2x2+令t=x2+，则r=,t>1，2t-1+t2+t因为y==x-2,y=,y=在(1,+∞(上均单调递减，则y=++2x-1+x2在(1,+∞(上单调递减，所以r=1在(1,+∞(上单调递增，++所以r>=2-1，8.(广东百校18).已知椭圆C:+=1(a>b>0(的左、右顶点分别是A，B，点H之积为-.a2=--=-=-,2=1，故椭圆C的标准方程为+y2=1；2(，直线BN的方程为y=x-2，则x=-2---+=4my1-2y1，x=my+1联立+y2=1，整理得m2+4y2+2my-3=0，Δ=16m2+48>0，则y1+y2=-,y1y2=-，则2my1y2=3y1+y2，x=my+1故x=6y1+2-2y1=42=4，Na2=b2+c2a2=b2+c2(a=2b=3，（c=1故C的方程为+=1.得(3s2+4(y2+6sty+3t2-12=0，由Δ=36s2t2-4(3s2+4((3t2-12(>0，得3s2+4-t2>0，，则y1+y2=-，y1y2=，所以x1+x2=s(y1+y2(+2t=，x1x2=(sy1+t((sy2+t(=s2y1y2+st(y1+y2(+t2=，-1,-,所以=0,-，=0,-,-=-，,所以 =-,所以x1x2-2(x1+x2(+441=-1.(武汉二调19).已知函数fx=.(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；(2)证明：fx是其定义域上的增函数；由题意f1=e-1，即切点为1,e-1,fx=,k=f1=1，所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=x-1+e-1，即y=x+e-因此fx在-∞,0单调递增，在0,+∞单调递增，即hx=ex-x-1，则hx=ex-1，所以fx是其定义域上的增函数.k,k>0，Fx=e1-kx-e-kx-x，若k≥1，则当x>1时，Fx=e1-kx-e-kx-x≤1-e-kx-x<0，不满足条件，所以0<k<1，而Fx=1-ke1-kx+ke-kx-1，令Gx=Fx，则Gx=1-k2e1-kx-k2e-kx=e-kx[1-k2ex-k2[，若2ln<0，则当2ln<x<0时，Fx<F0=0，Fx单调递减，此时Fx>F0=0，不满足题意；若2ln>0，则当0<x<2ln时，Fx<F0=0，Fx单调递减，此时Fx<F0=0，不满足题意；若2ln=0，则当x<0时，Fx>F0=0，Fx单调递增，此时Fx<F0=0，且当x>0时，Fx>F0=0，Fx单调递增，此时Fx>F0=0，满足题2.(深圳一模18).已知函数fx=ax-1ex+1-2xlnx-x2a∈R.(2)讨论函数fx的极值点个数； 当a=0时，fx=-2xlnx-x2，则fx=-2（1⋅lnx+x⋅-2x=-2lnx+x+1，令gx=fx，则gx=-2+1(,-2<0．则gx在[e-2,1[上单调递减，又因为fe-2=21-e-2>0,f1=-4<0，-2,1使得fx0=0,fx在e-2,x0上单调递增，在x0,1上单调递因此，fx在[e-2,1[上的最小值是fe-2与f1两者中的最小者.因为fe-2=4e-2-e-4=e-24-e-2>0,f1=-1，所以函数fx在[e-2,1[上的最小值为-1.fx=a[1⋅ex+1+x-1ex+1[-2（1⋅lnx+x⋅-2x=axex+1-2lnx+x+1，由fx=0，解得a=2ln+1=2l1，易知函数y=lnx+x+1在0,+∞上单调递增，且值域为R，令lnx+x+1=t，由fx=0，解得a=，设ht=，则ht=，因为当t<1时，ht>0，当t>1时，ht<0，所以函数ht在-∞,1上单调递得ht的大致图像如图所示. e 2e e 2e时，方程ht=a无解，即fx无零点，fx没有极值点；fx=2elnx+x-2lnx+x+1，设mx=ex-x-1x≥0，则mx=ex-1，令ex-1≥0⇒x≥0，则mx在[0,+∞上时单调递增函数，即ex≥x+1，得fx≥2lnx+x+1-2lnx+x+1=0，此时fx没有极值点； e e时，方程ht=a有两个解，即fx有两个零点，fx有两个极<0时，方程ht=a有一个解，即f,x有一个零点，fx有一个极值点. 综上，当a<0时，fx有一个极值点；当0<a<时，fx有两个极值点；当a≥fx没有极值点.x=，cosx+x⋅-sinx-cosx=<p0=0,n,x<0，则nx在（0,上单调递减，nx>n=，3.(浙江新阵地19).已知函数fx=cosx+λln1+x，且曲线y=fx在点0,f0处的切线斜率为1.(1)求fx的表达式；fsin-1<ln2,n∈N*.f,x=-sinx+，则f,0=λ=1，∴fx=cosx+ln1+x；设hx=fx-ax-1=cosx+ln1+x-ax-1,x>-1.0(=0.令φ(x(=ln(1+x(-x，则φ,(x(=-1=，x(>0⇒-1<x<0,φ,(x(<0⇒x>0，知函数φ(x(在(-1,0(单调递增，在(0,+∞(上单调递减，+x(-x≤0，而cosx-1≤0，所以当x∈[0,+∞(时，h(x(=(cosx-1(+[ln(1+x(-x[≤0.k1fsin-1=fsin-1+fsin-1+⋯+f（sin-1(≤sin+sin+⋯+sin，令t(x(=sinx-x,x∈x(=cosx-1<0，则t(x(在所以sin+sin+⋯+sin<++⋯+再证<ln，先证lnx<x-1,0<x<1，令u(x)=lnx-x+1(0<x<1)，则u,(x)=-1=，即lnx<x-1,0<x<1，令x=即得<ln又ln=ln(n+1(-lnn，得<ln(n+1(-ln(n(,⋯⋯,<ln(2n(-ln(2n-1(所以++⋯+<ln(n+1)-ln(n)+ln(n+2)-ln(n+1)+⋯+ln(2n(-ln(2n-1)=ln(2n(-lnn=ln2，k1fsin-1(≤ln2.解决下列问题.①证明f(x(有唯一极值点；②记f(x(的唯一极值点为g(s(，讨论g(s(的单调性，并证明你的结论.f,(x(==，令h(x(=(s-1-x(⋅ex-(s-1(，则h,(x(=-ex+(s-x-1(⋅ex=(s-x-2(⋅ex；又1<s≤2，x>0，所以s-x-2<0,即函数h(x(在(0,+∞(上单调递减，可得f,(x(=<0恒成立，因此函数f(x(在(0,+∞(上即当1<s≤2时，函数f(x(在(0,+∞(上单调递减；令h,(x(=(s-x-2(⋅ex=0，可得x=s-2>0,易知当x∈(0,s-2(时，h,(x(=(s-x-2(⋅ex>0，即函数h(x(在(0,s-2(上单调当x∈(s-2,+∞(时，h,(x(=(s-x-2(⋅ex<0，即函数h(x(在(s-2,+∞(上单调不妨取x=2s-2，则h(2s-2(=(1-s(⋅e2s-2-(s-1(=(1-s((e2s-2+1(<0；由零点存在定理可知hx存在唯一变号零点x0∈s-2,+∞,所以fx=存在唯一变号零点x0满足fx0=0，0,+∞时，fx<0；即可得函数fx在0,x0上单调递增，在x0,+∞单调递减；所以fx有唯一极大值点x0；②记fx的唯一极值点为gs，即可得x0=gs由hx0=s-1-x0⋅ex-s-1=0可得s=+1，即可得gs的反函数g-1s=+1，令φx=+1,x∈s-2,+∞,则φx=，构造函数mx=ex-x-1,x∈0,+∞,则mx=ex-1，显然mx=ex-1>0在0,+∞恒成立，所以mx在0,+∞上单调递增，因此mx>m0=0，即ex>x+1在0,+∞上恒成立，x>x+1在s-2,+∞上恒成立，即可得φx=>0在s-2,+∞上恒成立，因此g-1s在s-2,+∞单调递增；易知函数gs与其反函数g-1s有相同的单调性，所以函数gs在2,+∞上单调5.(广东百校19).已知函数fx=ex-lnx-m(其中e为自然对数的底数).54≈3.49)m=-1时，fx=ex-lnx+1，故fx=ex-,x>-1，因为y=ex,y=-在-1,+∞上均为增函数，故fx在-1,+∞上为增函所以fx在-1,0上为减函数，在0,+∞上为增函数，故fxmin=f0=1.由fx的定义域为m,+∞,fx=ex-,x>m，因为y=ex,y=-在m,+∞上均为增函数，故fx在m,+∞上为增函m+1-m