中考数学复习指导：利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题

利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题我们知道几何图形中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形等，都有其独特的几何性质，在直角坐标系中，这些性质都可以用代数形式表示出来，从而可利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题．一、计算距离，找等腰三角形顶点例1如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋m与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D，抛物线对称轴交x轴于点E．问：直线DE右侧的抛物线上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？分析易求得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．由配方，得抛物线顶点为D(1，4)．当点P在直线DE右侧的抛物线上时，PC≠CD．若PD＝CD．则点P与点C关于直线DE对称，点P1坐标为(2，3)；若PC＝PD，设点P为(x，－x2＋2x＋3)．由PC2＝PD2，得x2＋3x＋1＝0．代入抛物线解析式求得点P2坐标为(，)．二、逆用勾股定理，找直角三角形的顶点例2如图2，直角坐标系中，已知点A(－1，0)，P(1，4)，如果点Q为x轴上一点，△APQ是直角三角形，求点Q的坐标．分析∠PAQ≠90°，而∠APQ、∠AQP都可能是直角．若∠APQ1＝90°，则PQ12＋AP2＝AQ12．设点Q2为(x，0)，则AQ1＝．PQ12＝(x－1)2＋16．又∴AP2＝22＋42＝20，∴(x－1)2＋16＋20＝(x＋1)2．∴x＝9，则点Q1坐标为(9，0)；若∠AQ2P＝90°，则点Q2坐标为(1，0)．三、利用对称性，求平行四边形的顶点例3如图3，在直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径画圆，点P在⊙O上，且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x,y轴分别交于点A,B，P为AB中点．问：在⊙O上是否存在点Q，使得以Q,O,A,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点Q的坐标．分析作PC⊥OA，垂足为C，连结OP．则OP＝AP＝BP＝2．且∠AOP＝∠OAP＝45°．∴OC＝PC＝，点P坐标为(，)．如果OP是对角线，则作OQ1∥AP，交⊙O于点Q1，连结PQ1(图3(1))．由OQ1＝2，可知OQ1AP．∴四边形Q1OAP是平行四边形．这时PQ1⊥OB，则点Q1与点P关于y轴对称，坐标为Q1(－，)；如果OA是对角线，则作OQ2PA，交⊙O于点Q2，连结AQ2(图3(2))．由OQ2＝2，可知OQ2PA．∴四边OQ2AP是平行四边形．这时∠AOP＝∠OAP＝∠AOQ2，因此点Q2与点P关于x轴对称，坐标为Q2(，－)．四、借助平移，分析图形特征求顶点例4如图4，直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A(4，0)、C(0，－2)，直线y＝－x交边BC于点D．(1)二次函数图象经过点A,D,O，求它的解析式；(2)在这个二次函数图象上是否存在点M，使以O,D,A,M为顶点的四边形为梯形？分析(1)点D坐标为(3，－2)．所求的二次函数为；(2)如果DO为底边，则平移直线DO，使其经过点A，得直线AM1的解析式为：y＝代入二次函数，解出x1＝4(舍去)，x2＝－1．∴点M1坐标为(－1，)．这时，AD与M1O不平行，四边形ODAM1为梯形；如果AO为底边，则平移直线AO，使其经过点D，得直线DM2为：y＝－2(即直线BC)．同理