2023届高考数学试题一轮总复习题型练习第12讲　对数与对数函数讲义

第12讲对数与对数函数

考点1：对数的化简求值

/对数函数图象过定点问题

।喜在2:对数函数的图象及应用∈'”里函数图象的辨析

对数与对数函数「婺函数图象求逑的范围

\利用对数函数的性喇%J1

［考住3：重数函数的性质及应用求解对数方程、产三崛题

\、对数型复合函数的单调性值域问疑

须

走进教材・自主回顾//////////////////////////////

L对数的概念

如果炉=M“>0,且αWl),那么数X叫做以α为底N的对数，记作X=,其中α叫做对数的底

数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①。叫，=；②IOgM=伙”>0,且α≠l).

(2)对数的运算性质

如果α>0且ori,M>Q,N>0,那么

①Ioga(MM=；

„M

②∣og"W=；

③IogM=5∈R).

(3)换底公式：log/=(">0,且αWl,6>0,c>0,月.cWl).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y=logd(">0,且α≠l)叫做对数函数，其中X是自变量，定义域是(O,+∞).

(2)对数函数的图象与性质

a>∖0<a<∖

y

『1产IogMX=I

3，。)一

图象

~0

____1T=IogM

定义域：_________

性质值域：

当X=I时∙，y=0,即过定点_________

当x>l时，)>0；当x>∖时，γ<0;

当(XXVl时，y<0当OaVl时，y>0

在(0,+8)上是_在(0,+8)上是—

4.反函数

指数函数y="(α>0,且α≠l)与对数函数(a>O,且。云1)互为反函数，它们的图象关于直线

对称.它们的定义域和值域正好互换.

考点探究・题型突破

A考点1对数的化简求值

［名师点睛］

1.在对数运算中，先利用蕊的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数露的形式，使蕊的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、

商、系再运算.

3.ab=Λ%=IogJV(4>O,且α≠D是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

［典例］

1.(2022•浙江绍兴•模拟预测)己知Iga+8=2M"=10,则〃=；b=.

2.(2022•全国•高三专题练习)化简求值

s2sl

(I)Iog31+Iog3y-3'°'+(√2-l)';

(2)(Ig2)2+lg5×lg2+lg5+lnl；.

2

(3)In2«+Iog37Iog781-In2-Iog2√2-Iog2√8;.

(4)2鹤3-log,7Iog79+logιs6+logl83.

3.(2022•全国•高三专题练习)(1)计算3'叫2+27g+Ig5()+Ig2；

(2)已知Iog2［log3(lgx)］=l,求实数X的值；

k

(3)若18"=5,‰9=b,用α,b,Iog3645.

［举一反三］

1.(多选)(2021•全国•高三专题练习)设α,匕，c都是正数，且4"=6"=9’,那么(???????)

02/26

A.cιb+be=2acB.ab÷be=acC.—=—+-D.-=-------

cabcba

o

2.(2022•山东滨州•二模)∙og2si∏15-Iog,cos345°=

2

,32

,og53

3.(2022•全国•高三专题练习)(1)2log32-log3-+log38-5;

(2)(log2125+log425+Iogs5)∙(log52+log254+log1258).

4.(2022•全国•高三专题练习)化简求值：

71

l8j5

(1)Iog35-Iog315-(log,5)^--~-+3°.

3

lθg5

(2)(Ig2)2+lg20×lg5÷3l0fo4;

ln2

(3)Ig20-Ig2+Iog23∙Iog916-e+2sin330.

(4)Ig25+∣lg8+lg5∙lg2θ+(lg2)2.

(5)(log,3+Iog53)∙(Iog35+Iog95)lg2.

5.(2022•全国•高三专题练习)(1)求∣og?上bg38∕0g∣27的值.

255

(2)已知log,>5=α,36=7,试用α,b表示k‰35

>考点2对数函数的图象及应用

［名师点睛］

L在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低

点等)排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

［典例］

1.（2022•山东潍坊•二模）已知函数〃尤）=IOg“（x-。）（α>0且"1）的图像如图所示，则以下说法正确

的是(???????)

A.a+h<0B.ab<-∖c.(W<1D.1ogJ⅛∣>0

2.（2022•广东广州•二模）函数/（x）=Sin万X-Inl2x-3∣的所有零点之和为.

［举一反三］

1.（2022•浙江绍兴•模拟预测）在同一直角坐标系中，函数y=log"（-x）,y=?（“>0）,且αwl的图象

2.（2022•江苏•二模）已知实数4，b,C满足hiα=2%=cT,则下列关系式中不可能成立的是（??????？）

A.a>b>cB.a>Ob

C.c>a>bD.c>b>a

›考点3对数函数的性质及应用

［名师点睛］

L比较对数值的大小与解形如1。&</（工）>108*（》）的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果”的

取值不确定，需要分”>l与0<α<1两种情况讨论.

2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必

须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而

成的.

［典例］

1.（2022・浙江金华三模）若函数/（》）=彳（2,-2-，）,设α=g,⅛=log4∣,c=Iog5ɪ,则下列选项正确

的是(9999999999)

04/26

A./(a)<∕(ft)<∕(c)B./(a)<∕(c)<∕(ft)

C./(⅛)<∕(α)<∕(c)D./(c)<∕(α)<∕(⅛)

2.(2022•福建莆田•三模)已知α=2°',6=log"3,c=log52,则(???????)

A.a>c>bB.b>c>a

C.a>b>cD.h>a>c

3.(2022•湖北•二模)己知函数，(X)=Ig(IXlT)+2,+2-，，则使不等式F(X+l)<f(2x)成立的X的取值范

围是(???????)

A.(―∞,-1)D(I,+∞)B.(-2,-1)

C.I-∞,-7I(h÷∞)D.(-∞,-2)1(l,+∞)

4.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=IogJl+4')-x,则下列说法正确的是(??????？)

A.函数/(x)在(f,θ］上为增函数B.函数/(x)的值域为R

C.函数/(χ)是奇函数D.函数/(χ)是偶函数

5.(2022•全国•高三专题练习)知函数/(x)=k‰(A√-2x+6)(a>0,"l)

(1)若函数的定义域为R,求实数k的取值范围;

(2)若函数/(x)在［1,2］上恒有意义，求k的取值范围;

(3)是否存在实数3使得函数/(x)在区间23］上为增函数，且最大值为2?若存在，求出Z的值；若不

存在，请说明理由

［举一反三］

1.(2022•湖南•岳阳一中一模)设α=logs4,⅛=log43,c=g),则(???????)

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

2.(2022•北京房山•二模)已知函数/(x)=IbgaX,则不等式/3<2的解集为(???????)

A.(T,0)50,4)B.(0,4)

c

∙(白)D.

3.(2022•北京昌平•二模)已知函数/(X)=OT?-40v+2(α<0),则关于X的不等式〃x)>log?x的解集是

(9999999)

A.(-∞,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,+∞)

4.(2022•北京丰台•二模)已知偶函数/(x)在区间［0,+向上单调递减.若"lgx)>∕(l),则X的取值范

围是(???????)

。,哈卜(1'+8)

B.

D.(0,总U(IO,+8)

(万)“并，则/(x)≤gx的解集为(???????)

5.(2022•河北•高三阶段练习)已知函数

log4(x+l),-l<x<l

A.(-∞,0]B.(-l,0]C.(-l,θ]u[l,+∞)D.[l,+∞)

6.(2022•重庆•模拟预测)若函数/(幻=Iog.(-3/+4以-1)有最小值，则实数。的取值范围是(??????？)

C.0,—D.(W,+oo)

/I∖ax2-2x+4/1~|

7.(2022•江苏•高三专题练习)已知函数y=；J的值域为［。，记］,若不等式log“Q⑷)<log“(2,T)

在Xe［1,2］上恒成立，则f的取值范围是(???????)

A.dB.,+∞^C.(—8⑵D.(0,2)

8.(多选)(2022•江苏•高三专题练习)已知函数/(x)=-log2X,下列四个命题正确的是(???????).

A.函数/(IM)为偶函数

B.若f(α)=∣∕(b)∣,其中α>0,⅛>0,a<∖<h,则成=1

C.函数/(-Y+2x)在(1,3)上为单调递增函数

D.若0<“<l,则∣∕(l+α)∣<∣∕(l-α)∣

9.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知/(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，W∕(x+l)=-∕(x),

且当xe［0,l)时，/(x)=l0g2(x+l).给出下列命题，其中正确的命题的为(???????)

06/26

A./(2016)+∕(-2017)=0

B.函数/(x)在定义域上是周期为2的周期函数

C.直线y=χ与函数/(X)的图像有I个交点

D.函数/(x)的值域为(-U)

10.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=∕-2x+3,g(x)=∖og2x+m,对任意的美,x2e［∖,4］有

/(Λ1)>g(Λ2)恒成立，则实数m的取值范围是.

11.(2022•北京•高三专题练习)已知函数/(x)=∣og,,x(a>0),且"1),设α>l,函数y=∣log,,可的定义域

为阿，n］(m<n),值域为［0,1］,定义“区间［成，川的长度等于〃一机“，若区间的，川长度的最小值为之,求

实数a的值；

12.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=IOg,,(3-αx)(α>0,且α≠l).

(1)求/(x)的定义域.

(2)是否存在实数。，使函数〃x)在区间口，2］上单调递减，并且最大值为2?若存在，求出。的值；若不

存在，请说明理由.

13.(2022•全国•高三专题练习)己知函数/(x)=lOg,,(2-x)+loglj(x+4),其中α>l.

(1)求函数/O)的定义域；

(2)求函数AX)图像所经过的定点；

(3)若函数/(X)的最大值为2,求"的值

第12讲对数与对数函数

考点1：对数的化简求值

对数函数图象过定点问题

考点2:对数函数的图象及应用对数函数图象的辨析

对数与对数函数利用对数函数图象求参数的范围

利用对数函数的性质比较大小

考点3:对数函数的性质及应用求解对数方程、不等式的问题

对数型复合函数的单调性、值域问题

走进教材・自主回顾//////////////////////////////

1.对数的概念

如果∕=Mα>O,且αWl),那么数X叫做以α为底N的对数，记作X=IogJV,其中。叫做对数的底数，N

叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

⑴对数的性质：①αk¾N=M②IOgM=仇”>0,且“#1).

(2)对数的运算性质

如果“>0且“≠l,M>0,N>0,那么

Φlogu(M∕V)=log,,M+IogJV;

CM

②Iog“讨-IognM-IogflTV;

fl

(3)logαM=nlogaM(∕2∈R).

(3)换底公式：IogJ?=出H(a>O,且⅛>0,c>0,且CW1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y=log,κ(α>0,且α*l)叫做对数函数，其中X是自变量，定义域是(O,+∞).

(2)对数函数的图象与性质

a>∖O<tz<l

y

卜1）=1OgMx=l

（））

图象Ua,,

OaO）~~o

产log,,x

定义域：(0>+°o)

值域：K

当X=I时，y=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时，)>0；当x>l时，y<0；

当O<χvl时，y<0当O4<l时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

4.反函数

指数函数y=α'(α>O,且"Wl)与对数函数γ=k‰r(a>O,且αWl)互为反函数，它们的图象关于直线V=X

对称.它们的定义域和值域正好互换.

能

考点探究・题型突破//////////////////////////////

>考点1对数的化简求值

08/26

［名师点睛］

1.在对数运算中，先利用森的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数繇的形式，使赛的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、

商、赛再运算.

3.ab=N7b=logJV(a>0,且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

［典例］

1.(2022•浙江绍兴•模拟预测)己知lgα+匕=2,α"=10,则。=；b=

【答案】????10????1

i

【解析】a=10=>Z>=Iogfl10,

.∙,lgα+⅛=ɪ+logfl10=2,解得Iog“10=l=>α=10,.∖b=∖.

lɑgjθ

故答案为：10；1.

2.(2022•全国•高三专题练习)化简求值

lυ82s

(1)log3→log3y-3'+(√2-l)'';

(2)(Ig2)2+lg5×lg2+lg5+lnl；.

2

(3)In2e+Iog37∙Iog781-In2-Iog2∖∣2-Iog2Vδ；.

tog23

(4)2-log,7-Iog79+log,86+Iogl83.

【解】⑴1呜?+小片一3尔?+(夜-11

0

=log39-2÷(√2-l)=2-2÷l=l;

2

(2)(Ig2)÷lg5×lg2÷lg5+lnl

=(lg2+lg5)×lg2÷lg5+0=lg2+lg5=l；

2

(3)↑n2e÷log37∙log781-ln2-log2√2-Iog2册

2In7Inɪ

=In2+Ine~+---------------In2-log,22-logɔ22

In3In7

13

=In2+2+4—In2--------=4；

22

log23

(4)2-log,7Iog79+Iogls6+Iogis3

=3一号.詈+log∣a(6x3)=3-2+l=2

3.(2022•全国•高三专题练习)(1)计算3幅2+27、Ig50+Ig2；

(2)已知Iog2[log3(lgx)]=1,求实数X的值；

(3)若18"=5，logl89=Z?,用"，h,表示Iog3e45.

【解】(1)原式=2+3+lg(5xl0)+lg2=5+lg5+l+lg2=6+lg5+lg2=6+lgl0=7:

(2)因为log?[l0g3(Igx)]=1,所以log3(lgx)=2,所以lgx=3、9,所以ml。，

⑶因为⑻=5,所以1叫5="，所以*45=兽嗖=鲁锣彗唳G

lθgl836logl8(18×2)Iog1818+logl8(18÷9)

Iogi85+k‰9=a+b

logικ18+logιs18-logιs92-b'

[举一反三]

1.(多选)(2021•全国•高三专题练习)设α,b,C都是正数,且4"=6"=9<’,那么(？?????？)

22112I

A.ab+bc=2acB.ab+be=acC.—=—+—D.—=--------

cabcha

【答案】AD

【解析】由于。，b,C都是正数，故可设4"=6〃=9'=M,

a=Iog4M,b=Iog6M,c=Iog9M,则I=log,w4,-=Iogw6,-=Iogw9.

abc

112121

•ogM4+log,w9=21og,M6).∙.1+1=±,即_L=]_±,去分母整理得，ab+bc=2ac.

acbcba

故选AD.

2.(2022•山东滨州•二模)Iog2sinl50-Iog,cos345°=

2

【答案】-2

【解析】解：因为cos345°=Cos(3600-15°)=Cos15°,

00ooo0

所以Iog2sin15-loglcos345=Iog2sin15+log2cos15=Iog2(sin15cos15)

2

=Iog2Sin30j=log,；=,

故答案为：-2.

32

,0ε*23

3.(2022•全国•高三专题练习)(1)21og32-log3y+log38-5^;

(2)(log2125+log425+Iogs5)∙(log52+Iog2s4+log1258).

10/26

【解】(1)原式=2k>g32—51og32+2+31og32—3=-1.

31。氏25Iog54ιIog58

(2)原式=|Iog25+

4

ɪθgɔIog525Iog5125?

=β+l+∣jlog5∙(31og2)

=[31^5÷i⅛i÷⅛)∙h2÷≡i÷≡ij25

1嗅2

=131og25-=13.

lθg25

4.（2022•全国•高三专题练习）化简求值:

ʌ1

(1)10g5-Iog15-(Iog5)^---+3啕5.

333logs3

2l0fo4

(2)(Ig2)+lg20×lg5+3;

,n2

(3)Ig20-Ig2+Iog23∙Iog916~^+2sin330.

2

(4)Ig25+-lg8+lg51g2θ+(lg2)2.

(5)(log23+Iog53)∙(log35+Iog95)lg2.

【解】⑴ɪɑgɜ5∙l0g315-(Iog35『--ɪ-+3嘀$

logs3

2

=Iog35XIog3(5×3)-(Iog35)-Iog35+5

2

=ɪogʒ5×(1+Iog35)-(Iog35)-Iog35+5

2

=lɑgʒ5+(Iog35)2-(Iog35)-Iog35+5=5；

(2)(Ig2)2+lg20×lg5+3l0fo4

2tofo2

=(lg2)+(lg2+l)∙lg5+3

2

=(lg2)+lg2∙lg5+lg5+2

=lg2(lg2+lg5)+lg5+2=lg2+lg5+2=3;

ln2

(3)Ig20-Ig2+Iog23∙Iog916-β+2sin330°

20

4

=Ig—+Iog23∙log3,2-2+2sin(-30°)

=lgl0+log23∙2∙log,2-2+2-f-∣^l+2-2-l=O；

2

(4)Ig25+^lg8+lg5∙lg2θ+(lg2)2

=2lg5+21g2+lg5∙lg(10×2)+(lg2)2

=2(lg5+lg2)+lg5(l+lg2)+(lg2)2

=2+lg5+lg2(lg5+lg2)=3;

(5)(log23+Iog53)∙(log35+Iog95)lg2

Ig3(lg2+lg5)Ig5(lg3+lg9).ɔ

Ig21g5Ig3-lg9fo

Jg3+2∙lg3=3

21g3-2-

5.(2022•全国•高三专题练习)(1)求1鸣天/啕8」唱27的值.

Z-

(2)已知log,>5=α,3"=7,试用。，b表示1<‰35

3

【解】(I)原式=IogQHlogsZrogsT3=(-2log,5)∙(31og32).(-3Iog53)

Ig5Ig2Ig3

=18=18

lg2-⅛3⅛5

(2)由寸=7得至IJIOg37=b,

由log,,5=α,得到cyglogQ,即log.35=2”.

Iog335_Iog35+Iog31_2a+b

Iog2l35=

Iog321Iog37+Iog33b+∖

›考点2对数函数的图象及应用

［名师点睛］

L在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低

点等）排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

［典例］

1.（2022•山东潍坊•二模）已知函数/（x）=log,,（x-（α>0且αwl）的图像如图所示，则以下说法正确

的是（???????）

12/26

A.α+bvθB.ab<-∖C.O<ab<1D.Iog^∖b∖>0

【答案】C

【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以

令/(x)=10g0(j)=0,即x=b+l,所以函数“X)的零点为一+1,结合函数图象可知Ovb+lvl,所以

-l<⅛<0,

因此α+b>O,故A错误；

又因为所以-因此必不一定成立.，故错误；

-a<ab<Ofα>l,<-1B

因为∕<∕<ɑ°,即L<a”<l,且O<L<1,所以0<∕<l,故C正确；

aa

因为0<例<1,所以log“四<log,』，即IOgM<0,故D错误，

故选：C.

2.(2022广东广州•二模)函数"x)=SinGTn∣2x-3∣的所有零点之和为.

【答案】9

【解析】由/(x)=0<=>SinG=In∣2x-3|,令y=sinπr,y=ln∣2x-3∣,

Q

显然y=sin⑪与y=ln∣2x-3∣的图象都关于直线Λ=∣对称，

在同一坐标系内作出函数y=sinπx,y=ln∣2x-3∣的图象，如图，

观察图象知，函数y=sinπr,y=ln∣2x-3∣的图象有6个公共点，其横坐标依次为为西，毛，％%%，

3

这6个点两两关于直线尤=∣■对称，有x∣+4=々+&=G+Z=3,则为+X2+X3+X4+X5+∙r6=9,

所以函数/(x)=SinG-In∣2x-3∣的所有零点之和为9.

故答案为：9

［举一反三］

1.(2022•浙江绍兴•模拟预测)在同一直角坐标系中，函数y=log(J(T),)，=?(。>0),且α≠l的图象

可能是(???????)

【解析】解：因为函数y=log,,(r)的图象与函数尸】Og“x的图象关于>轴对称，

所以函数y=log,,(T)的图象恒过定点㈠,0),故选项A、B错误；

当”>1时，函数产∣0guX在(0,+8)上单调递增，所以函数y=logα(-X)在(-8,0)上单调递减，

又y=T⅛,>l)在(--O)和(0,”)上单调递减，故选项D错误，选项C正确.

故选：C.

2.(2022•江苏•二模)已知实数a，b,C满足［nα=2%=£•《，则下列关系式中不可能成立的是(??????？)

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>hD.c>h>a

【答案】D

14/26

【解析】设］n4=2"=∕=f,，>°，

则α=e',b=∖ogit,c=p-,

在同一坐标系中分别画出函数y=e',y=10g2x,y='的图象,

当f=%时，c>a>b,

当r=%时,a>c>b.

当f=匕时，a>b>c,

由此可以看出，不可能出现c>0>α这种情况,

故选：D.

A考点3对数函数的性质及应用

［名师点睛］

1.比较对数值的大小与解形如∣og∕x)>log"g(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果。的

取值不确定，需要分α>l与O<α<l两种情况讨论.

2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必

须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而

成的.

［典例］

1.(2022•浙江金华•三模)若函数"x)=x(2'-2-*),设a=g,*=log4∣,C=Iog则下列选项正确

的是(999799????)

A./(4)<∕(6)<∕(C)B./(α)<∕(c)<∕(⅛)

C.f(b)<f(a)<f(c)D./(c)<∕(a)<∕(⅛)

【答案】A

【解析】由题可知/(x)=x(2'-2-*)(xwR),故〃-X)=-X(2一，-2、)=/(x),

函数/(x)为偶函数；

易知，当x>0时∙，/(x)在(O,+∞)为单调递增函数；

X⅛=Iog4∣=-log43,Λʃ(/?)=/(-Iog43)=/(Iog43),

同理，/W=/(Iog54)；

又g=∣og42<log43,

Ig42

⅛4=Jg5=Ig4∙lg4≥Qg4y=(lgJIg4]>∣

2

Iog43-⅛3^Ig5∙lg3^∩g5+lg3V^(lg√15)~[∖gy∕i5)，

⅛4J

故ɪ<log43<Iog54,故/(α)<f(b)</(c).

故选:A.

2.(2022•福建莆田•三模)已知α=2"',6=log,3,c=log52,则(???????)

A.a>c>bB.b>c>a

C.a>b>cD.h>a>c

【答案】C

【解析】α=20l>20=l

JL-1

Ξ,2

4>3>2=4•>-1>⅛=Iog43>Iog44=-»

2-1

2<5Ξ∙∙c=log52<log552=2

.∖a>b>c

故选：C.

3.(2022•湖北•二模)已知函数/(x)=Ig(IXlT)+2*+2L则使不等式F(X+1)<f(2x)成立的X的取值范

围是(???????)

A.(-∞,-l)<J(l,+∞)B.(-2,-1)

C.1-°0'-]](l,+∞)D.(―∞,-2)∣(l,+∞)

【答案】D

【解析】由IXI-1>O得/(ɪ)定义域为(-∞,-l)o(l,y),

16/26

f(-χ)=ɪg(iXl-1)+rx+2∙'=/(%),故f@)为偶函数,

而y=lg(∣x∣-l),y=2'+?在(l,+∞)上单调递增，

故/S)在(l,+∞)上单调递增，

+12x

>H∣∣r√+2χ+ι<4√

则f(x+l)<∕(2x)可化为《∣X+1∣>1,得(T

∣2x∣>l［χ+l>l<r+K-l

解得x>l或x<-2

故选：D

4.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=∣og20+4,)-x,则下列说法正确的是(???????)

A.函数/(x)在(9,O］上为增函数B.函数/S)的值域为R

C.函数/O)是奇函数D.函数/(x)是偶函数

【答案】D

【解析】根据题意，函数〃x)=k)g2(l+4x)-x,其定义域为R,

有/(-x)=log2(l+!)+x=log2(l+4x)-x=〃x),所以函数/(χ)是偶函数，则。正确，C错误，

对于A,ʃ(-l)=Iog21>1=/(0),/(©不是增函数，A错误，

rx

对于B,/(X)=log2(l+4)-x=log2(^+2),

设r4+2，..2,当且仅当X=O时等号成立，则t的最小值为2,故/(工).」唯2=1,即函数的值域为［1,+8),

8错误，

故选：D

5.(2022•全国•高三专题练习)知函数/(x)=IOg“(依2-2x+6)(a>0,α*l)

(1)若函数的定义域为R,求实数k的取值范围；

(2)若函数/(x)在［1,2］上恒有意义，求笈的取值范围；

(3)是否存在实数"使得函数“力在区间⑵3］上为增函数，且最大值为2?若存在，求出k的值；若不

存在，请说明理由

【解】解：(1)因为函数的定义域为R，

则辰2-2x+6>0在R上恒成立，

当％=O时，-2x+6>0,得xv3,不合题意舍去；

1』⅛>0-2纵<。’解得&T1，

当左≠0时,

;'宗合乙*>2O

(2)函数/(x)在口,2］上恒有意义，即心-2x+6>0在口,2］上恒成立

26

.,.kx2>2%—6,∙,∙k>-------恒成立,

XXT

令f=L?€则),=_6/+2r,当时,y=-6χ[g]∣2÷2×I=-I,

1,maχ

XPI22

2

⅛>0⅛<0

(3)当0>l时,-≤2或-~≥3

kk

logrt(9k-2×3+6)=2Iog“(9%-2x3+6)=2

1

解得幺,-，

Jt=9

⅛>O<O

ɪ≤2

当OVaVI时，`~≥3或4

kk

IOga(94-2×3+6)=2logα(9Λ-2×3+6)=2

解彳IJk=—,0<k<—.

99

故存在实数k=f,使得函数/(x)在区间23］上为增函数，且最大值为2.

［举一反三］

1.(2022•湖南•岳阳一中一模)设α=logs4,fo=log43,c=(})，则(???????)

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】A

2lg3lg5222

⅛4-(^)-lg4-lg√15

【解析】log,4.log3=昼-柜=里士妒跤

4≥__________Z_____—>U,

Ig5Ig4Ig41g5Ig41g5Ig41g5

所以Iog54>log43,

062

log43>log42=∣,lΓij⅛=⅛<∣,

18/26

所以a>b>c.

故选：A.

2.(2022•北京房山•二模)已知函数/(X)=Ilog",则不等式/(x)<2的解集为(???????)

A.(-4,0)ʊ(0,4)B.(0,4)

c

∙(川DL

【答案】C

22

【解析】/(x)=∣log2^<2=>-2<Iog2X<2=>2~<X<2.

故选：C.

3.(2022•北京昌平•二模)已知函数/(x)=oχ2-40x+2(α<0),则关于X的不等式/(x)>log?x的解集是

(9999999)

A.(→o,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,Zo)

【答案】C

【解析】山题设，/O)对称轴为x=2且图象开口向下，则/(x)在(0,2)上递增，(2,+8)上递减，

由f(x)=ax2-4ax+2=ax(x-4)+2,即/(x)恒过(4,2)且/(0)=2,

所以(0,4)上/(x)>2,(4,+8)上/(x)<2,

而y=Iog?X在(0,+∞)上递增，且(0,4)上y<2,(4,+∞),hj>2,

所以/(x)>log?X的解集为(0,4).

故选：C

4.(2022•北京丰台•二模)已知偶函数/(x)在区间［0,+e)上单调递减.若y(lgx)>/⑴,则X的取值范

围是(???????)

ʌ'⅛a)B-l⅛K(L+8)

c

∙心。)D-(O4.4")

【答案】C

【解析】解：偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递减，所以/(x)在区间(YO,0］上单调递增；

则/(lgΛ-)>/⑴等价于IIgM<1,BP-1<⅛X<1,

即端<lgx<lglθ,解得1⅛<x<10,即原不等式的解集为七,10)；

故选：C

5.(2022•河北•高三阶段练习)已知函数，〔万)‘**1,则〃x)≤g*的解集为(???????)

log4(x+l),-l<x<l一

A.(―∞,θ]