2022-2023学年山西重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.某同学从5本不同的科普杂志,4本不同的文摘杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有（）

A.20种B.9种C.10种D.16种

2.关于线性回归的描述，下列表述错误的是（）

A.回归直线一定经过样本中心点GJ）B.相关系数r越大，相关性越强

C.决定系数R2越接近1,拟合效果越好D.残差图的带状区域越窄，拟合效果越好

2

3.从集合｛3,5,7,9,11｝任取两个数作为a,b,可以得到不同的焦点在%轴上的椭圆方程与+

5=1的个数为（）

A.25B.20C.10D.16

4.某种作物的种子每粒的发芽概率都是0.8,现计划种植该作物1000株，若对首轮种植后没

有发芽的每粒种子，需再购买2粒种子用以补种及备用，则购买该作物种子总数的期望值为

（）

A.1200B,1400C.1600D.1800

5.已知随机变量X满足P（X=2k）建（人=1,2,3,6）（。为常数），则X的方差D（X）=（）

A.2B.4C.6D.8

6.算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式

演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中，以“纵式”和“横

部放入表格“|卜中，那么可以表示不同的三位数的个数为（）

A.18B.20C.22D.24

7.某车间使用甲、乙、丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优

质品率分别为60%,50%,且甲和乙加工的零件数分别占总数的45%,30%.如果将三台车床

加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54,则车床丙加工

此型号零件的优质品率是()

A.48%B.50%C.52%D.54%

8.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，4表

示事件“第一次取出的数字是3"，B表示事件“第二次取出的数字是2"，C表示事件“两次

取出的数字之和是6"，。表示事件“两次取出的数字之和是7"，则()

A.P(C|O)=P(C)B.P(C|B)=P(C)C.P(4|C)=P(A)D.P(A\D)=PQ4)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.为了考察某种疫苗的预防效果，先选取某种动物进行实验，试验时得到如下统计数据：

未发病发病总计

未注射疫苗

注射疫苗40

总计70100

现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5,则下列判断正确的是()

A.未注射疫苗发病的动物数为30只

B.从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为之

C.在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关

D.注射疫苗可使实验动物的发病率下降约10%

10.某种袋装蔬菜种子每袋质量(单位：g)X〜N(300,9),下面结论不正确的是()

A.X的标准差是9

B.P(297<X<303)=0.9545

C.随机抽取1000袋这种蔬菜种子，每袋质量在区间(294,303］中约819袋

D.随机抽取10000袋这种蔬菜种子，每袋质量小于291g的不多于14袋

11.袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数

量为x,红球的数量为丫，则以下说法正确的是()

A.P（X=1）>P（Y=2）B.P（Y=2）=P（Y=3）

C.E（y）=4E（X）D,D（X）=0（y）

12.3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则

以下说法正确的是（）

A.共有36种不同的报名方法

B.若每个活动小组至少有4名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能

C.若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法

D.若每个活动小组最少安排一名同学，且甲、乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150

种不同的报名方法

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知随机变量X的分布列为

X-1012

P0.10.20.30.4

则随机变量y=x2的数学期望E（y）=.

14.据某市有关部门统计，该市对外贸易近几年持续增长，2019年至2022年每年进口总额x（

单位：千亿元）和出口总额y（单位：千亿元）之间的数据统计如下：

2019年2020年2021年2022年

X1.92.32.73.1

y2.02.83.24.0

若每年的进出口总额x、y满足线性相关关系y=bx-0.75,则8=；若计划2023年

出口总额达到6千亿元，预计该年进口总额为千亿元.

15.课外活动小组共9人，其中男生5人，女生4人，现从中选5人主持某种活动，则至少有2名

男生和1名女生参加的选法有种.

16.（672023一8）除以17所得的余数为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

为了实现五育并举，鼓励学生在学好文化知识的同时也要锻炼好身体，某学校随机抽查了100

名学生，统计他们每天参加体育运动的时间，并把他们之中每天参加体育运动时间大于或等

于60分钟的记为“达标”，运动时间小于60分钟的记为“不达标”，统计情况如图:

皿男运动时间260分钟

□男运动时间V60分钟

目女运动时间之60分钟

皿女运动时间V60分钟

(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性

别”有关.

运动达标运动不达标总计

男生

女生

总计

(2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进

行体育运动指导，求选中的2人都是女生的概率.

18.(本小题12.0分)

5名男生，2名女生，站成一排照相.

(1)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？

(2)两名女生不相邻的排法有多少种？

(3)两名女生中间有且只有一人的排法有多少种？

19.(本小题12.0分)

请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①展开式中第4项与第7项的二项式系数相等；

②偶数项的二项式系数和为256；

③前三项的二项式系数之和为46.

已知在(2，*-；)71的展开式中，.

(1)求含去项的系数；

(2)求展开式中系数绝对值最大的项.

20.(本小题12.0分)

对某地区过去20年的年降水量(单位：毫米)进行统计，得到以下数据:

88793964399671583810829239011182

1035863772943103510228551118768809

将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分别指定为降水量偏少、

适中、偏多三个等级.

（1）将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概

举；

（2）根据经验，种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年

利润（单位：千元/亩）如表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说

明理由.

年降水量作物种类偏少适中偏多

甲8128

乙12107

丙71012

21.（本小题12.0分）

某生产制造企业统计了近10年的年利润y（千万元）与每年投入的某种材料费用x（十万元）的相

关数据，作出如下散点图：

八年利涧千万元）

8,••

4-.***

.

~O'，':'立’'2：’2'4某种材料痂k（十万元）

选取函数y=a-xb（b>0,a>0）作为每年该材料费用x和年利润y的回归模型.若令m=Inx,

n=lnyf叫=lnxif%=Iny^则n=bm+Ina,得到相关数据如表所示：

10101010

出

和i

1=1i=li=li=l

31.5151549.5

(1)求出y与％的回归方程；

(2)计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？(结果保留到万元)参考数

据：皆3.679,3.6792。13.535,3.6793-49.795.

22.(本小题12.0分)

盒中有6只乒乓球，其中黄色4只，白色2只.每次从盒中随机取出1只用于比赛.

(1)若每次比赛结束后都将比赛用球放回盒内，记事件M="三次比赛中恰有两次使用的是黄

色球”,求P(M)；

(2)已知黄色球是今年购置的新球，在比赛中使用后仍放回盒内；白色球是去年购置的旧球,

在比赛中使用后丢弃.

①记事件5=”第一次比赛中使用的是白色球"，T=”第2次比赛中使用的是黄色球”，求

概率P(S|7)；

②已知nN2,n€N+，记事件%="在第n次比赛结束后恰好丢弃掉所有白球”，求概率

P(Rn>

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：某同学从5本不同的科普杂志任选1本，有5种不同选法，

从4本不同的文摘杂志任选1本，有.4种不同的选法，

根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：5+4=9种.

故选：B.

所选的杂志可以分成2类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.

本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：对于A，根据回归直线方程中a=]_最知，回归直线一定经过样本中心点GJ),

故4正确；

对于B,相关系数|r|越大，相关性越强，故8错误；

对于C,决定系数R2越接近1,拟合效果越好，故C正确；

对于D,残差图的带状区域越窄，说明拟合效果越好，故。正确.

故选：B.

根据相关概念直接判断即可得解.

本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：焦点在x轴上的椭圆方程中，必有a>b,

则a可取5,7,9,11共4个可能，b可取3,5,7,9共4个可能，

若a=5,则b=3,1个椭圆；

若a=7,则b=3、5,2个椭圆；

若a=9,则匕=3、5、7,3个椭圆;

若a=11,则b=3、5、7、9,4个椭圆，

所以共有1+2+3+4=10个椭圆.

故选：C.

根据椭圆的性质可知a>b,结合列举法即可求解.

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：设没有发芽的种子粒数为X,则X〜8(1000,0.2),

所以E(X)=1000X0.2=200,

故需要购买1000+2x200=1400粒种子.

故选:B.

根据二项分布的期望公式求值即可.

本题主要考查离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：♦：P(X=2k)=%(k=1,2,3,6),

a+B+\+\=l,解得a=

Z5o2

所以P(X=2k)=*,

_1111

所以E(X)=2x—+4x—+6x—+12~^2=

D(X)—(2—4)2x—+(4—4)2x—+(6—4)2x—+(12—4)^X——8.

故选：D.

根据所给概率公式利用概率之和为1求出a,再求出期望即可计算方差得解.

本题考查离散型随机变量的方差相关知识，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：共有4根算筹,

当百位数为4根，十位0根，个位0根时，则有2个三位数;

当百位数为3根，十位1根，个位0根时,则有2个三位数;

当百位数为3根，十位0根，个位1根时，则有2个三位数;

当百位数为2根，十位2根，个位0根时,则有4个三位数;

当百位数为2根，十位0根，个位2根时，则有4个三位数:

当百位数为2根,十位1根，个位1根时,则有2个三位数;

当百位数为1根,十位3根，个位0根时,则有2个三位数;

当百位数为1根,十位0根，个位3根时,则有2个三位数;

当百位数为1根,十位2根，个位1根时，则有2个三位数;

当百位数为1根,十位1根，个位2根时，则有2个三位数,

所以共有2+2+2+4+4+2+2+2+2+2=24个.

故选：D.

利用题中表格中的信息结合分类计数原理进行分析求解，即可得到答案.

本题主要考查了分类计数原理的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设车床丙加工此型号零件的优质品率为X,

则0.54=60%x45%+50%X30%+x-(1-45%-30%),

解得％=48%.

故选：A.

根据全概率公式列出方程求解.

本题考查全概率公式，属于基础题.

共36个.

C事件有：(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)共5个,

。事件有：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)共6个,

则4事件有:(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)共6个,

B事件有:(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)共6个,

所以P(A)=*=9，P(B)=£=：,P(C)=2,P(D)=2=：,

P(CD)=O,P(BC)=*,P(AC)=表,P(AD)=亲

所以「((7出)=需=0,而P(C)=枭故A错误；

P(C|B)=需=上而P(C)=枭故B错误；

P(4|C)=需=?而PQ4)=g故C错误；

P(川。)=今黑=：，而P(A)=3故。正确.

<(A)oO

故选：D.

根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出P(A),P(B),P(C),

P(D),结合条件概率的计算公式依次求解即可.

本题主要考查条件概率公式，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5,

注射疫苗的动物共100x0.5=50只，则未注射疫苗的动物共50只，

所以未注射疫苗未发病的动物共30只，未注射疫苗发病的动物共20只，

注射疫苗发病的动物共10只，2x2列联表如下：

未发病发病合计

未注射疫苗302050

注射疫苗401050

合计7030100

所以未注射疫苗发病的动物共20只，故A错误:

从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为第=/故8正确;

100x(30x10-20*40)2

K2«4.762>3,841，

50x50x70x30

则在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关，故C正确；

未注射疫苗的动物的发病率为|§=|,

注射疫苗的动物的发病率为益=

则注射疫苗可使实验动物的发病率下降约|=1=20%,故D错误.

故选：BC.

根据所给数据分析，填写列联表，由卡方公式计算，结合独立性检验的思想，依次判断选项即可.

本题考查了独立性检验的相关程度问题，是基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4,丫d=9,二a=3,故A错误；

对于B,•.•某种袋装食品每袋质量(单位：g)X-/V(300,9),

P(297<X<303)=0.6827,故8错误；

对于C,P(294<X<303)=P(294<X<300)+P(300<X<303)==0,8186,

故随机抽取1000袋这种食品，每袋质量在区间(294,303］的约819袋，故C正确，

对于。，根据概率的意义，有可能多于14袋，故。错误.

故选：ABD.

根据正态分布的相关知识与概率计算公式即可求解.

本题考查正态分布曲线的相关知识，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：由题意，P（X=1）=^,P（Y=2）=¥，故A错误；

C10C10

z>2z>3

因为P（y=2）=空，P（y=3）=粤，C1Cl=Cl=56,故B正确；

ciocio

由题意知X+Y=3,X=0,1,2,

则P（x=0）=P（y=3）=存=正，

C102

P（x=1）=p（y=2）=警=卷p（x=2）=P（Y=1）=警=点，

所以E（X）=0X^+1XV+2X?|,F（y）=3x^+2x^+lx^=^

故E(y)=4E(X),故c正确;

由y=3-X知，D(Y)=(-1)2O(X)=D(X),故。正确.

故选：BCD.

根据超儿何分布计算概率可判断4B,再计算期望可判断C,根据方差的性质可判断D.

本题考查超几何分布计算概率，以及离散型随机变量的期望、方差和性质，考查转化思想和运算

能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：4：每位同学都有3个选择，所以共有36种不同的安排方法，故A正确；

B：每个活动小组至少有1名同学参加，各活动小组的报名人数可分为1,2,3和2,2,2和1,1,

4三种情况，

若3个活动小组的报名人数分别为1,2,3,则有6种可能；

若3个活动小组的报名人数分别为2,2,2,则有1种可能;

若3个活动小组的报名人数分别为1,1,4,则有3种可能，

所以共有6+1+3=10种可能，故B正确；

C：若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，

则3个活动小组的报名人数分别为2,2,2,所以报名的方法有(废废)(«©)(盘盘)=36种，故C

错误；

D：若每个活动小组最少安排一名同学，则各活动小组的报名人数可分为1,2,3和2,2,2和1,

1，4三种情况，

而甲、乙两名同学报名同一个活动小组，

若3个活动小组的报名人数分别为1,2,3,则有(盘'+盘废)用=96种方法;

若3个活动小组的报名人数分别为2,2,2,则有卑避=18种方法；

若3个活动小组的报名人数分别为1,1,4,则有哼1=36种方法，

所以报名的方法有96+18+36=150种，故。正确.

故选：ABD.

根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可

求解.

本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数和分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是中

档题.

13.【答案】2

【解析】解：由题意知，X2的取值为0,1,4,

则P(X2=0)=0.2,

P(X2=1)=P(X=±1)=0.3+0.1=0.4,

E(Y)=E(X2)=0x0.2+1x0.4+4x0.4=2.

故答案为：2.

根据题意求出X2的分布列，结合数学期望公式计算，即可求得结果.

本题考查离散型随机变量的期望的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

14.【答案】1.54.5

【解析】解：由表格中的数据可得或=19+2：3：2.7+3：1=23,y=2+2%：2+4=3,

将样本中心点。,历的坐标代入回归直线方程可得2.5b-0.75=3,

解得b=1.5,

当y=6时，即1.5X-0.75=6,

解得乂=4.5.

故答案为：1.5；4.5.

求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可得出b的值，然后令y=6,求出x值，可得出结论.

本题主要考查了线性回归方程的性质及应用，属于基础题.

15.【答案】120

【解析】解：利用间接法求解，先求出9人中任选5人的取法种数，

再去掉5个男生及4个女生1个男生的取法种数，

即俏-Cl-酸程=120种.

故答案为：120.

求出9人中任选5人的取法种数，再去掉5个男生及4个女生1个男生的取法种数.

本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题.

16.【答案】8

202320232022

【解析】解：因为68=4x17,则672°23-8=(68-I)-8=68-C^023-68+•••+

2022

c至固•68-1-8=682023_废023-682022+…+C2022.68—9=(682023_废023-68+

…+^2023'68—17)+8,

因为682。23一G023-682022+...+漓.68-为能被17整除,

因此，(672023一8)除以17所得的余数为8.

故答案为：8.

由二项式定理可得672023一8=(682023一6023•682022+…+C2022.68-17)+9,即可得出结

论.

本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式定理进行展开，利用整除的性质进行判断是解决本

题的关键，是基础题.

17.【答案】解：(1)列联表为:

运动达标运动不达标总计

男生381250

女生262450

息计6436100

100*(38x24-26x12)2

所以X2==6,25>5.024,

64x36x50x50

所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关;

(2)记从这6人中任选2人进行体育运动指导，选中的2人中至少有1名是女生的事件4,

由(1)知“运动不达标”的男生、女生分别有12人和24人，按分层抽样的方法从中抽6人,

则男生、女生分别抽到2人和4人，

所以PQ4)=比耍

所以选中的2人中至少有1名是女生的概率为假.

【解析】(1)由题意列联表，计算X2与临界值比较得出结论；

(2)分层抽样可知抽出女生4人，男生2人，根据古典概型求解即可.

本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

18.【答案】解：(1)中间5个位置先排2名女生，有&种排法，

然后其余5个位置排剩下的5人，有废种排法，

故共有延业=2400种排法；

(2)先排5名男生，有腐种排法，

然后在5名男生排列的6个空中选2个空插入2名女生，有犬种排法，

故共有温煦=3600种排法；

(3)两名女生有心种排法，从剩下的5人中选一人插入两名女生中间，有小种，

然后再将三人看作一个元素，和其他四个元素作全排列，有及种排法，

故共有房.后.福=1200种排法.

【解析】(1)中间5个位置先排2名女生，然后其余5个位置排剩下的5人，由分步乘法计数原理即可

求解；

(2)利用插空法，结合分步乘法计数原理即可求解；

(3)先利用插空法将1名男生插入2名女生中，结合捆绑法和分步乘法计数原理即可求解；

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

19.【答案】解：(1)若选①展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，

即第=第，解得：n=9；

二项式即(2，子-§)9,它的展开式的通项公式为4+1=舄.(-l)r.297.

令空=-6,求得r=7,可得展开式中含卷项的系数为一C]x4=-144.

若选②偶数项的二项式系数和为256；故271T=256,解得n=9；

若选③前三项的二项式系数之和为46,以+啜+鬣=46,整理得1+n+华义=46,解得n=9

或一10,

故n=9.

根据4+1=CJ.(2<x)9-r-(-i)r=(-l)r-2g-r-CJ-x空，令号=-6,解得r=7,

X4

所以含2项的系数(一1)7•2Z.C：=-144；

(2)假设第r+1项的系数的绝对值最大，则少;二；然，

IC*Q4*****V*Q.乙

(9!>%

整理得1(9-『)m—(l°f)!(rT)!

k(9-r)!r!一(8-r)!(r+l)!

解得g<r<^,

由于reN+,

故丁=3,

所以展开式中系数绝对值最大的项=(-1)3.29-3.C3.=-5376.

【解析】(1)选条件①②③时，利用组合数和数的运算求出n=9,进一步利用二项展开式求出结

果；

rv.n9-r>nr-X.nlO-r

或,_，解得r=3,进一步求出展开式中的绝对值的最大项.

{8r

本题考查的知识要点：二项展开式，组合数和绝对值的系数的最大项，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于中档题.

20.【答案】jie：(1)将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：

降水量偏少的年份有4年，概率可估计为4=0.2；

降水量适中的年份有10年，概率可估计为翳=0.5；

降水量偏多的年份有6年，概率可估计为益=0.3.

于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3；

(2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X,丫，Z,

则X的分布列为：

RIH

P0.50.5

故种植甲则每亩地获利的期望E(X)=8x0.5+12x0.5=10千元,

则丫的分布列为：

r12107

P0.20.50.3

故种植乙则每亩地获利的期望E(y)=12x0.24-10x0.5+7x0.3=9.5千元，

则Z的分布列为：

Z71012

P0.20.50.3

故种植丙则每亩地获利的期望E(Z)=7x0.2+10X0.5+12x0,3=10千元，

所以E。)<E(X)=E(Z),

即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙，

又。(X)=0.5X(8-10)2+0.5X(12-10)2=4,

D(Z)=0.2x(7-10)2+0.5x(10-10)2+0.3x(12-10)2=3,

D(X)>O(Z),故种植丙时获利的稳定性更好，

因此，作物丙最适合在该地区推广种植.

【解析】(1)由数据得出降水量偏少、适中、偏多的年数，计算频率，估计出概率；

(2)分别计算种植甲、乙、丙每亩地获利的期望及方差，比较大小得出结果.

本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为zn=仇尢，n=Iny,n=bm+Ina,

31.5-10x1.5x1.5_1

由表中数据得b=_2-

49.5-10x1.5x1.5―玉