2023-2024学年皖豫联盟体数学高二年级上册期末经典试题含解析

2023-2024学年皖豫联盟体数学高二上期末经典试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率］（每分钟鸣叫的次数）与气温V（单位：℃）

存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于X的线性回归方程y=0.25%+左，则

下列说法不正确的是。

X（次数/分钟）2030405060

y（℃）2527.52932.536

A"的值是20

B.变量x,V呈正相关关系

C.若X的值增加1,则y的值约增加0.25

D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃

2.在等差数列｛叫中，/+。8+%3=9,S“表示数列｛叫的前〃项和，贝！）儿=（）

A.43B.44

C.45D.46

22

3.已知椭圆工+斗=1的左、右焦点分别为耳、工，点P在椭圆上，若忸制=6,则△尸石耳的面积为（）

251611

A.8B.8V2

C.16D.16V2

4.直三棱柱A3C—431G中，AA3C为等边三角形，AAi=AB,M是小0的中点，则AM与平面5CG4所成角的

正弦值为（）

7RV15

A.—15.--------

1010

「底

----D

10-f

5.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线f=4y

的焦点为尸，一条平行于y轴的光线从点M(L2)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点3射出,

则经点5反射后的反射光线必过点()

A.(-l,2)B.(-2,4)

C.(-3,6)D.(-4,8)

6.函数/(x)=lnx-x在(0,e］上的最大值为()

A.-1B.1

C.0D.e

7.函数/(x)=e*+l在［-LU的最大值是()

A.eB.—c+1

C.e+1D.e-1

8.方程(尤2+2^—4)、&=0表示的曲线是。

A.一个椭圆和一个点B.一个双曲线的右支和一条直线

C.一个椭圆一部分和一条直线D.一个椭圆

22

9.已知直线/：丁=6(尤+。)过椭圆=+与=1(。〉5〉0)的左焦点厂，与椭圆在x轴上方的交点为P,0为线段

ab

PF的中点，若:,则椭圆的离心率为()

A9T

B.V3-1

2

「也1

L・----D..

22

3°

10-已知抛物线则它的焦点坐标为。

A•fn皿3)B•1(而3QJ

c[?0)D.[o]

1

11.等比数列｛%｝中，q+%—Lg+%——8,贝！1-()

1

A.-8B.-4

C.2D.4

12.已知等比数列｛昕｝的前〃项和为S,若。2。3=2。1，且。2+。4=1。，则§3等于（）

A.28B.26

C.28或-12D.26或-10

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.阿基米德（公元前287—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭

2

圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:二+y=l（a〉心＞0）经过点尸（四,1），

ab2

b

则当e+—取得最大值时，椭圆的面积为

a

14.直线/：4龙-3y+12=0与两坐标轴相交于A,B两点,则线段A3的垂直平分线的方程为.

15.函数/'（%）=6*852兀的导函数/'（£）=.

16.某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是

①甲比乙的极差大；

②乙的中位数是18；

③甲的平均数比乙的大；

④乙的众数是21.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某情报站有4B、C、D、E.五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末

使用的四种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A密码，号表示第上周使用A密码的概率

⑴求当2，月,巴；

（2）求证：g］为等比数列，并求人的表达式

18.（12分）在平面直角坐标系X0Y中，点Ag,l在抛物线C：y2=2°x上

(1)求P的值;

(2)若直线/与抛物线C交于P(X"J,。(九2,%)两点，乂为＜°，且OP-OQ=3,求闻+2国的最小值

19.(12分)已知数列｛4｝的前n项和为Sn，且S,=2/+〃，九e可*,数列出｝满足«„=4log,bn+3,n^N\

⑴求a“和4的通项公式；

⑵求数列的前n项和T“.

20.(12分)已知圆O：必+丁=1与圆。(％-3)2+/=相

(1)在①加=3,②加=4这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答

若,判断这两个圆位置关系；

(2)若加=5,求直线x+y-1=0被圆C截得的弦长

注：若第(1)问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分

21.(12分)已知椭圆。的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于：，它的一个顶点恰好是抛物线/=4百y的焦

点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线犬=夜与椭圆交于P、Q两点，A、3是椭圆上位于直线x=夜两侧的动点，且直线A3的斜率为

求四边形APBQ面积的最大值.

22.(10分)已知等差数列｛4｝前"项和为S,,%=4,§5=30,若S“N8”+X对任意的正整数“成立，求实

数X的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】根据样本中心过经过线性回归方程、正相关的性质和线性回归方程的意义进行判断即可.

-1

【详解】由题意，得x=w(20+30+40+50+60)=40,

—1

y=-(25+27.5+29+32.5+36)=30,

则上=7—0.257=30—0.25x40=20,故A正确；

由线性回归方程可知，b=0,25>0-变量%，丁呈正相关关系，故B正确；

若X的值增加1,则y的值约增加0.25,故C正确；

当％=52时，>=0.25x52+20=33,故D错误.

故选：D.

2、C

【解析】根据等差数列的性质，求得小=3,结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】由等差数列｛““｝中，满足。3+%+%3=9,

根据等差数列的性质，可得3g=9,所以为=3,则儿%)="下=45.

故选：C.

3^B

【解析】求出|尸月可知鸟为等腰三角形，取夕鸟的中点“，可得出”£，「耳，利用勾股定理求得|能利|,

利用三角形的面积公式可求得结果.

22

【详解】在椭圆会+春=1中，a=5,6=4,则0="2_廿=3,所以，闺耳|=2c=6,

由椭圆的定义可得俨闾=2a-|P4|=4,

取P8的中点河，因为|必|=|甲讣则犯，尸月，

所以，

^APFIF2=1|P^|-|M^|=|X4X4A/2=8A/2.

故选：B.

4、B

【解析】取AC的中点D,以。为原点，3D,DC,DM所在直线分别为X轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即

可根据线面角的向量公式求出

【详解】如图所示，取AC的中点。，以。为原点，3。,DCDM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角

坐标系,

不妨设AC=2,则4（0,-1,0）,〃（0,0,2）,川-君,0,0）小［—呼,一；,2

I22J

（吏31

所以AM=（0,1,2）,平面3CC4的一个法向量为〃=^,--,0

（22J

设AM与平面5CG片所成角为a，向量AM与〃所成的角为6，

IAM-nl:715

所以sina二Icos0\="j~~=]----=—7=—产-----,

11\AM[\n\V5XV310

即AM与平面BCC&I所成角的正弦值为正

10

故选：B

5、D

【解析】求出A、歹坐标可得直线A户的方程，与抛物线方程联立求出5,根据选项可得答案,

【详解】把x=l代入k=4＞得y=；,所以F（0,l）

1-13

所以直线A厂的方程为14即丫=一一x+1,

y-1=———x4

0-1

y——x+1y=4、

与抛物线方程联立.4解得__4,所以B(Tz,4),

x2=4y[x

因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确，

故选:D

6、A

【解析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值

11—V

【详解】由/(x)=lnx—x,得f(x)=——1=一,

XX

当0<%<1时，/(%)>0,当1<X46,/(%)<0,

所以/'(乃在(0,1)上单调递增，在(1,0上单调递减，

所以当x=l时，/'(x)取得最大值/⑴=In1—1=-1,

故选：A

7、C

【解析】利用函数单调性求解.

【详解】解：因为函数>=1是单调递增函数，

所以函数/(x)=el+1也是单调递增函数，

所以/(x)max=Al)=ei+l=e+l.

故选：C

8、C

22

【解析】由(必+2/—4)«=0可得，亍+q_=i(x20)或％=0,再由方程判断所表示的曲线.

【详解】由(丁+2/—4)«=0可得，/+2/_4=0或4=0,即=+§=1(x20)或x=0,则该方程表示

一个椭圆的一部分和一条直线.

故选：C

9、D

【解析】由直线/的倾斜角为60。，可得NPFM=60。，结合|。。|=C,可推得APFM是等边三角形，可得2。=2c+2c,

计算可得离心率

22

【详解】直线/：过椭圆二+当=1(。〉6〉0)的左焦点设椭圆的右焦点为“，

ab

所以NPWVf=60。，

又。是府的中点，。是PR的中点，所以|。。|=3尸河|,

又|OQI=c,所以|PM|=2c,又|赦|=2c,所以小M是等边三角形，

所以|PF|=2c,又p在椭圆上，所以|PM|+|PR|=2a=2c+2c,

c1

所以2〃=4c,所以离心率为£=—=—,

a2

故选：D

10、D

【解析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距P=:,可得结果.

3o442

【详解】由丁二^/得/9=§＞，所以2〃=§,所以p二§,

所以抛物线x2=1y的焦点坐标为(0,1).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.

11、D

【解析】利用等比数列的下标特点，即可得到结果.

【详解】■+4=1,%+4=-8，

八包±%=—8,

%十%

:.q——2,

...^±^=42=4.

«5+«6

故选：D

12、C

【解析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S即可.

【详解】由a2a3=2%可得=2%,即q/=2,所以%=2,

又为+%=10，解得出=8,

a,11

所以上=了="2，即4=土一，

a242

当4=5时，q=16,%=4,所以S3=28,

当夕=—；时，a1=-16,%=-4,所以S3=T2,

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2后

b

【解析】利用基本不等式得出e+-取得最大值时的条件结合b2+c2=a2可知储=2b2,

a

再利用点尸（、/5,1）在椭圆方程上，故可求得。、b的值，进而求出椭圆的面积.

，当且仅当沙=。时取得最大值,

由〃+°2="可知储=2尸,

•.•椭圆C经过点尸.•.标+，=1,解得a=2,b=y/2,

则椭圆的面积为S=71ab=2A/2TI・

故答案为：2•

14、6x+8y-7=0

【解析】由直线/的方程求出直线/的斜率以及A,5两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段A3

的中点坐标，利用点斜式即可求解.

4

【详解】由直线/：4x—3y+12=。可得＞=耳％+4,

43

所以直线的斜率为二，所以线段的垂直平分线的斜率为-二，

34

令1=0可得y=4；令y=。可得％=—3；即A(0,4),3(—3,0),

所以线段A3的中点坐标为1一|,2)

3(3、

所以线段的垂直平分线的方程为y-2=-］元+3,

4\2)

整理得6x+8y—7=0.

故答案为：6x+8y-7=0.

15、QXcos2x—2eAsin2x

【解析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解

【详解】W=(e")cos2x+ex(cos2x)f=e'cos2x-2e'sin2x

故答案为：eTcos2x—2eTsin2x

16、①③④

【解析】根据茎叶图提供的数据求出相应的极差、中位数、均值、众数再判断

【详解】由茎叶图，甲的极差是37—8=29,乙的极差是23—9=14,甲极差大，①正确;

乙中位数是生岁=18.5,②错；

8+12+13+20+22+24+25+26+27+37

甲平均数是:

10

9+11+13+14+18+19+20+21+21+23

乙的平均数为:=16.9<21.4,③正确;

乙的众数是21,④正确

故答案为：①③④

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13

17、(1)《=1,P=0,8=—,P&=—

23416

(2)证明见解析，片

【解析】(1)根据题意可得第一周使用A密码，第二周使用A密码的概率为0,第三周使用A密码的概率为!，以此类

4

推；

⑵根据题意可知第k+1周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为工，进而可得

4

弓+1结合等比数列的定义可知-g1为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.

【小问1详解】

113

《=1,P=O,P^=-,^=(l-/^)x-=—

2344V37416

【小问2详解】

第Z+1周使用A密码，则第左周必不使用A密码(概率为1-鸟)，然后第左+1周从剩下的四种密码中随机选用一种，

恰好选到A密码的概率为

4

故4+1=：。-4)，即4+i一「一：［久一

故］为等比数列且公比q=_：

18、(1)1(2)4>/3

【解析】(1)将点代入即可求解;

(2)利用向量数量积为3求出乂%=-6,再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.

【小问1详解】

将代入抛物线C:/=2px,解得：p=l.

【小问2详解】

°(工2，%)在抛物线C上，故卜

、%=2%

12

OPOQ=xix2+yxy2=-(yiy2)+yxy2=3,解得：％%=_6或2,

因为%%<0，所以%为=-6,即|外国=6,

故|%|+2|%|=。+2昆|22^^^^=46,

当且仅当亡=2|%|,即|%|=石时等号成立，

故+的最小值为4G.

1

19、(1)an=4n—l”N*；bn=2"-；(2)7；=(4〃—5)2"+5

【解析】（1）求数列｛4｝的通项公式主要利用a求解，分情况求解后要验证〃=1是否满足“22

n2)

的通项公式，将求得的｛q｝代入=41og2bn+3,整理即可得到勾的通项公式；(2)整理数列的通项公式得

anbn=(4〃-依据特点采用错位相减法求和

试题解析：(1)；Sa=2”2+〃,〃eN",.,.当〃=1时，q=S]=3.

22

当“22时，ai,=Sll-Sn_l=2n+n-[2(n-l)+(n-V)]=4n-l.

=1时，％=3满足上式，=4〃一1,“eN*.

又...4=4题2々+3,“€^,...4〃-1=41082年+3,解得：2=2。

故4=4〃—1,,b“=2"i,〃cN*.

(2)•••。―，b,,=2"T,neN*

n2_1

：.Tn=a1bl+a2b2++a也=3x20+7x21++(4/i-5)x2-+(4/i-1)x2"@

27；=3x1+7x2?++(4〃-5)X2"T+(4〃-1)x2"②

由①-②得：一1=3+4x21+4x2?++4x2"T—(4"—l)x2"

2Q-2%

=3+4x-(4n-l)x2"=(5-4n)x2"-5

1-2

••.7；=(«5)x2"+5,neN*.

考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和

【方法点睛】求数列｛q｝的通项公式主要利用q=d，%=S“-邑_1("22)分情况求解后，验证见的值是否满足

%='-邑_1(〃22)关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列

设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完成，其二，不能转化为

等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中根据特点采用错位相减法求

和

20、(1)选①:外离；选②：相切；

⑵2布

【解析】(1)不论选①还是选②，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；

⑵根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解.

【小问1详解】

选①

圆。的圆心为。(0,0),半径为1；

圆C圆心为。(3,0),半径为代

因为两圆的圆心距为

且两圆的半径之和为1+Q<3,所以两圆外离

选②

圆。的圆心为0(0,0),半径为L圆C的圆心为。(3,0),半径为2

因为两圆的圆心距为=3.且两圆的半径之和为1+2=3,

所以两圆外切

【小问2详解】

因为点C到直线x+y—1=。的距离

所以直线x+y-1=。被圆C截得的弦长为2廊彳=2退

22

21、⑴土+乙=1

43

⑵3亚

【解析】（1）根据离心率的定义以及椭圆与抛物线焦点的关系，可以求出椭圆方程;

（2）根据题意，可以利用铅锤底水平高的方法求四边形AP5Q的面积，即是要利用韦达定理算出卜-

【小问1详解】

1g.C11

由题意e=—=—9即。=—u；

a22

抛物线d=46y,焦点为（0,6）,故b=®c=l,a=2,

22

所以椭圆C的标准方程为：—+^=1.

43

【小问2详解】

由题意作图如下：

设A5直线的方程为：y=^x+m9并设点A（冷乂）,5（%,%），尸（4力3），。（代力

1

y-

―2

22

联立方程：\