2022-2023学年辽宁省锦州市高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年辽宁省锦州市高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.直线x+y-3=0的倾斜角是（）

A.30oB.450C.135oD.150°

2.算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如

图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁

上一珠拨下，记作数字5,梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）,若拨动图

1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（）

十位个位十位个位

图一图二

A.6B.8C.10D.15

3.如图，在四面体CMBC中，M是棱。力上靠近点4的三等分点,

N,P分别是BC,MN的中点.设瓦？=五，OB=b，OC=c,则向

量而可表示为（）

A,ɪɑ+ɪh+ɪe

444

B.+

C.:有+gb+

d∙扣+3+也

4.若双曲线条-A=I（α>0,b>0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率

为（）

A.√2B.√3C.√5D.2

5.(X+2y)(x-y＞的展开式中My4的系数为()

A.-15B.5C.-20D.25

6.直线2的方向向量为访=（1,0,-1）,且2过点4（1,1,1）,则点P（-l,2,l）至"的距离为（）

A.√2B.√3C.√6D,2√2

7.如图，直三棱柱ABC-&B1G的所有棱长均相等，P是侧A1A

面441GC内一点，若点P到平面BBIClC的距离IPEI=争PA/,\'、、、/

则点P的轨迹是（）Az⅛*/

b'B

A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

8.已知实数X,y满足XlXl—挚=1,则∣√5x-y-6∣的取值范围是（）

A.[6-√6,3）B.[6-√6,6）C.[3-y,3）D.[3-y,6）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.在（2x-套）8的展开式中，下列说法正确的有（）

A.所有项的二项式系数和为256B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第4项D.有理项共4项

10.已知双曲线C:I-I=1，P是该双曲线上任意一点，F1，&是其左、右焦点，力（6,0）,

则下列说法正确的是（）

A.若∣PFz∣=8,则IPFll=12

B.∣P4∣的最小值为√正

C.∣PF∕的最小值为1

D.若AFiPFz是直角三角形，则满足条件的P点共4个

11.已知曲线C：也+j=1，则下列结论正确的有（）

A.曲线C关于原点对称

B.曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2兀

C.曲线C不是封闭图形，且图形以X轴和y轴为渐近线

D.曲线C与圆光2+y2=4有4个公共点

12.已知边长为2的正三角形ABC中，。为BC中点，动点P在线段OB上（不含端点），以4P为

折痕将△4PB折起，使点8到达B'的位置.记NAPC=α,异面直线eC与AP所成角为/?,则对

于任意点P,下列成立的是（）

A.M-Fc>0B.a>β

C.存在点B',使得B'P1CPD.存在点B',使得ZO1平面E'PC

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.直线小x+ay+2a-1=0,l2:ax+y+1=0,若及〃％，则实数a的值是.

14.已知向量方，b‹不是空间向量的一组基底，Afi-2a+bfAC-a+c‹AD=b+λc>

若4B,C,。四点共面.则实数；I的值为一.

15.设ɑ∈Z,且0≤α<13,若5^023+cι能被13整除，则α=—.

16.在AABC中，AC=6,BC=8,ZC=90o,P为△4BC所在平面内的动点，且PC=2,

则AZlBP面积的最大值是—，福.丽的取值范围是—.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

电影张津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神

为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他

们的座位在同一排且连在一起.

(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？

(2)女生互不相邻的坐法有多少种？

(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

18.(本小题12.0分)

已知点4(-1,0),B(2,0),N(-4,4),动点M满足牖=；,记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)求过点N与曲线C相切的直线方程；

(3)曲线C与圆*2+、2-2'=0相交于？，F两点，求∣EF∣.

19.(本小题12.0分)

如图，正方体4BC。一aBIClDl的棱长为2,点E为BBl的中点.

(I)求证：AlCIAC1；

(2)求直线Λ4ι与平面DlAE所成角的正弦值：

⑶求点儿到平面DiAE的距离.

20.(本小题12.0分)

动点P到定点F(0,l)的距离之比它到直线y=-2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的

直线交曲线C于4,B两个不同的点，过点A,B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M.

(1)求曲线C的方程；

(2)求证：AB-KF=O^

(3)求4ABM的面积的最小值.

21.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCO中，底面4BCD为直角梯形，4D∕∕BC,∆ADC=90°,平面PAD_L底

^ABCD,Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2,BC=^AD=1,CD=√3∙

(1)求证：平面MQBI平面PAD；

(2)若PM=gpC,求异面直线4P与BM所成角的余弦值；

(3)在线段PC上是否存在一点M,使二面角M-BQ-C大小为30。？若存在，请指出点M的位

置，若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知椭圆C：≡∣+^f=l(ɑ>ð>0)的左、右顶点分别为4B,。为坐标原点，直线AX=I与

C的两个交点和。，B构成一个面积为伤的菱形.

(1)求C的方程.

(2)圆E过。，B,交/于点M,N,直线4M,AN分别交C于另一点P,Q.

①求/ς4p∙∕ς4Q的值；

②证明：直线PQ过定点.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：设直线x+y-3=0的倾斜角为火86[0。,180。).

ʌtanθ=-1,

・・・θ=135°.

故选：C.

利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出.

本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题以算盘为载体，考查简单的归纳推理、算盘的算法等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

根据分类加法和分步乘法计数原理即可求得.

【解答】

解：拨动两枚算珠可分为以下三类：

(1)在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.

(2)同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.

(3)在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示2X2=4个不同整数.

所以，根据分类加法计数原理，一共可表示2+2+4=8个不同整数.

故选：B.

3.【答案】D

【解析】解：M是棱OA上靠近点4的三等分点，N,P分别是BC,MN的中点，

OA=α,OB=b，OC=

OP=iθM+ɪθ)v+ɪ(θβ+OC)=⅛+∣O^+⅛=⅛+⅛+7c.

2224'y344344

故选：D.

根据向量的线性运算，即可求解.

本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：•••双曲线焦点到渐近线的距离等于实轴长，

即点F(c,0)到直线bx±ay=0的距离等于2α

PCl—?

即了「一即b=2α,

2

y∣a+b

可得e2=S=ι+(=5,即e=√5∙

故选：C

根据题意，点F(GO)到直线bx±ay=0的距离等于2a.由点到直线的距离公式，建立关于a、b、c

的方程，化简得出b=2a,再利用双曲线基本量的平方关系和离心率公式，即可算出该双曲线的

离心率.

本题给出双曲线满足的条件，求该双曲线的离心率.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性

质等知识，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：(X+2y)Q-y)5的展开式中含∕y4的项为XXCJX(_y)4+2yXC02(_y)3=

-15x2y4,

所以∕y4的系数为-15,

故选：A.

利用二项式定理求出含My4的项，由此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：直线2的方向向量为沆=(Lo,—1),且I过点4(1,1,1),

又点P(-l,2,l),

则方=(-2,1,0).

则∣4P∣=√5,

V..I而沅I_∣-2xl+0xl+(-DXol_历

乂∙I而I_√2-yj2,

•••则点P(-l,2,l)到Z的距离为J(√5)2-(√2)2=√3-

故选：B.

由空间向量数量积的运算，结合向量的投影的运算求解即可.

本题考查了空间向量数量积的运算，重点考查了向量的投影的运算，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：如图，作EDjL&B,做为FIBIC1，连接PD,

因几何体为直三棱柱，则Ccl1平面AlBIG,又&FU平面AlBIC1，

则CCIjL&F,又CClU平面CICBB1，BIClU平面CICBB「

B1C1∩CC1=C1,则4/1平面ClCBB].

又由题可得PEj■平面GCBBl,则PE〃71$,

因EOlCIC,C1B11C1C,则EO〃GB「

又EDU平面EP。，EPU平面EPO,EPCtED=E,

A1FU平面&BIC1，FC1U平面AIBlC1，A1F∩FC1=F,

则平面EPD〃平面4BιCι∙

因平面AIGa4n平面EPD=PD,平面AICICan平面4/6=A1C1,则PD〃4c「

5

故NPOE=ZZl1C1B1=≡结合PEIPEC1CBB1,EDU平面ClCBB「

可得PEJ_ED,则IPEl=IPDIS呜=争PDb

又IPEl=争P4/，贝IJIPDl=IP4|,

由题有CGIAIC1，结合PD〃/11G，则CClIPD,

即IPOl为点P到直线CCI距离.

故点P到定点&距离等于点P到直线BBI距离，

则点P轨迹为抛物线的一部分.

故选：D.

作EOIBlB,做&FJ.B1C1，连接PD.可证得“OE=44/16=g及BBlIPC,则IPEI=

争Pall=∖PD∖=IPyIIl据此可得答案.

本题考查了立体几何中的动点轨迹问题，属于中档题.

∣√3x-y-6|的几何意义是曲线上的点到直线√5x-y-6=O距离的2倍.

双曲线的渐近线与√5x-y—6=O平行，所以：2X锣=6,

J√3+l

由题意可知直线与椭圆/+1=I在第四象限的部分相切时，距离取得最小值，设切线为：√3x-

y—t=0,

y∕3x—y-C=O

2,可得6——2√5t%+产—3=0,Δ=12t2—24(t2—3)=0,解得t=—通，

%29÷yv=1

t=乃舍去，

所以最小值为：2乂9智=6-逐.

√3+l

所以—y—6］的取值范围是：［6—6).

故选:B.

分类讨论，画出图形，利用∣√5x-y-6|的几何意义，转化求解即可.

本题考查曲线与方程，注意分析XIXl-岑=1对应的曲线，考查转化思想以及计算能力，属于中

档题.

9.【答案】AB

【解析】解：选项A：所有项的二项式系数和为28=256,故A正确；

选项B：令X=1,则(2xl-4)8=l,

故所有项的系数的和为1，故B正确；

选项C：二项式系数的最大的项的上标为I=4,

故二项式系数最大的项为第5项，故C不正确；

选项。：通项为几+1=(⅛(2x)8f(一哥=(_i)k.28f.俏.χ8/∕c=0,

当k=0,2,4,6,8时为有理项，共5项，故力不正确，

故选：AB.

利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可.

本题考查二项式定理，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：•••双曲线C∙⅛-⅛=1，

45

a=2,b—fc=3,

对4选项，∙∙∙∣∣PF21-IPFIll=∣8-IPFlIl=2a=4,

二∣PF∕=12或4,且12>c+α,4>c—a,

∙∙.IPFll=I2或4,.∙.A选项错误；

对B选项，设P(X,y),则I-A=I,.∙.y2=乎一5，

454

.∙∙∣PZ∣=√(%-6)2+y2=J(X—6)2+竽_5=Ji(X—1尸+15,

二当X=等偿>α=2)时，IP川的最小值为Vl5∙∙.B选项正确；

对C选项，•；∣PF[I的最小值为C-α=1,∙∙∙C选项正确；

对。选项，・•・若ARPFz是直角三角形，当以Fl或F2为直角顶点时各2个,

当以P为直角顶点时有2个，.•.满足条件的P点共6个，∙∙∙D选项错误；

故选：BC.

对A,C,。选项，根据双曲线的几何性质，即可求解；

对B选项，根据函数思想，即可求解.

本题考查双曲线的几何性质，函数思想，化归转化思想，属中档题.

11.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查曲线的方程与方程的曲线，考查命题的真假判断与应用，考查分析问题与解决问题的能

力，是中档题.

在曲线方程中分别以-X替换》,以-y替换y方程不变判断4由曲线方程的特征判断B与C；通过

解方程组判断D.

【解答】

解：由于(x,y)与(一居-y)都满足方程1+也=1,故曲线C关于原点对称，A正确；

当Xτ+8时，IylTI曲线C不是封闭曲线，且X轴不是图形的渐近线，故BC错误；

联立‘+A1,解得卜=一噜或卜=%或卜=E或卜=£

/2+y2=4Iy=-√2(y=72Iy=-√2(y=√2

二曲线C与圆/+y2=4有4个公共点，故。正确.

故选：AD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用空间向量数量积的运算性质可判断4选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B选项；利

用线面垂直的性质可判断C选项；利用反证法可判断。选项.

本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题.

【解答】

解：对于A选项，因为可•前=可.(正—国)=PA-PC-PA-TBPA-(PC-PB)=PA-BC^

由图可知，＜刀,反f＞为锐角，故方.沅=雨.瓦t＞0，4对；

对于B选项，因为IBCl=IB'P∣+∣PC∣>∣B'C∣,因为CoSa=ICOs<同,或>|=翳篙，

cosβ=∖cos<PA,Wc>∖=⅛⅛=⅛⅛,

∣P4∣-∣B,C∣∖PA∖∖B'C∖

所以，CoSa<cosβ,

因为。、/?均为锐角且函数y=Cosx在（0,方上单调递减，故α>∕?,B对；

对于C选项，∙∙∙A0∙LPC,过直线Ao作平面α,使得PCl平面α,设B'Cna=E,连接OE,

因为PCI平面α,OEU平面α,贝∣JθEIPC,

在翻折的过程中，当P'B〃。E时，B'PLPC,故存在点B',使得B'P1CP,C对；

对于。选项，若4。1•平面B'PC,∙∙∙OB'u平面B'PC,则4。_L。8',

.∙.∖0B,∖=JIBNl2-MBI2=1,事实上，1=∖B'P∖+∖P0∖>∖0B'∖,矛盾，故假设不成立，D错.

故选：ABC.

13.【答案】-1

【解析】解：直线。：x+ay+2a-1=0,l2∙ax+y+1=0,l1∕∕l2>

则1×l=a2,解得α=1或α=-1,

当α=l时，两直线重合，不符合题意，舍去，

当a=-l时，两直线不重合，符合题意，

故α=—1.

故答案为：-1.

根据己知条件，结合直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查直线平行的性质，属于基础题.

14.【答案】-2

【解析】解：4,B,C,。四点共面，

则荏，AC，而共面，

故存在实数m，n,使得而=m通+n前，

AB=2α+h>AC=a+c>AD=b+λc<

b+λc=(2m+n)a+mb+nc>

••・向量五，石，H是空间向量的一组基底，

2m+n=O(n=—2

ʌm=1，解得m=19

—Tt<λ——2

故实数4的值为-2.

故答案为：-2.

根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解.

本题主要考查空间向量的共面定理，属于基础题.

15.【答案】1

【解析】解：512°23+a=(52-1)2023+a

2021

=522023_ci023,522022+,52—­,52—嗡碧+a,

.∙.512023+a被13整除的余数为：-l+a,而a∈Z,且0≤a<13,

若512023+a能被13整除，

ʌ—1+ɑ=0,可得a=1,

故答案为：L

将512023化为(52-1)2023,求出被13整除的余数，再结合已知条件即可求解.

本题考查利用二项式定理求余数问题，属中档题.

16.【答案】34[-16,24]

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

由AC=6,BC=8,ZC=90°,P为aABC所在平

面内的动点，且PC=2,

则4(6,0),B(0,8),P(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π],

则AB=10,

设点。到直线4B的距离为d,

则TXABXd=4CXBC,

H∏»6x824

即d=而=丁,

则点P到直线AB的距离的最大值为署+2,

则44BP面积的最大值是"×10X(y+2)=34；

又说∙RP=(2cosθ—6,2SiTIe)∙(2cosθ,2sinθ-8)=4—12cosθ—16sinθ=4-20sin(θ+φ),

3

其中tα∏w=

又sin(9+φ)∈[—1,1],

则福•丽6[-16,24],

即西•丽的取值范围是[-16,24],

故答案为:34；[-16,24].

先建立平面直角坐标系，然后结合平面向量数量积的运算及三角函数值域的求法求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.

17.【答案】解：(1)根据题意，先将3个女生排在一起，有掰=6种排法，

将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有鹿=120种排法，

由分步乘法计数原理，共有6×120=720种排法；

(2)根据题意，先将4个男生排好，有川=24种排法，

再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有猫=60种方法，

故符合条件的排法共有24×60=1440种；

(3)根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有题=24种排法，

由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有2种排法，

最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有&=20种排法，

故符合条件的排法共有24×2×20=960种.

【解析】(1)根据题意，分2步进行分析：先将3个女生排在一起，再将排好的女生视为一个整体,

与4个男生进行排列，由分步计数原理计算可得答案；

(2)根据题意，分2步进行分析：先将4个男生排好，再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3

个女生，由分步计数原理计算可得答案；

(3)根据题意，分3步进行分析：先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙两人看成一个整体,

最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中，由分步计数原理计算可

得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为点4(-1,0),B(2,0),动点M满足黯=；,

设M(Xy),

所以

J(x-2)2+y2

化简得(X+2)2+y2=4.

(2)由(1)可知曲线C为圆心为(一2,0),半径为2的圆.

设过点N的切线方程为％=fc(y-4)-4,即Ay-%-4fc-4=0,

所以圆心(-2,0)到切线的距离为半径,

∣-2+4k+4∣_

所以ɪr

所以k=0或k=

所以直线％=4或——%—4×(―^)—4=0,

即切线方程为X=4或4y+3%-4=0.

(3)曲线C：(%+2)2+y2=4,①

Hlx2+y2-2y=0,(2)

①一②得y=2%,

∣2×(-2)∣4

圆心(-2,0)到直线y=2%的距离&22

y∣2+l西

所以弦长IEFl=2y∕22—d2=

【解析】⑴因为点4(—1,0),B(2,0),动点M满足弓需■=；,设M(X,y),j¾lJ5=ɪ.化简,

11J(χ-2)2+y2

即可得出答案.

∖-2+4k+4∖_

(2)设过点N的切线方程为X=k(y-4)-4,即ky-x-4k-4=0,则^=2,解得k,

即可得出答案.

(3)曲线C(X+2)2+y2=4①，圆/+y2-2y=o②，①一②得弦EF的方程，计算圆心(一2,0)

到直线y=2x的距离d,再计算弦长∣EF∣,即可得出答案.

本题考查圆的方程，直线与圆的相切，解题中需要理清思路，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：以。为原点，DA,DC,DDl所在的直线分别为X,y,Z轴如图建立空间直

角坐标系,

则A(2,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),Ol(0,0,2),

A^C=(-2,2,-2);而=(-2,0,2)，

T^C-ADl=-2×(-2)+2×0+(-2)×2=0.

・•・A1C1AD1;

(2)解：因为4(2,0,0),Aι(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,2,l),

ʌ标=(0,0,2),河=(-2,0,2),AEf=(0,2,1)，

设平面ZME的一个法向量为元=(x,y,z),则g,竺1=—2x+2z=°

(n∙i4F=2y+z=0

令z=2,则％=2,y=-I9ʌn=(2,-1,2),

设直线Λ4ι与平面DlAE所成角为仇

∖n-AA[∖2

则sin。I4I

∖n∖∙∖AA;∖12×√4+l+413,

故直线Λ4ι与平面DiAE所成角的正弦值为|；

(3)解：由(2)知，平面ADIE所的法向量为五=(2,—1,2),

^AA[=(0,0,2)

所以为到平面ZME的距离d=叵聋1=通篇=*

【解析】(1)以。为原点，DA,DC,DDl所在的直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，利用

向量法即可得证：

(2)求出平面ADiE的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出；

(3)根据点到平面的距离向量公式即可求出.

本题考查了线线垂直的证明和线面角、点到平面距离的计算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，

属于中档题.

20.【答案】(1)解：由已知，动点P在直线y=-2上方，条件可转化为动点P到定点F(OJ)的距离

等于它到直线y=-1距离(1分)

•・•动点P的轨迹是以F(0,l)为焦点，直线y=-1为准线的抛物线

故其方程为χ2=4y.(2分)

(2)证：设直线4B的方程为：y=kx+1

由俨一户「得：彳2_4依一4=0(3分)

{y=Kx+1

设4(X4,χ4),β(xβ,yβ)>则/+Xp=4k,XA∙XB=-4

设过点4的切线方程为y=fc(x-%)+yA

2

联立/_4y得：X—4kx+4kxA—⑼=0,

由A=0可得k=^XA

同理过点B的切线斜率∕C=^XB

二直线4M的方程为：XAX=2(y+yj4)...(J)(5分)

直线的方程为：XBX=2(y+犯)…②(6分)

①-②得:X(XA-XB)=2(yA-yβ)=∣(ɪi-ɪi)>即X=气=2k(7分)

将X=手(7代入①得：y=-1

•••故M(2k,-1)(9分)

∙∙∙MF=(2k,-2),AB=(XB~×A∙K×B~×A'))

.-.AB-MF=2k(无8-XA)-2fc(xβ-XA)=O(IO分)

(3)解：由(2)知，点M至丛8的距离d=MF=2√TFF

2

VAB=AF+BF=χ4÷+2=k(xA+xβ)+4=4fc+4

ɪɪ______

：.S=^AB∙d=2×4(∕c2+1)×2√⅛2+1=4√(fc2+I)3≥4

∙∙∙当k=O时，△ABM的面积有最小值4.(12分)

【解析】(1)条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1距离，即动点P的轨迹

是以F((U)为焦点，直线y=-l为准线的抛物线

(2)设直线4B的方程为：y=kx+l,由二蓝:1得：%2-4/cx-4=0.可得直线ZM的方程为：

2Z

XAX=2(y+yλ),直线BM的方程为:XBX=(y+3B)>即M(2k,-1).可得通∙MF=2fc(xs-xj4)-

2k(xβ—XA)=0.

22

(3)点M到AB的距离d=MF=2√l+∕cMB=AF+BF=yA+yB+2=k(xA+xe)+4=4fc+

4,S=i¼B∙d=；X4(∕C2+1)×2√∕c2+1=4√(fc2+l)3≥4.

本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的定义，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，有

难度.

21.【答案】证明：g：ADHBjBC=^AD=1,Q为的中点，

四边形BCDQ为平行四边形，

.∙.CD//BQ,

Xv∆ADC=90o,BRCD1AD,

.∙.BQI4。，

又••・平面PyIDJ■底面ABCD,且平面24。n底面ABCD=AD,BQU底面ABCD,

.∙.BQJ■平面HW,

又∙.∙BQU平面MQB,

.∙.平面MQB1平面PA。；

解：(2)∙∙∙PA=PD,Q为4。的中点，

.∙.PQ1AD,

又平面PAD_L底面4BCC,且平面Λ4OC底面ABCD=4。，PQU平面/MD,

.∙.PQ，平面ABC。，

以点Q为坐标原点，分别以正，QB,而为X轴，y轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图

所示：

则Q(0,0,0).4(l,0,0),P(0,0,√3)-B(0,√3,0),C(-l,√3,0),

∙∙^M=⅛=∣(-l,√3,-√3)=(-ɪɪ,-ɪ)-^P=(-l,0,√3)-

：.BM=BP+PM=(0,-√3,√3)+(-ɪy,-γ)=(一1一竽,竽),

••・异面直线4P与8M所成角的余弦值为ICoS<AP,的>∣=≡≡ɪɪɪɪ

(3)假设存在点M,设丽=4无=4-l,√5,-√5),且0≤4≤l,

M(一尢√3λ,√3-√3λ),.-.QM=(-λ,√3λ,√3-√3λ).

又谑=(0,√3,0).

设平面MBQ的一个法向量为沅=(x,y,z),

则河耍=By=O,(7=0

令％=√3,解得)λ>

(m∙QM=-Xx+V3λy+(V3—y∕3λ)z=0tz=τ→

・•・in=(ʌ/ɜ,θ,ɪ),

i-Λ

由(2)可知，平面BQC的一个法向量为元=(0,0,1),

•••二面角M-BQ-C大小为30。，

→.∣fn∙n∣lj⅛7∣√3

∙∙∙cos30°=∣cos<m,n>\=­=ɪɪɪʒ=

yj'∙1+Λ^

解得4=,或;I=|,

又•・•0≤λ≤1,

ɔ3

:∙A=-

4

故存在点M,位于靠近点C的四等分点处.

【解析】(1)易证四边形BCDQ为平行四边形，所以C7√∕BQ,又因为CDI.4。，所以BQI.AD,又

平面PanJL底面ABCD,所以BQ1平面P4D,再由平面与平面垂直的判定定理即可证得平面MQB1

平面PaD；

(2)先证出PQ，平面4BC。，以点Q为坐标原点，分别以西，QB,评为X轴，y轴，Z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求出相应向量的坐标，再利用异面直线的夹角公

式求解即可；

(3)假设存在点M,设丽=4同,且0≤4≤l,所以而=(-λ,√3Λ,√3-√5∕l)，又谑=(O,√