吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A.y=—B.yMx2+4y=^-xD.y=3x2^4"

XN3

2.（3分）下列二次根式中，与正是同类二次根式的是（）

A.V4B.V8C.V12D.V20

3.（3分）在平面直角坐标系中，点尸（-3,-5）关于〉轴对称点的坐标为（）

A.（-3,-5）B.（3,5）C.（3,-5）D.（5,-3）

4.（3分）若关于x的一元二次方程2?+x=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围

是（）

A・5B.C.D.

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.A/2-*VS=V5B.275^5=2C.72xV3=V6D.V64-73=2

6.（3分）如图，一枚运载火箭从地面乙处发射，雷达站R与发射点乙之间的距离为6千米,

当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为a,则这枚火箭此时的高度AL为（）

A.6sina千米B.6cosa千米C.6tana千米D.——--千米

tana

7.（3分）若抛物线y=x2+2x-5经过（-5,yi）（-2,竺），（2,”）三点，则yi,”，y3

的大小关系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

8.（3分）对于抛物线产苏+公+6y与％的部分对应值如下表所示：

X•••-3-1034・・・

.・・・・・

y10-2-5-23

下列说法中正确的是（）

A.开口向下

B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.对称轴为直线x=l

D.函数的最小值是-5

二、填空题（每小题3分，共18分）

9.（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

10.（3分）长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为1：500000的地图上，

量得全线长约为6cm,则轨道交通6号线的实际距离约为km.

11.（3分）函数y=-（x+3）2+1的图象的顶点坐标为.

12.（3分）在一个不透明口袋中装有1个红球和n个白球，它们除了颜色以外没有任何其

他区别.搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验

次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.8,则〃的值为.

13.（3分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.该同学将一个平面镜水

平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，

已知测得AB=1.5"2,BP=2〃2,Z>P=6〃Z,则古城墙的高度CD是米.

14.（3分）已知二次函数y=/+bx+c的图象经过（6,c）,点A（尤i,yi）B（5,y2）在该

函数图象上.当-1W尤iWm时，若yiW”，则加的取值范围是.

三、解答题（本大题10小题，共78分）

15.（6分）计算：V18+2V2-V50.

16.（6分）解方程:2（X-5）2-8=0.

17.（6分）二次函数y=--2x+c的图象经过（4,3）和（0,-5）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）将这个二次函数的图象向右平移个单位后经过坐标原点.

18.（7分）2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的

会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都

人民对乒乓球运动的喜爱.现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，

另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这

三张卡片背面向上并搅匀.

（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是事件（填“随

机”“不可能”或“必然”）;

（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随

机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉

祥物“乒乒”的概率.（图案为会徽的卡片记为4图案为吉祥物的两张卡片分别记为Bi、

明）

AB（B2

19.（7分）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图①是明朝科学家徐光启在《农

政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知AB=AC=1.6米，AD=1.2

米.在安全使用的前提下，当NZMC=30°时，桑梯顶端£＞达到最大高度，求此时。到

地面BC的距离.（参考数据：sin75°«0.97,cos75°«0.26,tan75°-3.73,精确至！J0.1

米）

BC

图①图②

20.（7分）图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长为1,每个小

正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按

下列要求作图，保留作图痕迹.

（1）在图①中画NA3C,使tan/A8C=l；

（2）在图②中画NABD,使tan/ABD,；

（3）在图③中画/ABE,使tan/ABE上.

3

Illi1------------1------------1------------1------------1-----------1-----------1-----------1—

11A：：：

i।AA।।।

1A；；；1

i7iii/:­

11/;：

i/1ii

i/iii/:::/:::

i/iii

/:::

/:::

1\\\1

•B111•B111

IIII।111।111

图①图②图③

21.（8分）如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛

物线运动.当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米.

（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；

（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门.

22.（9分）【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2：如图1,在△A2C中，D、E分别是边BC、A3的中点.AD,CE相交于点G.求

证：雪旦_」.

CEAD3

证明：连接ED

【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

【结论应用】

（1）如图①，若SACDG=2,KOSAABC=;

（2）在图①的条件下，过点G的直线分别交48、AC于点M、N.若AB=1O,AM=AC

=6,四边形CDGN的面积为10,则SAABC

23.(10分)如图，在△ABC中，ZC=9O°,AC=8,BC=6,点。为边AB的中点.动

点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒2个单位长度的速度向点3运动，当点P不与

点A、8重合时，连结PD作点A关于直线尸。的对称点A；连结A'D、A'P、A'A,

设点尸的运动时间为f秒.

(1)线段AD的长为；

(2)用含f的代数式表示线段CP的长；

(3)当点P在边AC上运动时，求A'。与△A2C的一条直角边平行时f的值;

(4)当△AD4'为锐角三角形时，直接写出r的取值范围.

24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6x-3(b为常数)经过点Q(4,5),点

P在该抛物线上，横坐标为2m-1.

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)当尸轴时，求相的值；

(3)将该抛物线上尸、。两点之间的部分(包括尸、。两点)记为图象G.

①当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，求m的取值范围；

②当图象G与直线y=2m-3只有一个公共点时，直接写出m的取值范围.

2023-2024学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A.y=—B.yMx2+4C・y=-^-xy=3x2^-

x25

【解答】解：在函数y=-1，y=//+4，y=L,y=3/-1中，二次函数为y=3f

Xvx%•2・5

.1

5,

故选：D.

2.（3分）下列二次根式中，与我是同类二次根式的是（）

A.FB.V8c.Vl2D.V20

【解答】解：因为遍=2,我=2&,412=243,V20=2A/5-

所以我与正是同类二次根式，

故选：B.

3.（3分）在平面直角坐标系中，点P（-3,-5）关于y轴对称点的坐标为（）

A.（-3,-5）B.（3,5）C.（3,-5）D.（5,-3）

【解答】解：点尸（-3,-5）关于y轴对称点的坐标为（3,-5）,

故选：C.

4.（3分）若关于x的一元二次方程2?+x=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围

是（）

A-m>-B.。D.

【解答】解：2^+x-m—Q,

•."=2,b=T,c=-m,方程有两个不相等的实数根，

A=b2-4〃。=1+8机>0,

：.m>-1.

8

故选：C.

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.275-75=2C•近乂如鹏D.a小炳=2

【解答】解：A、&与«不能合并，不符合题意；

B、2遥-，§=、而，不符合题意；

C、近乂如=娓,符合题意；

D遥.如=圾,符合题意.

故选：C.

6.（3分）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米,

当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为a,则这枚火箭此时的高度AL为（）

◎

A.6sina千米B.6cosce千米C.6tana千米D.——-——千米

tan。

【解答】解：在Rt^ALR中，RL=6,ZARL=a,

tan7?=-^t.,

LR

AL=LR,tanT?=6tana（km）.

故选：C.

7.（3分）若抛物线y=/+2x-5经过（-5,y\）（-2,”），（2,”）三点，则yi,y2>”

的大小关系是（）

A.y\<yi<y3B.yi<y3<y\C.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

【解答】解：y=7+2%-5的对称轴为尤=-1,

（-5,%）,（-2,券），（2,>3）三点到对称轴的距离分别为4,1,3,

■"­yi>y3>y2,

故选：B.

8.（3分）对于抛物线y=o?+fcc+c,y与x的部分对应值如下表所示：

・・・

X•••-3-1034

.・・・・・

y10-2-5-23

下列说法中正确的是（)

A.开口向下

B.当x>0时，>随x的增大而增大

C.对称轴为直线x=l

D.函数的最小值是-5

【解答】解：把（-1,-2）,（0.-5）,（3,-2）代入得：

a-b+c=-2

,c=-5，

9a+3b+c=-2

'a=l

解得b=-2>

c=-5

-2x-5=（x-1）2-6,

.•.抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,-6）,

当x>l时，y随x的增大而增大，

故A,B,。错误，C正确，

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共18分）

9.（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是通.

【解答】解：若在实数范围内有意义，

贝i]x-120,

解得：龙N1.

故答案为：

10.（3分）长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为1：500000的地图上,

量得全线长约为6cm,则轨道交通6号线的实际距离约为30km.

【解答】解：根据比例尺=图上距离：实际距离，得：

轨道交通6号线的实际距离约为：6X500000=3000000（cm）,

3000000。"=30km.

故答案为：30.

11.（3分）函数y=-（x+3）2+1的图象的顶点坐标为（-3,1）.

【解答】解：：函数y=（x+3）2+1,

二次函数图象的顶点坐标是（-3,1）.

故答案为：（-3,1）.

12.（3分）在一个不透明口袋中装有1个红球和〃个白球，它们除了颜色以外没有任何其

他区别.搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验

次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.8,则〃的值为4.

【解答】解：根据题意，袋中球的总个数约为1+（1-0.8）=5（个），

所以袋中白球的个数"=5-1=4,

故答案为：4.

13.（3分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.该同学将一个平面镜水

平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙的顶端C处，

已知AB_LBO,测得小BP=2m,DP=6m,则古城墙的高度CD是4.5米.

ZAPB=ZCPD,

"JABLBD,CDYBD,

：.ZABD=ZCDB=90°,

，AABPs^CDP,

•AB=BP

"CDDP）

•・•-1-.-5--2,

CD6

・・・CZ）=4.5,

・,•该古城墙的高度CD是4.5m,

故答案为：4.5.

14.（3分）已知二次函数）=/+桁+。的图象经过（6,c）,点A（xi，yi）B（5,）2）在该

函数图象上.当m-IWXIW机时，若yiW”，则m的取值范围是.

【解答】解：・・•二次函数尸/+法的图象经过（6,。），

.•・x=0时，y—c,x=6时，y—c,

・・・抛物线的对称轴为直线x=3,

•・•抛物线开口向上，且yiW”，

・・・A（xi,yi）到对称轴的距离小于或等于点5（5,”）到对称轴的距离，如图，

解得2WmW5.

故答案为：

三、解答题(本大题10小题，共78分)

15.(6分)计算：V18+2V2-V50.

【解答】解：原式=36+26-56

=5&-5&

=0.

16.(6分)解方程：2(x-5)2-8=0.

【解答】解：2(x-5)2-8=0,

则2(x-5)2=8,

(x-5)2=4,

.*5=±2,

.・.x=±2+5,

・.xi=3,%2=7.

17.(6分)二次函数y=a?-2x+c的图象经过(4,3)和(0,-5).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)将这个二次函数的图象向右平移a-1个单位后经过坐标原点.

【解答】解：（1）•••二次函数y=o?-2x+c的图象经过（4,3）和（0,-5）,

.f16a~8+c=3

,lc=-5

解得卜=1,

lc=-5

；•二次函数的表达式为y=7-2x-5；

（2）令y=0,则？-2x-5=0,

解得=X2=l+&，

抛物线y=/-2x-5与x轴的交点坐标为（1-&，0）,A（1+遍，0）,

将这个二次函数的图象向右平移（加-1）个单位后经过坐标原点，

故答案为：V6-1.

18.（7分）2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的

会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都

人民对乒乓球运动的喜爱.现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，

另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这

三张卡片背面向上并搅匀.

（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是随机事件（填“随机”

“不可能”或“必然”）；

（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随

机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉

祥物“乒乒”的概率.（图案为会徽的卡片记为A,图案为吉祥物的两张卡片分别记为3、

历）

AB|B2

【解答】解：（1）由题意得，小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是随

机事件.

故答案为：随机.

（2）画树状图如下:

开始

AB1口2AB]B2AB|B2

共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果

有：（Bi，Bi）,（Bi，B2）,（B2,BI）,（瓦，Bi）,共4种，

小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为

9

19.（7分）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图①是明朝科学家徐光启在《农

政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知AB=AC=1.6米，AD=1.2

米.在安全使用的前提下，当/BAC=30。时，桑梯顶端。达到最大高度，求此时。到

地面的距离.（参考数据：sin75°七0.97,cos75°^0.26,tan75°七3.73,精确至1J0.1

米）

【解答】解：过点。作。EL8C于点£,如图,

BEC

'：AB=AC,ZBAC=30°,

AZABC=ZACB=15°.

'：AB=AC=l.6^z,AD=L2米,

：.CD=AC+AD=2.8（米）.

在RtZ\DCE中,

.*.sin75DE

F8

.•.D£=2.8Xsin75°-2.8X0.97=2.716-2.7(米).

答：当NBAC=30°时，D到地面BC的距离2.7米.

20.（7分）图①、图②、图③均是4义4的正方形网格，每个小正方形的边长为1,每个小

正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按

下列要求作图，保留作图痕迹.

(1)在图①中画/ABC,使tan/ABC=l；

（2）在图②中画乙钻。，使tan/ABD总;

（3）在图③中画使tan/ABE=^・

3

【解答】解：（1）如图1,/ABC即为所求.

图①

（2）如图2,NABD即为所求.

图②

(3)如图，N4BE即为所求.

图③

21.(8分)如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛

物线运动.当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米.

(1)建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式;

(2)已知球门高OB为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门.

，抛物线的顶点坐标为(2,3),

设抛物线为y=a(x-2)2+3,

把点A(8,0)代入得：36a+3=Q,

解得a=--,

12

.♦.抛物线的函数表达式为y=-工(尤-2)2+3；

12

(2)当x=0时，y=-J-X4+3=A>2.4,

123

球不能射进球门.

22.(9分)【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2：如图1,在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点.AD,CE相交于点G.求

证：嘉山—

CEAD3

证明：连接ED

【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

【结论应用】

(1)如图①，若SACDG=2,则-BC=12；

(2)在图①的条件下，过点G的直线分别交AB、AC于点M、N.若AB=10,AM=AC

=6,四边形CDGN的面积为10,则S△ABC=

40.

【解答】【结论证明】证明：E分别是边BC,的中点，

：.DE//AC,DE=1.AC,

2

ADEGsAACG,

■GE=GD=DE=1

"GCGAACT'

•GE=GD=1

"CEAD3"

【结论应用】解：(1)•.•强=工，SACDG=2,

AD3

：.AD=3GD,

SAACD=SACDG=3SACDG=3X2=6，

•；BD=CD,

S^ABD=SACDG=6，

S/\ABC~S/\ABD~^~S/\CDG~6^6=12,

故答案为：12.

(2)如图②，作b〃A3交MN的延长线于点RCK〃AD交FN于点、K,

VAB=10,AM=AC=6,

：.AE=BE=^AB=lx10=5,

22

：.EM=AM-AE=6-5=1,

\'EM//CF,

:.AEMGs丛CFG,

-EM=GE=1

"CFGC~2

:.CF=2EM=2X1=2,

■:/FCN=/MAN,/KCN=NGCN,

：.ZFCN-/KCN=/MAN-NGAN,

：.ZFCK=ZMAG,

VZF=ZAMG,

:•丛FCKs丛MAG,

・CK=CF=Z=1

AGAH63

\'CK//AG,

:.ACKNSAAGN,

•CN=CK=1

ANAG3

・・・AC=4CN,

SACAG=4SACNG，

.•.,G-D_^—19

GA2

二LxAS4CNG=2SACNG，

**•SACDG=—S/\CAG=

22

*,•2sAeNG+SACNG=S四边形CZ)GN=10，

S/\CNG='^-，

3

:•S4CDG=2Sz\CNG=2乂也=致，SACAG=4SAC^G=4X

3333

S/\ABD=S丛ACD=S△COG+SMAG=—+—=20,

33

SAABC-SAAB£>+SAACD=20+20=40,

故答案为：40.

A

工

BDc

图②

23.（10分）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点。为边AB的中点.动

点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P不与

点A、8重合时，连结PD作点A关于直线如的对称点A；连结A'D,A'P,A'A,

设点尸的运动时间为t秒.

(1)线段的长为5；

(2)用含f的代数式表示线段CP的长；

(3)当点尸在边AC上运动时，求A'。与AABC的一条直角边平行时，的值;

(4)当△AQA'为锐角三角形时，直接写出/的取值范围.

【解答】解：(1)在Rt^ABC中，由勾股定理得：AB=^/AC2+BC2=^82+62=10,

:点。为边AB的中点，

.\AZ)=AAB=AX10=5,

22

故答案为：5；

(2)分两种情况：

①当0C/W4时，点P在线段AC上运动，CP=AC-AP=8-2f；

②当4<f<7时，点P在BC上运动，CP=2L8；

综上所述，"=(82(0<t<4)；

(2t-8(2t-8)

(3)•.•点A'是点A关于直线尸。的对称点，

：.AD=A'D,

...点A'的运动轨迹为以。为圆心，AD长为半径的圆上，

分两种情况：

①当A'O〃BC时，如图1,延长D尸交A4'于点E,AC交A'。于点尸，

图1

则/DFE=/ACB=90°,

AAAFA'=ZDFP=90°,

VA/D//BC,

：.AADF^AABC,

..AF=DF=AD；

"ACBC而，

即空=如=旦

8610

解得：AF=4,DF=3,

：.A'F=A'D-DF=AD-DF=5-3=2,

,/点4是点A关于直线PD的对称点，

：.DE±AA',

：.ZA£P=90°,

ZAEP=ZDFE,

'：ZAPE=ZDPF,

：.ZA'AF=ZEDF,

VAAFA'=ZDFP,

：.AAFA's^DFP,

.AF=A/F

"DFPF

即邑=2,

3PF

解得：PF=3,

2

：.AP=AF-PF=4-旦=9,

22

5_

?=-?-=—(s)

24

设A4'交。尸于点E,

图2

则E,

,/点A是点A关于直线PD的对称点,

：.AE=A'E,

在△APE和中，

rZPAE=ZDAyE

-AE=A7E，

NAEP=/A'ED

/.△AP£^AA,DE(ASA),

：.AP=A'D,

：.AP=AD=5,

此时，z=A(s)

2

综上所述，4。与△ABC的一条直角边平行时t的值为互或立;

42

延长DP交A4'于点£,连接A'3交AC于点凡

图3

'：AD=A'D,

...△ADV是等腰直角三角形，

AAAz=®AD=5近,

:点A是点A关于直线PD的对称点，

：.DE±AA'，AE=1.AA'=5泥,

22

设CF=x,则A尸=8-x,

:以。