2023-2024学年河北省衡水市枣强县枣强中学高二数学第一学期期末经典试题含解析

2023-2024学年河北省衡水市枣强县枣强中学高二数学第一学期期末经典试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点A为双曲线V—/=i的左顶点，点5和点。在双曲线的右分支上，AABC是等边三角形，则AABC的面

积是

A.BB,正

32

C.3A/3D.6V3

2.等差数列｛4｝的首项为正数，其前"项和为S”.现有下列命题，其中是假命题的有。

A.若S“有最大值，则数列｛4｝的公差小于0

B.若4+%3=°，则使E,>0的最大的n为18

C.若为〉°，%+%o<°，则｛S“｝中£最大

D.若名〉。，。9+%0<°，则数列中的最小项是第9项

3.定义在尺上的函数〃无）的导函数为/'（x）,若对任意实数x,有/（%）>/'（%）,且〃龙）+1

为奇函数，则不等式/（%）+/<0解集是

A.（YO,0）B.（0,+oo）

4.已知牡〃是两条不同的直线，。，分是两个不同的平面，则下列结论正确的是O

A.若加//“，〃//1，则〃z//eB若mlla,ml10,则。//月

C若mlla,m工/3,则T）若a10,m//a,n/10,贝!

22

5.已知双曲线云=1（。〉0/〉0）左右焦点为月，F2,过&的直线与双曲线的右支交于P,。两点，且

PF2=2F2Q,若△「口耳为以。为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）

A.币B.-^2

C.叵D.73

3

6.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：

（匹+）为四叶玫瑰线.

y23=16X2y2

①方程（V+V）3=i6x2y2（孙＜0）表示的曲线在第二和第四象限；

②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2；

③曲线c构成的四叶玫瑰线面积大于4兆；

④曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

则上述结论中正确的个数是（）

A.lB.2

C.3D.4

7.已知向量a=(—L2,l),Z?=(l,l,-1),则以下说法不正确的是()

A.tzlZ?B.|a|〉W

C.cos(a+b,a,)=D.|a+Z?|=|a-&|

22

8.已知方程上一+工=1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，贝〃的取值范围

10-//-4

A.(4,7)B.(4,7)1.(7,10)

C.(7,10)D.(4,10)

9.已知命题p：VneN*,n2>n-l>则命题p的否定可为。

A.VnGN*>YT<n-ln2<n-l

C.BneN*»rr<n—1D.3neN*,rr<n—l

10.在空间直角坐标系。-孙Z中，已知点”是点N（3,4,5）在坐标平面O町内的射影，则的坐标是（）

A.（3,0,5）B.（0,4,5）

C.（3,4,0）D.（0,0,5）

11.已知函数八％）的导函数为1（%）,若y=/'（X）的图象如图所示，则函数y=/（x）的图象可能是（）

12.已知动直线/：x+my-2=0的倾斜角的取值范{围n是n匕\,则实数机的取值范围是。

I3J

C.$1D.（1,V3）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.狄利克雷（Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805~1859）是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析

l,xeQ

和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数，，D（x）=若/（无）=2工，根据“狄利克雷函数”可求

0,xe^Q

/[D（V2022）]=.

22

14.已知椭圆=+2r=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为月、工，关于原点对称的点4、8在椭圆上，且满足

ab

JTJT

|A3|=|片阊，若令N耳钻=。且,则该椭圆离心率的取值范围为

15.设Sn是等差数列｛诙｝的前“项和，若数列｛%｝满足an+SnUA/+BM+C且A>0,则工+8-C的最小值为

A

16.已知直线4：x=-1,l2:y=x+l,P为抛物线C:/=4x上一点，则P到这两条直线距离之和的最小值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）用长度为80米的护栏围出一个一面靠墙的矩形运动场地，如图所示，运动场地的一条边记为x（单位:

米），面积记为S（单位：平方米）

墙

（1）求S关于x的函数关系;

（2）求S的最大值

18.（12分）已知在长方形A3C。中，AD=2AB=2y/2,点E是AO的中点，沿BE折起平面ABE,使平面ABEL平

面BCDE.

（1）求证：在四棱锥中，ABLAC.

（2）在线段AC上是否存在点尸，使二面角的余弦值为好？若存在，找出点尸的位置；若不存在，说明理

5

由.

19.（12分）已知椭圆C对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且B—与1两点

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M、N分别为椭圆与x轴负半轴、y轴负半轴的交点，P为椭圆上在第一象限内一点，直线与y轴交于点S,

直线PN与x轴交于点T,求证：四边形MSTN的面积为定值

20.（12分）如图，直角梯形AEfB与菱形所在平面互相垂直，AE〃班AELAB,AB^AE=2,BF=1,

/ABC=120°,M为40中点.

(1)证明：直线5M〃面。底尸；

(2)求二面角"—EC—E的余弦值.

21.(12分)已知A,3两地的距离是130加.根据交通法规，A,3两地之间的公路车速v(单位：km/h)应满

(尤3、

足丫目50,100].假设油价是7元/乙以或加/〃的速度行驶时，汽车的耗油率为3+—L/h,当车速为80碗/〃时,

Ik)

汽车每小时耗油13L,司机每小时的工资是91元.

(1)求女的值；

(2)如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？

22.(10分)某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]的5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中工的值；

(2)估计这组数据的平均数；

(3)若成绩在[50,60)内的学生中男生占40%.现从成绩在[50,60)内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰

有1名女生的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】设点3在x轴上方，由AABC是等边三角形得直线AB斜率左=3.

3

又直线过4（-1,0）点，故方程为了=¥^+^.

代入双曲线方程V-y=1,得点3的坐标为（2,6）.

同理可得，点C的坐标为（2,-』）.

故AABC的面积为［2-（-1）］G=3石，选C.

2、B

【解析】由s“有最大值可判断A；由0+43=佝+40=0,可得出〉0，%0<°，利用S18=%；弓°义18可判断

BC；%〉0,。9+%0<°得％〉°，|«g|=«9<-ai0=|a10|,

可判断D.

【详解】对于选项A,TS"有最大值，二等差数列｛4｝一定有负数项，

.•.等差数列｛4｝为递减数列，故公差小于0,故选项A正确；

对于选项B,V&+%3=。9+%0=°，且。1〉0,

。9〉0,旬〈0,

.\S17=17«9>0,%=殳1-18=0,

则使S〃>o的最大的〃为17,故选项B错误；

对于选项C,,:%〉0，。9+。10<0，

丹〉0,q（）<0,

故｛S,｝中S9最大，故选项c正确；

对于选项D,Va9>Q,佝+%o<0，

•*.o9>0,\ag\=ag<-al0=|a10|,

故数列｛|。」｝中的最小项是第9项，故选项D正确.

故选：B.

3、B

【解析】设g(x)=/^.由〃%)〉广(%)，得=故函数g(x)在尺

ex(e]e

上单调递减.由/(%)+1为奇函数〃o)=—I,所以g(o)=*=—l.不等式/(x)+/<0等价于岁<—1,

即g(x)<g(。)，结合函数g(x)的单调性可得x>0,从而不等式/■(%)+6、<。的解集为(0,+0)),故答案为B.

考点：利用导数研究函数的单调性.

【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题.常

见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为，，即/(%)>/'(x)得——•一「，，当是形如，•.：「时

构造g(x)=〃：)；当是，•一、时构造遍前=£，*•一‘，在本题中令g(x)=/^,(：).从而求导

flV<：u,从而可判断=g单调递减，从而可得到不等式的解集

4、C

【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案

【详解】解：对于A：若，〃//",〃//&,则机//1或mutz,故A错误；

对于B：若mlla,ml1/3,则。///或。与£相交，故B错误；

对于C：若加//以加，，，根据面面垂直的判定定理可得故C正确；

对于D：若戊_1尸,加//。,〃///则加与〃平行、相交、或异面，故D错误；

故选：C

5、C

【解析】由双曲线的定义得出尸耳。中各线段长(用。表示)，然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心

率

【详解】由题意耳阊=|PQ|—|Q闾=|尸闾=2a,

又PFa=2FQ,所以|叫=a,从而4|=3a,|尸制=4a,|P9=3a,

△尸片心中，cos/4产工=(4a)2+(2.)2—(2c)2=5〃二片,

2X4QX2〃4a2

咫Q中产I_2_a__2f

3a3

所以正J=2,7/=3C2,所以e=£=4H,

4a23a3

故选：C

6、B

【解析】对于①，由孙<0判断，对于②，利用基本不等式可判断，对于③，以。为圆心，2为半径的圆的面积与曲

线C围成的面积进行比较即可，对于④，将必+/=4和（/+,2）3=16/3；2联立，求解出两曲线的切点，从而可判

bkr*

断

【详解】对于①，由肛V。，得羽丁异号，方程（X2+/）3=16%2,2（孙<0）关于原点及产工对称，

所以方程（/+产）3=16/y2（到〈0）表示的曲线在第二和第四象限，所以①正确，

22『十"22

对于②,因为X+y>2xy（x>0,丁〉0）,所以孙（，所以（/+/y=仄/产<i6.d=4（x+/）,

-24

所以/+/<4,所以由曲线的对称性可知曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2,所以②正确，

对于③，由②可知曲线C上到原点的距离不超过2,而以。为圆心，2为半径的圆的面积为4万，所以曲线C构成的四

叶玫瑰线面积小于4%,所以③错误，

对于④，将好+/=4和（/+必）3=16/,2联立，解得了2=,2=2,所以可得圆一产+丁=4与曲线C相切于点

（也,也）,（-72,72）,（-叵-回,（、£-JI）,而点（1,1）不满足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任

何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它象限也不经过任何整数点，所以曲线C上只有1个整点（0,0）,所以④错

误，

故选：B

7、C

【解析】可根据已知的。和b的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.

【详解】因为向量a=（—L2,l）,b=（1,1-1）,所以a・6=—lxl+2xl+lx（—l）=0,故。，人，所以选项A正确;

H=J（-1）2+22+12=痣,|&|=712+l2+（-l）2=^3,所以同〉W，故选项B正确；a+b=（0,3,0）,所以

COs（a+b,a）=^^=^==^-^^-）故选项c错误；«-/,=（-2,1,2）,所以,+4=3,卜一4=3,故

|a+Z>|=|a-Z?|,所以选项D正确.

故选：C.

8、A

【解析】根据条件，列出满足条件的不等式，求『的取值范围.

【详解】曲线表示交点在x轴的椭圆，

7-4>0

10-/>0,解得：4<Z<7.

故选A

【点睛】本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.

9、D

【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：

命题“P：VHeN,,7,>“—i”的否定式为“m〃eN*，rr<n-\n.

故选：D.

10、C

【解析】点在平面。町内的射影是工丁坐标不变，z坐标为o的点.

【详解】点N（3,4,5）在坐标平面。町内的射影为（3,4,0）,故点M的坐标是（3,4,0）

故选：c

11、D

【解析】根据导函数大于0,原函数单调递增；导函数小于0,原函数单调递减；即可得出正确答案.

【详解】由导函数得图象可得：龙>0时，/'（龙）<0,所以/（X）在（一8,0）单调递减，

排除选项A、B,

当光>0时，尸（九）先正后负，所以"％）在（0,+。）先增后减，

因选项C是先减后增再减，故排除选项C,

故选:D.

12、B

【解析】根据倾斜角与斜率的关系可得1＜-1＜石，即可求机的范围.

m

【详解】由题设知：直线斜率范围为(1,6)，即1＜-,〈百，可得一1＜根＜—走.

m3

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】由“狄利克雷函数”解析式，先求出。(、/55五)，再根据指数函数/*)的解析式求力。(、/^五)]即可.

【详解】由题设，D(V2022)=0,则/[D(J2022)]=/(O)=2°=1.

故答案：1

【解析】由|AB|=|耳引得小沔鸟为矩形，则BK=2Lsine,AK=2c-cos9=BK，故e='=——-——，结

asin夕+cos6

合正弦函数即可求得范围

【详解】由已知可得AB=2c,且四边形入耳5月为矩形

所以BF]=2c-sin0,AFX=2c-cos6-BF2,

又因为m+5耳=2%所以2c・sine+2c・cos6=2a

e—_c—______1_____]

得离心率asin0+cos6A/2sin[e+：

7171jr7171,可得sin.+i]^-^-,1

因为公所以5'5

15,273

【解析】因为｛斯｝为等差数列，设公差为d,由a“+S”=A"2+B〃+c,

=2

得ai+(n—l)d+na\+gn(n—l)d=an-^SnAn+Bn+C9

即—®—_4)层+(〃1+——B)n+(ai—d—C)=0对任意正整数n都成立

22

所以^-(d—4)=0,ai+—d—B=0f访一d—C=0,所以A=^-d,B=ai+—d9C=a1—d,所以

2222

3A-B+C=0.—+B-C=—+3A>2J3.

AA

16、V2

【解析】过P作垂足分别为M,N,由直线4为抛物线的准线，转化1PMi+|/W|=|PN|+|PF|,当

MP,厂三点共线时，IPNI+IP可取得最小值

【详解】过P作加，乙,尸N，/2，垂足分别为

抛物线C:/=4x的焦点为b(1,0)

直线4：x=T为抛物线的准线

由抛物线的定义，1加1=1%I

故|尸河|+|PN|=|尸N|+|PF|,当N,P,尸三点共线时，|PN|+|P可取得最小值

11-0+11f-

故最小值为点R到直线4的距离：并+『=母

故答案为：0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)S=80X-2X2,(0<X<40)

(2)800平方米

【解析】(1)由题意得矩形场地的另一边长为3。_2、)米，通过矩形面积得出S关于％的函数表达式；

(2)利用二次函数的性质求出S的最大值即可

【小问1详解】

解：由题意得矩形场地的另一边长为-3_米，

又80-2%>0,得40>x>0,

所以S=x(80-2x)=80X-2X2(0<x<40)

【小问2详解】

解：由(1)得S=80x—2/=一2(%—20y+800,(0<x<40),

当且仅当尤=20时，函数取得最大值800平方米

18、(1)证明见解析

(2)点歹为线段AC的中点

【解析】(1)由平面几何知识证得CELBE,再根据面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质可得证；

(2)取3E的中点O,以。为原点，分别以0AEC的方向为丫轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系，假设在线段

AC上存在点凡设AR9AC，运用二面角的向量求解方法可求得X,可得点F的位置.

【小问1详解】

证明：因为在长方形中，AD=2AB=2版,点E是40的中点，所以BE=CE=2,又BC=2叵,所以

BC2=BE2+EC-，所以CELBE,

又平面平面BCDE,面ABE面5CDE=,所以CEJL平面A3E,所以A3_LCE.又A3JLAE,AEICE=E,

所以平面AEC,即得AB_LAC.

【小问2详解】

解：存在点凡b为线段AC的中点.

由（1）得AABE和ABEC均为等腰直角三角形，取5E的中点。，则又平面ABEL平面8C0E,面

面BCDE=BE,所以49,面3C£＞£,

以。为原点，分别以。1,08,EC的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，取平面A8E的一个法向

量为m=（0,1,0）.

则A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,2,0),E(-1,0,0),EA=(1，0,1),AC=("，2,-1),

设AF=2AC，则而=EA+7AC=(1」，27,1-2),又EB=(2,0,0),

n-EF=0(l-A)x+22y+(l-2)z=0

设平面5E尸的法向量为〃=（%,y,z）,可得＜,即得2x=o'可取得

n-EB=0

mn1

解得上称,

所以cos<mn>=\m\\n\[—22

如z门x25，

即当点尸为线段AC的中点时，二面角A-BE-F的余弦值为鼻.

19、(1)/+2_=1

4

（2）证明见解析

【解析】（1）设椭圆方程为e2+改2=1（加＞0,〃＞0）,利用待定系数法求得私”的值，即可得出答案；

（2）设升＜0,1）,yoe（O,2）,易得4/2+为？=4,分别求出直线PM和直线PN的方程，从而可求

出S,T的坐标，再根据SSMNT=J"T||SN|即可得出答案.

【小问1详解】

解：依题意设椭圆方程为尔?+盯2=1（加＞0,〃＞0）,

z、/r-x—m+3n=l

将公(,6),B--,1代入得,；,

[4

解得得m=1,n=—,

4

2

...所求椭圆方程为必+乙=1;

4

【小问2详解】

证明：设尸(如为),^£(0,1),yoe(O,2),M(-l,O),2V(O,-2),

产点坐标满足好+汇=1,即442+为2=4,

4

』7(%+1),可得S0,」^

直线PM：>=

%+1Ix0+l)

c%+2

直线尸N：y+2^——%,可得T

%3小

1-^+2

21%+2毛+1

1(2%+为+2『

2(%+2)(%o+1)

:14/2+4/%+8%+为2+4%+4

2xQyQ+2xQ+y0+2

二14(/%+2工0+%+2)—

2/为+25+为+2-

20、(1)证明见解析

⑵等

【解析】(D由平面AEFB_L平面A5C。，可得AE1.平面A5C。，连接5。，可得5NLAD,以M为原点，MB,MD

为尤,V轴，竖直向上为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算3M与平面。石尸的法向量勺=(%，X，zJ的数量积

为0即可得证;

UU111

(2)分别计算出平面MEC和平面EC尸的法向量%=(%,%*2),生=(x3,y3,z3),然后利用向量夹角公式即可求

解.

【小问1详解】

证明：因为平面AEFB_L平面A3。，平面AEFEc平面43cz>=AB,且AELAB,

所以平面ABC。，连接50,则△ABZ）等边三角形，所以HMLAD,

以M为原点，M3,地为尤,丁轴，竖直向上为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,-1,0),6(73,0,0),C(A2,0),D(0,l,0),E(0,-l,2),F(50,1),设4=(/%,zj为平面DEF的法向量,

uuiuuumDE•〃]=()J

因为DE=(0,—2,2),DE=(后—1,1)，则有》c，取々=(0,LD，

Dr•4=U

ULILLUUULL

又因为BM=(-73,0,0).所以BMny=0,

因为府U平面OEF,所以BM〃平面。石尸；

【小问2详解】

UU111

解：分别设%=（々，％，z2），%=（无3，，3，Z3）为平面MEC和平面ECF的法向量,

UULUULIULME•a=0皿

因为ME=(0,-1,2),MC=(百,2,0)，则有＜取巧=1,26,回

UUU—ULUEC•%=0皿/-1-

因EC=(V