（湖南专用）高考数学二轮复习 专题限时集训(十九)函数与方程和数形结合思想配套作业 文（解析版）

专题限时集训(十九)[第19讲函数与方程和数形结合思想](时间：45分钟)1．已知向量a与b的夹角为eq\f(2π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝()A．3B．－3C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)2．已知复数z1＝m＋2i，z2＝2＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数m的值为()A．1B．－1C．4D．－43．已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,x－y＋1>0，,y≥－1，))且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最小值为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(9,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)4．方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，则a的取值范围是()A．[－3，1]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[－1，1]5．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()A．[a，b]B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1]D．无法确定6．已知公差不为0的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5＝10，则S5等于()A．30B．40C．50D．607．F1，F2为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(1)＋f(a)＝2，则a的值为()A．1B．2C．4D．4或19．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设圆内过点(2，5)的最长弦与最短弦分别为AB，CD，则直线AB与CD的斜率之和为________．10．长度都为2的向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的最大值是________．11．若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．12．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B＝cos2B＋2cosB.(1)求角B的大小；(2)若a＝2，S＝2eq\r(3)，求b的值．13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝3bn－λ·2eq\f(an,3)(λ∈R)，若{cn}满足：cn＋1>cn对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．14．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

专题限时集训(十九)【基础演练】1．A[解析]因为(3a＋λb)⊥a，所以(3a＋λb)·a＝3a2＋λa·b＝3×12＋λ×1×2×coseq\f(2π,3)＝0，解得λ＝3.2．A[解析]z1·z2＝(m＋2i)(2＋i)＝(2m－2)＋(m＋4)i，只要2m－2＝0且m＋4≠0即可，解得m＝1.3．B[解析]不等式组所表示的平面区域是下图中的△ABC，u表示平面区域上的点到点(2，2)距离的平方．根据题意只能是点(2，2)到直线x＋y－1＝0的距离最小，这个最小值是eq\f(3,\r(2))，故所求的最小值是eq\f(9,2).4．A[解析]构造函数f(x)＝sin2x＋2sinx，则函数f(x)的值域是[－1，3]，因为方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，所以－1≤－a≤3，∴－3≤a≤1.【提升训练】5．A[解析]当函数的图象左右平移时，不改变函数的值域．6．A[解析]设公差d≠0，由lga1＋lga4＝2lga2，得aeq\o\al(2,2)＝a1·a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)⇒a1＝d.又a5＝a1＋4d＝10，∴a1＝d＝2，∴S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝30.7．A[解析]作图可知，设|PF2|＝r，则|PF1|＝2r，|F1F2|＝eq\r(3)r.由椭圆的定义得2a＝3r，2c＝eq\r(3)r，故椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).故选A.8．C[解析]依题意f(1)＋f(a)＝2，且f(1)＝0，所以f(a)＝2.当a>0时，得log2a＝2，求得a＝4；当a<0时，无解．综合得a＝4.故选C.9．0[解析]将圆的方程化成标准方程形式得(x－3)2＋(y－4)2＝25，所以过点(2，5)的最长弦AB的斜率为kAB＝eq\f(5－4,2－3)＝－1.若要使弦CD最短，则CD⊥AB，所以kCD＝1，此时kAB＋kCD＝0.10.eq\f(2\r(3),3)[解析]建立平面直角坐标系(如图)，设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，0)，则向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤eq\f(π,3).由eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，eq\r(3)n)，即2cosα＝2m＋n，2sinα＝eq\r(3)n，解得m＝cosα－eq\f(1,\r(3))sinα，n＝eq\f(2,\r(3))sinα.故m＋n＝cosα＋eq\f(1,\r(3))sinα＝eq\f(2\r(3),3)sinα＋eq\f(π,3)≤eq\f(2\r(3),3).11．[9，＋∞)[解析]方法1：∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，b＝eq\f(a＋3,a－1)>0，从而a>1或a<－3.又a>0，∴a>1，∴a－1>0，∴ab＝f(a)＝a·eq\f(a＋3,a－1)＝(a－1)＋eq\f(4,a－1)＋5≥9，当且仅当a－1＝eq\f(4,a－1)，即a＝3时取等号，当1<a<3时，函数f(a)单调递减，当a>3时函数f(a)单调递增，∴ab的取值范围是[9，＋∞)．方法2：设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根，从而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（t－3）2－4t≥0，,t－3>0,t>0，))解得t≥9，即ab≥9.12．解：(1)由2cos2B＝cos2B＋2cosB，可得2cos2B＝2cos2B－1＋2cosB，∴cosB＝eq\f(1,2).∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵S＝eq\f(1,2)acsinB＝2eq\r(3)，又a＝2，B＝eq\f(π,3)，∴c＝4，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋16－2×2×4×eq\f(1,2)＝12，∴b＝2eq\r(3).13．解：(1)设{an}的公差为d，由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＋3＋a2＝12，,3＋a2＝q2，))消去a2得：q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍)，∴a2＝6，∴d＝3，从而an＝3n，bn＝3n－1.(2)由(1)知：cn＝3bn－λ·2eq\f(an,3)＝3n－λ·2n.∵cn＋1>cn对任意的n∈N*恒成立，∴3n＋1－λ·2n＋1>3n－λ·2n恒成立，整理得：λ·2n<2·3n对任意的n∈N*恒成立，即λ<2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n)对任意的n∈N*恒成立．∵y＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，∴ymin＝2·eq\f(3,2)＝3，∴λ<3.∴λ的取值范围为(－∞，3)．14．解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0恒成立，所以当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－eq\r(a)或x>eq\r(a)，由f′(x)<0解得－eq\r(a)<x<eq\r(a)，所以当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－eq\r(a)，eq\r(a))．(2)因