（湖北专用）高考数学二轮复习 专题限时集训（十五）A圆锥曲线热点问题配套作业 文（解析版）

专题限时集训(十五)A[第15讲圆锥曲线热点问题](时间：45分钟)1．已知方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,3－k)＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是()A．k<1或k>3B．1<k<3C．k>1D．k<32．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点PA.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝13．若直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两不同点，F是抛物线C的焦点，则“弦长|AB|＝x1＋x2＋p”是“直线l经过点F”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A．(eq\r(3)，＋∞)B．(eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3))D．(1，eq\r(5))5．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交于不同两点，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)6．已知抛物线y2＝8x的焦点与双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(4\r(15),5)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3)D．37．已知椭圆C1：eq\f(x2,m＋2)＋eq\f(y2,n)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为()A.eq\f(\r(2),2)，1B．0，eq\f(\r(2),2)C．(0，1)D．0，eq\f(1,2)8．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.eq\f(5\r(2),2)＋2B.eq\f(5\r(2),2)＋1C.eq\f(5\r(2),2)－2D.eq\f(5\r(2),2)－19．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则抛物线方程为________．10．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，离心率为e，则eq\f(a2＋e,b)的最小值为________．11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，AM＝eq\f(1,3)，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到M的距离的平方差为eq\f(8,9)，则P点的轨迹是________．12．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<10)的左，右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°且△F1PF2的面积为eq\f(64\r(3),3)，求b的值．13．已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0，1)，且离心率为eq\f(\r(3),2)，Q为椭圆C的左顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，0))的直线l与椭圆C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小．14．已知过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F1且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，又原点到l的距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)对任意一点M∈C，试证：总存在θ∈R，使等式eq\o(OM,\s\up6(→))＝cosθeq\o(OA,\s\up6(→))＋sinθeq\o(OB,\s\up6(→))恒成立．

专题限时集训(十五)A【基础演练】1．B[解析]由题意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋1>0，,3－k>0，,k＋1>3－k，))解得1<k<3.2．C[解析]由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|＋|PF2|＝4，故动点P的轨迹是以定点F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.3．C[解析]若直线l经过点F，则弦长|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p；同理，若弦长|AB|＝x1＋x2＋p，有直线l经过点F.所以“弦长|AB|＝x1＋x2＋p”是“直线l经过点F”的充分必要条件．4．D[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由于点(1，2)在上区域，故2>eq\f(b,a)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))<eq\r(5).又e>1，所以所求的范围是(1，eq\r(5))．【提升训练】5．C[解析]圆心到准线的距离为4，由题意只要|FM|>4即可，而|FM|＝y0＋2，∴y0>2.6．B[解析]抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，由题意，双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1中，c＝2，则c2＝a2＋1＝4，解得a＝eq\r(3).故双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).7．A[解析]根据已知只能m>0，n>0，且m＋2－n＝m＋n，即n＝1，所以椭圆的离心率为e＝eq\f(\r(m＋1),\r(m＋2))＝eq\r(1－\f(1,m＋2)).由于m>0，所以1－eq\f(1,m＋2)>eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(2),2)<e<1.8．D[解析]由抛物线的定义，|PF|＝d1＋1，d1＝|PF|－1，d1＋d2＝d2＋|PF|－1，显然当PF垂直于直线x－y＋4＝0时，d1＋d2最小．此时d2＋|PF|为点F到直线x－y＋4＝0的距离为eq\f(|1－0＋4|,\r(12＋12))＝eq\f(5,2)eq\r(2)，∴d1＋d2的最小值为eq\f(5,2)eq\r(2)－1.9．x2＝－8y[解析]由题意，可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．由抛物线的定义，得点P(k，－2)与点F的距离等于点P(k，－2)与抛物线的准线x＝eq\f(p,2)的距离，所以eq\f(p,2)－(－2)＝4，解得p＝4.故抛物线的方程为x2＝－8y.10.eq\f(2\r(6),3)[解析]已知即eq\f(b,a)＝eq\r(3)，此时b＝eq\r(3)a且双曲线的离心率为eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝2，所以eq\f(a2＋e,b)＝eq\f(a2＋2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(2\r(6),3)，等号当且仅当a＝eq\r(2)时成立．11．抛物线[解析]如图，以点A为坐标原点建立直角坐标系，设P(x，y)，则P到A1D1`的距离为eq\r(1＋x2)，P到点M的距离为eq\r(x－\f(1,3)2＋y2)，根据已知得1＋x2－x－eq\f(1,3)2－y2＝eq\f(8,9)，化简即得y2＝eq\f(2,3)x，故点P的轨迹为抛物线．12．解：(1)|PF1||PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，∴(|PF1|·|PF2|)max＝100.(2)∵S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(64\r(3),3)，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(256,3).①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝400，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝4c2，))⇒3|PF1|·|PF2|＝400－4c2②，由①②得c＝6，∴b＝8.13．解：(1)设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且a2＝b2＋c2.由题意可知：b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).解得a2＝4，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由(1)得Q(－2，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由直线l垂直于x轴时，则直线l的方程为x＝－eq\f(6,5).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝\f(4,5)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝－\f(4,5).))不妨设点A在x轴上方，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(4,5)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)))，则直线AQ的斜率kAQ＝eq\f(\f(4,5)－0,－\f(6,5)－（－2）)＝1，直线BQ的斜率kBQ＝eq\f(－\f(4,5)－0,－\f(6,5)－（－2）)＝－1.因为kAQ·kBQ＝－1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB＝eq\f(π,2)，即∠AQB的大小为eq\f(π,2).14．解：(1)由已知直线l的方程为y＝x－c，原点到直线l的距离为b＝eq\f(|c|,\r(2))，所以c2＝2b2＝2(a2－c2)，eq\f(2,3)a2＝c2，e＝eq\f(\r(6),3).(2)证明：椭圆C：eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即x2＋3y2＝3b2，直线l：y＝x－eq\r(2)b，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\r(2)b，,x2＋3y2＝3b2))得4x2－6eq\r(2)bx＋3b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(3\r(2),2)b，x1x2＝eq\f(3,4)b2，依据平面向量的基本定理得eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)).设M(x3，y3)，可得(x3，y3)＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＝λx1＋μx2，,y3＝λy1＋μy2，))所以M(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，代入椭圆方程得(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2，整理为λ2(x1＋3yeq\o\al(2,1))＋μ2(xeq\o\al(2,2