2023年高一年级上册学期月考数学试卷

高一第三次月考数学试卷

一、单选题（40分）

1.复数z=l-2i的虚部为（）

A.1B.iC.-2D.-2i

2.如图，直线4，4，％的斜率分别为％，他，％，则（）

A.<k3<k2B.k3<k{<k2

C.D.k3<k2<

3.已知直线4：(a—3)x+(4-a)y+l=0,与七2(a-3)x-2y+3=0平行,则a的值是（）

A.3B.-5C.3或-5D.3或5

4.如图，在三棱柱ABC-AAG中，AA^±平面ABC,ZACB=90°,BC=AAy=+,

AC=1,则异面直线AQ与CA所成角的余弦值为（）

A.—B.—c.D.—

3425

5.经过点P（0，-D作直线/,若直线/与连接A（l,-2）,8（2,1）两点的线段总有公共

点，则直线/的倾斜角”的取值范围是（）

6.在.ABC中，角A,B,C所对的边分别是“，b,c,若按+c2=『-bc,则角A的大小为（)

54

D.

~6

sma

7.若a吗n）,8s2a《,则布+广（）

3344

A.B.C.D.

4433

8.某圆台的侧面展开图如图所示，其中NA0C=?,0A=0C=3,0B=0O=6,则该圆台的体积为（）

16夜14拒

A.-------7iB.-------7tC.o7TD.74

33

二、多选题（20分）

9.下列四个命题中真命题有（）

A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

B.若直线3x+4y+9=0与直线6x+冲+24=0平行，贝肌=2

C.点(0,2)关于直线y=x+l的对称点为(1,1)

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

jr

10.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面A8C。为平行四边形，ZDAB=-,AB=2AD=2PD,打〃底面

ABCD,则()p

A.PALBDAx.

B.异面直线A3与尸C所成角的余弦值竽/，

jr

c.PB与平面ABC。所成角为彳

平面PAB与平面ABCD所成的二面角为45°

11.将函数〃力=552乂一夕“0＜夕＜,的图象上所有的点向左平行移动9个单位长度,得到偶函数〃(力的

图象，则下列结论中正确的有()

A.〃(x)的图象关于点卜?,0)对称B./?(x)的图象关于x=]对称

C.心)在上的值域为〃⑺在py上单调递减

TT

12.如图，在菱形A8CD中，AB=2,ZBAD=-,将△ABO沿8。折起，使A到A,且点A，不落在底面

BCC内，若点M为线段A'C的中点，则在△A8D翻折过程中，以下命题中正确的是()

A.四面体A-8CD的体积的最大值为1©

B.存在某一位置，使得BM_LCC/T\u

C.异面直线与AD所成的角为定值,\

D.当二面角A'—3D-C的余弦值为:时，A'C=2

三、填空题(20分)

13.过点尸(2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.

14.已知直线4：2x+y+2=O,直线过点(1,2),若3,则直线右的方程是.

2cos50°-6sin10°4

15.------------------------的1值V为l

16.如图，在三棱锥A-3CZ)中，ABC是边长为26的正三角形，A£»=C£)=26,

心-----------------：

四、解答题(70分)

17.已知的三顶点是A(T-l),5(3,1),C(l,6),直线/平行于A3,交AC,8C分别于E,F,且

E、F分别是AC、BC的中点.求：,c

(1)A8边上的高所在直线的方程.A

⑵直线/的方程./[

18.如图，在几何体中，四边形A3B|N为梯形，四边形8CC4为矩形，平面BCC的，平面

ABB、N,AN//BBt,AB±AN,BBt=2AB=2AN=8.

(1)求证：平面的VC_L平面片N£；

(2)求三棱锥A-BCN与四棱锥N-8CG4的体积的比值.

19.AA8c的内角AB,C的对边分别为a,b,c,sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若a=4,AABC的面积为45/i,求6+c.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知点尸，B,C坐标分别为。1),(2,0),(0,2),E为线段8c上一点，直线

EP与x轴负半轴交于点A.

⑴当E点坐标为时:求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；

(2)求BOE与△ABE面积之和S的最小值.

21.如图，四棱柱ABCO-AAGP的底面ABC。为正方形，。为BQ的中

点，4。_1_底488,=2AB=4.

(1)求证：平面A3。〃平面cz)M.

(2)求直线4B与平面BDDR所成角的正弦值.

22.美化环境，建设美好家园，大家一直在行动.现有一个直角三角形的绿地，NC=90。，计划在qMNC区

域建设一个游乐场，其中AC=5米，8c=56米，ZMC7V=3O°.

⑴若4W=4米，求，MNC的周长；

(2)设NACM=6,求游乐场区域一MNC面积的最小值，并求出此时。的值.

数学试卷参考答案:

1.C2.A3.D4.B5.A

设直线/的倾斜角为a,。目0,万)，则既“=亍詈=一1,=

•・•直线/与连接41,-2),3(2,1)的线段总有公共点，・・・％Wtana4%,

.［八「3乃)

即一IWtanaWl,:•ae0,—u——.

L4」［4)

6.C7.A8.B

解析：设圆台上、下底面的圆心分别为M,N,一条母线为EF,

则£F=A8=3,且AC的弧长为矢3=2万,8。的弧长为斗/6=4万，

所以ME=1,NP=2,所以MN=J3?—(27)2=20,

所以圆台的体积丫=1x22x;rx4夜-』xfx乃x2&=0也■乃

333

9.AC解析：对A：任意一条直线都有倾斜角，但直线倾斜角为90。时，没有斜率，故A正确;

对B：直线3x+4)，+9=0与直线6x+my+24=0平行，故可得《=解得〃?=8,

则直线6x+冲+24=0,即3x+4y+12=0,则两平行线之间的距离d=尸臼=；,B错误;

79+16?5

对C：设点(0,2)关于直线y=x+l的对称点为(人〃)，则等=£+1,且展xl=-l,

解得〃?=〃=1,故点(0,2)关于直线y=x+l的对称点为(1,1),C正确；对D：经过点(1,1)且在x轴和〉轴上

截距都相等的直线方程为尢+丫-2=0或丫=》，D错误.故选：AC.

10.AB11.ABD

解析：函数〃x)=sin(2x-9“0<sqJ的图象上所有的点向左平行移动(个单位长度，得

/?(x)=sin(2x-s+夸｝又〃(x)为偶函数，故》轴为人(犬)的对称轴，即-9+亨=^+&肛&亡Z,解得

(p=--k7t,k.&Z,0<(p<—,:.<p~—,/(x)=sin|2x--/z(x)=sin|2x--+—|=cos2x,

626kV63J

MD的对称中心：令2x=%+kji,keZ,%=(+与，keZ,即对称中心为+k*Z,当女=T

时，对称中心为(一故A选项正确：网x)对称轴：令2x=k兀,kwZ,x=M，kwZ,当Z=1时，对称

轴为x=f,故B选项正确；xe己号,/.2xe,〃(x)=cos2xe|-1,一|,故C选项错误；〃(x)

的单调递减区间：令2k兀42x4兀+2k兀,keZ,BPkn<x<^+kn,keZ,

又［KU版•，/%/，故函数〃(力在上单调递减，D选项正确；

4乙I)乙

12.ABD解析：解：连接AC交8。于O,连接。大，取CO的中点N,连接MN,BN,对于A,当平面

平面BCO时，四面体A'-B8的体积最大，点4到平面BCD的距离最大，此时在菱形ABC。中，AB=2,

=则都是等边三角形，则OA=O4=OC=6,此时四面体A'—88的体积为

Ixlx2x^3x73=l,所以四面体A-8co的体积的最大值为1,故A正确；对于B,因为分别为

32

AC,8的中点，所以BN，CD,肽7〃4〃且何'=34。=1,由题意，则

NMNCe0,4，当2MNC=%时，MNLCD,因为MNCBN=N,MN,BNu平面BMN,所以NMNC=-

<3；22

时，CZ)_L平面8WN,又BWu平面5MN,所以C£>_L8M,

所以存在某一位置，使得BM上CD,故B正确；对于C,因为MN〃A7),所以异面直线BM,A'。所成的

角即为NBMV或其补角，cosNBMN=1上*—二3=跑一_L,因为BM不为定*

2BM2BMzk

值，所以cosNBMN不为定值，即异面直线8M,A7)所成的角不为定值，故C/(VX

错误；对于D,因为0CLBD0AU8。，所以N/VOC即为二面角A-BO-C的墙］夕,

3+3-AC26-A'C21

平面角，则cos/4OC=、、厂厂=---=-,所以A'C=2,故D正确.'

2x，3x，363

13.3x-2y=0或x-y+l=0解析：当直线过原点时，由于斜率为/=故直线方程为丫=9》，即

2—()22

3x-2y=0.当直线不过原点时，设方程为2+上=1,把点P(2,3)代入可得。=-1,故直线的方程为

a-a

x—y+\=0,

14.x-2y+3=0..解析：设//的斜率分别为匕&,则"2=7.

又仁=-2,则&=；.所以，直线《的点斜式方程为y-2=g(x-l),整理可得，x-2y+3=0.

84兀

15.116.—

解析：如图1,取AC中点E,连接BE,DE,_MC与ACD

为等边三角形，则

BE±AC,DELAC,BEDE=E,BE,OEu平面BDE,故

ACJ>平面,故二面角。-AC-3的平面角为/£>£B,又

ACu平面ABC,所以平面&)El,平面A8C,平面BDEc平

面ABC=8E,

过£)作。H_LBE于H,DHu平面BDE,所以DH上平面ABC,

由题意得cosNOEB=2,DE=BE=26走=3,：.EH工3=2,

323

则。〃=逐，设,ABC外接圆圆心为Q，则。2在8E上，半径为8。”过。2作平面ABC的垂线/,

则三棱锥A-BCD外接球的球心一定在直线/上.

_1AC_12V3_'

H2=X=X=2过。作的平行线交/于点儿则尸。=。，

V02^TB2^7T,AEO2=i,.-.O2H=I,8E24=1

2

；D,B在球面上,外接球球心可能在三棱锥内也可能在三棱锥外，取截面如图2,3,设外接球球心。，半

•.・慌喘；二当/°"Q+x时，化简得

径R,令。。2=工，则尸。=尸。2土x,F0]=DH=6

6+2后x=4,x=-正，舍去，当FO=F02-x时，化简得6-2石x=4,x=^，得•••5=4正=胃,

5533

故答案为：岸.

17.(l)2x+y-8=0；(2)x—2y+5=0.

(1)在A5C中，A(TT),8(3,1),C(l,6),则直线AB的斜率为％=，

于是得A3边上的高所在直线斜率为-2,其方程为：y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0,

所以A8边上的高所在直线的方程是：2x+y-8=0.

(2)因直线/平行于48,则直线/的斜率为又边AC的中点E(0,1)在直线/上，

于是得直线/的方程为：5=*+1即x-2y+5=0,所以直线/的方程为x-2y+5=0.

18.解析：(1)因为四边形ABB”为梯形，AN〃BB"BLAN,BB,=2AB=2AN=8,

所以8N=4&，NNBB、=45,由余弦定理可得用M=BN?+BB：-28NxB用cos45=32,解得4汽=代历，

则8解+81*=64=8哥，即BN，BN,因为四边形BCC向为矩形，所以8CJ_8与，又平面5CC/,J.平面

ABB、N,平面BCC]B「平面ABB、N=BB、,

所以8c1平面A8耳N,又BNu平面ABB、N,所以BC_L耳N,

又BCBN=B,BC、BNu平面BNC,所以用N_L平面8NC,又gNu平面片'6，

所以平面BNC_L平面与NG；

Vygx[；x4x4)x忸。

(2)由(1)可知，上*-----L--------=1,

VN-BCC禺VN-BCC、%-X(|«C|X8)X4

所以三棱锥4-8CN与四棱锥N-BCC,B,的体积的比值为y.

4

19.解析：(1)因为sin?8+sin?C—sin?A=sin8sinC,所以6+c?—储=",

则COSA="+L-"-=生=」,因为0<A<i,所以A=J.

2bc2bc23

(2)因为AA8C的面积为4百，所以gbcsinA=-^■灰"=45/5,即6c=16,

因为从+。2-/=庆,。=4,所以从+c?=32,所以0+c=“2+c2+力0=闹=8・

20.(1)3尤_,=0或x+y-2=0或x-y+]=0；(2)2+退.

13

(1)令过点E(；,R且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为I,

22

当直线/过原点时，直线/在x,y轴上的截距都为0,其方程为y=3x,

13]_

当直线/不过原点时，设直线/的方程为2+)=1或2+2=1,于是得，+2=]或，

a-a

解得a=2或a=—1,直线/的方程为x+y=2或x-y=-l,

所以所求方程为：3》一5=0或》+丫-2=0或》-"1=0.

(2)依题意，直线BC弓+]=1,因点E在线段BC上，则设点E(f,2-f),0<r<2,设A"。,。),与<0,

P£=(f,lT),24=(%,-l),由PE//PA得：xQ(\-t)=-t,显然则/=一一一,有0</<1,

S=2-t+—[2+——)(2-t)=2(2-0+--^=2+—[3(1-0+--]>2+.13(1=2+>/3,当且仅当

2\—t2(1-f)21—Z\\—t

3(1T)=J-,即f=l一且时取等号，所以一友组与AWE面积之和S的最小值2+6.

1T3

21(1)证明：因为四棱柱ABC。-ABC。的底面ABC。为正方形，

所以A耳〃AS,\BX=AB,AB//CD,AB=CD,所以A用〃，CD^8,=CD,

所以四边形ABC。为平行四边形，所以AQ〃BC.又平面qcu平面CDRi，

所以AQ〃平面CA4，同理AB〃平面C£>£.又ACcA8=A，

所以平面AB。〃平面C"B1.

（2）解：如图，连接AG，交BQ于0-连接。。，

则又BD〃B、D\,所以BQ^AG，即BO，AO-

因为AO_L底面ABC。，BOu底面ABC。，

所以Aois。，又aqcAO=A，

所以瓦平面A«。，在平面A«。内作AE，q。，垂足为E,则

BDX.A.E,又OQcBD=O,所以平面80AB।,

连接BE,则NABE就是直线A,B与平面8AR4所成的角，设为因为AA|=2A3=4,/ABC=90,所

以4。=«.在RsA。。中，4E=*殷=叱&釜在RSAQB中，

AB=7A^TOF=71472=4.所以sine=qq=g.故直线4B与平面8DD圈所成角的正弦值为电

的x8

22.解析：（1）由题