2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷

（五四学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列函数中，表示y是尤的二次函数的是（）

1

A.y-+xB.y=2।1

cD

-y=^2-y=v%2—3x—5

2.如果反比例函数y=（的图象在第一、三象限，那么k的取值范围是（）

A.fc>0B.k<0C.k>0D.k<0

3.下列图形是中心对称图形的是（）

©o

4.把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射,此正五棱柱的正投影是（）

▼

A.i

B.

D.

5.下列三角形一定相似的是（）

A.两个等腰三角形B.两个等边三角形

C.两个直角三角形D.有一角为70。的两个等腰三角形

6.如图，在O。中，弦48、CD相交于点P,^ACD=33°,4CDB=36°,则NCPB的

度数是（）

A.59°

B.69°

C.71°

D.73°

7.5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）

8.如图，。。的半径为5,弦48的长为8,M是弦4B上的一个动点，则线段OM的长的

最小值为（）

A.3

B.4

C.6

D.8

9.如图，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,则下列式子一定正确的是（）

些=组

*DBAC

口FCEC

D.-------------

DEAE

「EC_BC

0•荔一丽

nADAE

\_).—=—

EFAC

10.二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图所示.下列结论：①a>0；

（2）b<0；@b2—4ac>0；④a+b+c<0,其中正确的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

11.在平面直角坐标系中，点（2,-1）关于原点对称的点的坐标是

12.函数y=与中自变量x的取值范围是____.

Jx-3

13.中心角为90。的正多边形的边数是.

14.点4（一1,%）、8（-2/2）在反比例函数丫=|的图象上，则y1与力的大小关系是%丫2（填“〉”、

或“

15.如图，PB分别与。。相切于2、B两点，C为。。上一点连接

AC.BC,若NC=55。，则NP的度数是°.

16.抛物线y=1x—+7的顶点坐标为.

17.一个不透明的袋子中装有15个小球，其中6个红球、9个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子

中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是.

18.一个扇形的弧长是5女?71,圆心角是150。，则此扇形的半径是cm.

19.如图，在△48C中，^ACB=90°,NA=30。，BC=6,将△力BC绕点C顺时针

旋转得到AAB'C(其中点4与点力是对应点，点B'与点B是对应点)，若点B'恰好落

在△ABC边上，则点4到直线4c的距离是.

20.如图，折叠矩形ABCD的一边4D,使点。落在BC边的点F处，已知折痕

AE=6y/~5cm,且tan/EFC=p贝必。的长是______.

4

三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.(本小题7分)

计算:(l)s讥45°+苧;

(2)3tan30°—tan450+2cos60°.

22.(本小题7分)

如图，AABC三个顶点的坐标分别为2(2,2),B(4,2),C(6,4).请你分别完成下面的作图:

⑴以点4为旋转中心，将△ABC绕点4逆时针旋转90。得到△4/6,(点当、C】分别为点B、C的对应点)

(2)以点。为位似中心，在第三象限内作△42%。2(点42、/、。2分别为点人、B、C的对应点)，使它与△

ABC的相似比为：，并直接写出此时点C2的坐标.

23.（本小题8分）

密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积U（单位：加5）变化时，气体的密度p（单位：的/爪3）随之

变化.已知密度p与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示.

（1）求密度p关于体积0的函数解析式；

（2）当，=9m3时，求二氧化碳的密度p.

6（检加）

1234567

24.（本小题8分）

如图，为了估算河的宽度，某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点4,在近岸取点8和C,使点

4、B、C共线且直线力B与河垂直，接着在过点C且与4B垂直的直线a上选择适当的点D,确定4D与过点B

且垂直4C的直线b的交点E.已测得BC=12M,CD=16m,BE=10m,请根据这些数据，估算河宽AB.

25.（本小题10分）

为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书

种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他.根据调查结果绘制了两幅

不完整的统计图（每位同学必选且只选最喜欢的一类），根据图中提供的信息，解答下列问题：

八人数(名)

(2)在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是。，“其他”类所对应的百分比是；

(3)如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的

概率是.

26.(本小题10分)

如图1,四边形力BCD内接于O。，AB=AC,AC1BD,垂足为点E.

(1)求证：A.BAC=2zCX£)；

(2)如图2,点F在BO的延长线上，S.DF=DC,连接CF.求证：CF=CB；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接2F,当4F=20,CF=8/亏时，求。。的半径长.

27.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+gx+c交x轴于点4(一4,0)、点B,交y轴于点C(0,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点E为第一象限抛物线上一点，过点E作EMlx轴，垂足为点M,EM交直线BC于点N,设E的

横坐标为小，EN长为d,求d与m的函数关系式(不要求写出自变量小的取值范围)；

1

%

(3)如图2,在(2)的条件下，直线y=2-2经过点4,且与y轴交于点。.点F为线段力。上的一点，连接

FN交支轴正半轴于点G,当NGFD=34B力。时，求点N的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：2、y=--+x,不是二次函数，故A不符合题意；

B、y=/+2久，是二次函数，故B符合题意；

C、y=》不是二次函数，故C不符合题意；

D、y=V%2—3%—5'不是二次函数，故。不符合题意；

故选：B.

根据二次函数的一般形式：形如丫=。/+6乂+。（/6）为常数且。40）,逐一判断即可解答.

本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：•••反比例函数y图象在一、三象限，

k〉0.

故选：A.

根据反比例函数图象的性质：当k>0时，反比例函数图象位于第一、三象限.

本题考查了反比例函数y=g（k力0）的性质：（1）当k>0时，函数的图象位于第一、三象限，（2）当k<0

时，函数的图象位于第二、四象限.

3.【答案】D

【解析】解：选项A、B、C的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所

以不是中心对称图形；

选项。的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：D.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重

合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

4.【答案】C

【解析】解：把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正五棱柱时的正投影是正五角形.

故选：C.

根据平行投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解.

本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外

形即光线情况而定.

5.【答案】B

【解析】解：2、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故。不符合题意.

B、两个等边三角形的各角度都为60。，各边对应相等，故A符合题意；

C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故2不符合题意；

D、这两个三角形可能分别为：30°,30。，120。与30。，75°,75。的两个三角形，故不能判定各有一个角是

30。的两个等腰三角形■定相似，故C不符合题意.

故选:B.

按照三角形相似的判定定理逐个分析，确定正确答案.

考查了相似三角形的判定，三角形相似的判定定理有如下几个：

①两角对应相等两三角形相似；

②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；

③三边对应成比例，两个三角形相似.

6.【答案】B

【解析】解：••・NCDB与N4是同弧所对的圆周角，ACDB=36°,

•••Z4=36°,

•••ZXCD=33°,

.­./.CPB=NA+AACD=36°+33°=69°.

故选：B.

先根据圆周角定理求出NA的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：从几何体的左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形.

故选：C.

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，解决本题的关键是掌握从左边看得到的图形是左视图.

8.【答案】A

【解析】解：如图所示，过。作。M'lAB,连接04

•••过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，

.•.当于。重合时0M最短，

AB=8,0A—5,

1

・•・4M'=/8=4,

在RtAOAM'^,0M'=V0A2-AM'2=V52-42=3，

线段。M长的最小值为3.

故选：A..

过。作。M'lAB,连接。力，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当。“于

0M'重合时。M最短，由垂径定理可得出AM'的长，再根据勾股定理可求出。”的长，即线段0M长的最小

值.

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.

9【答案】B

【解析】解：••・DE〃BC,

.••黑=需故A选项错误，不符合题意；

DBEC

•・•DE]IBC,

•••Z-ADE=Z-B,Z-AED=Z.C,

•••EF//AB,

Z-B=Z-EFC,

•••Z-ADE=乙EFC,

△EFC—△ADE,

；.黑=骼故8选项正确，符合题意；

DEAE

•••EF//AB,

・・・敦=三故。选项错误，不符合题意；

由上述知，4ADEFEFC,

•••黑=等故。选项错误，不符合题意.

EFEC

故选：B.

根据平行线的性质和相似三角形的性质逐项判断即可.

本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关性质是解题关键.

10.【答案】D

【解析】解：由抛物线开口向上知a>0,故①正确；

•••抛物线对称轴比=—?>0,a>0,

2a

b<0,故②正确；

•••抛物线与％轴有两个交点，

b2-4ac>0,故③正确；

(1,a+&+c)在%轴下方，

a+Z?+c<0,故④正确；

二正确的有4个，

故选：D.

根据二次函数图象与系数的关系逐项判断即可.

本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系：抛物线开口向上，a>

0；对称轴在y轴右侧，a,b异号；b2-4ac>0,抛物线与支轴有两个交点.

11.【答案】(-2,1)

【解析】解:点(2,-1)关于原点对称的点的坐标是(-2,1),

故答案为：(-2,1).

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案.

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

12.【答案】久力3

【解析】解：根据题意得，久一340,

解得x丰3.

故答案为：x丰3.

根据分母不等于0列式进行计算即可求解.

本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

13.【答案】4

【解析】解：因为360。:90。=4.

所以这个正多边形的边数为4.

故答案为：4.

根据正n边形的中心角的度数为360。+n进行计算即可得到答案.

本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键.

14.【答案】＜

【解析】解：•••反比例函数y=|中，k=5＞0,

此函数图象的两个分支分别位于一三四象限，

,*'-2V—1f

••Y1＜丫2，

故答案为：＜.

先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由4、B两点横坐标的特点即可得出结论.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.

15.【答案】70

【解析】解：连接。4OB,如图，

•••AACB=55°,

A^AOB=24ACB=110°,I''、

又「PAPB分别与O。相切于4、B两点，「

OA1PA,OB1PB,

AAPAO=乙PBO=90°,

.­•乙P=360°-/.PAO-乙PBO-AAOB=70°.

故答案为：70.

先根据圆周角定理得到乙4。8=2乙ACB=110°,再根据切线的性质得到"2。=乙PBO=90°,然后利用

四边形内角和计算NP的度数.

本题了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

16.【答案】(1,7)

【解析】解：,•・抛物线y=g(x—l)2+7,

•••该抛物线的顶点坐标为(1,7),

故答案为：(1,7).

根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决.

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

17.【答案】|

【解析】解：•••从袋子中随机摸出一个小球有15种等可能的结果，其中摸出的小球是红球有6种，

・•・摸出的小球是红球的概率是卷=|.

故答案为：|.

利用概率公式可求解.

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件4的概率PQ4)=事件4可能出现的结果数+所有可能出

现的结果数.

18.【答案】6

【解析】解：设扇形的半径为rCM,由题意得，

解得r=6,

故答案为：6.

根据弧长计算公式列方程求解即可.

本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提.

19.【答案】9或673

【解析】解：①当点B'恰好落在力B边时，过点4作4D14c于点D,如图,

AB'B

■：4ACB=90°,Z.BAC=30°,BC=6,

AB=2BC=12,

•••AC=7AB2-Be?=60，

由旋转的性质可得，B'C=BC,ZB=AA'B'C=60°,^A'CB'=AACB=90°,

CB'B为等边三角形，

.­•^ACB'=^ACB-乙BCB'=30°,

.­./.ACD=乙A'CB'-乙ACB'=60°,

N£MC=30°,

CD=171C=30,

：.AD=<AC2-CD2=9;

②当点B'恰好落在AC边时，如图，

由旋转的性质可得，乙A'CB'=乙4cB=90°,

.♦•4、C、B三点共线，AC1A'B,

由(1)知,AC=6<3.

综上，点4到直线AC的距离是9或6门.

故答案为：9或6时.

分两种情况：①当点次恰好落在4B边时，过点4作4。1AC于点。，根据勾股定理得4C=6，3，由旋转

的性质可得B'C=BC,乙B=AA'B'C=60°,^A'CB'=^ACB=90°,则△CB'B为等边三角形，根据等角

的余角相等得“CD=60°,再根据含30度角的直角三角形性质得CD=^AC=3^3,由勾股定理即可求出

AD-,②当点B'恰好落在4C边时，4、C、B三点共线，止匕时"即为点4到直线AC的距离.

本题主要考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，解题关键在于

理清题意，利用分类讨论思想解答.

20.【答案】12cM

【解析】解：•••折叠矩形力BCD的一边4。，使点。落在BC边的点尸处，

•••AD=AF,DE=EF,

设CE=3k,则CF=4k,由勾股定理得EF=DE=5k,

DC=AB=8k,

•・•乙AFB+Z.BAF=90°,^AFB+2EFC=90°,

••・Z-BAF=乙EFC,

3

•••tanZ-BAF=tanzEFC=

4

・•.BF=6k,AF=BC=AD=10k,

在Rt△AFE中由勾股定理得4E=VXF2+EF2=V125k2=5/5fc，

AE=6<5.

解得：k=1.2,

故AD=10X1.2=12.

故答案为：12.

根据tanNEFC=g,设CE=3k,在Rt△EFC中可得CF=4k,EF=DE=Sk,根据NBAF=NEFC,利用

三角函数的知识求出力?，然后在Rt△力EF中利用勾股定理求出匕继而代入可得出答案.

此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定

理进行解答，有一定难度.

21.【答案】解：(l)sin45°+苧

=------

22

=V-2；

(2)3tan30°—tan450+2cos600

=3x畀l+2xg

=<3-1+1

=V-3•

【解析】先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后结算加减.

此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算.

22.【答案】解：(1)如图,△481cl即为所求.

(2)如图，AAzB2c2即为所求.

点。2的坐标为(—3,—2).

【解析】(1)根据旋转的性质作图即可.

(2)根据位似的性质作图，即可得出答案.

本题考查作图-旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转和位似的

性质是解答本题的关键.

23.【答案】解：(1)设密度p与体积了的反比例函数解析式为p=

k

V

把点(5,1.98)代入解p=专,得k=9.9,

・••密度p与体积。的反比例函数解析式为p=子，(7>0).

(2)把，=9代入p=工，得?="=1.1.

.,.当V=963时，二氧化碳的密度p为l.lkg/m3.

【解析】(1)设密度灰单位：的/根3)与体积u(单位：m3)的反比例函数解析式为p=£,把点(5,1.98)代入

解析式根据待定系数法即可求得；

(2)把U=9代入解析式即可求出二氧化碳的密度.

本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是找到变量之间的函数关系.

24.【答案】解：由题意得NABE=zXCD=90°,乙4=乙4,

.♦△ABEfACD,

ABBEABBE

—=—,即nn------=—,

ACCDAB+BCCD

BC=12cm,BE=10cm,

,AB_10

••43+12-16,

・・・16AB=(AB+12)x10.

AB=20m.

答：河宽大约为20M.

【解析】直接利用相似三角形的应用，正确得出△ABEsAACD进而得出比例式求出答案.

本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决实际问题

是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为

数学问题.

-1

25.【答案】300759016%击

【解析】解：(1)由统计图可知：这次调查的学生共有45+15%=300(名)；喜欢“文学”类的学生有

300-45-57-75-48=75(名)；

故答案为：300；75；

(2)由(1)可知：“科普”类所对应的圆心角的度数是360。x蔡=90。；

“其他”类所对应的百分比是藐x100%=16%；

故答案为：90；16%；

(3)由题意可列表如下：

艺术文学传记科普其他

艺术/VVVV

文学V/VVV

传记VV/VV

科普VVV/V

其他VVVV/

・•・在这五类图书中任选两类进行调查共有20种，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图

书的共有2种，则恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为P=&=专；

故答案为：白

(1)根据喜欢“艺术”类的学生人数和所占百分比可进行求解；

(2)根据(1)中的数据可直接进行求解；

(3)根据列表法可进行求解概率.

本题主要考查扇形与条形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率的求解是解题的关键.

26.【答案】(1)证明：-：AB=AC,

•••乙ABC=Z..ACB,

ii

•••/.ABC=^(180=90-^BAC,

VBDLAC,垂足为点E,

・•・乙AED=90°,乙ADB=90°-ACAD,

vAB=AC,

・•.AB=AC^

•••Z-ABC=Z-ADB,

90°AC-^.CAD

1

・•・^BAC=/LCAD,

•••Z-BAC=2Z.CAD；

(2)证明：・・・DF=DC,

・•.Z.DFC=Z-DCF,

・•・(BDC=乙DFC+乙DCF=2(DFC,

：./.BFC=^Z.BDC,

•••CD=CD，

Z.CAD=Z-DBC,

由(1)知NB4C=2ACAD,即NCAD=^ABAC,

1

・・・乙DBC=a乙BAC,

•••BC=BC>

•••Z-BAC=Z-BDC,

・•.Z.DBC=Z-DFC,

・•.CB=CF；

(3)解:由(2)知CB=CF,

又•:BD1AC于E,

BE=FE,

・•.AC是线段BF的中垂线，

AB=AF—20,

连接。8、OC,连接4。并延长4。交BC于点G,

vAB=AC,OA=OA,OB=OC,

・•.△AB。三△ACO(SSS),

A

D

（图3）

•••Z-BAO=Z-CAO,

XvAB=AC,

AG_LBC,

CB=CF=8/5，

BG=学=4V^,

在RM4BG中，/LBGA=90°,

AG=7AB2—BG2=J202-（47s）2=84，

在RMBOG中，NBGO=90。，

OB2=BG2+GO2,

OB2=（8/5-04）2+（475）2,

又OB=OA,

解得。B=5/5.

.•.。。的半径长是50.

【解析】（1）由等腰三角形的性质可得出N4BC=乙4cB,得出乙4BC=90°—gNBAC,证出NABC=

4ADB,则可得出结论；

（2）由等腰三角形的性质及圆周角定理可得出结论；

（3）由（2）知CB=CF,又BD14C于E,连接。B、OC,连接4。并延长力。交BC于点G,证明△ABOmA

ACO（SSS）,得出NB40=NC4。，由勾股定理可求出4G和。B的长.

本题是圆的综合题，考查了圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，切线的性质定

理及勾股定理等，解题关键是能够熟练掌握并运用圆的有关性质.

27.【答案】解：（1）把力（一4,0）、朝⑹代入丫二储+齐+溺：

（16ci—2+c=0

tc=6

1

解得a

--4-

c-6

121

y-X+X+6

-4-2-

11

X2+

4-2-

・••B(6,0),

由8(6,0),C(0,6)得直线BC解析式为y=-％+6,

・・,点E的横坐标为TH,

11

•••E(m--m2+-m+6),N(m,—m+6),

t4L

]]13

•••d=(—jm2+-m+6)—(—m+6)=--m2+-m；

4242