2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第14讲 函数的奇偶性十大题型归类总结 含解析

第14讲函数的奇偶性十大题型归类总结

【考点分析】

考点一：函数的奇偶性的定义

对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都满足：

①/(—X)=/(%)<=>/(x)是偶函数；

②/(_幻=-√∙(χ)O/(X)奇函数：

函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。

考点二：函数的奇偶性的几个性质

①对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；

②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个X都必须成立；

③可逆性：/(-X)=f(x)O/(X)是偶函数；

/(—X)=-f(x)=Z(X)是奇函数；

④等价性：/(—x)=f(x)of(-x)-f(x)=0；

/(-ɪ)=-f(x)Oʃ(-ɪ)+f(x)=0

⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、

非奇非偶函数。

考点三：函数奇偶性的重要结轮

①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

相反.

②/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

ʃ(ɪ)g(χ)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)/(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

③若奇函数的定义域包括0,则/(0)=0.

④若函数/(X)是偶函数，则f(-χ)=/(X)=/(∣χ∣).

⑤定义在(fθ,+8)上的任意函数/(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

⑥若函数)，=/*)的定义域关于原点对称，则/(χ)+f(-X)为偶函数，/(x)-∕(-x)为奇,

/(x)√(-x)

为偶函数.

考点四：函数的奇偶性的判断方法

利用奇、偶函数的定义，考查/(X)是否与-/W、f(x)相等，判断步骤如下：

①定义域是否关于原点对称；

②数量关系/(-Λ)=±∕(x)哪个成立；

【题型目录】

题型一：判断函数的奇偶性

题型二：抽象函数的奇偶性判断

题型三：奇偶函数的图像特征

题型四：已知函数奇偶性求参数

题型五：利用奇偶性求函数值

题型六：利用奇偶性求函数解析式

题型七：给出函数性质，写函数解析式

题型八：/(X)=奇函数+常数模型(y(-x)+∕(x)=2耀•数)

题型九：中值定理(求函数最大值最小值和问题)

题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题

【典型例题】

题型一：判断函数的奇偶性

【例1】判断下列各函数是否具有奇偶性

(I)f(x)=X3+2X(2)f(x)=2X4+3%2(3)/(x)=

X-I

.________JlT2

(4)f(x)=X2Xe[-1,2](5)f(x)=Vx-2+√2-x(6)f(x)---------------

IΛ÷21-2

(7)/(x)=√x2-l+√l-√⑻3T咎

【答案】见解析

【解析】(1)定义域：xeR因为对于任意XeAx∈A且/(—x)=(-xY+2(-x)

=-X3-2X=-/(X)所以/(x)为奇函数

(2)定义域：XWR因为对于任意x∈A,-x∈7?且/(一x)=2(-Xy+3(-X)2

=2/+3无2=/(χ)所以/(χ)为偶函数

(3)定义域：x-l≠O,即{jψc≠l},所以/(x)为非奇非偶函数

⑷定义域：%∈[-l,2]所以/(x)为非奇非偶函数

(5)定义域：J?I〉。，解得x=2,所以/(x)为非奇非偶函数

(6)定义域：l-χ2≥0,即{Λ∣-1≤X≤1},所以∣X+2∣-2=X+2-2=X

Zl_r2Z1_2

所以/(x)=N*,所以/(—X)=Eʌ=—/(%)，所以函数/(X)为奇函数

X-X

(7)定义域：<：一；；°,解得x=±l,所以/(x)=0,所以/(x)既是奇函数又为偶函

数

(8)定义域：匕±≥O,即{χ-l≤x<l},所以/(无)为非奇非偶函数

l-x

【例2】判断函数/(χ)=Ix2jx≥°)的奇偶性。

-X2(X<0)

【答案】奇函数

【解析】法-：当尤>0时,-X<0,所以/(一X)=—(-χ)2=γ2=-∕(χ)

当X=O时，/(O)=O2=O

当X<0时，_X>0,所以/(—%)=(_x)2=χ2=_/(x)

所以/(x)为奇函数

法二：画出函数图象即可知：函数图象关于原点对称，所以/(尤)为奇函数

【例3】(1)/(x)=a'+「(2)f[x}^ax-a^x

⑶/(x)=∣x+α∣-∣x-0∣(4)=

【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)奇函数

xx

【解析】(I)f(rx)=a+a=f{x),所以/(x)为偶函数

(2)f{-χ)=ax-ax=-f(x),所以/(x)为奇函数

(3)

/(一X)—I—x+α∣-1—X—tz∣=I—(X-Q)—I—(X+α)=IX-—∣x+a[=-/(x)

,所以/(x)为奇函数

ɪ-l

—r[ɪʧX

(4)/(—χ)==4—=F=-∕(χ),所以/(x)为奇函数

α+1ɪlɪ1+α

ax

【例4】设/(x)是H上的任意函数，下列叙述正确的是()

A/(Λ)∙/(-X)是奇函数B./(x)•|/(-刈是奇函数

C./(%)+/(-%)是偶函数D./(x)-f∖-x)是偶函数

【答案】C

【解析】对A设产(X)=f(x)∙∕(-。，则M-X)=/(-%)-/(%)=F(x),所以为偶函数

对B设网X)=/(x)∙∣∕(r),则R-X)=/(—x)∙∣∕(x],所以为非奇非偶函数

对C设方(X)=f(x)+f(-X),则尸(一x)=f(—尤)+/(X)=网X),所以为偶函数

对D设“X)=/(x)—/(—%),则/(一6=/(-6-/(6=-尸(6,所以为奇函数

【例5】(2022江苏高一单元测试)关于函数"x)=R三，描述不正确的是()

IX-ILl

A./(x)的定义域为［-IQ)=®"B./(x)的值域为(-1，1)

C./(x)在定义域上是增函数D./(X)的图像关于原点对称

【答案】C

【分析】求出函数的定义域，值域，函数的单调性，时称性，对选项ABCD分别进行判断

即可得.

'∣x-ι∣-ι≠o

【详解】解：由题设有｛八，解得—l≤x<O或O<x≤l,

XZ(I-X-)≥O

故函数的定义域为［-1，O)D(0,1］，故A正确.

当x∈［—1,0)50,1］时，f(χ)Jx^l~χ2.此时/(r)=-∕(x),

-X

所以/(X)为［-1，0)50,1］上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D正确.

乙、f√l≡√,x∈［-l,O)

，叫√Γ7,xe(0,/

当X1,0)时，0≤∕(Λ)<1;

当Xe(0,1］时，-l<∕(x)≤O,

故/(x)的值域为故B正确.

山/(-1)=/⑴=O可得"x)不是定义域上的增函数，故C错误.

故选：C.

【题型专练】

I.设函数y(χ),g(χ)的定义域都为R,且y(x)是奇函数，g(χ)是偶函数，则下列结论中正确的

是()

A.KX)g(x)是偶函数B.∣Λr)∣g(x)是奇函数C.火x)∣g(x)∣是奇函数D.∣∕(x)g(x)∣是奇函数

【答案】C

【解析】若/(χ)为奇函数，则Y(H为偶函数，若/(x)为偶函数，则∣∕(χ)仍为偶函数

奇函数X奇函数=偶函数,偶函数X偶函数=偶函数，奇函数X偶函数=偶函数

所以选C

2.(多选题)下列对函数奇偶性判断正确的是()

X2+X,Λ<O

A./(x)=∣x+2∣-∣x-2∣奇函数B./(ɪ)=<2是奇函数

X-%,X>O

JIT2__________

C./(X),-既不是奇函数也不是偶函数D.ʃ(ɪ)=√χ2-l+√l-√既是奇函数

X+2-2

又是偶函数

【答案】AD

【解析】对A/(-x)=∣-x+2∣-∣-x-2∣=∣-(x-2]∣-∣-(x+2]∣=∣x-2∣-∣x+2∣=-∕(x),

所以/(X)为奇函数对B当X>O时，一X<0,所以/(-*)=(一K)?+(—X)=X2一χ=∕(χ)

当x<0时，一x>0,所以/(—x)=(—x)2-(-x)=f+χ=∕(χ),所以为偶函数

对C定义域：I-X2≥0,即{'一l≤x≤l},所以∣x+2∣—2=x+2-2=X

/2/2

所以/(x)=义二二，所以/(-χ)=Jl=_//)，所以函数/Q)为奇函数

X-X

χ2_]>O

对D定义域：八2^θ,解得x=±l,所以/(x)=0,所以7(x)既是奇函数又为偶函

数

3.设函数/(X)=V一二，贝∣J/(χ)()

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+8)单调递

减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递

减

【答案】A

1

【解析】y(-χ)=(-χ)3-=-X3+Λ=-∕(Λ)，所以/(x)为奇函数且在(0,+8)

EX

为增函数

4.(2022重庆巴川中学高一月考多选)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中

为奇函数的是

3

A.y=∕(r)B.y=f(χ)+χC.y=D.γ=√7∕(x)

【答案】AB

【解析】对A设g(x)=∕(-x),则g(-x)=∕(x)=-∕(-x)=-g(x)，所以/(x)为奇函

数

对B因为/为奇函数，/(x)是定义在R匕的奇函数，奇函数+奇函数=奇函数

对C定义域：{Λ∣X≠O},奇函数除奇函数=偶函数

对D定义域：⅛≥θ},所以/(X)为非奇非偶函数

5.(2022・全国•高一课时练习)下列函数既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是()

A.y=xB.y=-χ2C.y=∣XD.y=g

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】对于A,y=χ为奇函数，所以A不符合题意;

对于B,y=-*2为偶函数，在(0,+8)上单调递减，所以B不符合题意；

对于C,y=W既是偶函数，乂在(0,+8)上单调递增，所以C符合题意；

对于D,y=∙J∙为奇函数，所以D不符合题意.

X

故选：C.

题型二：抽象函数的奇偶性判断

【例1】(2022•山东青岛•高二期末多选题)已知/(X)是定义在R上的不恒为零的函数，对

于任意”,beR都满足了(")=W(b)+"S),则下述正确的是()

A./(O)=OB.ʃ(l)ɪlC.是奇函数D.若"2)=2,则

【答案】ACD

【分析】对“力取特殊值代入口知表达式即可求解

【详解】令α=b=0,则”O)=Of(O)+0Ho)=0,故A正确；

令α=b=l,则〃1)=1/⑴+1/⑴=2/⑴，则"1)=0,故B错误；

令α=b=-l,则“ι)=-∕(τ)-"τ)=-2"T),所以/(—1)=0,

又令a=-l,b=x,则/(_力=-/(耳+虫_1)=_/("+0=一〃司，

所以/,(X)是奇函数，故C正确：

⅛a=2,⅛=-l,贝∣J/(T)=/2x(-；)一gf(2)=2/1g)τ=O,

所以=故D正确；

故选：ACD

【例2】(2021•全国•高一课时练习)(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数为，巧，

都有“Λ,+Λ2)+∕G-Λ2)=2∕(XJ∕(Λ2),求证：/(x)为偶函数.

(2)若函数/(x)的定义域为(—/,/)(/>0),证明:"x)+∕(T)是偶函数,f[x)-f(-x)

是奇函数.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)令占=0,w=χ,或令占=。，∙η=χ,得出方程组，由奇偶性定义即可证明.

(2)设尸(X)=/(x)+"r),G(x)=∕(x)-∕(-x),利用函数的奇偶性定义即可证明.

【详解】证明：(1)令玉=0,%2=x,

则〃x)+/(—x)=2∕(0)∕(x)①,

令％=。，Xl=X,得y(x)+∕(x)=2∕(0)∕(x)②.

由①②得/(x)+∕(T)=/(x)+y(x),即Q(T)=/(x).

.∙∙“χ)是偶函数.

(2)Vx∈(-/,/),.,.-x∈(—/,/),

可见/(τ)的定义域也是(T∕)∙

若设尸(X)=f(x)+f(-x)，G(X)=F(x)-∕(-x),

则F(x)与G(X)的定义域也是(-/,/),显然是关于坐标原点对称的.

又F(T)="τ)+/(X)=F(X),

G(T)=/'(τ)-/(X)=-[/(X)T(-X)]=-G(Λ),

∙∙∙P(x)为偶函数，G(X)为奇函数，

即f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数.

【例3】(2021•全国•高一期中)若对一切实数*,y,都有f(χ+y)=∕(χ)+∕(y).

(1)求”0)；

(2)判断/(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(3)若/⑴=3,求/(一3).

【答案】(1)0：(2)奇函数，证明见解析；(3)-9.

【分析】⑴令χ=y=0,得到"o)=2"o),即可求解；

(2)函数F(X)是奇函数，令y=τ,得到/(())=/(χ)+∕(-χ),结合(I)中的结论，得

到/(-X)=-/(ɪ)，即可证得f(X)为奇函数;

⑶令x=y=l,得到/(2)=2*1)=6,进而求得/⑶=9,结合/(x)为奇函数，即可求

解.

【详解】(I)由对一切实数X,y,都有/(χ+y)=∕(χ)+"y),

令x=y=0,可得/(0+0)=F(O)+/(O),BP/(0)=2/(0),解得"0)=0.

(2)函数/(x)是奇函数.

证明如下：由题意，函数/(x)的定义域为R关于原点对称，

令y=r,可得"χ-χ)=∕(χ)+f(-χ),BP∕(O)=∕(χ)+∕(-χ),

由⑴知/(0)=0,所以F(-χ)=-f(χ),所以F(X)为奇函数.

(3)令χ=y=l,可得"2)=2/⑴，

因为"1)=3,所以"2)=6,则〃3)=〃2+1)=〃2)+〃1)=9,

因为f(x)为奇函数，所以/(-3)=—/(3)=-9.

【题型专练】

I.(2022.全国•高一单元测试)定义在R上的函数〃x)是单调函数，满足/(3)=6,且

F(X+y)="χ)+"y),(χ,"R).

⑴求“0)，/⑴；

(2)判断/(x)的奇偶性，并证明；

【答案】(DF(O)=O，/(1)=2；(2)奇函数,证明见解析;

【分析】(1)利用赋值法即求；

(2)由题可得F(O)=/(x)+"τ)=0,即证;

【详解】(1)取X=0,得/(o+y)=∕(o)+f(y),即/(y)=∕(o)+∕(y),(O)=O，丁

/(3)=/(1+2)=/(1)+/(2)=/(1)+/(1)+/(1)=3/(1),又/⑶=6,得3"1)=6,可得

/⑴=2；

(2)；函数f(x)是定义在R上的函数，定义域关于原点对称，取y=-x,得

/(0)=∕[x+(-x)]=∕(x)+∕(-x)=0,移项得"-x)=-∕(x).∙.函数/(x)是奇函数；

2.(2022全国•高一单元测试)定义在(TI)上的函数/(x)满足：对任意的x,ye(Tl),都

有f(χ)+f(加岩)•

(1)求证：函数”X)是奇函数；

⑵若当XW(T0]时，有/(X)>0,求证：F(X)在(TI)上是减函数；

⑶在⑵的条件下，若U=T,"x)≤产-2m-1对所有Xe-ɪɪ,1,1]恒成

立，求实数f的取值范围.

【答案】⑴证明见解析，(2)证明见解析,(3)(→x)-2]U{0}U[2,-κx>)

【分析】(I)令χ=y=0,求出〃0),再令y=r,即可证明；

(2)利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤证

明即可；

⑶由⑵可得函数在上的最大值，设g(α)=-2^+*,贝∣]g(α)≥O对所有α∈[-l,l]

恒成立，即可得到■从而求出f的取值范围;

(1)证明：令x=y=O,得40)=0.设任意1,1),贝IJ-XW(—1,1),

Λ∕(x)+∕(-x)=∕(0)=0,即/(r)=-∕(x),函数/(x)是奇函数.

(2)证明：设T<x∣<X2<l,则f(X,)-/(X2)=f(x∣)+∕(-X2)=/,λ'x^■

西一工2

由-1<X[<X2<1知χ∣T2<0,且IXil<1,同<1,Λ∣x1x2∣<l,即I-XIX2>0,<0

l-xlx2

乂古斗T)=(I+XJ(1F)>O,...尸_«7,0),从而力产C∣>o,

l-xlx2I-X1X2l-xlx21-X1X2J

即Fa)T(W)>0,/(x,)>∕(¾),所以“X)在(TI)上是减函数.

⑶解：由(2)知函数“X)在(TI)上是减函数.

则当Xe-ɪɪ时，函数〃x)的最大值为/(-j=-∕(j=l.

若/(x)≤f2-2w+l对所有Xe-ɪ,ɪ],1』恒成立，

即产一2αr≥0对任意的“恒成立，

^g(a)=t2-2at=-2ta+t2,则g(α)≥O对所有“e[-l,“恒成立,

2

Jg⑴≥°pιlp-2f≥0Jf≥2或f≤0

∙∙[g(-l)≥0'即在+2年0，叩旌0或区_2，

解得/22或/=0或r≤一2.

综上，实数f的取值范围是(—,-2]U{0}U[2,M).

3.(2021•江苏•高一专题练习)设函数y=f(x)(x∈R,且x≠0)对任意非零实数公，々，

恒有/(x∣W)=/(丹)+/伍).

(1)求/(T)及AD的值；

(2)判断函数/(x)的奇偶性.

【答案】(D/(-1)=0；/(1)=0；(2)偶函数.

【分析】(1)令再=》2=1，可求出/⑴=0,令玉=X2=T,可求出/(-1)=0,

(2)¾x1=-l,X2=Λ,则可得F(T)=/(x),再结合定义域可得结论

【详解】解：(1)y=∕(χ)对任意非零实数不，巧，恒有/(斗幻=〃与)+/5)，

・•.令玉=W=I,代入，得/(1)=/(1)+/(1),解得/(1)=0

令％=与=-1，代入〃¥2)=/(百)+〃9)，得"1)=∕(T)+∕(T)，

可得F(T)=0∙

(2)取Xl=τ,X2=X,代入y(g)=∕α)+∕(Λ⅛),得/(r)=∕(x)

又函数的定义域为(-8,O>(O,+8).∙.函数“X)是偶函数

4.(2020礼嘉中学高一月考)已知/(x)是定义在火上的函数，对x,yeA都有

f(χ+y)=fM+f(y)>且当χ>o时,/(χ)<o,且/(—1)=1.

(1)求/(o)"(—2)的值；

(2)求证：F(X)为奇函数;

(3)求/(x)在［—2,4］上的最值.

【答案】见解析

【详解】(1)令x=y=O,则y(o+o)=∕(o)+∕(o),解得/(0)=0,令x=y=-l,则

/((-1)+(-1))=/(-1)+/(T)=/(-2)=2

(2)证明：令y=-x,则/(χ-χ)=∕(χ)+∕(-χ)=∕(0)=0,所以/(一X)=-/(%)，

所以/(χ)为奇函数

(3)设X］,&eR,且不<工2，所以

xχxχ

/(ʃɪ)-fM=/(ɪɪ)-/fe-ʃɪ+^)=fM-［Λ2-∙i)+/U)］=-f(2-i)>因为

,所以工所以/(尤一%)<°，所以,即∣

Xi<x2*2-1>0,2/(-TI)-∕(Λ2)>0/(x)>/(x2),

所以/(x)在R上为减函数，所以f(x)在［-2,4］的最小值为

J⑷=2/(2)=-2/(-2)=T,最大值为/(-2)=2

题型三：奇偶函数的图像特征

【例。下面四个结论中，正确命题的个数是()

①偶函数的图象一定与〉轴相交②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是7(x)=0(χGR)

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与)，轴相交，因此①错，③正确；

奇函数的图象关于原点对称，但不一定通过原点，只有在原点处有定义才通过原点，因此

②错

若)'=∕(x)既为奇函数，又为偶函数，由定义知/(6=0,但定义域不一定XeR,定义

域只要关于原点对称即可，因此④错

【例2】(2022•全国•高三专题练习多选题)若/(x)是奇函数，则下列说法正确的是()

A.∣∕(x)∣一定是偶函数B."x)∙"τ)一定是偶函数

C.f(x)-f(-x)≥0D./(T)+1〃X)I=O

【答案】AB

【分析】根据奇函数和偶函数的定义可判断A,B；计算〃"〃—)=-[〃切飞0可判断

C；计算”r)+∣∕(x)∣=∣∕(x)∣-∕(x)=O可判断D.

【详解】•••“X)是奇函数，.♦./(-X)=-〃X).

A中,∣∕(r)∣=Hr(X)I=I/(x)∣,.∙.∣"x)∣是偶函数,故A正确;

B中，令g(x)=∕(x)∙∕(-x),则g(-x)=∕(-x>∕(x)=g(x),

.∙.∕(x)∙∕(τ)是偶函数，故B正确；

C中，/(x)√(-x)=-[∕(x)]2≤0,故C错误；

D中,"-x)+∣∕(X)I=I"x)∣-∕(x)=O不一定成立，故D错误.

故选：AB.

【例3】(2021.全国•高一课时练习)设奇函数“x)的定义域为[-4,4].若当xe[(),4]时，f(x)

的图像如图所示，则不等式犯<0的解集是.

X

y

【答案】(T,一2)(2,4)

【分析】不等式也<0,即["不°或再根据函数的奇偶性及函数图像即可

X[x>0[x<0

得出答案.

【详解】解：由图可知：当Xe(0,2)时，/(x)>0f当x∈(2,4)时，F(X)<0,

因为函数/(x)为奇函数，

所以当x∈(T-2)时,/(x)>0,当xe(-2,0)时，/(x)<0,

不等式犯<0,

X

即席)<。或庶)>。，

x>0x<0

解得％∈(-4,-2)(2,4).

故答案为：(Y,—2)(2,4).

【题型专练】

1.(2022•全国•高一课时练习)函数y=∕(x)是奇函数，其图象上有一点(“,〃“))，则函数

/(x)的图象必过点()

A-(α,∕(-α))B.(-α,∕(α))C.(-ɑ,-/(ɑ))D.凡

【答案】C

【分析】利用函数是奇函数可得答案.

【详解】函数"X)的定义域为D因为函数y=∕(x)是奇函数，acD,所以一α∈Z),

且/(—a)=—"。)，所以函数/(x)的图象必过点(一。,一/(。)).

故选：C.

2.(2021.全国•高一课时练习)设奇函数全X)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时，/⑶的

图象如图，则不等式/U)<0的解集是.

【答案】(-2,0)0(2,5)

【分析】根据奇函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】利用函数/O)的图象关于原点对称.

.∙.∕(x)<O的解集为(-2,0)u(2,5).

故答案为:(-2,0)u(2,5)

3.(2021.全国•高一课时练习)若"x)为R上的奇函数，则下列说法正确的是()

A./(O)=OB./(x)-∕(-x)=2∕(x)

x

C./(/x\)√(/-x∖)<OD.温f()=T

【答案】AB

【分析】利用奇函数的定义和性质即可作出判定,注意判定CD时要考虑到特殊情况.

【详解】∙.∙∕(x)在R上为奇函数，.∙∙∕(r)=-∕(x).∙.∙∕(x)+∕(r)=∕(x)-∕(x)=0,

.∙."0)+"0)=0,.∙."0)=0,故A正确.

F(X)-/(τ)=f(x)+/(X)=2∕(x),故B正确.

当x=0时，/(x)√(-x)=0,故C不正确.

f(x)

当X=O时，―,—;无意义，故D不正确.

/O

故选：AB.

题型四：已知函数奇偶性求参数

【例1】已知/(x)=α-^∙为奇函数，贝IJa=o

【答案】=-

a2

【详解】法一：因为/(x)为奇函数，所以/(0)=0,所以/(0)=α-白j=0,解得a=g

法二：特殊值法：因为/(x)为奇函数，所以ʃ(-l)=-/(1),所以ɑ--ɪ=一(。-ɪ-］

解得

2

法二：定义法：因为/(x)为奇函数,所以f(-x)=-∕(x),所以一一？1J，

解得

2

x2+i

［例2］已知/(X)=——：-----------为偶函数，则a=_________。

(3x+2)(%-a)

2

【答案】0=-

3

【详解】法一：特殊值法：因为/(x)为偶函数，所以/(—I)=/。)，所以

1=

(3χ(-i)t^χ-i-β)［(3+2Xl-a))'解得

法二：定义法：因为/(尤)为偶函数，所以/(—x)=∕(x),所以

(-x)2+lJX2+1),「2

=

(-3x+2χ-χ-α)^(3x+2Xx-β))'解Qa=I

【例3】如果定义在区间［3-α,5］上的函数/(x)为奇函数，则α=

【答案】α=8

【详解】因为/(x)为奇函数，所以定义域关于原点对称，则3-α+5=0,解得α=8

［例4］已知/(x)=(A-2)√+卜-3)x+3为偶函数，则/(x)的单调递减区间为。

【答案】(O,+8)

【详解】因为/(x)为偶函数，所以左=3,所以/(x)=χ2+3,所以/(x)的单调递减区间

为(θ,+∞)

【例5】(2。22全国•高一单元测试)已知函数个是奇函数，则下列选项正确的有

()

A.Z>=()B./(χ)在区间(I,”)单调递增

C./(X)的最小值为-g

D./(x)的最大值为2

【答案】AC

【分析】利用函数是奇函数，可得/(0)=0,求出匕可判断A；利用函数的单调性以及利用

单调性求最值可判断B、C,D.

【详解】函数若是奇函数,

则/(0)=0,代入可得6=0,故A正确;

上,、x-bX1

由

X

对勾函数y=x+1在(i,+∞)匕单调递增,

X

所以“幻=—T在(LE)上单调递减，故B错误；

x÷-

X

由y=x+∕e(v,-2]u[2,+oo),所以/⑶=/J'卜(°'万_,

X

所以/(X)min=-；，故C正确、D错误.

故选：AC

【题型专练】

1.(2021兴平市西郊高级中学高一期中)已知/(x)=(加一l)χ2+3∕nr+3为偶函数，则/*)

在区间(-4,2)上为

A.增函数B.增函数C.先增后减D.先减后增

【答案】C

【详解】因为/(%)为偶函数，所以机=0,所以/(x)=-√+3,对称轴为X=O,所以/(%)

在(一U)上先增后减

2.(2021.全国.高一课时练习)已知y=尔+bx+3α+6是定义在区间[3+24,3+α]上的偶函

数，则α+6=.

【答案】-2

【分析】利用偶函数的定义域可求得实数。的值，结合二次函数的对称轴可计算出实数匕的

值，即可得解.

【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则(3+∕)+(3+α)=3α+6=0,解得“=-2,

因为y=-2∕+fev+6-6定义在区间［-1,1］上的偶函数，则：=0,得力=0.

因此，a+b=-2.

故答案为：-2.

3.(2021•全国•高考真题)已知函数/(x)=x3(α2-2-')是偶函数，则〃=.

【答案】1

【分析】利用偶函数的定义可求参数”的值.

【详解】因为/(x)=x3(α∙2,-2-'),故〃-X)=T3(夕2-，-2'),

因为f(x)为偶函数，故F(T)=/(*)，

时x3(a∙2v-2-Λ)=-√(Ω∙2^X-2X),整理得到("-1乂2'+2一’)=0,

故α=l,

故答案为：1

4.(2021・全国•高一课时练习)若函数/(x)=∣x+α∣的图像关于)，轴对称，则实数〃的值是

【答案】0

【分析】根据奇偶性的定义求解.

【详解】函数图象关于V轴对称，则函数为偶函数，所以/(-X)=F(X)恒成立

所以卜x+H=k+α∣,χ2-20r+/=f+20r+/恒成立，所以4=0.

故答案为：0

题型五：利用奇偶性求函数值

【例1】已知/(X)为奇函数，且当尤＞0时，f(x)=x2+x,则/(—1)=

【答案】-2

【详解】因/(x)为奇函数，所以/(一1)=—/(1)=—2

【例2】已知函数y=∕(x)+x是偶函数，且/⑵=1,则/(一2)=

【答案】5

【详解】设M6=∕(x)+x,因为F(X)为偶函数，所以尸(-X)=F(x),即

/(-2)-2=/(2)+2,所以7•(一2)=5

【例3】已知函数.f(x)与g(X)分别是定义域上的奇函数与偶函数，且

/(x)+g(x)=χ2一∙~--2,则/⑵=()

%+1

2711

A.----B.-C.-3D.—

333

【答案】A

【详解】令x=2,则/(2)+g⑵=4-g—2=g①，令》=—2,则

/(-2)+^(-2)=4--1--2=3

-Z+1

因/(X)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以-/(2)+g(2)=3②，由①②解得

/⑵=.|

【例4】(2021•武侯模拟)设函数F(X)=I2'x<0若F(X)是奇函数,则g⑵的值是()

g(x)x>0.

A.--B.-AC.-D.4

44

【答案】A

【详解】设x>O,则一x<(),所以/(一x)=2T

又因/(x)是定义域上的奇函数，所以/(-x)=-∕(x),所以一/(6=2-,,所以/(X)=-2-Λ

所以g(x)=-2-*,所以g(2)=-2-2=—；

【例5】(2021.全国•高一专题练习)函数/(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，

/(x)=4x+机，则/(-；)=()

3

A.1B.—2C.—1D.—

2

【答案】B

【分析】先由/(x)为定义在R上的奇函数，可得f(0)=0,可求出m的值，从而可得x≥0

时的函数解析式，然后利用奇函数的性质可求得了∖g)的值

【详解】由函数F(X)为定义在R上的奇函数，得F(O)=O,解得帆=o,

所以/(x)=4x(x≥0).

所以旧)=4X；=2.所以《一J=一/(£)=-2.

故选:B.

【题型专练】

1.已知函数/(x)为偶函数，且当x>0时，/(χ)=χ2-l,则/(_。=.

X

【答案】0

【详解】因/(x)为偶函数，所以/(—1)=/(1)=0

2.(2021•项城月考)已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则/(x)+g(x)=χ2+χ-2,

WJ/(-2)=

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【详解】令x=2,则/(2)+g⑵=4+2-2=4①，令x=—2,则

/(-2)+g(-2)=4-2-2=0

因/O)与g(x)分别是定义域上的偶函数与奇函数，所以/⑵―g⑵=(Xg),由①②解得

/(2)=2,因/(x)为偶函数，所以—2)=/(2)=2

3.已知函数/(x)与g(x)满足/(尤)=2g(x)+l,且当g(x)在R上为奇函数，/(-1)=8,

则刖=—

【答案】-6

7

【详解】因/(x)=2g(x)+l,所以/(—l)=2g(—1)+1=8,所以g(—1)=5,因g(x)在R

上为奇函数，所以g(l)=_g(-l)=_(，所以/(l)=2g(l)+l=2x(_g[+l=_6

4.(2020•郴州三模)设函数/(x)=[r+*'且函数F(X)为偶函数，则f(-2)=()

Ig(X),x<0

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】A

【详解】设X<0,则一为>(),所以/(-χ)=(-χ)2-χ=χ2-χ

乂因/(X)是定义域上的偶函数，所以/(—χ)=∕(χ),所以/(χ)=χ2-χ,

所以g(x)=x2-X,所以/(-2)=g(-2)=4+2=6

5.(2022江苏高一单元测试)已知定义在[4-%,a]上的偶函数F(x),满足x<0时，

/(x)=l(l-2t),则小)的值为()

【答案】A

【分析】由偶函数的性质求解

【详解】定义在［”2α,句上的偶函数义(x),

.∙.4-2α+α=0,解得々=4,

QxcO时，/(x)=^(l-2t)

∙∙√(4)=∕(-4)=^(l-2-4)=∣∣:

故选：A

题型六：利用奇偶性求函数解析式

【例1】定义在H上的函数/(x)满足"x+l)=2∕(x),若当O≤x≤l时，/(x)=x(l-x),

则当一1≤X≤O时，/(X)=____________<,

【答案】/(x)=-gx(x+l)

【详解】设一l≤x≤0,则0≤x+l<l,所以/(X+1)=(X+1X1-(x+1))=—MX+1)

乂因/(x+l)=2∕(x),所以2/(X)=-X(X+1),所以/(x)=-gx(x+l),

【例2】已知函数y=∕(x)在R是奇函数，且当x≥0时，/(x)=χ2-2x,则x<0时，

/(%)的解析式为_______________

【答案】/(Λ)=-√-2X

【详解】设x<0,则一x>0,所以/(-X)=(-X)2-2(-X)=∕+2X

又因f(x)是定义域上的奇函数，所以/(-χ)=-∕(χ),所以—/(x)=χ2+2x,

所以/(ʃ)=-X2-2%

【例3】已知/(x)为偶函数，当0≤x≤l时,/(x)=l-x,当一l≤x<()时，求/(x)解析

式？

【答案】/M=ι+χ

【详解】设一IWX<0，则0<-x≤l,所以/(-x)=l+x

又因/(χ)是定义域上的偶函数，所以/(—x)=∕(x),所以/(x)=l+x,

【题型专练】

1.(2021•台州市书生中学高一开学考试)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，

/(x)=x2-x+l,则/(T)=,/(x)在x≤0上的解析式为/(X)=

,..,-x2—%—1,x<0

【答λ案】-1，/(χ)=s

［O,x=O

［详解］/(-1)=-∕(1)=-(12-1+1)=-1

设尤<(),则一X>0,所以/(一X)=(-x)2-(-χ)+l=χ2+χ+l

又因73是定义域上的奇函数，所以/(—x)=-∕(x),所以一/(x)=∕+χ+ι,

所以f(x)=-x2-X-I

当X=O时，/(0)=0,所以/(X)=<一"；：二：<。

2.(2022全国•高一单元测试)己知函数/(χ)是定义在R上的奇函数，当x≥()时，

/(x)=x2—2x.

(1)画出当x<0时，/S)函数图象;

(2)求出/(x)解析式.

,、［x2-2x,(x≥0)

【答案】(1)见解析；(2)f(x)=∖2；/M.

-X-2x,(x<0)

【分析】(1)根据函数奇偶性的性质即可画出当x<0时，函数/(χ)的函数图象:

(2)根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式.

【详解】解：(1)/(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2-2x.

：・函数，(X)的函数图象关于原点对称，则当x<0时，“X)函数图象：

(2)若x<0,贝!]-x>0,；当^^0时，f(x)=X1-2x..∙.f(-χ)=(-ɪ)2-2(-ɪ)=-f[χ),

X2-2x,(x≥0)

则当x<0时，f(χ)=-X2-2x.即/(X)=

-X2-2X,(X<0)

题型七：给出函数性质，写函数解析式

［例1］(2021•北京・)已知函数〃x)同时满足下列条件：①/(%)定义域为(-∞,÷∞);②Fa)

是偶函数；③/(九)在(O,+e)上是减函数，则/(x)的一个解析式是.

【答案】/(%)=--或者/(»=1Ν(答案不唯一，符合题意即可)

【例2】(2021•河南・温县第一高级中学(理))请写出一个同时满足以下三个条件的函数/(X)：

(1)CX)是偶函数；(2)/S)在(0,+∞)上单调递减;(3)/(x)的值域是(l,+∞).则/(X)=

【答案】/(χ)=*+ι或者73=同+1

(答案不唯一，符合题意即可)

【例3】(2022重庆巴蜀高三第一次月考)请写出一个同时满足下列三个条件的函数/(x):

(I)/(x)是偶函数；(2)/(元)在(0,长。)上单调递减；(3)