2022-2023学年陕西省商洛市高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年陕西省商洛市高一下册期中数学模拟试题

（含解析）

第I卷（选择题）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项是符合题目

要求的）

UUA

I.向量48=（2'-3）对应的复数为（）

A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.

-3-2i

【正确答案】A

【分析】由复数的几何意义即可得解.

ULU

【详解】由复数的几何意义知：=（2,-3）对应的复数为2—3i.

故选：A.

12

2.已知α是第四象限角，cosOt=—,则Sina等于（）

【正确答案】B

【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出.

【详解】由条件知α是第四象限角，所以Sina<0,即sin一cos2a——~-

__5_

^13'

故选：B.

本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题.

3.下列关系式中正确的是（）

A.sin11o<cos100<sin168oB.sin168o<sin11o<cos10°

C.sinll0<sinl680<cosl00D.sin168o<cos100<sin11o

【正确答案】C

【分析】根据诱导公式把角都转化到正弦函数同一个单调区间内，然后利用正弦函数的单调

性比较大小即可.

【详解】∙.∙Sin168o=sin（l80o-168o）=sin12o,cos10o=sin（90o-10o）=sin80o,

又∙.∙V=sinX在［0°,90°］上单调递增，11。<120<80在

.∙.sinllo<sin12o<sin80°,即SinlI。<sin168o<cos10o.

故选：C.

4.已知两个单位向量［和B夹角为60°，则向量Z-刃在向量Z方向上的投影向量为（）

__1-1-

A.—aB.∩C.---UD.-U

22

【正确答案】D

--1

【分析】先计算。》=—,再根据投影向量的定义求得答案.

2

--1

【详解】由题意可得，a∙⅛=l×l×cos60u=-,

2

____2——i_l

故向量£-族在向量Z方向上的投影向量为（a—初∙α-_a-'∙a2-，

~,Cl-~*Cl-,Cl-Cf

Ial⑷12

故选：D

5.在ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,C,且/=b2-c?+、&c，则角8的

大小是（）

A.45oB.60oC.90oD.135°

【正确答案】A

【分析】由/=/一¢2+缶C利用余弦定理可得COSB=Y2,结合B的范围，即可得B的

2

值.

【详解】AZ8C中，•.•/=〃一缶c，

可得：a1+c2-b2=41ac>

∙∙.由余弦定理可得：

a2+c2-b242acy∣2

cosB=-------=------=——，

lacIac2

∙.∙8e(0,乃)，

.∙.8=45°,

故选：A.

6.已知点/(2,—1),8(4,2),点尸在X轴上，当方.而取最小值时，尸点的坐标是

A.(2,0)B.(4,0)C.(y,0)D,(3,0)

【正确答案】D

【详解】试题分析：设产IaOj,则西=U-α-n而=4-α二)，所以

PJ西=U-α)4-αl-2=a：-&2-6，由二次函数的性质得，当α=3时有最小值，所

以尸点的坐标是(3,0).

考点：1.向量的运算；2.二次函数.

7.在RtA∕8C中，斜边BC长为2,O是平面ZBC外一点，点尸满足

..I...

OP=O4+](Z5+∕C),则MPl等于()

A.2B.1C.ʌ-D.4

【正确答案】B

—•1一一

【分析】利用向量的减法可得NP=3(Z8+/C),从而可得力尸为Rt”8C斜边BC的

中线，即可求解.

【详解】解：•.・丽=E+g(港+就)，

.∙.OP-OA=-(AB+AC),AP^-(AB+AC),

22

.•・力尸为Rt4Z8C斜边BC的中线，∙∙∙∣∕尸1=1.

故选：B.

TT

8.函数V=ZSirι(Ox+e)(G>0,IeI<5，XeR)的部分图象如图所示，则函数表达式为

()

j

A.y=-4sin(^-x+^)B.y=4sin(qx-W)

84

C.y=-4sin(-x-D.y=4singx+?)

84

【正确答案】A

TT

【分析】根据图像的最值求出A,由周期求出。，可得y=4sin(—x+8),再代入特殊点

8

求出9,化简即得所求.

【详解】由图像知Z=4,ɪ=6-(-2)=8,7=16=—,解得工

2ω8

TTTT

因为函数y=4sin(-x+°)过点(2,-4),所以4sin(-χ2+0)=-4,

88

Sin(―x2+0)=-1,即一X2+0=----+2kπ(k∈Z),

882

377JT5乃

解得9=---+2kπ(k∈Z),因为∣e∣<Q∙,所以W=彳，

.,n5乃、..,Ti兀、

y=4λsιn(-^-x+-)=-4sιn(-^-x+-).

故选：A

本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的

得2分.

SinXsinx≤cosx

9.对于函数/(x)=<,,一给出下列四个命题，其中正确命题的序号是()

cosX,sinX>cosX

A.该函数是以兀为最小正周期的周期函数;

B.当且仅当X=兀+®伏∈Z)时，该函数取得最小值T；

C.该函数的图象关于直线x=1π+2E(左∈Z)对称；

D.当且仅当2E<x<T+2E∕eZ)时，0<∕∙(χ)≤*

【正确答案】CD

【分析】求得/(χ)的最小正周期为2兀，画出/(χ)在一个周期内的图象，通过图象可得对称

轴、最小值和最大值，即可判断正确答案.

sinx,sinx≤cosx

【详解】函数/'(x)=<

cosx,sinx>cosx'

Ti5兀

可得，当2左TtH—≤X≤2左TIH-----，ZeZ时，f(x)=cosx,

44

5τr97i.

当2∕cτιH----<X≤2ZTC÷—,左eZ时，/(x)—Sinx,

44

则/W的最小正周期为2兀，故A错误;

画出/W在一个周期内的图象,

当工=2后兀+71或'=2七1+5，ZeZn寸，/(χ)取得最小值-1,故B错误;

由图可知/(X)的图象关于直线X=工兀+2E(%eZ)对称，故C正确；

4

TT

当且仅当2E<x<5+2E(keZ)时，/(x)>0,

/(x)的最大值为/(a=。，可得O<∕(χ)≤q,故D正确.

故选：CD.

10.已知向量"=(1,1)1=(CoSaSine)(O≤e≤").则下列命题正确的是()

A.若B=,则e=2B.存在e,使得卜+可=K-Bl

、22J4

C.与G共线的单位向量为D.向量Z与B夹角的余弦值范围是

^√2^

---,]

2

【正确答案】ABD

TT

【分析】对于A,由特殊角的三角函数值与。的取值范围可得到。=一，故A正确；

4

对于B,利用向量的数量积运算由|万+同=|万一可易得展3=0,从而得到tan”-l,故

。=手，即说法成立，故B正确；

4

a

对于c,利用±Fi易求得与Z共线的单位向量有两个，故C错误；

忖

对于D,利用向量数量积运算求得口B夹角的余弦值的表达式，结合三角函数的图像即可

得到其取值范围是一冬1,故D正确.

【详解】对于A,由题意得CoSe=变，又o≤e≤τ,故。=工，故A正确;

24

对于B,因为卜+同=B-司，即B+B1=B—小即R+B)2=倒叫2,

整理得］2+214+。=万2-2万花+巨，即鼠B=0,

,Zj

故1×cos夕+1XSine=O,即sin夕=一cosθ,得tanθ=——=-1,

COSe

又o≤e≤τ,所以e=,,即存在凡使得|万+同=B-同，故B正确；

对于c,因为:=(ι,ι),所以同=JAF=近,故与々共线的单位向量为

i∣i∣=i⅛⅛Mi⅛i⅛y故C错误;

CoSe+sin6y∣2八6.门.

—=~/=——cos，+——sin'=sin

对于D,V∑-Vcos2^+sin2θ22

S所以5。+%罟，所以一日<s∖n(θ+-≤1,即向量Z与E夹角的余

I4√

弦值范围是^^~~,1»故D正确.

2

故选：ABD.

11.将函数y=3sin∣2x+m)的图象向右平移5π个单位长度，对于所得图象对应的函数,

2

下列说法正确的是()

π7πTr7无

A.在区间—上单调递减B.在区间—上单调递增

STTTT5兀π

C.在区间一-,二；上单调递减D.在区间一-,上单调递增

1212127127

【正确答案】BC

【分析】由条件根据函数N=∕sin(ox+⑼的图象变换规律得到变换之后的函数解析式，再

根据正弦函数的单调性判断即可.

TrTT

【详解】将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移一个单位长度,

32

TiTiZTC

得y=3si∏[2(x—ɪ)+—]=3si∏(2x——),

π2ππ

—≤2x------≤—，

232

2TiJr7Ti

・・・函数y=3sin(2x-y)⅛[-,—]上单调递增，故选项B正确;

因为一里LL-3兀/c2兀,π

≤x≤2,所以----≤2x------≤-----

1212232

所以函数y=3sin(2x-g)在-上单调递减，故选项C正确,

故选：BC.

12.点尸是A48C所在平面内一点,满足I而-卮H而+1-2向I=O,则∖ABC的形状

不可能是

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三

角形

【正确答案】AD

【分析】

由条件可得I方-衣I=IX+方I,再两边平方即可得答案.

【详解】是A43C所在平面内一点，且I而-正|一|巨豆+正一2强1=0，

：.\CB\-\（PB-^PA）+（PC-~PA）\=Q,

即I函=方+湎，

.∙.IZs-Tc∣=∣Tc+TsI,

两边平方并化简得ACAB=O^

-'∙AC1AB>

•••//=90'，则ZUBC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，

故不可能是钝角三角形，等边三角形，

故选：AD.

本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.

第U卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

2sin（兀一α）+sin2a_

13.化简：7a.

COS--------

2

【正确答案】4sina

【分析】利用诱导公式以及降累公式与二倍角公式化简即可.

2sin（π一α）+sin2a

［详解］获

COS

2

2sinα+2sinα∙cosa2sinα（l+cosa）..

=------ɪ------------------=­ɪ----------------=4smα

—（l+cos6z）—（l+cosa）

故答案为.Asina

一一一一18

14.己知向量a=（w,l）,6=（4-〃,2）,m>0,〃>0,若a〃b，则一T■一的最小值

mn

9

【正确答案】一

2

【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到2加+〃=4,再根据“1”的变形，利用基本不

等式求最值.

【详解】∙.∙]∕∕B,2〃？=4一〃o2∕w+"=4,(/M>0,«>0)

当且仅当‘=16"?,即〃=4〃?，∏--,m=—H-J",等号成立.

mn33

故一

2

1Q1/1QA

关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形一+—=:一+一（2加+〃），展开后,

inn41mn）

即可利用基本不等式求最值.

15.已知向量3/满足同=5,W=I,且B—4同≤JΣT,则温的最小值为.

【正确答案】-

2

【分析】

将p-4ft∣≤√2l两边平方解不等式即可求解

【详解】解析,一μ=乖『+呻『—•石="1—B≤而,

5__41__5

∙∖-≤a∙b≤—,即α石的最小值为一.

282

故9

2

本题考查了向量的模以及向量的数量积，属于基础题.

16.函数f（X）=JcosztQ-Sin'的最小正周期是；定义域是

JTJT

【正确答案】①.π②.一+kπ,-+∕σι（左eZ）

44vz

【分析】先根据同角三角函数关系化简解析式,求出周期,解三角不等式求出定义域即可.

【详解】

ʃ(ɪ)=√cos4x-sin4x=ʌʃ(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)=√cos2x-sin2x=Vcos2x,

T=B=兀,所以最小正周期是无；

JtTETCJL

令cos2%>0,/.-----l-2Λπ≤Ix<—■∖-2kπ,:.-----∖-kπ.≤x≤-+Aπ,k为整数，

2244

定义域为----卜kτt,—Fkit(k∈Z),

44Jv,

故兀；--+kπ,-+kπ(A：∈Z),

44J'

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明

过程或演算步骤.)

17.如图，四边形0/。B是以向量5工=］，痂=行为边的平行四边形，且OD，48相交于

【分析】根据题意，由平面向量基本定理，分别表示出西,而，即可表示出丽.

【详解】因为的=g比，BC^CA.所以两=^BA=^OA-OB')=^a-b],

所以两=为+两=各+，仿一庚=，£+*九

6、>66

因为国=；而，OC=CD,

所以CW=OC+CN=-OD=-(OZ+08)=-α+-b,

33v>33

____________971c_11

所以砺=丽一两=一Z+—加一一a一一b=-a一一b.

336626

18.已知tana,tan/?是方程3χ2+5χ-7=0的两根，求下列各式的值:

(1)tan(α+0;

Sin(G+/?)

(2)

COS(Q'

(3)cos2(α+/?).

【正确答案】（1）--

2

⑵-

4

、4

(3)-

5

【分析】（1）由条件利用韦达定理求得tana+tan，和tanα∙tan∕?的值，再利用正切两

角和的公式求解即可;

（2）先用正弦两角和的公式和余弦两角差公式展开，再用同角基本关系中商的关系即可求

出答案;

（3）先利用用同角基本关系中平方的关系，构造出齐次式，用同角基本关系中商的关系计

算即可.

【小问1详解】

57

由tanα,tanβ是3χ2+5χ_7=0的两根，∏ΓWtanα+tanβ=-tanα∙tanβ=-y,

tan(α+0=tanα+tanβ=L

1-tanαtanβ2

【小问2详解】

_5

sin(α+0SinaCoS夕+cosαsin夕tana+tanβ-35

----------------------------------=--------------=-----=—

COS(α一4)cosacosβ+sinasinβ1+tanatanβ∣-74

^3

【小问3详解】

2/βλCOS2(α+01-ɪr-4

Cos~(α+β)=----∑-----------------∑----------=-----------------=1=—

cos2(a+y9)+sin2(a+β)l+tan~(σ+/?)11+-5

19.已知函数/'(x)=cos［x+募)cosX-GSin2［曰+工［+-^"•

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)设函数g(x)=2∕(x)+l,求g(x)在区间-5，；上的值域.

【正确答案】(1)π

(2)[-1,2]

【分析】⑴化简/(x)=sin(2x∖J即得解；

(πλ

(2)由已知得g(x)=2sin2x--+1,再利用不等式的性质结合三角函数的图象逐步

∖ɔ/

求出三角函数的值域得解.

【小问1详解】

解:/(x)=cosx+∙^'jcosx-V3sin2++

.A2,vɜ_1.ɔʌ/ɜɔ_.fɔ兀]

=sinXCOSx—y∣3cosx-----=-sin2x------cos2x=sin2x—

222I3)

O7r

所以/(X)的最小正周期为芋=π∙

【小问2详解】

、

/7C'

解：由已知得g(x)=2sin2x一一+1.

‹37

ππL5ππ

当x∈时,2x

44^r6’6

所以Sin(2%一三k-l,ɪ

所以2sin(2x—§)+1∈[―1,2],

即g(x)在区间-ɪ,ɪ上的值域为[T,2]∙

20已知函数/'(X)=Sin2χ+Jjsinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期；

<rr§

(II)若/(χ)在区间一可,〃？上的最大值为万，求加的最小值.

JT

【正确答案】(I)兀：(H)一.

3

2τr

【分析】(I)将/(X)化简整理成/(x)=∕sin(5+e)的形式，利用公式7=」可求最小

Tt71

正周期；(H)根据xw[-一,m],可求2x--的范围，结合函数图象的性质，可得参数加

36

的取值范围.

【详解】(I)/(%)=+^^sin2x=^^sin2x-'cos2x+L=sin[2x-&]+L,

v,

22222lk6j2

所以/(x)的最小正周期为T=等=π.

(II)由(I)知/(X)=sinI2x--|.

JTTTJjTTT

因为XW-彳,机，所以2X一∙∈--—,2w--

3J6L676

JT3

要使得/(χ)在加上的最大值为5,

即sin12x—wj在π

--,m上的最大值为1.

π

所以2〃z—巴≥巴,即加≥-.

623

Tt

所以加的最小值为

3

点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函

数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.

21.某观测站。在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，

在C处测得公路上8处有一个人，距。为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到

达。处，此时Cz)间的距离为21千米，则这人达到A城还要走多少千米？

,北

【正确答案】15

【分析】

先求出CoSNBz)C,进而设N∕OC=α,则Sinα,CoSa可求，在A/CD中，由正弦定

理求得ZO,答案可得.

【详解】由已知得CO=21,8C=31,BD=2。,

2F+2()2一3『

在ABCO中,由余弦定理得CoSN8。C=ɪ

2×21×207

设AADC=a,则cosa=—,Sina=4">

77

AD_21

在"0。中,由正弦定理得嬴*Γ窈

"=*mf+α)吟亭评苧=15,即所求的距离为15公里,

故答案为15.

本题主要考查了解三角新的实际应用.解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得

答案，属于中档题.

__71__

22.已知向量Q=(sinx,COSx),方=(sin(x---),sinx),函数f(x)=2〃•方，g(x)=f

6

π

(z—X).

4

Tt

(1)求f(X)在［―,兀］上的最值，并求出相应的X的值；

2

(2)计算g(1)+g(2)+g(3)+...+g(2014)的值;

(3)已知t€R,讨论g(x)在［t,t+2］上零点的个数.

【正确答案】(Df(X)最小值为3-1,此时X=止；f(x)最大值为百，此时x=J