北京市朝阳区2022-2023学年高一年级下册期末质量检测数学（含解析）

北京市朝阳区2022〜2023学年度高一第二学期期末质量检测

数学试卷

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回.

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.计算（2D?=（）

A.-1B.-2C.-4D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的乘方运算即可.

【详解】（2i）2=4i2=-4.

故选：C.

2.已知43,2）,5（-5,-1）,若AC=C8,则点。的坐标为（）

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得C是线段AB的中点，根据中点坐标公式求解即可.

【详解】因为AC=CB，所以C是线段A3的中点，

所以点的坐标为（彳,与），即（T，g），

故点C的坐标为

故选:A.

3.在如图所示的正方体ABQD-AgGA中，异面直线AG与BD所成角的大小为（）

C.60°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】根据异面直线所成角的性质，结合正方体线线关系即可求解.

【详解】如图，连接片已

在正方体ABC。一4月。。|中，因为551〃。£>1，5月

所以四边形为平行四边形，所以BQJ/BD

又在正方形A与G。中BR，4G,所以8。J.A©

则异面直线4G与8。所成角的大小为90°.

故选：B.

4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（）

A.“都是白球”与“至少有一个白球”B.“恰有一个白球”与“都是红球”

C.“都是白球”与“都是红球”D.“至少有一个白球”与“都是红球”

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事

件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解.

【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，

抽取小球的情况分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，

选项A,“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），故既不互斥也不对立，A错误，

选项B：“恰有一个白球”表示的是（红，白），与“都是红球”互斥但不对立，故B错误，

选项C：“都是白球”与“都是红球”互斥但不对立，故C错误，

选项D：“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），与“都红球”是对立事件，故D正确，

故选：D.

5.已知m匕是两条不重合的直线，。为一个平面，且。_1。，则是“a//。”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项.

【详解】当匕，a时，结合可得a//人充分性满足；

当a〃b时，结合a_La,可得6_La,必要性满足.

故选：C.

6.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6.乙的命中率为0.5,如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的

概率为（）

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】C

【解析】

【分析】甲乙相互独立，而甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：AB+AB>由相互独立事件的概

率乘法公式可求.

【详解】设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件8

由题意可得，P（A）=0.6,P（B）=0.5且甲乙相互独立

甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：AB+AB>

P（AB+AB）=0.4x0.5+0.6x0,5=0.5

故选：C

7.已知函数/（x）=sin（0x+何3>0,网<兀）的部分图象如图所示，则/?）=（）

.e

A一直R近D

D.---------C.0

222

【答案】B

【解析】

【分析】利用图象求出函数/(x)的解析式，然后代值计算可得出/(2］的值.

21t714无

【详解】由图可知，函数/(x)的最小正周期为T=4x

T-3

2兀3所以，〃x)=sin(3£x+e

因为69>0，则刃=--=2兀X---=

T4712

271

因为了sin(兀+夕)=一sine=l,可得sin°=-l,

3x7T3x

因为一兀＜0＜兀，则e=一5,故〃x)=sin=-cos—,

2

、71V2

因此，/但371

=-cos-cos—=----

16J26J42

故选：B.

8.已知数据巧、七、L、的平均数为"方差为S2,在这组数据中加入一个数最后得到一组新数

据，其平均数为F，方差为s'2,则()

2

A一B.『>/C一X’<一xD.s')<.y

【答案】D

【解析】

【分析】利用平均数公式可得出最、？的大小关系，由方差公式可得出./、0的大小关系.

【详解】由已知可得)=内+尤2+当++*"

n

x.-x

加入新数据后，？=土土土上玉土++xnx-\-x-

-------=------=X,

77+1n+\

X|-X)+(工2-，+(%3-X)+…+(为“-x)+(x-x)

,，2

〃+1

所以ABC错误，D正确.

故选：D.

9,堑堵、阳马、鳖臊这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术•商功》.如图1,把一块长方体分成相

同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各

一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的

四面体，称为鳖席.则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（）

【答案】B

【解析】

【分析】计算出长方体的体积，利用锥体的体积公式计算出阳马的体积，即可求得阳马与长方体的体积之

比.

【详解】设阳马的体积为乂，长方体的体积为V,

由图2可知，阳马是底面为矩形，高为C的四棱锥，则

3

长方体的体积为V=He,因此，M=L

V3

故选：B.

10.设M为平面四边形ABCD所在平面内的一点，MA=a，MB=b，MC=c，MD=d.若

“+c=8+d且=则平面四边形ABC。一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.梯形

【答案】c

【解析】

【分析】由a+c=O+d结合平面向量的减法推导出BA=C。，利用平面向量的数量积运算推导出

|c/i|=|r>B|,即可得出结论.

【详解】因为a+c=~+d，则M4+MC=M5+M£>，即肠4一MB=MC，

即BA=CO,所以，平面四边形ABCO为平行四边形，

因为a+c=〃+d，则("。',+小,即J+2a-c+J=//+26M+/，

因为a-c=Z?.d,所以，a-2a-c+(^-h-2b-d+d,即卜-c|=|"一,

,即|CA卜即平行四边形ABCD的两条对角线长相等，

故平面四边形A3CD一定是矩形.

故选：C.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，复数z=l+i对应的点为Z，则|OZh.

【答案】V2

【解析】

【分析】根据复数几何意义即可由模长求解.

【详解】由题意可知|OZ|=|z|==J*

故答案为：J5

12.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.教育部门为了了解本地区中小学生的近视

率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本

量为150,那么在高中生中抽取了人.

【答案】30

【解析】

【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.

3000

【详解】高中生中抽取了xl50=30人,

3000+6000+6000

故答案为：30

13.在ABC中，a=8,b=7,c=3,则8=；tan(A+C)=

【答案】①.I②.-石

【解析】

【分析】利用余弦定理求出COSB的值，结合角8的取值范围可得出角8的值；再利用诱导公式可得出

tan（A+C）的值.

【详解】在_钻。中，a=8,b=l,c=3,

由余弦定理可得cosB=a+cj-64+9-49

lac2x8x32

因为3e（0,7r）,则8=],故tan（A+C）=tan1乃一gJ=-tang=-\/J.

故答案为：—；-.

14.把函数〃x）=sin（2x+1）图象上的所有点向右平行移动己个单位长度得到函数g（x）的图象，则

g（x）的一个对称中心坐标为.

【答案】（0,0）（答案不唯一）

【解析】

【分析】先利用平移变换得到g（x）的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可.

【详解】由题意可得g（x）=sin2|+^=sin2x,

k

令2x=kji,keZ,解得x=—兀keZ,

2

所以g（x）的对称中心的横坐标为x=|■兀，kwZ,

所以g（x）的一个对称中心坐标为（0,0）,

故答案为：（0,0）（答案不唯一）

15.如图，在ABC中，设AB=4,BC=a,N5的平分线和AC交于。点，点E在线段上，且

满足BE:EC=3:2,设24£=445+424。（匕,42£区），则匕+&=；当。=时，

DE//AB.

【解析】

【分析】利用向量的加法法则得，从而求得仁+修，利用角平分线性质确定点。位置，然后利用平行线分

线段成比例求解.

3

【详解】因为3E:EC=3:2,所以

3323

所以AE=A8+BE=AB+gBC=AB+](AC—A8)=《A8+gAC,

,23

所以&]=M，&f2=—，所以自+他=1，

小心工m-r/目ABAD-r，nADsinZABD

在△ABZ）中，由正弦定理可得=,可得=,

sinZADBsinZAB。ABsinZADB

…iE-r/口BCCD—CDsin/CBO

在△CBO中，由正弦定理可得----------=----------,可得——=----------,

snZBDCsinZCBDBCsinZBDC

因为3。为ZABC的角平分线，可知ZABD=ZCBD,ZADB=冗—ZBDC,

所以sinZABD=sinNCBD,sinZADB=sin(兀-NBDC)=sinNBDC,

可得^=sinZCBD,,ADCD„“,CDBCa

■-----------,所cc以一=——，又AB=4,BC=a,所C以CI一=——=-

sinZADBsinZBDCABBCADAB4

在_ABC中，DE//AB）所以-——,所以一=彳，解得a=~

ADBE3433

o

故答案为：1;—.

16.如图1,四棱锥P-ABC。是一个水平放置装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面

ABCD为平行四边形，现将容器以棱A6为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过CZ5EF,其

中E、尸分别为棱24、依的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：

图1图2

①没有水的部分始终呈棱锥形；

②有水的部分始终呈棱柱形；

③棱AB始终与水面所在平面平行；

④水的体积与四棱锥P-ABCD体积之比为5:8.

其中所有正确结论序号为.

【答案】①③④

【解析】

【分析】由棱锥的定义可判断①；由棱柱的定义可判断②；利用线面平行的定义可判断③；利用锥体的体

积公式可判断④.

【详解】对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没有水的部分始终呈棱锥形，①对；

对于②，由棱柱的定义可知，在倾斜的过程中，有水的部分的儿何体不是棱柱，②错；

对于③，倾斜前，在图1中，棱AB与水面所在平面平行，

在倾斜的过程中，容器以棱A3为轴向左侧倾斜到图2的位置的过程中，

棱A3始终与水面所在平面平行，③对；

对于④，连接AC、CE、BE,设三棱锥尸一ACO的体积为V,则三棱锥P—ABC的体积也为V,

因为E、F分别为24、依的中点，所以，EF//AB且EF==AB,

2

所以，尸=a，所以，匕TEF=W=WV'

113

所以，没有水的部分的几何体的体积为匕iQE+%_P"=-v+-v=-v,

35

所以，有水的部分的几何体的体积为2V-二V二-V,

44

5V

因此，水的体积与四棱锥P—A5CO体积之比为一：2V=5:8,④对.

4

故答案为：①③④.

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.已知函数/(%)=sin2x+2Gcos2«x.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

JT

(2)求函数/(力在区间0,-上的最大值和最小值.

【答案】(1)兀

(2)最大值为2+6,最小值为1+G

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数/(x)的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数/(x)的

最小正周期；

(2)由OAxW：求出2x+g的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数/(x)的最大值和最小

值.

【小问1详解】

解：因为/(x)=sin2x+2>/3cos2x=sin2x+273x+c^s

=sin2x+V3cos2x+V3=2sin^2x+y^+>/3,

7

所以，函数/(x)的最小正周期为7=g7r=7t.

【小问2详解】

解：当04x4工时，-<2x+-<—,

4336

故当2x+g=］时，函数/（x）取最大值，即/（x）心=2sin5+百=2+6，

当2x+1=葛时，函数〃x）取最小值，即/（XL=2sinK+G=l+JL

18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量

各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产量相互独立.

旧养殖法新养殖法

（1）求频率分布直方图中。的值；

（2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱

产量都不低于55kg的概率；

（3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，

该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）

【答案】（1）a=0.068

（2）0.0704

（3）新养殖法

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1，即可求得图中4的值；

（2）根据独立事件概率乘法公式计算即可；

（3）利用频率分布直方图分别估计新旧养殖法的平均值，即可做出判断.

【小问1详解】

由（0.004+0.008+0.010+0.020+0.044+0.046+a）x5=1

所以a=0.068

【小问2详解】

设事件A,8分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于

55kg,

用频率估计概率，则P（A）=（0.020+0.012+0.012）x5=0.22,

P（B）=（O.（）46+0.010+0.008）x5=0.32

因为A,8相互独立，所以P（AB）=P（A）P（8）=0.22x0.32=0.0704

所以估计两个网箱的箱产量都不低于55kg的概率为0.0704

【小问3详解】

新养殖法

（旧养殖法的平均值估计为

0.012x5x27.5+0.014x5x32.54-0.024x5x37.5+0.034x5x42.5+0.040x5x47.5+0.032x5x52.54-0.020x5x57.5+0.012x5x62.5+0.012x5x67.5=47.1

新养殖法的平均值估计为

0.004x5x37.5+0.020x5x42.5+0.044x5x47.5+0.068x5x52.5+0.046x5x57.5+0.010x5x62.5+0.008x5x67.5=52.35

又52.35>47.1,所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.）

19.在_ABC中，己知sinA=J^sinB，Z.C--.

6

（1）求证：b-c-,

（2）在①“c=G；②csinA=3；③c?=a。这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确

定，求方的值和ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析；

（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理可得a=J初，再根据余弦定理即可证明；

JT271

（2）若选①，由（1）可得.=而，b=c,ZB=ZC=-,ZA=—,从而可求a,4c,根据三角形面积

63

公式即可求解；

Jr27r

若选②，由（1）可得a=屉，b=c,ZB=ZC=-,ZA^—,根据csinA=3可求6,c,根据三角形

63

面积公式即可求解；

若选③，根据边的等量关系可得a。=阮2,矛盾.

【小问1详解】

由sinA=J^sinB,根据正弦定理可得a=回.

222222

de4兀J,人在H^E/日-a+b-c3b+b-cg

又因为NC=：,由余弦定理得：cosC=--------------=-------；=———=——，

62ab2收2

可得从=/,即8=c.

【小问2详解】

若选①，

由ac—>且b=c,

所以园2=6,解得力=C=1，

所以NB=NC=四，NA=@.

63

所以SAABC=~^sinA=-xlxlx—=—.

*2224

若选②，

7C2兀

根据。=c,所以ZB=NC=7，NA=T.

63

因为csinA=3,所以Y3C=3，解得c=/?=2百.

2

所以S=—Z?csinA=—x2\/3x2>/3x=3>/3.

人A8Rcr222

若选③，

由（1）口I得a=\/^b,b=c,则R;==J^c、2,与=Q/；,矛盾，

故一ABC不存在.

20.已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，NZMB=90°,CD^-AB,平面a4QJ_

2

平面ABCQ，M是PB的中点.

（1）求证：8_1_平面24。；

（2）求证：CM〃平面PAD；

PN

（3）设棱PC与平面ADW交于点N,求二七的值.

NC

【答案】（1）见解析（2）见解析

(3)”=2

NC

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得到线面垂直.

（2）取中点，根据线线平行可得平面P4。//平面M£C,由此能证明直线CM//平面PAD；

PN

（3）作点F满足=则”与PC的交点即为尸。与平面ADW的交点N,从而可求得证的

值，

【小问1详解】

平面PAD_L平面A8C£>,且两平面的交线为AD,

由于AB〃CD,ZDAB=90°,所以8AD,CDu平面ABC。,

故CDJ•平面24。，

【小问2详解】

证明：取A8中点E，连

CD=-AB=\,M是P3的中点，

2

：.ME//PA,CE//AD,

由于MEZ平面PA。，PAu平面PAD，所以ME//平面PAD

同理可得CE//平面PAD

ME\CE=E,ME,CEu平面

平面Q4D//平面MEC,

CMu平面MEC,直线CM//平面PAD；

【小问3详解】

作点口满足=A。，则A，D,F,M四点共面,

作AB的中点E，则A£>=EC，所以MR=EC，

所以四边形MFCE是平行四边形，则FC//ME,又ME/1PA,

所以尸C//P4,即尸，A,C,f四点共面，平面ADFMc平面=

则PC与平面ADM的交点必定在AF上，

所以A尸与PC的交点即为PC与平面AOM的交点N,

所以二PNL=HAN=dPA=WPA=2,所以工PN1=2,

NC

21.设也〃wN*,已知由自然数组成的集合5={4，。2,…,凡}(4<4<…<。")，集合S-S2,■■■,Sm

是S的互不相同的非空子集，定义〃x加数表:

%]玉2…X\,m

X2\X22…x2i1,aieS,

,nt，其中囹=,n„,设4(4)=%1+w2+~+玉“«=1,2「一,〃)，令4(5)

U,Clj£3,

xnm)

是d(4),〃(%),・・・，d(o〃)中的最大值.

101、

(1)若加=3,5={1,2,3),且/011，求，，与，S3及d(S)；

10

(2)若5={1,2,…，川，集合5，S2,鼠中的元素个数均相同，若d(S)=3,求〃的最小值;

(3)若〃2=7,S={1,2,…,7},集合H，S2,•,S,中的元素个数均为3,且

S,.ns^0(l</<J<7),求证：d(S)的最小值为3.

【答案】(I)与={1,3}32={2},邑={1,2},d(S)=2

(2)4(3)见解析

阿斤】