2023-2024学年辽宁省葫芦岛市绥中县高二年级下册4月月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省葫芦岛市绥中县高二下学期4月月考数学

模拟试题

一、单选题

1.设/(X)存在导函数且满足D=-1,则曲线y=/(X)上的点(IJ(I))处的切线的

∆λ∙→θAr

斜率为()

A.-1B.-3C.1D.——

3

【正确答案】D

【分析】利用导数的定义求解.

r洋秋】例田出「/(ɪ)-ʃ(ɪ-ɜʌ^)ʃ(ɪ-ɜʌr)-/(l)

［详解］解：因为Ilrn-^----------------=q3rIim-----------------=-1,

ArToAX-3∆x→0—3∆X

所以Hm①匚竺0=」，

-3∆x→o—3ΔΛ3

故选：D

2.记正项等比数列｛《,｝的前〃项和为S,,,若7S2=3S3,则该数列的公比9=()

A.-B.ɪC.2D.3

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，结合等比数列的意义列出关于。的方程，求解作答.

【详解】正项等比数列｛4｝中，q>0,由7S2=3S3得7(4+%)=3(4+α2+%),

整理得3%—4%—44∣=°,即3/-4q-4=0,解得g=2,

所以数列｛叫的公比4=2.

故选：C

3.已知等差数歹(］｛4z,｝满足见+%+%=18,%+%+%=30,则%+%+%=()

A.36B.42C.48D.54

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的性质结合题设求得公差，即可求得为,继而根据等差数列的性质求得答案.

【详解】由题意等差数列｛4｝满足/+%+4=18吗+%+6=3。，

,

故3e=18,3a5=30,..a3=6,cι5=10,

则等差数列｛4｝的公差为d="/=2,;.%=%+2d=10+4=14,

故％+%+4=3%=3x14=42,

故选：B

4.根据表中提供的数据求出y关于X的线性回归直线方程为y=Q7x+0∙05,则，”的值是（）

X12345

y1.251.52m3.5

A.2.5B.2.85C.3D.3.05

【正确答案】A

【分析】求出，代入线性回归方程求出亍，即可求解.

【详解】Λ=3,回归中心点（3,亍）满足线性回归方程，

y=0.7×3+0.05=2.15>

/«=5x2.15-1.25-1.5-2-3.5=2.5.

故选:A.

本题考查线性回归直线的性质，熟记回归中心点在线性回归直线上，属于基础题.

5.已知数列为等差数列，首项4>0,若4组<-1,则使得S,,>0的〃的最大值为（）

4005

A.2007B.2008C.2009D.2010

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的首项和性质,结合&”<T可判断出d<0,απκw>0,即X）$<0∙结合等差数列的

“1005

前n项和公式,即可判断S,,>0的最大项.

【详解】数列｛q｝为等差数列,若出纥<T

^1（X）5

所以βl（X）4与6fI005异号

首项4>0,则公差d<0

所以4004>0,%>05<0

则％004>-«1005,所以«1004+«1005>θ

由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得

5

2008=~°网"；S0"8）=1OO4（ΛIOO4+Λ∣OO5）＞O

S2009=2009”2009）=2009（吗5+”1005）=200MoO5＜。

所以S,,＞O的最大值为S2008,BP∏=2008

故选:B

本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.

6.已知数"J｛q｝的通项公式为t=+[“+J”eN'），若前"项和为9,则项数〃为（）

A.99B.100C.101D.102

【正确答案】A

【分析】化简α,,=√^T-4,利用裂项相消求出数列｛q｝的前"项和，即可得到答案

【详解】假设数列｛%｝的前〃项和为S.,

因为4=-j=~1/=J/t+i—G,

√）2+√"+l

则数列｛a“｝的前〃项和为S〃=4+%++cιn=5/2—ʌ/l+ʌ/ɜ—5/2++J〃+1-yfH=J〃+1-1,

当前〃项和为9,⅛Sυ=√^-l=9,解得九=99,

故选：A

7.已知数列｛α,,｝满足。用=｝,且q=J,则｛4｝的前2022项之积为（）

A.∖B.-C.-2D.-3

33

【正确答案】A

【分析】由。,川=产，观察数列的前几项，可得其周期性，进而得出结论.

ɪ-ɑ,,

【详解】。如=产，且q=?，

I-。,3

1+11

々

ci3-I1

∙∙2=—f=2,〃3=-3,a4=--t¾=-,........,

1—

3

*

=1.

17

贝I」｛¾｝的前2022项之积=j×2×l505=j.

故选：A

8.甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中

随机取出一球放入乙罐，分别用A/、A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取

出两球，分别用民C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件，则下

列结论中不正确的是()

A.心⑷吟B-尸仁㈤号C.尸⑻D.P(C)T

【正确答案】C

【分析】利用条件概率公式可得P(3∣A),P(CI4)判断A,B；利用全概率公式计算P(B),P(C)

判断C,D.

Γ,2IA

【详解】在事件A发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则P(BIA)=滔=方，A正确；

,ClCl124

在事件4发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则P(CIA2)=/=了=丁B正确：

因尸(A)[，P(A)[,尸⑷A)=M尸(B∣4)=fk*

OOZlK-^∙y乙ɪ

则P(B)=P(A)P(BlA)+P(4)P(Bla)=IX片+34=1,C不正确;

OZloZl

因P(CiA)=MP(ClA)=等吟,

则P(C)=P(A)P(C∣A)+P(4)P(C∣4)[X白+京关=3D正确.

OZlOZ1OH-

故选：C.

二、多选题

9.下列命题中正确的是().

A.对于任意两个事件A与2,如果尸(AB)=P(A)P(8),则事件A与8独立

B.两组数据演，巧，χ3........XM与y∣,%，力....汽,设它们的平均值分别为纥与纥，将它

们合并在一起，则总体的平均值为‘LE,+」一4

m-∖-nm+n

C.已知离散型随机变量X~B(8,则D(2X+3)=3

D.线性回归模型中，相关系数，•的值越大，则这两个变量线性相关性越强

【正确答案】AB

【分析】根据独立事件的乘法公式即可判断A；由平均值的定义和公式验证选项B；由二项分布的

方差公式计算结果验证选项C；由线性相关系数的性质判断选项D.

【详解】对于A,对于任意两个事件A与S如果P(AB)=P(A)P(B),

则事件A与8独立，故A正确；

对于B：两组数据4，/，鼻，…，4与M，》2，为，…，丫“，

设它们的平均值分别为纥与J,

将它们合并在一起，有％+X2+X3++/+Y+%+%++Λ=mEx+nEy,

则总体的平均值为吗2=里+里，B选项正确；

m+nm+nm+n

对于C：已知离散型随机变量X~48,；),有n(χ)=8χ3[=∣,

则θ(2X+3)=22χ]=6,C选项错误；

对于D：线性回归模型中，相关系数卜I的值越大，则这两个变量线性相关性越强，

当r<0时，相关系数/•的值越大，这两个变量线性相关性越弱，D选项错误.

故选：AB.

10.数列｛%｝为等比数列，下列命题正确的是()

A.数列｛㈤｝为等比数列B.若%=3,&=27,则/=±9

C.若则｛%｝单调递增D.若该数列前"项和S,,=3"τ+r,贝Ik=—1

【正确答案】AC

【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用巴+「。”的符号可得C的正误，根据等比

数列和的特征可得D的正误.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4:

对于A,鸟=|4,所以数列｛同｝为等比数列，A正确；

∖an-y∖

对于B,由αj=%%=3χ27=81,所以4=妁，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以4=9,

B不正确；

对于C,因为。1<出<。3，所以“∣<qq<04;当4>0时，由q2>4>1可得4>1,此时

,

!n+ι-¾=W-αf=α1√^'(⅛-l)>0;

当4<0时，由q2<g<l可得O<q<l,止匕时《用一4=qq"（4一。>。；所以｛《,｝单调

递增，C正确;

对于D,因为S,,=3"-'+r,所以％=Sl=r+l,α2=S2-S1=2,«3=S3-S2=6,

因为｛%｝为等比数列，所以W=/即厂=二，D不正确.

2o3

故选：AC.

H.在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引

申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发

的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为

MHe40PW5G手机，然后他分期还款，.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱

数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为0.5%,设郭靖每个月还款数为X,则下列说

法正确的是（）

A.郭靖选择的还款方式“等额本金还款法”

B.郭靖选择的还款方式“等额本息还款法”

5000X0.5%X(1+0.5%)24

C.郭靖每个月还款的钱数X=

(l+0.5%)24-l

D.郭靖第3个月还款的本金为q+05%）3

【正确答案】BC

【分析】每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，每个月

还款数为X,根据利率求出每个月所还本金（由于有利息，每个月所还本金不相同），所有本金和为

5000,由此可求得X.

【详解】每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法,

XXXX

每个月还款数为X则母个月所还本金为（+。5%）24，（1+05）23，（1+05%产'

1+0.5%

5000×0.5%×(l+0.5%)24

所以---+——-~r+++——-~^=5000解得X=

1+0.5%(l+0.5%)2(1+0.5%)24(l+0.5%)24-l

故选：BC.

12.已知离散型随机变量X服从二项分布8（n,P）,其中“eN∙,0<p<l,记X为奇数的概率为

X为偶数的概率为6,则下列说法中正确的有（）

A.a+b=lB."=g时，a=b

C.0<?<g时，。随着〃的增大而增大D.g<p<l时，。随着"的增大而减小

【正确答案】ABC

【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分

析，选项C,D根据题意把〃的表达式写出，然后利用单调性分析即可.

【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，α+b=l,

故A正确，

对于B选项，由0=；时，离散型随机变量X服从二项分布

则P=(X=¢)=Cm—化=(M,2,3,M,

所以°=出(C+C+C：+)=9x2"T=；,

/'C+*+)=1)"小

所以“=人，故B正确，

对于C,D选项，α=[(l-p)+p]"-[(I-P)-PT=1—(>2p)”,

22

当0<p<:时，“J-("2p)”为正项且单调递增的数列,

22

故。随着W的增大而增大故选项C正确，

当g<p<l时，α=(l-2p)”为正负交替的摆动数列，

故选项D不正确.

故选：ABC.

≡,填空题

13.己知随机变量X~3(6,0),Y~N出吟,且P(Y≥4)=g,E(X)=E(Y),贝IJP=.

【正确答案】I

【分析】由题意可得出E(X)=6。，E(y)="=4,由E(X)=E(F),可求出P的值.

【详解】因为随机变量X~B(6,P),所以E(X)=6p,

Y~N(μ,σ1),且P(Y≥4)=;,所以Ea)=〃=4,

2

所以6p=4,解得.P/

⅛∣

14.对任意正整数〃，数列｛叫满足：4+4■+$++条=〃+1，则为=.

[2,7z=1

【正确答案】Q"τ"≥2

【分析】类比。,与S,,的求法，券=条件式前〃项和减去前n-1项和.

【详解】根据题意有：当〃=1,得：4=2；

当〃≥2时，(q+^⅜+堂+,+券)-(q+⅞^+号++f⅛)=券=5+|)-〃=|，即券=1，即

4=2"',

zs,f2,W=1

又4=2不满足上式，所以｛4｝的通项公式为4=],I〃>2・

故答案为∙∣^∕2,“a=1≥2

15.已知数列也｝是首项为6公差为1的等差数列，数列｛4｝满足。,川-4=2"(〃€%*)且4=丽

则数列的最大值为.

【正确答案】ɪ

256

【分析】先求等差数列2=〃-7,利用累加法求出q,=2",令g=%=展，由式子得%的最大值

anZ

在〃28中取得，利用数列的单调性得G=Cg=工7为[%]的最大值.

256[a,,∖

l

a1-aχ-2,

aa_22

【详解】由已知易得：⅛,,=-6+(π-l)∙l=π-7,因为。川一4=2",所以'

q-%=2"τ,

累加得：⅞-⅜=20~2",^2(2),-'-l),又4=4=2,

1-2

bn-1

所以”,,=2",所以％=在=H=，显然前7项的值小于等于0,从第8项起大于0,

n—7H—89—〃

所以当"≥9时，c„-c„_,=—--Fr=亍≤0,所以q=C9>Q>>Cu>，

所以(ς,)∏,ax==£，故填•与

ZJOzɔo

本题考查等差数列、等比数列前〃项和、数列的单调性等知识，考查累加法的应用，数列的最大项

要树立函数单调性的思想意识.

16.已知㈤表示不超过X的最大整数，如⑶=3,Hτ]=-4等，则

2°2'"22020

一+—+•••+----------

33T3

2202,-3032

【正确答案】

3

2”

【分析】根据2“三(T)"(mod3)可求y的形式，再利用分组求和可求数列的和.

U,〃是偶数,

2"

【详解】由于2"三(T)"(mod3),于是—

2Λ-2曰&.

—--,几是奇数,

设原式为M,则明(-+2皿。)7-2-1-2--7=空一照.

33

故答案为.二二2些

3

四、解答题

17.已知数列｛%｝,满足4=4,¾=1,且α,,+2-24,+∣+α,=0(〃WN*).

⑴求｛q,｝的通项公式；

⑵设〃=㈤，7“为数列也｝的前"项和，求4.

【正确答案】⑴4=5-〃

(2)130

【分析】(1)首先证明｛4｝是等差数列，求出其公差，写出通项即可；

(2)当"=5时，Cill=0,则T^O=2(αl+o2++火)—(4+生++¾)＞利用等差数列求和公式即可.

【详解】(1)由题可知,V,∈N*,都有1w+ɪ

；•数列｛对｝是等差数列，

设｛。〃｝的公差为d,ax=4,q=q+3d=4+3d=l,.∙.d=-l,

*

..an=G+(/7-1)J=4+(π-l)×(-l)=5-∕τ.

(2)由(I)可知)=5-〃,令4=0,则九=5,

，当〃>5时，cιn<。也=-an,

当∕2≤5时4≥0也=。〃，

7

Λ20-B∖+⅛÷∙,÷⅛)=(〃1+a2÷…+%)-G⅞+%+-+%))

=2(al+a2++%)_(4+%++¾o)

5χ(4+0)2O×(4-I5)

=Zx------------------------------=13U

22

18.为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车

充电站的数量(单位：个)，得到如下表格：

年份编号X12345

年份20172018201920202021

新能源汽车充电站数量W个37104147196226

(1)已知可用线性回归模型拟合y与X的关系，请用相关系数加以说明；

(2)求y关于X的线性回归方程，并预测2025年该市新能源汽车充电站的数量.

55∏

参考数据：ZM=710,ZXj=2600,Z(y,-[49.8,√W≈3.16,

i=lI=IV<=1

^(χi-χ)(yi-y)

参考公式：相关系数r=下⅛----7----------r,

22

J∑(χi^χ)∑(yl-y)

Vi=lr=l

∑(χ,-χ)(yi-y)

线性回归方程y=%x+”中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：B=J--------------,a=^-bx

∑U-x)2

i=li

【正确答案】(1)答案见解析

(2)y=47x+l,424个

55__

【分析】(1)求得7=3,5=142,∑(Λ∙-x)2=10,Za-X)(M—y)=470,结合公式求得“0.99,

i=∣(=1

即可得到结论;

（2）由（1）求得3=47,进而求得＜5=7-益=1,得到所求线性回归方程为y=47x+l,令x=9,

求得y=424,即可求解.

1+2+3+4+537+104+147+196+226一八

【详解】（1）解：根据表格中的数据，可得X==3,y=---------------------------------=142,

55

5__

22222

∑(x,.-x)=(-2)+(-l)+0+1+2=IOr

/=I

5__5___

Z(xi—x)(yi-y)=Zxiyi-5xy=2600-5×3×142=470,

∕=l/=I

∑(χ-y)2≈149.8,√10≈3.16,

/=1

Z(Xi-元)(％-»)

470

三】≈0.99

所以r=22

∣∑(χi-χ)∑(yi-y)3.16x149.8

V»=1/=!

因为y与X的相关系数近似为0.99,接近1,说明y与X的线性相关程度相当高，所以可以用线性回

归模型拟合y与X的关系.

.∑(χ,.-W,.-y)

(2)解：由(1)可得力=±1F-=-=47,

∑U-χ)210

/=1

所以a=5-方嚏=142-47x3=1,所以所求线性回归方程为y=47x+l,

将2025年对应的年份编号X=9代入线性回归方程得y=47X9+1=424,

故预测2025年该市新能源汽车充电站的数量为424个.

19.已知数列｛《,｝是递增的等差数列，%=3,若4成等比数列.

（1）求数列｛《,｝的通项公式；

（2）若勿=^—,数列也｝的前〃项和S“，求S..

anan+l

【正确答案】（I）M=2〃-1；（2）ɪ-.

2n+l

（1）设等差数列｛4｝的公差为d,根据题意列出方程组，求得4,d的值，即可求解;

3311

（2）由（1）求得二彳（ʒ—结合“裂项法”即可求解.

44+ι22〃・12π+1

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d(d>O),

因为生=3,若4，%-6,4+为成等比数列，

ai+d=3

可得,q(24+74)=(24)2,解得a∣=l,d=2,

d>0

所以数列｛叫的通项公式为4=l+(〃-l)x2=2〃-l.

33311

(2)由(1)可得"=-----=——ɪnɪɔ(ɔ一?一「Z7)，

arιan+l(2H-1ιv)o(2H+1)22π-l2〃+1

“I、1。3L.11.11.11∖τ3∕[1、3〃

所以S“=3Wrz1-R+q■-£)+(£―亍)++(zZ—7)=Y-7-

2335572∕7-12π÷I22〃+12n+1

关于数列的裂项法求和的基本策略：

1、基本步骤：

裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；

累加：将数列裂项后的各项相加；

消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前”项和.

2、消项的规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

20.由中央电视台综合频道(CCTV-I)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开

课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现

实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年

观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了4,8两个地区的100名观众，得

到如下所示的2x2列联表.

非常喜欢喜欢合计

Λ3015

BXy

合计

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自8地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为

0.35.

(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查,则应抽取喜爱程度为

“非常喜欢'’的4,B地区的人数各是多少？

(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人

数为X,求X的分布列和期望.

n(ad-bc)2

n=a+h+c+d，

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

P(K2≥%)0.050.OlO0.OOl

k03.8416.63510.828

【正确答案】(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.

(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(3)分布列见解析，期望为2.

【分析】(1)求出X的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.

(2)补全2x2列联表，再根据独立性检验求解即可.

(3)由题意知X〜B(3彳)，进而根据二项分布求解即可.

【详解】(1)由题意得念=0.35,解得x=35,

所以应从A地抽取30x220=6(人)，从B地抽取35xW20=7(人).

(2)完成表格如下:

非常喜欢喜欢合计

Λ301545

B352055

合计6535100

零假设为〃。：观众的喜爱程度与所在地区无关.

心笔*等J缁™I

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

302

（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为弓=彳,

453

2

从A地区随机抽取3人，则X〜B（3,：）,X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P（X=O）=

2)=c:部",

24

P(X=2)=C；

9

8

P(X=3)=

27

所以X的分布列为

⅛=2∙

2

方法2.E(X)=zψ=3χ1=2

21.己知各项均为正数的数列｛对｝满足4=1,（。向—%）（。,用+4）=2〃+1

（1）求数列｛q｝的通项公式;

⑵记S求数列也｝的前•〃项和S,,.

【正确答案】（1