广东省梅州市金丰中学高二数学理下学期摸底试题含解析

广东省梅州市金丰中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若轴的正半轴上的到原点与点到原点的距离相等，则的坐标是（

）． A． B． C． D．参考答案：D解：设，∴，∴．故选．2.一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄6789身高118126136144由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该学生10岁时的身高为（

）A.154 B.153 C.152 D.151

参考答案：B略3.在△ABC中,若,则三角形的形状为

(

)A.直角三角形

B.等腰三角形.

C.等边三角形

D.钝角三角形.

参考答案：C4.下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为(

)A．i>20

B．i<20

C．i>=20

D．i<=20参考答案：A5.若复数z满足2z+=3﹣2i，其中，i为虚数单位，则|z|=（）A．2 B． C．5 D．参考答案：D【考点】复数求模．【分析】设出复数z，利用复数方程复数相等求解复数，然后求解复数的模．【解答】解：设z=a+bi，由题意2z+=3﹣2i可知：3a+bi=3﹣2i，可得a=1，b=﹣2，复数z=1﹣2i的模：．故选：D．6.若等差数列的前项和为，且为确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B7.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝，S△ABC＝，则△ABC的周长为()A．6

B．5C．4

D．1＋2参考答案：A略8.已知点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，那么（）Ａ．且与圆相交

Ｂ．且与圆相交Ｃ．且与圆相离

Ｄ．且与圆相离

参考答案：C9.函数在上零点的个数为

（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B10.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为

A．y2=4x

B．y2=8x

C．x2=4y

D．x2=8y参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.空间直角坐标系中，已知A（2，3，﹣1），B（2，6，2），C（1，4，﹣1），则直线AB与AC的夹角为

．参考答案：60°【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】根据空间向量的坐标表示，得出、的坐标，利用向量的夹角公式求出向量、的夹角即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（2，3，﹣1），B（2，6，2），C（1，4，﹣1），∴=（0，3，3），=（﹣1，1，0），∴?=0×（﹣1）+3×1+3×0=3，||==3，||==，∴cos＜，＞===，∴向量、的夹角为60°，即直线AB与AC的夹角为60°．故答案为：60°．12.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,若(b–c)cosA=acosC，则cosA=______参考答案：13.若直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离为

参考答案：略14.已知x与y之间的一组数据：x1234y1357则y与x的线性回归方程为必过点．参考答案：（2.5，2）【考点】线性回归方程．【专题】计算题；规律型；概率与统计．【分析】求出样本中心即可得到结果．【解答】解：由题意可知：==2.5．=2．y与x的线性回归方程为必过点（2.5，2）．故答案为：（2.5，2）．【点评】本题考查回归直线方程的应用，样本中心的求法，考查计算能力．15.已知等比数列的前项和为，，则实数的值是__________.参考答案：略16.现有如下四个命题：①若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点P(x,)的轨迹是抛物线的一部分③已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线上述四个命题中真命题为

．（请写出其序号）参考答案：①②③【考点】曲线与方程．【分析】利用直译法，求①选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项③中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断④中动点的轨迹即可．【解答】解：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴，化简得9y2=4x2﹣64，即（x≠±4），∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，①正确；∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴=2，设P（x，y），则y=2，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，②正确；由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切∴MA=r+1，MB=5﹣r∴MA+MB=6＞AB=2∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，③正确；设此椭圆的另一焦点的坐标D（x，y），∵椭圆过A、B两点，则CA+DA=CB+DB，∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，④错误故答案为：①②③．17.已知数列为，依它的前10项的规律，则____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，当时，f(x)的极值为3。（1）求a，b的值（2）求f(x)的单调区间参考答案：（1）， 故。

（2） 由，得， 由，得或， 所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间。19.椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；两直线的夹角与到角问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为+=1，把点A（2，3）代入椭圆方程，把离心率e=用a，c表示，再根据b2=a2﹣c2，求出a2，b2，得椭圆方程；（Ⅱ）可以设直线l上任一点坐标为（x，y），根据角平分线上的点到角两边距离相等得=|x﹣2|．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为+=1由e=，得，b2=a2﹣c2=3c2，∴将A（2，3）代入，有，解得：c=2，∴椭圆E的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0），F2（2，0），所以直线AF1的方程为y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有=|x﹣2|若3x﹣4y+6=5x﹣10，得x+2y﹣8=0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x﹣4y+6=10﹣5x，即2x﹣y﹣1=0．所以，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x﹣y﹣1=020.(本小题满分12分)已知函数，（1）讨论单调区间；（2）当时，证明：当时，证明：。参考答案：（1），上是增函数;,减增（2）设，，增，，所以21.（本小题满分12分）已知椭圆：的右焦点，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于，两点，且，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若圆:的切线与椭圆相交于，两点，当，两点横坐标不相等时，问：与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）设AB()F(c,0)则-----------------------------------------1分所以有椭圆E的方程为-----------------5分（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+mL与圆相切，∴∴-----------------7分L的方程为y=kx+m代入中得：令，①

②③--------------------10分∴------------------------------------------------------12分22.已知：(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，参考答案：(1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x