新教材苏教版高中数学选择性必修第二册 练习 09 空间向量与平行关系

09空间向量与平行关系

目录

☆【题型一】空间向量与线线平行..................................................................ɪ

☆【题型二】利用基向量法证明线线平行............................................................2

☆【题型三】利用坐标法证明线线平行..............................................................3

☆【题型四】空间向量与线面平行..................................................................4

☆【题型五】利用直线的方向向量与平面内任意两不共线向量共面证明线面平行.........................5

☆【题型六】利用直线的方向向量与平面内某一向量共线转化为线线平行证明线面平行....................6

☆【题型七】利用直线的方向向量与平面的法向量垂直证明线面平行....................................8

☆【题型八】空间向量与面面平行.................................................................10

☆【题型九】利用两平面的法向量平行证明面面平行.................................................H

☆【题型十】利用面面平行转化为线线平行后用向量共线证明面面平行................................13

☆【题型一】空间向量与线线平行

【例题】若直线八和/2的方向向量分别是。=(1,-1,2),6=(-2,2,-4),则()

A.∕∣〃/2B/与/2相交

Cj与12重合口./|〃/2或/|与，2重合

【答案】D

【详解】-2%.M与/2平行或重合.

【变式训练】

I.与向量。=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是()

A.(j,ɪ'ɪ]B.(-1,-3,2)

C.[?Γɪ]D.(√2,-3,-2√2)

【答案】C

【详解】a=(l,一3,2)=-2[一5'5'^11

2.已知向量α=(2,4,5),b=(3,X,回分别是直线∕∣,I2的方向向量，若h//h，则()

A.x=6,y=15B.x=3,y~^

C.x—3,7—15D.x—6,y~^

【答案】D

【详解】由题意得，3=工=2,.∙.χ=6,V=".

2452

3.已知直线a,b的方向向量分别为，"=(4,k,上-1)和"=/''+3'J,若。〃占，贝∣j左=.

【答案】-2

【详解】①当衣=O时，α与b不平行.

4kk—1

②当A≠0时，由士="-==解得《=-2.

kk+3ɔ

2

4.(多选)已知空间三点/(1,0,3),仅一1,1,4),CQ,-I,3).若力〃虎，且I=标，则点P的坐标为

()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(-4,2,-2)D.(2,-2,4)

【答案】AB

【详解】V5^=(3,-2,-1),设办=(3九-2λ,-λ).X∣J>∣=√14,

ʌʌ/~3A~^-2λ~^H^~~λ~~^=Λ∕14,解得2=±1,

：.AP=[3,-2,-1)或#=(-3,2,1).

设点P的坐标为(x,y,z),则成=(χ-l,y,z-3),

χ-1=3,1—1=-3,x=4,X=-2,

或∙y=2,解得∙y=—2,或∙y=2,

y=~2f

z-3=-lZ—3=1,z=22=4.

故点尸的坐标为(4,-2,2)或(一2,2,4).

☆【题型二】利用基向量法证明线线平行

【例题】在长方体一小BIGA中，AB=A,AD=3,AAi=2,P,Q,R,S分别是44∣,D↑Ci,AB,

CCi的中点.

求证：PQ//RS.

【详解】证明=RC+^5=1。C—Dji-∖--Di)ι,P^=RI∖^∖^~DC—DA,

2222

游=苑，；.慈〃苑，又PQ与RS无公共点,

C.RS//PQ.

【总结】证明两直线平行的方法

(1)平行直线的传递性.

(2)基向量法，分别取两条直线的方向向量，"，"，证明，"〃"，即，"=2".

(3)坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，⅛∕∏1=(X∣,y∖,Zl),,"2=(X2,玖，Z2),

即证明m∖=λni2,即X∣=λV2且Vl=Ay2且Z∣=ΛZ2.

☆【题型三】利用坐标法证明线线平行

【例题】在长方体—小中,分别是

4SCDBICQlAB=4,AD=3,AA↑=2,P,Q,R,S44∣,DiCi,AB,

CG的中点.

求证：PQ//RS.

【详解】证明以。为原点，DA,DC,Z)Dl所在直线分别为X轴、N轴、Z轴，建立空间直角坐标系。一平.

则P(3,0,1),0(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),

•••用=(-3,2,1),游=(-3,2,1),

二苑=游，苑〃琳,

又P。与HS无公共点,

C.PQ//RS.

【变式训练】

1.如图所示，在正方体488—48ιGA中，E,尸分别为。G和8历的中点.求证：四边形/EG尸是平

行四边形.

【详解】证明以点。为坐标原点，DA,DC,Z)Ql所在直线为X轴，V轴，Z轴建立空间直角坐标系,

则企,总,反t,肃分别为直线∕E,FCι,ECi,Z尸的方向向量，

不妨设正方体的棱长为1,则Z(l,0,0),J°'θ,2),C∣(0,l,l),ft、1,2,

Λ⅛(-1,o,3相Jr,o,3fc↑=(°,ι,#=「1'3,

；.助=同,^EC↑=Ap,.∖λk∕∕^FC^,~EC↑∕∕Ap,

又<F"E,FiEC∖,J.AE∕∕FC∖,ECi//AF,

.∙.四边形AECyF是平行四边形.

2.如图，在正方体力8C。一小SiG。中，尸0与直线4。和XC都垂直，则直线尸。与8。的位置关系是

()

A.异面B.平行

C.垂直不相交D.垂直且相交

【答案】B

【详解】设正方体的棱长为1,取。点为坐标原点建系后，罚=(1,0,1),祀=(—1,1,0),

α+c=0,/

设电=(α,b,c),则取Tr苑=(1/，-1),

~a+b=O,

•.谢=(OQl)-(1,1,0)=(—1,-1,1)=一成,

：.P^//~BD∖,J.PQ∕∕BD↑.

☆【题型四】空间向量与线面平行

【例题】如图，在正方体NBC。一小BiClz)I中，M,N分别为48,NC的中点，则MN与平面BBiGC的位

置关系是()

B.平行

C.垂直D.不能确定

【答案】B

【详解】根据题意建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则4(2,2,2),4(2,2,0),C(0,0,2),以2,0,2),

2∣

.V

ΛΛ∕(2,1,1),N(l,1,2),，加=(一1,0,1).

又平面BBICIC的一个法向量为"=(0,1,0),

ΛΛ^V∙π=-l×0+0×l+l×0=0,：.Mkln,

又；MNC平面88ιGC,MV〃平面881GC

【变式训练】

1.若直线/的方向向量为4=(1,-2,3),平面α的法向量为"=(2,x,0),若/〃α,则X的值为.

【答案】1

【详解】由/〃α可知"∙"=0,即2—2x=0,所以x=l.

2.(多选)若直线/的方向向量为α,平面α的法向量为"，能使/〃α的是()

A.Q=(l,0,0),"=(0,-2,0)B.α=(l,3,5),"=(1,0,1)

C.α=(0,2,l),“=(-1,0,-1)D.α=(l,—1,3),,»=(0,3,1)

【答案】AD

【详解】若/〃α,则α∙"=0.而A中优”=0,B中α∙"=l+5=6,C中优”=-1,D中3+3=0.

☆【题型五】利用直线的方向向量与平面内任意两不共线向量共面证明线面平行

【例题】

【变式训练】

1.如图，在长方体力8C。一/山IGA中，AAl=AD=∖,E为CZ)的中点，点尸在棱44∣上，且。尸〃平面

B↑AE,则ZP的长为________.

A∣D

【答案】1

2

【详解】分别以力8,AD,44所在直线为X轴，》轴，Z轴建立空间直角坐标系,

设∕6=α,4P=6点尸坐标为(0,0,⅛),

则囱5,0,1),O(0,1,0),£(?1'°),

//=(4,0,1)助=匕，1,J,加=(0,

—1,b),

“尸〃平面B↑AE,

，存在实数L”，使赤=4旃+/次，

aπ_.lR,I,Om+丝，〃，力

tψ(0,—1,b)—z(α,0,1)^F∕√l2J—L2J.

λa+4=0,

2jj

/.`..,.b=λ=~,即ZP=

〃=-1,22

λ=b,

☆【题型六】利用直线的方向向量与平面内某一向量共线转化为线线平行证明线面平行

【例题】如图，在棱长为2的正方体Z8CD-∕∕∣C∣O∣中，E,F,M,N分别是棱/8,AD,A↑B∖,A↑Dt

的中点，点尸，。分别在棱。A,881上移动，且。P=BQ=L

证明：直线8G〃平面EFPQ.

【详解】证明以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则8(2,2,0),Cl(0,2,2),E(2,1,0),F(l,0,0),尸(0,0,λ),M[2,1,2),N(I,0,2),

βζι=(-2,0,2),Fp=(-∖,0,λ),F⅛=(l,1,0),

加=(-1,-1,0),∕v>=(-l,0,2-2),Fp=(-],0,1),

因为反i∣=(-2,0,2),

所以圮尸2毋，即配i〃可＞,又BCI与FP无公共点、,所以BG〃/‹P.

而FPU平面EFPQ,且BGC平面£770,故直线BC〃平面EFP0.

【变式训练】

I.如图，已知正方形/8CO和矩形4CE尸所在的平面互相垂直，Aβ=λ∣2,/斤=1,M是线段E尸的中点.求

证：/M〃平面8ZM.

【详解】证明以C为坐标原点，CDC8,CE所在直线为X,Nz轴的正方向，建立空间直角坐标系,

设/S8。=M连接NE,则知点JPT,0),£(0,0,1).

又因为点4M的坐标分别是(迫，√2,0),[2,2'J,

.J也—也]

所以戒=I2,2,J.

所以难：=Gf.

而NE与∕Λ∕不共线，

所以NE//AM.

又因为NEU平面BDE,NMc平面BDE,

所以〃平面BDE.

2.如图，已知尸是正方形NBC。所在平面外一点，MN分别是口,8。上一点，目PM：MA=BN：ND=I:

2,求证：Λ∕N〃平面P8C.

【详解】证明由题意知该=庇＞+河+前=一：用+协+：卧

=―/扇-明+协+：屈+删="-沙

在BC上取点E,使命=1反\于是加=4防一屏))=2星，

233

所以MN〃尸E因为PEu平面PBC,MNC平面PBC,

所以MV〃平面P8C.

☆【题型七】利用直线的方向向量与平面的法向量垂直证明线面平行

【例题】如图，已知矩形Z8C。和矩形/OE尸所在平面互相垂直，点MN分别在对角线8。,AE上，且

AN=-AE,求证：MV〃平面CDE.

3

【详解】证明因为矩形/8。和矩形”。£尸所在平面互相垂直，所以/8,力DZF互相垂直.

不妨设NA/O,NP的长分别为3α,3b,3c,以｛力，λb,办｝为正交基底,

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则知点B(3a,0,0),Z)(0,3b,0),F(0,0,3c),£(0,3b,3c),

所以防=(-3α,340),E^=(0,-3b,-3c).

因为曲=；W)=(—a,b,0),协=涉=(O,-b,-c),

所以丽=m+力+荡=(0,-b,-c)+(3α,O,0)+(-α,b,0)=(2a,0,一c).

又平面CDE的一个法向量是力=(0,3b,0),

由汕∙T)=(20,0,-c)∙(0,3b,0)=0,得加工小

因为MV不在平面CDE内，所以MN〃平面CoE

【总结】利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：

(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.

(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.

(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

【变式训练】

1.已知正方体Z8CO-∕∣8∣GG的棱长为2,E,F分别是BBι,Od的中点，求证:

FCI〃平面/DE.

【详解】证明如图所示建立空间直角坐标系。一xyz,

则有。(O,O,O),A(2,O,O),C∣(O,2,2),£(2,2,1),F(O,O,1),βl(2,2,2),

所以定∣=(O,2,1),C3ι=(2,O,O),D^=(2,O,O),Ai=(0,2,1).

设"∣=(xι,y∣,ZI)是平面4DE的一个法向量,

,,m-D^=0,2xι=0,

则"i_LD4,n∖LAE,所以，即＜

Hi-At-O,2yι+zι=0,

得F°,令zι=2,则Vl=-1,所以"ι=(0,—1,2).

L=-2力，

因为户Er"ι=—2+2=0,所以元

又因为FGc平面

所以尸Cl〃平面ZOE

2.如图，在三棱柱/8C一小囱G中，侧棱垂直于底面，ABLBC,E,F分别为4。和8C的中点.求证:

GF〃平面/8E

【详解】证明如图，以8为坐标原点，以BC,BA,8囱所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系.

解。q,上2'ci

设8C=α,4B=b,BB∖=c,则5(0,0,0),4(0,6,0),C∣(α,O,c),

所以港=(0,-⅛,0),显=t'-2,Cl

设平面力BE的一个法向量为〃=α,乃Z),

成-by=O,

n∙=0,即b科c∙z=O,

则

nAk=O9

令x=2,则y=0,Z=一-即〃=∣

又B=I-5'0,~cj,所以"∙B=o,

又GFC平面ABE,所以GE〃平面ABE.

3.在如图所示的多面体中，EF_L平面∕E8,AElEB,AD/∕EF,EF/∕BC,BC=IAD=A,EF=3,AE=

BE=2,G是BC的中点，求证：/8〃平面。EG.

【详解】证明：EF_L平面∕E8,XEu平面NE8,5£c¥®AEB,

：.EF1,AE,EFVBE,又：AELEB,：.EB,EF,E/两两垂直.

以点E为坐标原点，EB,EF,E4所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得,/(0,0,2),5(2,0,0),£>(0,2,2),G(2,2,0),二粉=(0,2,2),茄=(2,2,0),港=(2,0,-2).

设平面DEG的法向量为"=(x,力z),

∖Eħn=O,

令N=I,得z=—l,x=—l,则”=(—1,1,—1),

l^¾∙"=0,∣2x+2y=0,

二成∙"=-2+0+2=0,即港J_”.

∙.75C平面DEG,

二/8〃平面DEG.

☆【题型八】空间向量与面面平行

【例题】已知平面ɑ的法向量是(2,3,-1),平面£的法向量是(4,λ,-2),若。〃0,则2的值是()

A.--B.6C.-6D.—

33

【答案】B

【详解】〃人.∙∙α的法向量与夕的法向量也互相平行.

【变式训练】

1.若平面ɑ的一•个法向量为“1=(—3,y,2),平面丑的一个法向量为“2=(6,—2,z),且α〃尸,则y+z=.

【答案】-3

【详解】∖∙a∕∕β,.∖U↑∕∕U2.

.-3_y_2.....-

..---=-^-=~...y=1,z=­4...y十z=-3.

6-2z

2.设平面α,”的一个法向量分别为“=(1,2,-2),v=(-3,—6,6),则α,S的位置关系为.

【答案】平行

【详解】Vv=-3(1,2,-2)=-3w,J.a∕∕β.

☆【题型九】利用两平面的法向量平行证明面面平行

【例题】如图所示，在正方体/8CD—小SGOi中，。为底面488的中心，P是。。I的中点，设0是CG

上的点，问：当点。在什么位置时，平面。8。〃平面以O?

【详解】以。4DC,所在直线为X,ʃ,Z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为1,2(0,1,m),

则OU*2'J,ΛO,°,2J,/(l,0,0),5(1,1,0),Z)I(0,0,1).况=G_PJ,O>=l^2,2.

设平面RlO的法向量为"∣=(xι,",z∣),则有"4次I,办,

fl1ʌ

四一/=0,

因此11.1„取Xi=I,则"∣=(1,1,2).

—Xi—y∖-↑--Zi=O,

2Z2

又因为丽=(一1,-1,1),困=(0,-1,1-W).

设平面。山。的法向量为"2=(X2,次，Z2),则有〃2_1■两，"2，曲,

—Xi—y2+z2=O,

因此,■取Z2=l,则“2=(∕n,l一加,1).

一”十1—/Z2=0,

要使平面。山0〃平面以。，需满足

因此:=〒=/解得；„=%这时Q((KI,3

故当。为CG的中点时，平面。出0〃平面为Q

【总结】证明面面平行问题的方法

(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.

(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.

【变式训练】

1.已知正方体48CO-48∣GQl的棱长为2,E,F分别是58∣,OZ)I的中点，求证:

平面∕Σ>E〃平面BlCIF.

【详解】证明如图所示建立空间直角坐标系。一xyz,

则Z)(0,0,0),4(2,0,0),Cι(0,2,2),£(2,2,1).F(0,0,1)，8∣(2,2,2),

所以而=(0,2,1),扇=(2,0,0),港=(0,2,1),的=(2,0,0),

设"ι=(x∣,",Zl)是平面45E的法向量,

n∖∙DA=2xι=09xι=0,

则n∖VAE,即‘得

〃i%&=2y1+zi=0,31=—2yι.

令zι=2,则刈=—1,所以可取川=(0,—1,2).

同理，设"2=(X2,丁2,Z2)是平面BiCl尸的一个法向量.

___.___.W2∙FC↑z=2y2÷22-0,

X2=0,

由〃2_L尸G,∏2^-C∖B[9得,解得

fiι,C∖B∖=2x2=0,22=-2%

令Z2=2,得次=—1,所以"2=(0,—1,2).

因为"1="2,即

所以平面/OE〃平面BCF.

2.如图所示，平面为£>，平面/8CZ),四边形NBCD为正方形，△玄。是直角三角形，且H=NO=2,E,

F,G分别是线段刃，PD,CO的中点，求证：平面EFG〃平面P8C.

【详解】证明因为平面以。，平面N8CD,四边形/88为正方形，

△孙。是直角三角形，且为=4),所以48,AP,两两垂直，

以4为坐标原点，AB,AD,ZP所在直线分别为X轴，V轴，Z轴，建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),Q(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,l),F(0,1,1),G(1,2,0).

所以屈=(2,0,-2),星=(0,-1,0),总=(1,1,-1),於=(0,2,0),

设"∣=(X1,川，ZI)是平面MG的法向量，

π∣∙J¾=0,口1=0,

则“1，屋，∕I1±F∂,即,

IirFb=O,k∣+'LZ∣=0,

令Zl=1,则Xl=1,H=0,所以"ι=(l,0,l).

设〃2=(X2,加Z2)是平面PHC的法向量.

"2.R⅛=2x2—2Z2=0,

"2=0,

由/12，或，H2-LBC,得,得

HrBb=Iyi=Q,m―Z2=0,

令Z2=l,得X2=l,次=0,所以〃2=(l,0,l)∙

所以W∣=Λ2,

所以平面由G〃平面PBC.

3.设a,夕是不重合的两个平面