宁夏银川市2023-2024学年高三年级上册期中数学（理科）测试卷（含解析）

宁夏银川市2023-2024学年高三上学期期中数学（理科）

模拟试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项

是符合题目要求的.

1.已知集合/={x||x|V2,xeR},5={x|&V4,xeZ},贝!]/口3=（）

A.(0,2)B.[0,2]C.{052}D.{0,1,2}

2.若。力是异面直线，且。//平面a,那么6与平面a的位置关系是（

A.b!lab与a相交

C.bua以上三种情况都有可能

3.命题“\/》€（0,1）,/一工＜0”的否定是（

3x0g(0,l),x„-x0>0Vx0电(0,1),x；-x0<0

Vx0e(O,l),%o-x0>03x0e(0,1),尤；-x0>0

4.过直线2x_y+4=0与x-y+5=0的交点，且垂直于直线x-2y=0的直线方程是

A.2x+y—8=0

B.2x—y—8=0

C.2%+）+8=0

D.2x-y+8=0

5.在长方体中-,AB=BC=2AAt,则异面直线与8c所成角的余弦值为（

）

A.—B.-C.—D.—

5555

6.已知等差数列{%}的前〃项为S“，且％+%=-14,S9=-27,则使得£取最小值时的〃为.

A.1B.6C.7D.6或7

、.、.7“

7.四棱锥P-43。。的底面45。。为正方形，尸4,底面/BCD,48=2,PA=~,若该四棱锥

2

的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

65%

C.65乃

8.设圆（x+l）2+/=25的圆心为C,点/Q,0）是圆内一定点，点。为圆周上任一点，线段月。的

垂直平分线与C。的连线交于点“，则点M的轨迹方程为（）

2125

4x24y20Ki

C.--------=1

2521

若函数f（x）=gx2-91nx在区间上单调递减，则实数。的取值范围是（）

9.

A.1<6Z<2B.«>4

C.a<2D.0<«<3

10.已矢口两圆12+/+4。％+4。2一4=0和％2+『—2勿+62—1=0'恰有三条公切线，若QER,6GR,

且则-^+7^的最小值为（）

ab

4一1

A.3B.1C.一

9,9

11.已知双曲线E的中心为原点，尸（3,0）是£的焦点，过F的直线/与E相交于A,B两点,

且AB的中点为N（-12,-15）,则5的方程式为

A.不B尤2/-1

C—=}D=1

3645T3-y-T

X-<2

12.已知函数/（尤）=<2若方程/x=机有四个不等实根

X1,X2,X3,X4（X1<x2<x3<x4）,时，不等式仇X4+X；+/22左+11恒成立，则实数左的最小值为

925

A.-B.—D.V3--

8162

二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上

的值为

14.已知向量成=（1,2）,亢=（2,3）,则法在五方向上的投影为

22

15.双曲线三-巳=13>0,6>0)的一条渐近线与直线2x-y+l=0平行，则它的离心率

为.

16.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点

xk-xk-i+

处，其中X]=l,0=1,当KN2时，<7(a)表示

非负实数。的整数部分，例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案第2016棵树种植点的坐标应

为.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.

3

17.如图，在平面四边形4BCD,已知5c=1,cosZBCD=~-

(1)若4c平分NBCD,且/B=2,求/C的长；

(2)若/CAD=45。，求CZ)的长.

18.在等差数列｛.〃｝中,%=3,其前〃项和为S",等比数列｛加｝的各项均为正数,bi=l,公比

为夕，且岳+$2=12,0=丁.

&

(I)求a”与bn；

(II)求三+不+三+…+三的取值范围.

\

19.已矢口3=(2sinx,cos?，，3=(百cosx,2),f｛x)=a-b.

(1)求/(x)的最小正周期及单调递减区间；

jr

(2)求函数/(无)在区间0,-上的最大值和最小值.

20.如图，在正三棱柱/8C-N4G中，AB=AAX=2,E,尸分别为AB,BQ的中点.

(1)求证：耳E//平面/CF；

（2）求平面CE4与平面/CF所成二面角（锐角）的余弦值.

B

v22

21.已知椭圆C:]+与=l（a>6>0）的左、右焦点分别为片（-1,0）,乙。,0）,且椭圆上存在一点

M,满足|阿|=?,/月耳M=120。.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C右焦点工的直线/与椭圆C交于不同的两点48,求的内切圆的半径的最

大值.

22.已知函数/（x）=lnx-依:+1（左£火）.

（1）当左=1时，求函数/（%）的单调区间；

（2）若/（x）（0恒成立，试确定实数左的取值范围；

/“、f口目In2In3In4Inn*口

（3）证明：——+——+——+…+---<—^-----乙（neN且题>1）

345〃+14

1.D

【分析】化简集合4,B,再利用交集的定义直接计算作答.

【详解】解不等式⑶W2得：-2VxV2,则/={x|-24工<2},

由4V4得。4x416,于是得5={x|0<x<16,xeZ},

所以/c8={0,l,2}.

故选：D

2.D

【分析】根据线线，线面的位置关系可判断结果.

【详解】在长方体/BCD-44中，平面/BCD视为平面a,直线4月为直线a,点£,F分

别为棱幺4，。2的中点，

如图，显然有。//平面当直线6为直线时，直线。1是异面直线，此时6ua；

因斯//4D,4Du平面a,斯0平面(z,则E产//a,

当直线6为直线EF时，直线。是异面直线，此时6//a；

当直线6为直线CG时，直线。是异面直线，此时b与a相交，

所以直线6与平面a可能平行，可能相交，也可能在平面内.

故选：D.

3.D

根据全称命题的否定形式，直接求解.

【详解】全称命题“Vxe(0,1),--x<0”的否定形式需要改量词，以及结论否定,

即否定是大0e(0,l),x„-x0>0.

故选：D

4.A

两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.

【详解】由。12x—二y+4二-00得两条直线交点坐标为：/（1，6、）

又所求直线与x-2了=0垂直直线斜率为：一2

，所求直线为：y-6=-2（x-l）,即：2x+y-8=0

本题正确选项：A

本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.

5.B

【分析】在长方体中，连接4。，可得&D〃qc,得即4为异面直线48与

4c所成的角，在A4B。中，利用余弦定理即可求解.

【详解】在长方体48co—4片GA中，连接4。，可得

所以异面直线AXB与4c所成的角，即为直线A'B与直线AXD所成的角，

即ZDA.B为异面直线AtB与ByC所成的角，

在长方体ABCD-431GA中，设48=8C=2/4=2,

则AXB=4。=45,BD=2y/2,

在A48。中，由余弦定理得cosZD4B=一:厂=；,故选B.

2AlB/D2XV5XV55

本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到乙D/出为

异面直线48与4c所成的角，在入4/。中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推

理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.

6.B

【详解】试题分析：由等差数列：；的性质，可得可-,，=〃；=-14=>苗=」，又

熹=9伺:逛"=-竽n%.%,=*=».%=V,所以磕=色二至==，所以数列SJ的

二S—含

通项公式为叱=叱M侬颜C'二一--L.-r2-2-13,令理工喇=孕:「常三起，解得

<­<—,所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得5.取最小值时的厂为6,

故选B.

考点：等差数列的性质.

7.B

【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.

【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：

由图可知在长方体中的四棱锥尸-ABCD完全满足题意,

故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球,

故外接球半%

故该球的表面积为s=4兀R2=".

4

故选：B.

本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.

8.D

由垂直平分线的性质可知=从而得到|MC|+|/W|=5,可知M轨迹满足椭圆定义,

可得。，。，进而求得〃，从而得到所求轨迹方程.

【详解】为垂直平分线上的一点：.\AM\=\MQ\

\MC\+\AM\=\MC\+\MQ\=\CQ\=5

点的轨迹是以C,/为焦点的椭圆.­.«=!-,c=l,-.b2^a2-c2^

24

/.M的轨迹方程为—+^=1

2521

故选：D

本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭

圆定义.

9.A

【分析】先根据函数解析式得到还是〃x)的定义域，再求出导函数尸(x),从而根据条件得到

关于。的不等式组，进而求解即可.

【详解】由f(x)=gx2-9hu,则函数/(X)的定义域是(0,+8),

又函数/(x)在区间上单调递减,

a

则/'(%)=x--<0,得0cx<3,

。一1>0

所以a+l<3'解得1<.，

所以实数。的取值范围是1＜。42.

故选：A.

10.B

【分析】求出圆的标准方程，根据三条公切线，推出两个圆外切，求出4;利1用基本

不等式求解.

【详解】根据题意可得，两圆的标准方程为母+202+/=4和/+0；一切2=1,

圆心为(-2a,0)和(0,6),半径分别为2,1,

若两圆恰有三条公切线，

则等价为两圆外切，

则满足圆心距2a)?+加=2+1=3,

即4a2+b~=9,

则=1,

11(11丫4241472b2

贝！lf+==|—-a+~b2=-HH——-H——,

a2b2Ub2){99J999b29a2

当且仅当竺=£,即/=3取等号.

9b29a22

故选：B

11.B

【详解】•.,kAB=3+12f

二・直线AB的方程为y=x-3.

由于双曲线的焦点为F(3,0),

Ac=3,c2=9.

设双曲线的标准方程为4-[=l(a>0,b>0),

ab

则苴=i.整理，得

Qb2

(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.

设A(xi,yi),B(X2,y2),

则xi+x2==2x(-12),

a-b

a2=-4a2+4b2,5a2=4b2.

又a2+b2=9,

.*.a2=4,b2=5.

22

・・・双曲线E的方程为二-匕=1.故选B.

45

12.C

|ZHX|,0<X<2

【分析】画出函数/(x)=1力41刈2<x<4的图象，结合对数函数的图象和性质，可得打"2

=1,X/+X2>2J再X2=2,(4-X3),(4-X/)=1，且X]+X2+X3+X4=8,则不等式fcV3X4+x12+x22»+l1

恒成立，可化为：出11-卜：+」)恒成立,求出的最大值,可得先的范围，进而得

x3-x4-1x3-x4-1

到实数左的最小值.

\lnx\,0<x<2

【详解】函数/(x)八4二)的图象如下图所示：

X3，X4(X/<X2<X3<X4)时，

\lnxi\=\lnx2\f即xj・X2=l,xi+xz>2&g=2,

\ln(4-x3)|=|加(4-%4)I，即(4-x3),(4-x4)1,

且X/+X2+%3+X4=8,

若不等式kX3X4+X12+X22>k+11恒成立,

.11-

贝U左2一恒成立,

11-(%；+%；)11—(演+//+2石工2；；*二=勺（3-4+5+；）_4+8区2-岑

由——

x3-x4-14(/+%4)-16

故危2一日

故实数上的最小值为2柠

故选C.

本题考查的知识点是分段函数的应用,对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题,

综合性强，转化困难，属于难题.

B.a

22

【详解】tan(tz+?)=；,tan1尸+；］1

4"

tan(a+尸)一tan［夕+£

tan［a一？=tan(0+.)一［尸+£

l+tan(cr+/?)tan［尸+£

2

54_3

1+2」22

54

3

故答案为

22

14.巫.

13

【分析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果.

【详解】应在万方向上的投影为答=4=学.

\n\41313

故答案为.近

13

本题考查向量投影的计算公式，属基础题.

15.6

【分析】由直线平行则斜率相等，求得“力之间的等量关系，再求离心率即可.

【详解】因为渐近线与直线2x-y+l=0平行，

故可得2=2,根据双曲线离心率的计算公式可得:

a

故答案为.石

本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.

16.（4031,404）.

【分析】根据题意，结合累加法，求得/与力，再代值计算即可.

【详解】由题意知七=1,y,=l

L

0

nJ*石+工2+，・,+工左=西+工2+，—+%人4+上+$

%+%+...+%=1+M+%+…+小+

解得/=左+57,当左=2016时，％2oi6=2016+5x403=4031；

了斤=1+T[5上当左=2016时，%oi6=1+403=404.

故第2016棵树种植点的坐标应为（4031,404）,

故答案为.（4031,404）

本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.

17.(1)V5(2)5

3由

【分析】(1)由/C平分/BCD,得出cosN8CA=一,进而得出COS//C3=2,再由余弦定

55

理，即可得出/C的长；

(2)根据三角恒等变换的公式，求得sin/C08=4Z,再由正弦定理得出CD的长.

10

【详解】(1)若NC平分Z8C。，则NBCD=2N4C3=2N4CD

°3

/.cos/BCD=2cos2/ACB-1=——

5

出

•・•cos乙4cB>0,.-.cos乙4cB=—

5

)/F

由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BCACCOSNACB得AC2—--AC—3=0

5

解得/c=囱或/。=-拽(舍)

5

:.AC=45

3i--------;---------4

(2)•・•cos/BCD=——sin/BCD="—cos2/BCD=-

55

又・・・/C5D=45°

Bfz

/.sinZCZ>5=sin(180°-ZBCQ_4“=sir(ZBCD+4^=^-(sinZ5CD+cosZBCD)=大

BCCD一用BC-sin/CBD

.,.在A5co中，由正弦定理可得CD=

sinZCDBsinZCBD------------------sinZCDB

即CD=5

本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.

19

18.(I)ci=3凡b=3n1；(II)[―,—).

33

【分析】（I）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求

等比数列的公比9,等差数列的公差"，即可求解；（II）利用裂项法求和，即可得到结论.

【详解】（I）设｛%｝的公差为d,•••4+邑=12,q=5

:噂[g+=66++d”—12'解得…或L4(舍)，

故4=3n,b〃=3"i.

〃(3+3〃)3〃(〃+1)

—2--2

1二2二2111)

Sn3〃(〃+1)n+\)

11

一+一+

H52

Vn>l,.\O<^-<-,-<1-一—<1

«+122n+\

本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不

大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于c“=a“+£,其

中｛%｝和｛"｝分别为特殊数列，裂项相消法类似于。“=品切，错位相减法类似于g=an-bn,

其中弧｝为等差数列，也｝为等比数列等.

Jr27r

19.（1）最小正周期为方，单调减区间为—+k^,—+k7r,keZ-（2）最大值为3,最小值为0.

63

【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.

7T

（2）根据（1）的结果及x的范围求出2x+2的范围，从而计算出函数的最值.

6

【详解】解：(1)3=(2sinx,cos2x),b=(V3cosx,2),

由f(x)=a-b=2A/3sinxcosx+2cos2x

=>/3sin2x+cos2%+1=2sin(2x+—)+1,

6

\/(x)的最小正周期？=夸=万，

jrTT37r

由2k兀H——<2xd——<----b2k兀，左£Z,

262

/n7UT27T,7

存于：—FkitK%W----卜kn,k£Z,

63

\/(X)的单调递减区间为g+k匹停+后万，左eZ；

（2）由xe0,3可得：2x+?e々三,

当2尤+g=?时，函数/（x）取得最小值为2si〃?+l=0,

666

当2x+J=W时，函数取得最大值为2s%1+1=3,

故得函数/（X）在区间0,5］上的最大值为3,最小值为0.

20.（1）证明见详解；（2）叵

19

【分析】（1）取/C中点为“，通过证明尸M//4E,进而证明线面平行;

（2）取8C中点为O,以。为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解

得二面角的大小.

【详解】（1）证明：取ZC的中点连结W,FM,如下图所示:

在AA5C中，因为E为45的中点,

;.EM//BC,S.EM=-BC,

2

又尸为4G的中点，B.CJ/BC,

B.F//BC,且57=g3C,

EM//BXF,且现/r=4厂，

四边形EMF4为平行四边形，，BXEHFM

又MFu平面/CF,月后.平面/。7,

，3也//平面/。/，即证.

（2）取8C中点O,连结NO,OF,则NO/3C,OF_L平面/3C,

以。为原点，分别以08,AO,OF为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，如下图所示：

<1h、

则/(0,-百,0),5(1,0,0),c(-i,o,o),E于一事，0，尸(0,0,2),4(1,0,2)

V11)

屋=j|，4,o，

丽=(1,0,2),G4=(l,-V3,0),西=(2,0,2)

7

设平面CEB、的一个法向量成=(x,y,z),

m-CE=0-y=0

则一，则

宿-CB[=0二0

令x=l.则比=(1,>/3,-1)，

同理得平面力CF的一个法向量为五=[1，3CC2

则,。5何㈤=书=叵

X1\ii\\m\19

故平面CE4与平面ZC尸所成二面角(锐角)的余弦值为1近.

19

本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.

21.(1)—+^=1；(2)

434

【分析】(1)利用余弦定理和椭圆的定义即可求出。，再根据〃=/-C2=3,可得椭圆的方程;

(2)设Z(xi,刈)，B(右，”)，设的内切圆的半径为A,表示出的周长与面积,

设直线I的方程为工=叼+1,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,表示三角形面积，令t=而行，

3

利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解W内切圆半径的最大值为升

【详解】(1)设|E"|二x,则内,

由余弦定理得22+/-2.2现05120。=(]；,化简得口+[)1一：)=0,解得x=[

故2"防|+即|=4,.“=2,得/=/_。2=3

所以椭圆C的标准方程为三+以=1

43

(2)设Z(X1,必),8(X2，力)，设坐得内切圆半径为厂

^FXAB的周长为以周+以闾+忸周+忸阊=4a=8

所以SM/B=gx4a-r=4r

根据题意知，直线/的斜率不为零，可设直线/的方程为x=，"P+l

(22

土+匕

由＜43得(3加2+4)＞之+6冽y-9二0

x=my+1

A=(6m)2+36(3m2+4^y2＞O,meR

-6m-9

由韦达定理得必+%=3/+4'必％飞疗+4

'''S""B=[片闻上一力|=|弘一为=1（必+%）2-4%%=