水平面内的圆周运动的临界问题-2022-2023学年高一物理讲义（人教2019必修第二册）

第六章圆周运动

专题7水平面内的圆周运动的临界问题

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课程标准核心素养

1、物理观念：水平面内做圆周运动的向心力来源。

1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模2、科学思维：水平面内的圆周运动的临界问题是由哪些

型，并会找它们的临界条件.因素引起的。

2.掌握圆周运动临界问题的分析方法.3、科学探究：探究水平面内的圆周运动的临界问题的解

3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问决方法。

题.4、科学态度与责任：利用所学水平面内的圆周运动的临

界问题的知识解决实际问题。

趣知识精讲

至'知识点Ol水平面内圆周运动的临界问题

1.运动特点

(1)运动轨迹是水平面内的圆.

(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动.

2.过程分析

重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，

会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，

从而出现临界问题.

3.方法突破

(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力.

(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.

(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等.

4.解决方法

当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，

然后再列方程求解.

【即学即练1］如图所示，“为置于距圆桌转盘中心，］处的杯子，装满水的总质量为2加，另有一空杯子b

质量为根，置于距圆盘中心E处，已知∕∙2=2r∣,圆盘从静止开始缓慢地加速转动，两杯子与桌面间的动摩

擦因数均为"(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，且均未相对桌面滑动，用。表示圆盘转动的角速度，下

列说法不正确的是()

A./7比”先达到最大静摩擦力

B.a、〃所受的摩擦力始终相同

C.3=、便是〃开始滑动的临界角速度

D.当时，α所受摩擦力的大小为HWg

【答案】

B

【解析】

杯子随着圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，“刚要开始滑动时有“2,Hg=2mft√r∣,解得

b刚要开始滑动时有μmg=mω^rz,解得Sb=,因为〃比4先达到最大静摩擦力，故h先开

始滑动，故A、C正确；在杯子匕的摩擦力没有达到最大前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知

211

Ffll=2mωr↑,Ffb=mωr2=2mωr∖,所以”和b受到的摩擦力大小是相等的，方向不同，故B错误；当3

时，〃没有发生相对滑动，静摩擦力为Fr=2ma>2rI=Rng,故D正确.

叁,知识点02斜面内圆周运动的临界问题

物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ,重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此

类问题时，可以按以下操作，把问题简化.

【即学即练2］（多选）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度”转动，盘

面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为坐，设最大静摩

擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30。，g取IOm底，则以下说法中正确的是（）

A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用

B.小物体随圆盘以不同的角速度。做匀速圆周运动时，S越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定

越大

C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心

02/17

D.ω的最大值是1.0rad∕s

【答案】CD

【解析】

当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最

高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦

力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，。越大时，小物体在最高点

处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，

即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最

大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合

力提供向心力，支持力尸N="7gcos8,摩擦力尸f=∕J7N=WMgCoS6,μmgcos30o-mgsin30o=mω2R,解得

ω=1.0rad∕s,故D正确.

U能力拓展

考法Ol水平面内圆周运动的临界问题

【典例I］如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体

A和8,它们分居圆心两侧，质量均为相，与圆心距离分别为RA=F,Rft=2r,与盘间的动摩擦因数〃相

同，重力加速度为g,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，

下列说法正确的是（）

A.此时绳子张力为Fτ=Mung

B.此时圆盘的角速度为将

C.此时4所受摩擦力方向沿半径指向圆内

D.若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动

【答案】B

【解析】

A和8随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F=mdR,8的运动半径比A的半径大，所以8所需向

心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指

1

向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体4、8,根据牛顿第二定律分别得：Fx-μmg=mωr,

Fj+μmg=mω2∙2r,解得：Fj-3μmg,ω=∖此时A所需的向心力大小为居14="，疗厂=2〃/7噜，B所需

的向心力大小为/⅛=m<υ2.2∕∙=4wMg,若此时烧断细线，A、8的最大薛摩擦力均不足以提供物体所需向心

力，则A、8均做离心运动，故B正确，A、C、D错误.

考法02斜面内圆周运动的临界问题

【典例2】（多选）如下图所示是自行车场地赛中一段半径为R的圆弧赛道（忽略道路宽度），赛道路面与

水平面间的夹角为仇不考虑空气阻力，自行车与骑手总质量为，"，两者一起在该路段做速度为V的匀速

圆周运动。路面与自行车轮之间的摩擦系数为"，重力加速度为g,若自行车与赛道之间没有相对滑动，

则对于骑手和自行车组成的系统，下列说法中正确的是（）

A.若V=JgRtanG,则系统向心力由重力与支持力的合力提供

B.若心屈嬴？，则系统受到来自路面的摩擦力沿赛道斜面指向内侧

n〃sin。+COSe

C.系统的最大速度为:U=JgR---------------------

∖∕cos6-Sine

'Sir〃COSe

系统的最大速度为:V=

D.gCoS。一〃Sine

【答案】ABD

【解析】A.系统向心力由重力与支持力的合力提供，则有

mgtanθ=m~

解得

U=JgHtane

A正确;

B.若v>灰蓊，则自行车有向外甩出的趋势，所以系统受到来自路面的摩擦力沿赛道斜面指向内侧。

B正确；

CD.系统即将向外滑动时，速度最大，有

Ncosθ=fs∖nθ+∕ng

V2

NsinO+/cosθ=m—

解得

04/17

'Sine+〃CoSe

V=

gcos®-〃Sine

C错误，D正确。

故选ABD,

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA=2RB.当主动轮A

匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使小

木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转动轴的最大距离为（）

432

【答案】C

【解析】依题意，两轮边缘的线速度大小相等，两轮半径

R"2Rli

则由

v=ωR

解得

2%=ωB

依题意，小木块恰能相对静止在A轮边缘上，有

Hmg=RK

设小木块距B轮转动轴的最大距离为厂，则有

μmg=〃?就

联立，可得

LRB

/-.......

2

故选Co

2.如图所示，足够大水平圆板可绕圆心处的竖直轴以角速度“匀速转动，圆板上叠放有两物块，下面的

大物块质量为上面的小物块(可视为质点)质量为加，小物块和转轴间有一恰好伸直的水平轻

绳，轻绳系在套住转轴的光滑小环上，小环被卡在轴上固定高度〃处，轻绳长度乙=2/?。已知小物块与大

物块、大物块与圆板间的动摩擦因数均为〃，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g,则下列

B.当hl,S=僵时,大物块未发生相对滑动

C.当k=2,S=件时，大物块未发生相对滑动

D.当％=2,。=楞1时，大物块将会一直做离心运动

【答案】A

【解析】A.对于大物块，当所受的最大静摩擦力提供向心力时

μmg+μ(k+l)mg=kmω2L

解得

ω=

可知左越大，大物块发生相对滑动的。就越小，A错误；

B.当Z=I时，大物块所受的最大静摩擦力

Fmax=μ(k+2]mg=3μmg

大物块所需要的向心力

2

Fn=kmωL-2μmg<Fmax

即大物块不会发生相对滑动，B正确：

C.当62时，大物块所受的最大摩擦力

Fmιx=μ(k+2)mg=4μmg

大物块所需要的向心力

2

Fn=kmωL=2μmg<Fιnax

06/17

即大物块不会发生相对滑动，C正确；

D.当42时，大物块所受的最大摩擦力

Fιnιιx=μ(k+2)mg=4μmg

大物块所需要的向心力

2

F,l=kmωL=8μmg>Fl,1as

所以大物块将会发生相对滑动，与小物块脱离之后，摩擦力进一步减小，运动半径继续增大，所以将一

直做离心运动，D正确。

故不正确的选A。

3.如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为，〃的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管

上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为广的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽

恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为〃，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。重力加

速度为g,则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是()

A.螺丝帽受重力、弹力、摩擦力以及向心力

B.螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心

c.此时手转动塑料管的角速度3=吊

D.若塑料管转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动

【答案】C

【解析】AB.螺丝帽受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向心力,

弹力的方向指向圆心，AB错误；

C.螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和最大静摩擦力平衡，根据

mg=Ff=μFN,FN=mω2r

解得

C正确；

D.若塑料管转动加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力利静摩擦

力仍然平衡，D错误。

故选Co

4.如图所示，质量为，"的小球由轻绳。和匕分别系于一轻质细杆的A点和8点，当轻杆绕轴0。'以角速

度3匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，“绳与水平面成。角，b绳平行于水平面且长为/,

重力加速度为g,则下列说法正确的是（）

A.α绳与水平方向夹角6随角速度。的增大而一直减小

B.”绳所受拉力随角速度的增大而增大

c.当角速度3>J7i不时，匕绳将出现弹力

D.若人绳突然被剪断，则“绳的弹力一定发生变化

【答案】C

【解析】A.当6绳绷紧后，角速度。增大，。绳与水平方向夹角不变，故A错误;

B.当人绳绷紧后，对小球受力分析，竖直方向根据平衡条件可得

mg=Tsinθ

解得

T=S

sin，

“绳所受拉力不变，故B错误；

C.当6绳刚要绷紧时，水平方向根据牛顿第二定律

Tcosθ=marl

联立解得

若角速度大于该值，则人绳将出现弹力，故C正确；

D.由于方绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，“绳的弹力可能不变，故D错误。

故选Co

5.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动。图中的

08/17

圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为/7。下列说法中正确的是（）

B./7越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大

C./?越高，摩托车做圆周运动的周期将越小

D./7越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大

【答案】D

【解析】AB.杂技演员与摩托车整体受力图，如图所示，演员与摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周

运动时的向心力由摩托车的重力和侧壁的支持力的合力提供，由解析图可知，支持力

ECTOSe

向心力

E产mgtanθ

所以国和K只与侧壁的倾角。有关，而与高度力无关，即人变化时，BV和吊不变，AB错误;

2

D.根据尸产〃?上，可得

r

v2=grtanθ

当/?越高时，运动半径〃越大，线速度U越大，D正确；

C.根据

F2πr

T=——

v2=^/tanθ

可得

2πr2πr/r

I—____=.=24I_______

vJgrtan°Vgtane

7θ√r

当〃越高时，运动半径厂越大，周期T越大，C错误。

故选Do

6.如图所示，两个质量均为机的小物块”和方（可视为质点），静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直

于盘面的固定轴转动，”到转轴的距离为/,h到转轴的距离为2/,物块与盘面间的动摩擦因数为正，盘

2

面与水平面的夹角为30。。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。若a、b随圆盘以角速

度。匀速转动，下列说法中正确的是（）

A.。在最高点时所受摩擦力可能为0

B.a在最低点时所受摩擦力可能为0

c.0=后是〃开始滑动的临界角速度

D.O=后是人开始滑动的临界角速度

【答案】D

【解析】A.若。在最高点时所受摩擦力可能为0,则只能由重力沿斜面的分力提供向心力,

mgsinΘ=mωλ^l

解得

在最低点由摩擦力和重力沿斜面的分力提供向心力，则

KA-mgsinθ=ιnωjJl

解得

FfN=mg>μmgcosθ

10/17

则〃、方随圆盘以角速度G匀速转动，〃在最高点时所受摩擦力不能为0,故A错误;

B.〃在最低点，由牛顿运动定律

Ff-mgsinθ=ma

所以。在最低点时所受摩擦力不可能为0,B错误；

C.对。在最低点，由牛顿运动定律

μmgcosθ-mgSinO=mω^l

代入数据解得

C错误；

D.对b在最低点，由牛顿运动定律

μmgcosθ-Ingsinθ=mω1(.2l')

代入数据解得

Y

D正确。

故选Do

题组B能力提升练

7.（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接,

木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转

轴0。2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法

正确的是（重力加速度为g）（）

A.当3>y登时，4、B会相对于转盘滑动

B.当31怪,绳子一定有弹力

C.3在、倒<s<∖修范围内增大时，B所受摩擦力变大

D.。在、偿范围内增大时，A所受摩擦力一直变大

【答案】

ABD

【解析】

当A、8所受摩擦力均达到最大值时，A、3相对转盘即将滑动，则有Kmg+Kmg=mg2L+mco2.2L,解

得：A项正确：当8所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有：Kmg=m∙2L∙ω1,

解得ω=、!庠,可知当时，绳子有弹力，B项正确；当①时，B已达到最大静摩擦力，则

ω在、范围内埴大时，'受到的摩擦力不变，C项错误；ω在范围内,“相对

转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由用一Z7T=加£疗可知，当①增大时，静摩擦力也增大，

D项正确.

8.如图所示，质量为优的小球由轻绳α和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳a长为L,与水平方

向成。角时绳b恰好在水平方向伸直.当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆

周运动，a、6绳均拉直.重力加速度为g,则（）

A.〃绳的拉力可能为零

B.。绳的拉力随角速度的增大而增大

c.当角速度3>q忧而时，匕绳中拉力不为零

D.当角速度。时，若“绳突然被剪断，则6绳仍可保持水平

【答案】C

【解析】

小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以“绳在竖直方向

上的分力与小球重力相等，可知“绳的拉力不可能为零，A错误；根据竖直方向上受力平衡得RsinJ=mg,

解得凡=普，可知。绳的拉力不变，与角速度无关，B错误；当方绳拉力为零时，<⅛=wω2Icosθ,

sin（/lα∏U

解得s=∖∕悬力，可知当角速度"l/ʤi时，b绳出现拉力，C正确；若“绳突然被剪断，则b绳不

\1LblrIC7\1LbIrl（7

能保持水平，D错误.

9.如图所示，ABC为竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，A8为固定在A、B两点间的直金属棒,

在直棒和圆环的BC部分上分别套着小环M、N（棒和半圆环均光滑），现让半圆环绕竖直对称轴以角速

度仞做匀速转动，小环M、N在图示位置，如果半圆环的角速度变为。2,32比。/稍微小一些，关于小

环M、N的位置变化，下列说法正确的是（）

12/17

A.小环M将向8点靠近稍许，小环N将向8点靠近稍许

B.小环M将向8点靠近稍许，小环N的位置保持不变

C.小环M将到达B点，小环N将向B点靠近稍许

D.小环M将到达B点，小环N的位置保持不变

【答案】C

【解析】比环做匀速圆周运动，则

mg∙tan45o=rnω2r

小环Λ/的合力大小为定值，如果加速度变小，其将一直下滑，直到8点，N环做匀速圆周运动，设其与

ABC环圆心的夹角为仇则有

“igtan8=mω2Rsinθ

解得

—=（υ2cos0

R

如果角速度变小，。变小，小环N将向8点靠近稍许。

故选Co

10.（多选）如图所示，A、B、C三个材质相同的小物体放在匀速转动的水平圆台上，始终与平台保持相

对静止。已知A的半径是2r,B和C半径均为"，A、B、C三个小物体质量之比为1:2:3,则（）

A.小物体A的线速度最大，加速度也最大

B.小物体C的线速度最大，加速度也最大

C.小物体A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大

D.若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转台转速增大，总是小物体A先发生相对

滑动

【答案】ACD

【解析】AB.由题意，根据

V=(OR，a-co2R

三个小物体随水平圆台一起转动角速度0相同，则转动的半径R越大，线速度越大，加速度也最大，所

以A的线速度最大，加速度也最大，故A正确，B错误；

C.小物体随水平圆台一起转动所需向心力与静摩擦力来提供，设A、B、C三个小物体质量分别为加，

Im,3m则有

22

∕a=mω^∙2r,ZB=2mωr,fc=3mωr

可知A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大，故C正确；

D.当转台转速逐渐增大，物块受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，对A有

Ag=WJA

解得A发生相对滑动的临界角速度为

%书

对B有

〃机Bg=mBωBf^

解得B发生相对滑动的临界角速度为

g昭

对C有

μmcg=mcω^r

解得C发生相对滑动的临界角速度为

%=杵

可知A发生相对滑动的临界角速度最小，若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转

台转速增大，总是小物体A先发生相对滑动，故D正确。

故选ACDo

题组C培优拔尖练

11.如图所示，长为L的绳子下端连着质量为，"的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线

14/17

夹角。=60。，此时小球静止于光滑的水平桌面上.求：(重力加速度为g)

(1)当小球刚好离开水平桌面时，小球匀速转动的角速度。0为多大；

(2)当小球以的='器做圆锥摆运动时，绳子张力Fl为多大？桌面对小球的支持力FNl为多大；

(3)当小球以也=\