2023高考数学复习讲义 一 第4讲 导数的几何意义及函数的单调性

第4讲导数的几何意义及函数的单调性

［考情分析JI.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空

题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考

的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综

合性问题.

考点一导数的几何意义与计算

【核心提炼】

1.复合函数的导数

复合函数y=Λg(χ))的导数和函数y=∕("),〃=g(x)的导数间的关系为y'x=y'*

2.导数的几何意义

(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.

(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.

(3)切点既在切线上，又在曲线上.

例1(1)(2021・芜湖模拟)已知犬X)=InX一夕(I)X2+x+1,则曲线KX)在点(1,川))处的切线

方程为()

A.X一厂1=0B.4x—y—1=0

C.χ-4y~l=0D.4χ-4y-l=0

答案D

解析由题意得，f'(x)一ʃ'(1)x+1,

令x=l,可得，(1)=1-/(1)+1,解得/(1)=1,

根据导数的几何意义可得，在点(I,,/(I))处切线斜率％=/(1)=1,

又fix)—Inx—++x+},

所以T(I)=Inl—g+1+d，即切点为(1,J,

3

所以切线方程为y—X=χ-1,整理得4x—4y-l=0.

(2)(2021.新高考全国I)若过点(4,力可以作曲线y=e*的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.O<b<ea

答案D

解析方法一设切点(X0,yo),yo>O,则切线方程为y—b=eλb(x—d),由

∖yo~b=ex°(xo~a)

得e"(1—xo+α)=6,则由题意知关于ɪo的方程e~>(1—%o+α)=∕>有两

Iyo=ex°,

个不同的解.设氏T)=e*(l—x+4),则，(X)=ejt(l—x+4)-ex=—e*(X—α),由/(X)=O得X

=a,所以当x<α时，/(x)>0,7(x)单调递增，当x>α时，/(x)<0,.")单调递减，所以./)向

=7(α)=e"(l—α+α)=e",当XCa时，a-x>0,所以火x)>0,当Xf—8时，凡r)f0,当Xf+

8时，ʌɪ)—-oo,函数./(χ)=e∙r(l-χ+”)的大致图象如图所示，

因为兀V)的图象与直线y=h有两个交点，所以O<h<ea.

方法二(用图估算法)过点(小份可以作曲线y=e'的两条切线，则点3,6)在曲线y=e，的

下方且在X轴的上方，得O<Xe".

易错提醒求曲线的切线方程要注意“过点尸的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点

P的切线中，点尸不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点尸处的切线，必以点

P为切点.

跟踪演练1(1)(2021.西安模拟)直线y=fcv+l与曲线y(x)=Hnx+b相切于点P(1,2),则2a

+6等于()

A.4B.3C.2D.I

答案A

解析：直线>=日+1与曲线y(x)=HnX+分相切于点尸(1,2),

将P(l,2)代入y=履+1,可得&+1=2,解得A=I,

"：J(x)^a∖nx+b,：.f(X)=*

由/(∣)=γ=l»解得α=l,可得7(x)=lnx+A,

：尸(1,2)在火X)=Inx+b±,

.,.χi)=ln∖+b=2,解得力=2,故2π+6=2+2=4.

(2)若曲线y=；sin2x+坐cos2χ在A(Xl,%),B(X2，竺)两点处的切线互相垂直，则的一对的最

小值为()

,π八π-2πC

AjB.2C.yD.π

答案B

=ISin2x+乎cos2χ=∣sin,λ∕31+cosZr1.Λ,πλ√3

解析•.，2x+l2×xz—2—=2s'nl2x+3j+4)

二曲线的切线斜率的取值范围为

又曲线在Aa1,y∣),Ba2,力)两点处的切线互相垂直，

故在Aa],Ji),8(X2,m)两点处的切线斜率必须一个是1,一个是一1.

Tπ

则比一X2Imin=I=亍

考点二利用导数研究函数的单调性

【核心提炼】

利用导数研究函数单调性的步骤

(1)研究函数y=∕(x)的定义域；

(2)求y(x)的导数/(X);

(3)求出f'(X)的零点，划分单调区间：

(4)判断，(X)在各个单调区间内的符号.

2χ—1

例2己知√(x)=α(x—InX)+—/一,“GR.讨论«x)的单调性.

解人x)的定义域为(0,+∞),

f(x)=k丁豆+#=ʃʒ•

若αW0,当Xe((U)时，f(χ)>O,y(x)单调递增;

当x∈(l,+8)时，f(χ)<0,兀0单调递减.

.,Q(X-1

若lt〃>o,f,ω=-⅛~

(1)当0<“<2时,

当x∈(0,l)或x∈+8J时，f(x)>o,y(x)单调递增;

当Xe1,,/ω<o,y(x)单调递减.

(2)当a=2时,1,在XG(0,+8)内，/(x)2o,y(x)单调递增.

(3)当α>2时，2

当XW0,χ∈(i,+8)时，f(x)>o,y(x)单调递增；当x∈时,(x)<0,

凡¥)单调递减.

综上所述，当“WO时，4x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

当(X"2时，Ax)在(0,1)上单调递增，在(1,上单调递减，在|，+8)上单调递增;

当α=2时，於)在(0,+8)上单调递增；

当α>2时，4X)在(θ,喧上单调递增，在Wl,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

规律方法讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.

大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集来讨论：

(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；

(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论；

(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.

跟踪演练2(2020・全国∏)已知函数,/(x)=2InX+1.

(1)若Kr)W2x+c,求C的取值范围；

⑵设0>0,讨论函数g(x)=吗］，)的单调性.

解设h{x}=fix)-2x-c,

则力(X)=21nχ-2x+l—c,

2

其定义域为(0,+∞),h'(x)=--2.

⑴当0<x<l时，h'(X)>0；

当x>l时，h'(X)<0.

所以∕ι(x)在区间((M)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减.

从而当X=I时，∕z(x)取得最大值，最大值为〃(1)=-1—c.

故当且仅当一1—cW0,即c2一1时，/(x)≤2x+c.

所以C的取值范围为［-1,+∞).

叔一旗)2(Inx-Inα)

(2)g(x)='x-ax-a

x∈(0,a)U(a,+∞).

2(^-^+ln«—lnJ20—£+%)

g'⑴=正不=(La)2，

令0(x)=l—f+lnf,x∈(0,α)U(α,+°o),

∩ɪQ--X

，当Xe(0,a)时，φ'(x)>0,当x∈(4,+8)时，9,(X)C0,

所以e(X)在(0,“)上单调递增，在3，+8)上单调递减,

所以φ(x)<φ(a)=O,

所以g'(x)<0,

所以g(x)在区间(O,a),(«,+8)上单调递减.

考点三单调性的简单应用

【核心提炼】

I.函数人幻在区间。上单调递增(或递减)，可转化为∕'(x)20(或/'(x)≤0)在XeO上恒成

立.

2.函数於)在区间。上存在单调递增(或递减)区间，可转化为/(X)>0(或/(X)<0)在χGO

上有解.

例3(1)(2021•六安模拟)已知函数兀v)=e*-er,g(x)=sin工+守一ox.对于任意x∣,xz，且

M≠X2,都有喂三端>0,则实数。的取值范围是()

A.。<0B.iz≤O

C.a<∖D.αWl

答案D

解析因为所以7U1)-AM)，以为)一g(χ2)同号，因此与g(χ)的单调性相同，

因为/(x)=e^+e'>0,所以函数«r)为增函数，因此g(x)也为增函数，

g,(X)=COSΛ+^X2-6Z,

因为g(x)是增函数，故Ce)Sx+5^2—恒成立.

即QWCOSX÷^,Λ2恒成立.

令Λ(x)=cosx+xv2,

则∕√(x)=χ-sinX,

设(X)=K-sinx9

因为(X)=I—cosx20,

故加(X)=X—sinX为增函数，

又m(0)=0,

故当XVO时，机(X)VO,即〃'(x)vθ,因此人(X)单调递减;

当x>0时，"z(%)>0,即∕ι'(X)>0,因此〃(X)单调递增，

故ZI(X)=COSX+^2的最小值为ZJ(O)=L故a≤l.

(2)定义在R上的函数式x)的导函数为，(X),若，(X)勺U),则不等式巧(x+l)<e次2工一3)的

解集是()

A.(一8,2)B.(2,+∞)

C.(4,+∞)D.(-8,4)

答案D

解析令MX)='餐，∙∙φ(X)=~Γ<0.

.∙.0(x)在R上是减函数，

•；p(x+1)=，竟:),.".∕(x÷1)=e'+1∙φ{x+1),

_z侬i-3)

又9(2χ-3)=∙e2√Γ，

：.fi2x-3)=e2χ-3∙φ(2x~3).

；・不等式e%x+l)<e4∕(2χ-3),

可化为er∙ex+l∙φ(χ-∖-I)<e4∙e2x3∙^(2χ-3),

即e2v+lφ(x+l)<e2^r^l^(2χ-3),

即O(X+l)<p(2χ-3),

又Tg(X)在R上是减函数，

ΛΛ+l>2x—3,

即x<4.

规律方法利用导数比较大小或解不等式的策略

利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化

为利用导数研究单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.

跟踪演练3(1)若函数TU)=/α―24χ+inχ在(1,3)上不单调，则实数”的取值范围为()

C.1-8,-W)U(1,+∞)D(-8,—^U(2,+∞)

答案C

fL~.1cυ^~2ax+1

解析/(x)=aχ-2a+~=----------------,

令φ(x)=ax1-2ax+1,

・・・於)在(1,3)上不单调，

.,・3(%)在(1,3)上有变号零点,

当。=0时，不满足题意；

当α≠0时，8。)的对称轴为1=1,

・・・9(1)9(3)<0,

解得〃<一g或a>∖.

(2)(2021•宁波模拟)已知a,夕£(。，2√,若e。一，=Sina—2sinβ,则下列结论一定成

立的是()

A.a+β=^B.a+β=^

C.a>βD.a<β

答案D

解析由α,4G（0,5）可知，SinQO,

所以e。-J=Sina—2sinβ<sina—sinβ,

整理可得ert-sina<e^-sinβ,

设於）=e*—sin（r∈（θ,，）），

f,（x）=ev-cosx>0,

故外）在（o,舒上单调递增，所以“

专题强化练

一、单项选择题

1.（2020•全国I）函数火x）=d—2√的图象在点（1,犬1））处的切线方程为（）

A.y=~2x~∖B.y=-2x+l

C.y-2tχ—3D.y=2x+l

答案B

解析ΛD=l-2=-l,切点坐标为(1,-1),

f'（X）=4x3-6/,

所以切线的斜率为％=/，（1）=4X13—6XP=-2,

切线方程为y+1=—2（x—1）,即y=—2x+l.

2.已知函数「"),则於)()

A.是奇函数，且在(0,+8)上单调递减

B.是奇函数，且在(0,+8)上单调递增

C.是偶函数，且在(0,+8)上单调递减

D.是偶函数，且在(0,+8)上单调递增

答案D

解析因为«r)=Me‘一eɔɔ,x∈R,定义域关于原点对称,

且/(_工)=-Xe-∙v-ev)=MeV—e-v)=J(x),

所以7U)是偶函数，

当x>0时，f(x)=ev—e-^v+ɪ(eʌ÷e^x)>O,

所以7U)在(0,+8)上单调递增.

3.(2021・宝鸡模拟)已知直线y=H(⅛>0)和曲线yU)=LHnx(°W0)相切，则。的取值范围是

()

A.(一8,0)U(0,e)B.(O,e)

C.(O,1)U(1,e)D.(一8,O)U(1,e)

答案A

解析设切点是PaO,xo—Hnxo),

又/(χ)=l-p

则以P为切点的切线方程为

y-χo+a∖n沏=(I-xo)»

因为该切线过原点，

所以一沏÷HnXO=(I-—Xo),

即ln%o=l,XO=e,

所以⅛=ι-^>0,

所以a<e且a≠0.

4.若函数火x)=e*(cosχ-α)在区间(甘，习上单调递减，则实数α的取值范围是()

A.(-√2,+∞)B.(1,+∞)

C.[1,+∞)D.[√2,+∞)

答案D

解析f(x)=ev(cosx-a)+et∙(—sinx)

=eA(CoSχ-sinɪ-^),

∙.%)在区间(一看m上单调递减，

."(X)WO在区间(甘，3上恒成立，

即CoSX—sinx—恒成立，

即42COSX-SinX=也COS(X+：)恒成立，

..兀兀

・一„，

Λtz>√2,故选D.

5.(2021•黄冈模拟)已知变量即，ɪ2≡(0,λw)(∕π>O),且Xla2,若工『<以恒成立，m的最

大值为(e=2.71828…为自然对数的底数)()

A.eB.-∖∕eCrD.1

答案A

2

解析VX^<=>x2lnxι<x∣ln%2»ʃi,X2≡(0,m)fm>0,

・•・哈警恒成立，

]nX

设函数Ar)=；,∙."ι<T2,次羽)勺(M),

，兀0在(O,m)上单调递增,

T~I-Inx

又f(ɪ)=~-，

则f(x)>O=>O<x<e,

即函数段)的单调递增区间是(O,e),

则m的最大值为已

3r

6.(2021•八省联考)已知。<5且0e5=5e",6<4且加4=%〃，c<3.ace=3e,则(

A.c<h<aB.h<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

答案D

解析由已知得⅜ɛʒ∙=⅛e",土e"会e"We?

设人力=5,

LlZ(K-l)e'

则/(X)=Λ2

所以7U)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以∕3)<A4)<∕(5),艮c)<j[b)<J[a),

所以a<b<c.

二、多项选择题

7.(2021•襄阳模拟)已知函数y(x)=f+KO)∙X-/(0)∙cosx+2,其导函数为/(x),则()

A./O)=-1B./(0)=1

C../(0)=1D./(O)=-I

答案BC

解析因为J(x)-x2÷X0)∙χ-/(0)∙cosx+2,

所以火0)=2-/(0).

因为，(x)=2x+y(0)+/(O)∙sinx,

所以，(0)=/0).

故/(O)=AO)=L

8.(2021•常德质检)如果定义在R上的函数y(x),对任意两个不相等的实数即，X2,都有x√Uι)

+x√U2)>x√α2)+M∕3),则称函数1X)为““函数”，下列函数是“”函数”的有()

A.fi‹x)-xexB.y=3χ-2(SinX-cosx)

C.y=x3+3x2+3x+1D.J(x)=e'-e^x-2x

答案BCD

解析因为对于任意给定的不等实数X∣,X2,不等式无水X1)+X√(X2)>X√(X2)+XM>∣)恒成立，

所以不等式等价于(XI—X2)[/Ul)-/(X2)]>O恒成立，

即函数7U)是定义在R上的增函数.

对于A,函数火X)=XeV定义域为R,f(Λ)=(x+l)e',当x<-l时，fl(x)<0,当人>-1时，

fω>0,所以T(X)在定义域R上不是增函数，故A不正确;

对于B,函数y=3x—2(Sinx-cosx)定义域为R,y'=3~~2(COSX+sinX)=3-2吸SinQ+；)>0,

函数单调递增，满足条件，故B正确；

对于C,函数y=x3+3jc2+3x+1定义域为R,y'=3X2+6X+3=3(Λ+l)2≥0,所以y=x5+

3∕+3x+l在定义域上单调递增，故C正确；

对于D,函数火x)=e'-er-2x定义域为R,r(X)=^+屋，一222*千一2=0,当且仅当

F=er,即x=0时，等号成立，所以y(x)在定义域R上是增函数，故D正确.

三、填空题

9.(2021・临沂模拟)曲线y=lnχ-1在x=l处的切线的倾斜角为α,则sin(α+号=.

较去迎

口木10

解析y'='+.，y'k=1=3,

贝Utana=3[0<α<τ),

.√,2V_ɪ√Γo

..sin^+2J-cos«=^=-10.

10.(2021•新高考全国II)写出一个同时具有下列性质①②③的函数应b.

②当Xe(O,+8)时，f'(X)>0；

@f(X)是奇函数.

答案,/(χ)=χ4(答案不唯一，yu)=∕"("∈N*)均满足)

解析取凡T)=Λ4,则y(x1X2)=(x1X2)4=Λh⅛=y(x1y(x2),满足①，

f(x)=4r3,x>0时有/(x)>0,满足②，

∕'(X)=4Λ3的定义域为R,

又/(-χ)=-4x3=-/(X),故/(X)是奇函数，满足③.

11.已知函数段)=lnx+(L力2(0∈R)在区间5，21上存在单调递增区间，则实数匕的取值

范围是.

答案(—8,?

解析由题意知，在区间[；,21上存在子区间使得不等式F(x)>0成立./(x)=3+2(xi)

2xλ-2bx+∖/ɪʌ1

=-----------,设∕z(x)=2x2-2Ar+1,贝U力(2)>0或力团>0,即8—46+1>0或1>0,

得娼.

12.(2021・新高考全国∏)已知函数火X)=H—1∣,ΛI<0,x2>0,函数兀0的图象在点A(xι,KXI))

和点B(X2,火X2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则制的取值范围是

答案(0,1)

(ɪ—e，，JV<0,

解析由题意得，Λx)=∣e'-l∣=/'

leA—1,x^0,

[―ex,x<0,

则/(X)=>n

Ie"v,X「0,

所以点4(孙1—ev,)和点8(X2,e^t2—1),ICAM=-ex,»ICBN=e",

所以一e$∙e"2=—1,χι+χ2=0,

所以AM：y—1+e'=—e*(x—Ri),M(O,eʌɜɪɪ-ev,+1),

所以IAM=JX；+(e*x∣A=Jl+e?"∙∣X]∣,

同理∣8NI=JiTe^∙∣X2∣,

2tη2x,

β.∖AM∖λ∕l+e∙'∙∣x,∣_∖+e2∙11+e

77e(0,l).

两=√l+e^∙∣x2∣VW

四、解答题

13.(2021-滁州模拟)已知函数兀V)=/-2r+Hnx(a∈R).

(D若函数在x=l处的切线与直线x—4y—2=0垂直，求实数α的值;

(2)当α>0时，讨论函数的单调性.

解函数定义域为(O,+∞),

求导得/(x)=2x—2+；.

(1)由已知得r(1)=2X1—2+4=-4,得”=-4.

.,a2χ2-2x+α

(2)f(x)=2χ-2+-=-------------(QO),

记/=4—8a,

①当/W0,即时，F(X)20,函数,Kr)在(0,+8)上单调递增；

②当/乂)，即时，令F(X)=O,解得为=匕中三，X2」十千元

又α>0,故X2>Λ∣>0.

当x∈(0,