2023-2024学年四川省泸县高二年级下册开学考试数学（文）试题（含答案）

2023-2024学年四川省泸县高二下册开学考试数学（文）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按

1,2,640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间［161,380］的人数为

A.10B.11C.12D.13

【正确答案】B

【详解】使用系统抽样方法，从640人中抽取32人，即从20人抽取1人.

,从编号161〜380共220人中抽取空11人.

20

故选B.

2.不等式二<0的解集为（）

x+4

A.{x∣-4<x<2}B.{x∣-2<x<4}

C.{x∣x>4或x<2}D.{x∣x>2或x<-4}

【正确答案】A

【分析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可

X—2

【详解】由——<0,得（x—2）（x+4）<0,

x+4

解得-4<x<2,

所以原不等式的解集为{x∣-4<x<2},

故选：A

3.已知则下列说法中一定正确的是（）

11ʌ

A∙m9>n9B.—<—C.mn>rn~D.

mn

yj-m<y［n

【正确答案】B

【分析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.

【详解】当加=T,〃=2时，满足加<0<拉，此时〃<∕“2,故A错误；因为团<0<〃，

所以一<O,—>O>一<—>B正确；因为〃？<0<〃，所以γnn<O,加?>O,故mn<tn2>

mnmn

C错误；当∕n=-2,〃=1时，满足〃？<0<〃，J二£=J5，JG=1，所以J——>，

D错误.

故选：B

4.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是（）

A.所有奇数的立方都不是奇数

B.存在一个奇数，它的立方是偶数

C.不存在一个奇数，它的立方是偶数

D.不存在一个奇数，它的立方是奇数

【正确答案】B

【分析】利用全称命题的否定解答即可.

【详解】由于命题“所有奇数的立方是奇数”是一个全称命题，

所以命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”.

故选：B

5.某学校举办班级间篮球比赛，甲、乙两班得分情况如茎叶图所示，甲、乙两班得分的中

位数分别是X甲，Xz,则下列说法正确的是（）

甲II乙

9189

753249

A.∕<X乙，甲比乙成绩稳定

B.X∣∣∣<X乙>乙比甲成绩稳定

C.X甲>%乙>甲比乙成绩稳定

D.海>X乙，乙比甲成绩稳定

【正确答案】C

【分析】求出甲、乙两班得分的中位数，可比较X中，Xz.的大小，根据甲乙两班得分的分布

情况，可判断其稳定性，

【详解】甲班得分情况从小到大排列为：19,23,25,27,31,其中位数9=25；

乙班得分情况从小到大排列为：18,19,24,29,35,其中位数X乙=24,

所以X甲＞x乙，

又因为乙的叶呈多峰；而甲的叶呈单峰，所以乙的方差比甲的大，所以甲比乙稳定.

故选：C.

x-y+6≥O

6.不等式组＜x+yNO表示的平面区域的面积为(〉

x＜3

A.36B.36√2C.72D.72√2

【正确答案】A

【分析】

x-y+6≥0

作出不等式组＜x+y≥O表示的平面区域为直角三角形48C及其内部的部分，求得A、

x≤3

B、C各个点的坐标，可得直角三角形力BC的面积.

x-y+6＞0

【详解】不等式组＜x+y20表示的平面区域为直角三角形力BC及其内部的部分，

x≤3

联立解得｛；］；，可得点4(一3,3),同理可得8(3,—3),C(3,9),

22

∣5C∣=1J(3-3)+(-3-9)=12，点A到直线x=3的距离为√=∣-3-3∣=6,

的面积为中CIXdiXl2×6=36∙

x-y+6≥O

因此，不等式组卜+y≥0表示的平面区域的面积为36.

X≤3

故选：A.

本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合思想的应用，属于基础题.

7.命题“3xe[l,2],χ2+χ一ɑ≤o，，为假命题，则。的取值范围为()

A.(-00,2)B.(-∞,6)

C.(-8,2]D.(f,6]

【正确答案】A

【分析】由于命题是假命题，可得其否定为真命题，然后可以建立关系即可求解.

【详解】，命题"mx∈[l,2],V+x—qvo，，为假命题，

该命题的否定"Wx∈[1,2],χ2+%—α>0”为真命题，

即f+χ-α>o在χe[ι,2]上恒成立，

[V=/+'-&在[1,2]单调递增，

∖‰in=2-a>0,解得α<2.

故选：A.

本题考查根据命题的真假求参数范围，属于中档题.

8.已知圆C过点Z(2,0),8(0,2√Σ),且圆心C在直线V=O上，则圆C的方程为

A.(x-l)2+/=9B.(x-2)2+/=16

C.(X+1)2+∕=9D.(X+2)2+∕=16

【正确答案】C

【分析】根据待定系数法求圆的方程.

22

(2-π)=rQ=-I

【详解】设圆的方程为（X—ap+V=/,由题意可得.2,，解得＜

r2=9

a2+(2√2)I=r~

则圆的方程为（X+1）2+V=9.

故选：C.

9.焦点在X轴上的椭圆£+4=1的离心率是则实数加的值是（）

mɔ

93

A.4B.一C.1D.一

44

【正确答案】A

【分析】

由题意可得/=加,/=3,则c2=q2—〃=掰一3,再由离心率是:，可得上二=一,

2m4

从而可求出实数加的值

【详解】解：由题意可得=3,则¢2=/一〃=加—3,

1所以£■ɪ

因为e二£二二一，

a2a2~4

~.tn—31

所以-----=二一,解得m=:4,

m4

故选：A

1L

10.已知实数Q>0,b>0,且一+26=2,则一的最大值为（）

aa

412

B-CD√τ∑

A.9-23-

【正确答案】B

【分析】

由1+26=2得：-=2-2b,-=b(2-2b)=2b(∖-b],利用基本不等式即可求解.

aaa

【详解】由工+得：-

26=22-2b,

aa

所以2=b(2-2b)=2b(l-b)≤2ɪ

2

b=l-ba=1

当且仅当41CLC

即《,1时等号成立,

b--

Ia2

所以2的最大值为L

a2

故选：B

本题主要考查了基本不等式求最值，属于中档题.

11.已知点尸为抛物线C：χ2=2py(p>0)上一点，且点P到X轴的距离比它到焦点的距

离小3,则P=()

A.3B.6C.8D.12

【正确答案】B

【分析】

由抛物线的定义可知点P到焦点的距离等于它到准线的距离，可得K=3,从而得出答案.

2

【详解】由题得，抛物线的准线方程为y=,

由抛物线的定义可知，点尸到焦点的距离等于它到准线的距离，

所以点P到X轴的距离比它到准线y=-g的距离小3,

于是得5=3,所以p=6.

故选：B

本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.

12.已知抛物线C:/=4χ的焦点为产，准线与X轴的交点为K,尸为抛物线C上一点，

PF

且「在第一象限，当H取得最小值时，点尸的坐标为()

1K

A.B,(1,2)C.(2,2√2)D.(4,4)

【正确答案】B

【分析】

过点尸作PE垂直于抛物线C的准线，垂足为点E,由抛物线的定义可得IpEl=IpFI,可

得中出附两L一附网COSNKPE=coSNPKF,结合图形可知，当直线PK与抛物线相切时,

∖PF∖,.

NPKF最大,则匕4最小，设直线PK的方程为X=叩一1(机>0),将该直线方程与抛

∖pκ∖

物线C的方程联立，利用A=O,求出方程组的解，即可得出点尸的坐标.

【详解】如下图所示:

过点尸作PE垂直于抛物线C的准线/,垂足为点E,由抛物线的定义可得IPEl=IP可，

抛物线。的准线为Lx=-I,则点K(T,0),

PF∖PE∖

由题意可知，P£〃x轴，则NKPE=NPKF,⅛τπ=⅛τπ=cosΛKPE=cosZPKF,

∖pκ∖∖iκ∖

P/

由图形可知，当直线PK与抛物线相切时，NPKF最大，则舄最小,

∖pκ∖

X=my-1

设直线PK的方程为x=my-l>0),将该直线方程与抛物线C的方程联立《

y2=4x

消去X得2—4my+4=0,A=I6m2—16=0，:〉0，解得〃？=1,则夕？—4y+4=0,

解得y=2,此时，x=-=↑,因此，点P的坐标为(1,2).

故选：B.

本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就

是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.在定圆上随机取三点4、B、C,则-8C是锐角三角形的概率等于.

【正确答案】-##0.25

【分析】根据题意，设N4N8,NC对应的弧度数分别为X,%兀一x-y,得到试验的全部

结果构成事件：5={(x,y)∣0<x<π,O<y<π,O<x+y<π),再根据记“是锐角

,作图，可得其概率

的值.

【详解】设N4NB,ZC对应的弧度数分别为x,y,π-x-y,

则试验的全部结果构成事件：5=∣(x,ʃ)∣0<x<π,O<y<π,O<x+j^<π),

、πππ∣

记““8C是锐角三角形”为事件A,则/=<(x,y)Q<x<-,O<y<-,-<x+y<π>9

如下图阴影部分,

结合图像，/BC是锐角三角形的概率为P(∕)=

πX

故一

4

14.已知M(4,2)是直线/被椭圆f+4y=36所截得的线段48的中点，则直线/的方程为

【正确答案】x+2y-8=0.

【详解】由题意得，斜率存在，设为k,则直线/的方程为y-2=%G-4),即kχ-y÷2-

4Λ=0,

代入椭圆的方程化简得(1+4A2)X2+(16k-32A2)x+64A2-64k-20=0.

.•㈤+X2=32K-16乜,解得Q-故直线/的方程为χ+2y-8=0,

1+4左22

故x+2y-8=0.

15.已知直线y=左(x+4)与曲线y=有两个不同的交点，则左的取值范围是

【正确答案】0,与

【分析】直线V=左(X+4)过定点P(-4,0),曲线y=∙√4-χ2表示圆心为原点,半径为2

的圆的上半部分.画出图形，结合图形可得所求的范围.

【详解】由题意得，直线J=左(x+4)过定点尸(-4,0),曲线y=∙√4-χ2表示圆心为原点,

半径为2的圆的上半部分(包括与工釉的交点)，画出图形如下图所示.

当直线y=k{x+4),即直线自一丁一4人=0与圆相切时,

则有悬=2,解得储字

结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有0≤A<

.∙.实数人的取值范围是「0,虫）.

解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图

象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题.

16.双曲线—^=l（α>01>0）的左、右焦点分别为耳、鸟,尸是E左支上一点，

且IPEI=闺用，直线尸入与圆x?+/=/相切，则E的离心率为.

【正确答案】-

3

设直线PFl与圆χ2+y2=a2相切于点M,

则IoM=。，PG，

取PFl的中点N,连接NE,

由于IPFh怛闾=2c,则NF2助,INH=IN61,

由WF=2∣OΛ∕∣=2α,

则INH=26,

即有IPKl=46,

由双曲线的定义可得IPGI-IP工1=2。，

即4b-2c=2。，即26=c+α,

4〃=(c+α)2,即4(。2-/)=(c+q)2,4(c-α)=c+α,即3c=54,

则e=%故答案为之.

33

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.己知圆心为C(4,3)的圆经过原点。

(1)求圆C的方程；

(2)求与直线3x-4y+15=0平行，且与圆C相切的直线方程.

【正确答案】(1)(x—4)2+3-3)2=25(2)3x-4γ±25=0

【分析】(1)由题意求出半径I。Cl后即可得解；

(2)设直线方程为3x-4y+c=0,利用直线与圆相切的性质d=r列出方程即可得解.

【详解】(1)圆的半径为IOCl=g+42=5

从而圆。的方程为(X—4)2+(y-3)2=25

(2)设直线方程为3x-4y+c=0,

•••圆心为C(4,3),半径为5,直线与圆相切，

∣3χ4—4x3+c∣

.∙.圆心到直线的距离为d=—一-=5

√32+42

.*.∣c∣=25,c=±25,方程为3x-4y±25=0

本题考查了圆的方程的确定和直线与圆的位置关系，属于基础题.

18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间

>.[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

(2)根据频率分布直方图，估计这IOO名学生语文成绩的平均数与中位数∙

2

【正确答案】(1)α=0.005(2)平均数为73,中位数为.71—

3

【分析】

(1)由频率和为1求解即可；

(2)以各区间中点值代表各组的取值,进而求得平均数；求出从左边开始小矩形的面积的和

为0.5对应的横轴的值即为中位数

【详解】(1)由频率分布直方图知(2α+0.02+0.03+0.04)χl0=l,

解得α=0.005

(2)估计这100名学生语文成绩的平均分为：

55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73

由⑴，设中位数为X,则0.005x10+0.04x10+0.03(X-70)=0.5

22

解得X=71—,故估计中位数为.71—

33

本题考查频率的性质,考查利用频率分布直方图求平均数和中位数,考查数据处理能力

19.已知函数/(x)=χ2-(α-l)χ+α-2,α∈R.

(1)若函数/(尤)的图象关于直线X=—1对称，求实数。的值，并写出函数I=J/(x)的

单调区间；

(2)解关于X的不等式/(x)≤X-l.

【正确答案】(1)a=T;单调递增区间为[1,+8),单调递减区间为(-8,-3]

(2)答案见解析.

【分析】(I)利用二次函数的对称轴可求得α=T；利用复合函数的单调性可求得

y=J∕(χ)的单调区间;

(2)将/(x)≤X-l化简为一元二次不等式，确定其对应方程的两根，并讨论两根的大小,

从而确定不等式解集.

【小问1详解】

由题意函数/(x)=χ2—(α-l)x+α-2,q∈R,

由函数/(x)的图象关于直线X=-I对称，可得-=T,则α=-l,

此时y=Jχ2+2χ-3,定义域为(-8,—3]3L+00)，

N=X2+2χ—3在[-l,+∞)单调递增，y=F+2χ—3在(→≈,T]单调递减，

故尸G+2χ-3的递增区间为[l,+∞)，单调递减区间为.(-∞,-3]

【小问2详解】

不等式/(x)≤X-1即χ—-(α—1)X+α-2≤X-1化简为：[x—(a-—1)≤0,

对于y=[x-(a-l)](x-l),其图象抛物线开口向上，且[x-(a-l)](X-I)=O有两根1

和Q—1,

①“=2时，此时两根相等，则[x-(a-l)](X-I)WO的解集为｛1｝.

②"2时，jlWa-l<l,则不等式解集为["1,1]∙

③。>2时，此时a-l>l,则Xe[l,a-1].

综上所述，当a<2时，不等式的解集为[a-l,l];当a=2时，不等式的解集为｛1｝；

当a>2时，不等式的解集为

20.已知点4-2,0),5(3,0),动点尸(XJ)满足.」・丽=/_6

(1)求动点尸的轨迹；

(2)已知点心0),若曲线E上一点M到X轴的距离为卜求Fl的值.

【正确答案】(1)焦点在X轴，开口向右的抛物线；(2)y

【分析】（1）计算得到莎•丽=χ2-χ-6+∕=χ2-6,化简得到答案.

（2）计算得到XMɪɪ,再计算IMFI得到答案.

【详解］⑴PA=（-2-x,-y）,PB^（3-x,-y）,.∙.PAPB=x2-x-6+y2^x2-6,

即：V=X点P的轨迹为焦点在X轴，开口向右的抛物线.

（2）由题意可得：加=±；代入方程求得X,”=；.

∖MF∖=X+^-=-+-=-.

Λ'wU2442

本题考查了轨迹方程，抛物线焦半径公式的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.

21.如图，在三棱锥P-ZBC中，已知AABC和APBC均为正三角形，。为BC的中点.

⑵若AB=2,PA=也,求三棱锥P-ZBC的体积.

【正确答案】（1）证明见解析；

⑵叵

2

【小问1详解】

因为A48C和APBC为正三角形，。为BC的中点，

所以/D，8C,/Y)_LBC,

又4DIPD=D,

所以BC人平面尸Z0

【小问2详解】

因为A48C和APBC为正三角形，且48=2,

所以AD=PD=2AB=也,

2

又PA=M，

所以正三角形AP/。的面积为S=¥、(JJy=乎，

所以VP-ABC~2%ΛW=2X§XBD-SΛPAD=2×-×1×=ɪ•

22.已知动圆〃过点耳(-2,0),且动圆M内切于定圆B：(x-2)、/=32,记