2023-2024学年四川省成都东部新区高二年级下册期中考试数学(理)试题（含答案）

2023-2024学年四川省成都东部新区高二下册期中考试数学(理)

试题

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.已知集合/={1,2,3,4},8=卜|--》-6<0},则［c8=()

A,{2}B.{l,2}C.{2,3}D.{l,2,3}

2.如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是

()

甲乙

O8

75111268

42202022

323I

A.甲所得分数的极差为22

B.乙所得分数的中位数为18

C.两人所得分数的众数相等

D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

3.已知向量α=(6,ι),B=",Ji),则向量不在向量万方向上的投影为()

A.-√3B.√3C.-C.-lD.1

x+2y-2≤0

4.若实数Xj满足约束条件<x—120,则z=x-2y的最小值为()

y≥0

A.0B,2C.4D.6

5.若ɑ*e(万/),且Sina=^^,sin(α—，则sin/?=()

11

ʌf4c.一D.-

210

.(π∖

sinπx+-,x≤0/、/、

6.已知函数/(x)=<IðJ，则/(-2)+/⑴=()

2"+l,x>0

A.6+GB.6-百ID.*

22c22

7.A48C中，角4氏C的对边分别为α,b,c,.若向量机=(α,-coM),〃=(CoSC,√¾--,

且而G=0，则角〃的大小为()

RTlTlπ

A.—B.—C.—D.-

6432

8.执行如图所示的程序框图,则输出的机的值为()

开始

S=O,∕w≡l

A.5B.6C.7D.8

9.若矩形ZBCQ的对角线交点为。'，周长为4w，四个顶点都在球。的表面上，且

00'=G，则球。的表面积的最小值为()

*B.竽C.32,D.4航

22

10.已知函数/(X)=(X+ax+l)e∖贝旷cι=也”是“函数/(x)在X=T处取得极小值”

的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

11.已知双曲线C：A-4=l(α>0,b>0)的左，右焦点分别为大(一C,O),E(C,0),又点

6Zb

.若双曲线C左支上的任意一点M均满足IMI+1〃Nl>4b,则双曲线C的

离心率的取值范围为()

A∙(孚,qB,(√J,√Γi)

C(I,U(∙χ∕J,+<x>)D.(l,√5)0(√13,+□θ)

12.若关于X的不等式XInX-Aɪ+2左+1〉O在(2,+e)内恒成立，则满足条件的整数左的最

大值为()

A.2B.3C.4D.5

第∏卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.某公司一种新产品的销售额歹与宣传费用X之间的关系如下表：

X(单位：万元)01234

y(单位：万元)1015203035

已知销售额V与宣传费用X具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为:P=R+9,则A

的值为.

X=2cos6

14.己知曲线CM.ZI(。为参数).若点P在曲线C上运动，点0为直线

P=sm8

Γ.x+2y-4√2=0上的动点，则|尸。|的最小值为.

15.已知/(x)是定义在上的奇函数，其导函数为/'(x),/H=J∑,且当

X∈(θ,ɪj∕,(x)sin2x+2/(x)cos2x>0.则不等式/(x)sin2x<1的解集为

16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/.若位于X轴上方的动点A在准线

∖AF∖..

/上，线段NR与抛物线C相交于点6,且丹一“丹=1，则抛物线C的标准方程为

∖BI'∖

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

17.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=x3-30x+2,曲线y=∕(χ)在x=l处的切线方程为3x+y+m=0.

（1）求实数0,加的值；

（2）求/（χ）在区间［1,2］上的最值.

18.（本小题满分12分）

已知等比数列｛q,｝的前〃项和为S,公比0>1,且%+1为6，4的等差中项，§3=14.

（1）求数列｛4｝的通项公式

（2）记4=α,,∙l0g2q,,求数列｛4｝的前〃项和7；.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PALPD,

ADLCD,ΛBAD=60o,M,N分别为4D,P4的中点.

（1）证明：平面JSMN〃平面PCP；

⑵若AD=6,CD=C，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C:工+4=l（α〉b〉0）的左、右焦点分别为大（—百,0）,居（百,0）,且该椭圆过

ah

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点3（4,0）作一条斜率不为O的直线/,直线/与椭圆C相交于P,。两点，记点尸关

于X轴对称的点为点P',若直线P'。与X轴相交于点O,求A。。。面积的最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=axex~~χ2~x-

（1）讨论/（x）在（O,+e）上的单调性:

（2）若α>0时，方程/（元）=111》一；/有两个不等实根演，巧，求证.x∣X2>e2FF

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系Xay中，过点P（1,1的直线/的参数方程为《1.α为参数）.以坐

[^=l+∕sιnα

标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。=4COS氏

（I）求曲线C的直角坐标方程；

II

（2）若直线/与曲线C相交于43两点，求----+-----的最小值

∖PA∖∖PB∖

试题答案

一、选择题

1-5BDAAB6-1OCBBCA11-12CA

二、填空题：（每小题5分，共20分）

2∕10（ππ∖ɔ

13.6.514.---Λ----15.1-^"g"5"g"J16.y—2x

三、解答题：共70分.

17.解：⑴/'(X)=3χ2-34,

∙.∙曲线/lx)=/—36+2在X=I处的切线方程为3x+y+∕n=O,

八1)=3-3。=-3

解得α=2,m=0.

/(l)=3-3α=-3-w

(2)由(1)知，/a)=/—6χ+2,则/'(x)=3χ2-6,

令/'(x)=0,解得χ=±√I,

.∙.∕(χ)在［1,√∑)上单调递减，在(J5,2］上单调递增，

又/⑴=1—6+2=—3,/(2)=23-6×2+2=-2,

/(√2)=(√2)3-6×^^+2=2-4√5^,

二/(χ)在区间［1,2］上的最大值为一2,最小值为2—4J5.

18.(1)由题意,得2(/+1)=%+的"又‘3=%+。2+。3=14，

2(4+1)=14—々g=4,

41

'.'S3=—+4+4<y=14,.•.<7=2或4=—,

42

'：q>∖,：.q=2.

2

an—d-,q"-4,2"-2=2".

(2)由(1),知=2"..∙.%=4,jlog24=2"∙”.

23nn

.∖Tll=l×2'+2×2+3×2+∙∙∙+(rt-l)×2^'+n×2.

234nn+

.∙.2Tn=l×2+2×2+3×2+∙∙∙+(n-l)×2+∕7×2'.

234n+

.∖-Tn=2+2+2+2+---+2"-n×2'

2(∖-2"]

=-i------^--n×2"+'=(l-rt)2,,+'-2∙

1-2v,

AT；,=(π-l)2n+l+2.

19.(1)连接BDAB=AD,NBAD=60°

:.&4BD为正三角形.

M为ZO的中点，BMIAD.

VAD±CD,CD,BMU平面ABCD,BM//CD

又BMZ平面PCD,u平面尸CQ,:〃平面PcD.

M,N分别为4。,PA的中点、，：.MN〃PD

又MNN平面PCD,P。U平面PGD,,MN〃平面尸CZλ

又BM,MNu平面BMN,BMCMN=M,

・•・平面BMN〃平面尸CD.

(2)连接PM.

平面尸ZDl平面ZBCZ>,平面NBCQC平面PZD=4D,PMU平面PZZ),

PMLAD，:.PMmABCD

又BMLAD,:./8,MO,MP两两垂直

以用为坐标原点，砺,砺,标的方向分别为X轴，y轴，Z轴的正方向，建立如图所示

•;AD=6,CD=也,则"(0,0,0),P(0,0,3),Z(0,-3,0),

N(OLl,∣],5(36,0,0),C(6,3,0)

ɪ'ɪ'

设平面BWN的法向量加=(x∣,乂,z∣),平面BC尸的法向量〃=(%，%/2)

ɜvɜɪi—O

in∙MB=O

，由得(33可取方=(0,1,1)

in-MN=O一ʃl+-ɪi=O

I22'

∙.∙BC=(-2√3,3,0),5?=(-3^,0,3)，

n∙BC=O-2,∙^3X2+3%=θ

由可取元=(JJ,2,3)

n-BP=O[-3√3X2+3Z2=0

ih∙n2+355√2

.∙.COS〈成,万〉=

所Il万I√2×√16^4√2^8

c/7

•••平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值为ɪ

8

20.(1)由椭圆的定义可得2α=∣Z耳∣+∣ZFj

=J(2百『+出+；=4,

解得〃=2.

又y=a2—(V3)2=1,

所以椭圆C的标准方程为三+丁=1

4-

（2）由题意可设直线/的方程为x=wy+4（〃?≠0）.

设P（XI,凹）,。（％2，%），则P（Xl，一%）•

X=my4,

2

由＜X2_1'肖去X可得2+4)J?+8叩+12=O

彳+y=1，

∙.∙Δ=16(w2-12)>0,.∙.w2>12

一8〃？12

2,122

Λ+y2m+4-''m+4

,Λ+Λ-y2+yi

w一玉〃?（％一凹）’

二直线PQ的方程为V+必=)(xτJ∙

/W(V9-V1)V1

令y=O,可得X=-------------^-+myx+4

8+必

2加12

.-.X=+4=J⅛÷4+4=驷+4=L，。(1,0)

y1-Fy2一丽-&7?

W2+4

∙'∙SADPQ=∣SABQ0-SABDP|=~IBDH必一%|=3/(弘+%)-4%为=~^^ʒ-------

22v"+4

令r=J加2-12/∈(0,+∞)»

_6，_63

则SADPO=J+16=]6”K当且仅当1=4,即加=±2近时等号成立，

14----

t

.∙.△。尸。面积的最大值为三3

4

21.(1)由题意得/'(x)=α(x+l)e*-x-I=(X+l)∙(αe*-l).

因为χ>0,所以x+l>O.

x

当α≤0时，βe-l<0,/'(x)<0,所以/(x)在(0,+功上单调递减.

当。>0时，令QeX-I=0，则X=-In

①若α≥l,则X=-InaWO,当x>0时，*㈤〉。,所以/(x)在(0,+功上单调递增;

②若O<α<i,则X=-Ina>0,当Xe(O,-Ina)时,∕,(x)<0,所以/(x)在(0,-Ina)上

单调递减;当x∈(-lnα,+∞)时，*(x)>0,所以/(x)在(-lnα,+OO)上单调递增.

综上，

当α≤0时，/(x)在(0,+功上单调递减；

当α≥l时，/(x)在(O,+e)上单调递增；

当owl时，/(x)在(0,-Ina)上单调递减，在(—Ina,M)上单调递增.

(2)证明：方程/(x)=InX-5xt即axex-InX—x=O，

因为OXex—(InX+x)=O,则axe"-In(XeJC)=0,

令f=xe'(x>0),f=(x+l)ev>0,所以函数/=χe'在(。,+司上单调递增,

x2

因为方程依砂一(InX+x)=0有两个实根外,Xz，令f[=x∣e*,t2=x2e,

则关于f的方程G-Inf=O也有两个实根f∣,t2,且f∣≠f2,

要证XIX2〉e2^x'~x2>即证Xlerl∙X2e*>e2,即证£也>e2,即证ln∕∣+In^>2,

at,-Int.)

1Qa-%2=ln(-InZ2Z1+t2_InZ1÷InZ2

1,整理可得

at-IntQ(4+，2)=Inf1+InZtλ-t2In∕∣-InZ2

{222