2021-2023年高考数学真题分类汇编七：平面解析几何选择题

专题07平面解析几何（选择题）

近三年高考真题

知识点1：直线与圆的位置关系

1.（2023・新高考1）过点（0,-2）与圆/+/一叙-1=0相切的两条直线的夹角为。，则sina=（)

A.1B.—C.—D.—

444

【答案】B

【解析】圆V+y2-4x-l=0可化为（x—2尸+产=5,则圆心C（2,O）,半径为r=石；

设P（O,-2）,切线为PA.PB,则PC=V22+22=2>/2,

4c中，

reiq.c.aayfsy/3V15

所以sma=2sin—cos—=2x—=x--==-----

222V22V24

2.（2022•北京）若直线2x+y-l=0是圆（x—。尸+丁=1的一条对称轴，贝。。=（）

A.-BC.1D.-1

2-4

【答案】A

【解析】圆+y2=1的圆心坐标为（a,o）,

.■直线2x+y-1=0是圆（x-a）2+）/=1的一条对称轴,

圆心在直线2x+y-l=0上，可得2a+0-l=0,即”=g

故选：A.

3.（多选题）（2021•新高考H）已知直线/:ax+勿-产=0与圆C:x2+丁=/,点A（a,6）,则下列说法正

确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离

C.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

D.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

【答案】ACD

【解析】A中，若A在圆上，则"+从=/，而圆心到直线/的距离d=—==|H，所以直线与圆相切，

即A正确；

8中，点A在圆C外，则而圆心到直线/的距离1二-^二^川，所以直线/与圆相交，所

sja2+b2

以3不正确；

C中，点A在直线/上，则/+"=户，而圆心到直线/的距离二=-'=|川,所以直线/与圆相切，所

4a2+b2

以C正确；

。中，点A在圆C内，则2c产，而圆心到直线/的距离d=-7=上=>|r|,所以直线/与圆相离，所

yla2+b2

以。正确；

故选：ACD.

知识点2：轨迹方程及标准方程

4.（2022•甲卷（文））已知椭圆C：r+4=l（a>Z?>0）的离心率为-，4，为分别为。的左、右顶点，B

a3

为C的上顶点.若BA/B42=T,则。的方程为（）

22

A/9xy

A.1=1B.—+—=1

181698

【答案】B

22

［解析】由椭圆的_离心率可设椭圆方程为JX+Jv=1（/71>0）,

9m~8"

贝！I^(-3^1,0),A2(3/n,0),B(0,2>/2A/0,

由平面向量数量积的运算法则可得：

222

BA^-BA2=(—3m,—2y/2m)•(3m,—2\f2m)=—9〃?+8/n=-1,m=1,

29

则椭圆方程为三+汇=1.

98

故选：B.

22

5.(2023•天津)双曲线二-斗=13>0力>0)的左、右焦点分别为士，尸2.过居作其中一条渐近线的垂

ab

线，垂足为P.已知|P^|=2,直线P耳的斜率为号，则双曲线的方程为()

A.二上1C犬

D=1

844842-T-T

【答案】D

【解析】因为过［(c,0)作一条渐近线y=\x的垂线，垂足为P,

be

贝|JIPF1==b=2,

2da2+/

所以5=2①,

b

y=­x2

ab即a2ab

联立1a可得x=Zy=—，即r（—，——），

c

ab

因为直线PFX的斜率=变，

a"4

—+c

c

整理得逝(/+/)=4必②，

①②联立得，ci=V2,b=2,

29

故双曲线方程为工-E=l.

24

故选：D.

LV2V2

6.(2022•天津)已知抛物线丁=4后，片，居分别是双曲线=-==1(。>08>0)的左、右焦点，抛物

a"b

线的准线过双曲线的左焦点月，与双曲线的渐近线交于点A,若/耳且A=?,则双曲线的标准方程为(

）

22

A.——y2=1B.V—21=1C,炉一匕二1D.——y2=1

101644

【答案】C

【解析】由题意可得抛物线的准线为l=-6，又抛物线的准线过双曲线的左焦点线，

x=-c

：.C=y/5,联立Jb可得|%|=上，又N耳居A=工,

y=——xa4

a

•・J%1=1百心I，

be/2

—=2cf.,.b=2a»:.b=4a,

a

又=。2+氏

.・.5=。2+4/,

a2=1,b1=4,

双曲线的标准方程为x2-f=1.

4

故选：C.

22

7.(2021•北京)双曲线C:餐-2=1的离心率为2,且过点(应，石)，则双曲线的方程为()

a2b-

92

A.2x2-y2=1B.x2-^-=lC.5x2-3y2=lD.三-汇=1

326

【答案】B

22

【解析】因为双曲线,台I过点(日

则有W-W=1①，

ab

又离心率为2,

则e=2=J1+<=2②,

a\a

由①②可得，"=1,白=3,

2

所以双曲线的标准方程为了2—匕=1.

3

故选：B.

8.(2021•浙江)已知a,bwR,ab>0,函数/(x)=or2+b(xeR).若f(sT),f(s),f(s+f)成等比数

列，则平面上点(s,f)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【解析】函数/(力=/+匕,因为/(ST),f(s),y(s+r)成等比数列，

则f2(s)=f(s-t)f(s+t),BP(as2+b)2=[a(5-t)2+b][a[s+t)2+b],

即a2s4+labs2+ft2=a2[(s-t)2(6+]+ab(s-1)2+ab(s+t)2+b2,

整理可得a2r4-2a2s2t2+2abt2=0,

因为H(.at4-2as2t2+2bt2=0,即3(a产-2as?+啰)=o,

所以r=0或-2as2+2。=0,

当f=0时，点(s,f)的轨迹是直线；

2,2

当2s2+28=O,即竺---=1,因为H>>0,故点(s,f)的轨迹是双曲线.

ah2b

综上所述，平面上点(SJ)的轨迹是直线或双曲线.

故选：C.

知识点3：椭圆的几何性质

9.(2023・甲卷(理))已知椭圆§+卷=1,耳，鸟为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos4；P乙=1,

贝打尸0|=()

A.2B.叵C.3D.叵

5252

【答案】B

22

【解析】椭圆土+二=1,K，尸2为两个焦点，c=6

96

。为原点，P为椭圆上一点，COSZF]PF2=^

设|PF1|=m,|PF21=n,不妨m>n,

222

可得机+"=6,4c=nr+it—2mncosZ.F[PF2,即12=>+"一号,用？，可得加〃=1^,nt+n=21,

PO=g(PR+PB)'

122

可得|PO|2=z(P/f+Pg+2PKPB)

22

=；(in+n+2mncosN耳PF2)

、

=—1(/m2"+n+—mn)

45

=1(21+9占3.

4522

可得|20|=叵.

2

故选：B.

知识点4：双曲线的几何性质

10.(2023•乙卷(文))设A,5为双曲线d-£=l上两点，下列四个点中，可为线段A5中点的是(

9

)

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【解析】设A(X1,yj,B(X2,y2),A5中点为(毛，%),

2

-29>=1①

2

%

-9一=1②

①-②得如=旦jx五选=9x±,

"4%+%为

即一3＜9x豆＜3=」＜包/，

%3%3

即为＞3或九＜-3,

不与

故A、B、C错误，£＞正确.

故选：D.

2。

11.(2021•甲卷(文))点(3,0)到双曲线上一上=1的一条渐近线的距离为()

169

、9D8k6n4

5555

【答案】A

22

【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为工-二=0,即3x±4y=0,

169

结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x-4y=0的距离，

则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离d=-f0=-0^==-Q.

V9+165

故选：A.

知识点5：抛物线的几何性质

12.(2022♦乙卷(文))设F为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点3(3,0),若|A用=|8尸则|A3|=(

)

A.2B.2忘C.3D.3夜

【答案】B

【解析】F为抛物线C：V=4x的焦点(1,0),点A在C上，点8(3,0),IAFR3用=2,

由抛物线的定义可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|=J(3—1尸+(-2)2=2行.

故选：B.

13.(2021•新高考H)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+l的距离为夜，则p=()

A.1B.2C.2>/2D.4

【答案】B

【解析】抛物线y2=2px(p>0)的焦点或，0)到直线y=x+l的距离为日

|^-0+1|

可得—=五,解得p=2.

72

故选：B.

知识点6：弦长问题

22

14.(2023•甲卷(理))已知双曲线京=力>0)的离心率为口其中一条渐近线与圆

(x—2f+(y—3『=1交于A,B两点,则|AB|=()

A1R6「264石

5555

【答案】D

22

【解析】双曲线C:二Y-二=1(。>0,。>0)的离心率为行，

6rb~

可得。=百。，所以b=2a,

所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,

一条渐近线与圆(x-2f+(y-3)2=l交于A,B两点，圆的圆心(2,3),半径为1,

圆的圆心到直线y=2x的距离为：耳昌=J=，

Vl+4V5

所以IAB|=2

故选：D.

15.(2023•甲卷(文))己知双曲线C:=1(a>0/>0)的离心率为石，C的一条渐近线与圆

a~b-

(x—2下+(y—3>=1交于A,B两点，则|AB|=()

A石n2石„375n4^5

A.r>.-------C.-------.-------

5555

【答案】D

r2v2

【解析】双曲线C:与-与=13>0乃>0)的离心率为海，

ab-

可得c=yfSa,所以b=2a,

所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,

一条渐近线与圆(l-2)2+(丁-3)2=1交于4,8两点，圆的圆心(2,3),半径为1,

圆的圆心到直线y=2x的距离为：*J=

71+4V5

所以IAB|=2

故选：D.

知识点7：离心率问题

16.(2023•新高考I)设椭圆G：「+y2=l(a>l)，C,:二+丁=1的离心率分别为乌，%.若

a~4

则。=()

A.—B.72C.£D.76

3

【答案】A

【解析】由椭圆。2：9+丁=1可得%=2,

fe,=1,c2=<4—1=>/3,

二椭圆C2的离心率为02=日，

a：=4c；=4（"-彳）=4（a：-1）,

2后t2x/3

a=------或〃=-----(舍去).

33

故选：A.

22

17.（2022•甲卷（理））椭圆C:♦+当=1（。>>>0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若

ab

直线小，A。的斜率之积为1,则C的离心率为（）

4

3受

11

A.2B.22-D.3-

【答案】A

［解析］已知A(-©0),设P(xQ,%),则Q(—/，%），

^AP%

“AQ=X）

故心尸,&A0=>0>0

x+a缶F

04一/

22b2(a2—x；)

②,

a2

b21

②代入①整理得：=二一,

CT4

b2g

'22

故选：A.

18.（2021•甲卷（理））已知耳，K是双曲线。的两个焦点，P为C上一点，且/月26=60。，|P币=3|尸6|,

则C的离心率为（)

C币D.孚

A.百B.V13

2

【答案】C

【解析】设|P£|=m,|「鸟|=〃，

则根据题意及余弦定理可得:

6

tn=3n吁直

1m2+n2-4c2»解得，

2

122mnn=—f=c

.•.所求离心率为至=2c2c_V7

2am—n42

故选：C.

19.（多选题）（2022•乙卷（理））双曲线C的两个焦点为月，F2,以C的实轴为直径的圆记为。，过F/乍

。的切线与C交于〃，N两点，且cosN耳则C的离心率为（）

A石R3g西

A.D.-v.-----U.----

2222

【答案】AC

22

【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为三-斗=1（。＞0力＞0）,

所以砍=y/OF^-OP2=\lc2-a2=b,

过点工作EQ，MN于点。，

所以0户〃居Q,又O为片工的中点，

所以|6。|=2|「£|=2匕，|QEI=2|OP|=2a,

因为cosN耳朋=|，/F\NF[V%,所以sinNf；NE=g,

所以।附＞.既叩=%则IM21=1NF21.cosN耳NE=£

sin"[NF222

所以|NfJ=|NQ|+|f；Q|=¥+2%,

由双曲线的定义可知INK||=2a,

所以即+2b-%=2a,可得»=3。，即2=2,

22a2

情况二：当直线与双曲线交于一支时，

如图，记切点为A,连接OA,贝U|Q4|=a,|耳A|=6,

过尸2作鸟于3,贝听心B|=2a,因为所以|叫|=券，|N8|=等,

\NF2\-\NFt\=^--(^-2b)=a+2h=2a,即a=2Z>,

所以e=：=j+，=jZJ=弓，A正确.

故选：AC.

20.（2021•乙卷（理））设8是椭圆C:三+斗=lm＞人＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|”2b,

ab~

则C的离心率的取值范围是（）

A.卓，1）B.[1,1）C.（0,当]D.（0,1]

【答案】C

【解析】点B的坐标为（0力），设尸（不，%）,

4+4=1-

ah'

故|尸例2=%+(%-6)2=〃2(1一患_)+(%-6)2=一齐另一孙+〃2+凡%£[_〃，b]f

又对称轴y=--7＜0，

Qc

当—~b时,即》.C时,

则当为=4时，|P8『最大，此时1PBi=2"

故只需要满足即从则/-02"2,

所以e哈今

又0<e<l,

故e的范围为（0

6?

当——>—b时,即bvc时,

则当为=-彳时，|PB『最大，

A41

此时|必|2=勺+。2+»=勺+2/+。2.2/原1・。2+2〃=4",

ccVc

当且仅当冬=C2即。=C时等号成立，

又bvc,所以|尸3『>4/,即|P8|>2〃，

故不满足题意，

综上所述的e的范围为（0,等］,

方法二：根据题意，有3(0,份，设P(x0,%),则|PB|麴鲂ox：+(%-b)24凡

2

也即。2(1噜)+(%-犷,疝，

不妨设b=l,则1],面―1)乂+2%-/+3..0,

22

也即H>(yo+i)[(a-Dyo-«+3J..o,

也即V为£[―1»1],(cT—1)%—a-+3..0,

从而可得(片-1)(-1)-。2+3..0oae(1,72],

从而离心率的取值范围为（0,

故选：C.

22

21.（2021•天津）已知双曲线斗-马■=1（。>0/>0）的右焦点与抛物线丁=2px（p>0）的焦点重合，抛物线

ab"

的准线交双曲线于A,3两点，交双曲线的渐近线于C,D两点,若|CZ）|=x^|A8|,则双曲线的离心率

为()

A.5/2B.y/3C.2D.3

【答案】A

【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为x=-K,

2

由题意可得：K=77寿，渐近线的方程为：y=±-x,

2a

可得4-，“2+右，L),B(-J/+/2,_L),

aa

aa

所以|A8|=更，|CO|=2g+.),

aa

由|C£>|="A8|,

解得：c=E，所以双曲线的离心率e=£=夜，

a

故选：A.

知识点8：焦半径、焦点弦问题

22.(2023•甲卷(文))设不工为椭圆。:与+丁=1的两个焦点，点P在C上，若尸耳/鸟=0,则

\PF,\\PF1\=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】根据题意，点p在椭圆上，满足P/「PK=O,可得/耳2g=1，

又由椭圆C:土+产=1,其中。2=5-1=4,

5

222

则有IPK1+1PK|=2。=2石，|PF、|+|PF2|=(2C)=16,

可得|「耳|・|。鸟1=2,

故选：B.

23.(2023•北京)已知抛物线C:V=8x的焦点为尸，点何在C上,若M到直线x=-3的距离为5,则用=(

)

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【解析】如图所示，因为点M到直线x=-3的距离|MR|=5,

.•.点M到直线x=-2的距离\MN\=4.

由方程V=8x可知，*=-2是抛物线的准线，

又抛物线上点M到准线x=-2的距离和到焦点F的距离相等,

故|MFHM/V|=4.

故选：D.

24.（多选题）（2023•新高考II）设O为坐标原点，直线y=-白。-1）过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点,

且与C交于M,N两点，/为C的准线，则（）

Q

A.p=2B.

C.以MN为直径的圆与/相切I）.AOMN为等腰三角形

【答案】AC

【解析】直线尸过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，可得勺1,所以〃=2,

所以A正确；

抛物线方程为：丁=©,与C交于M,N两点，

直线方程代入抛物线方程可得：3x2-10x+3=0,

10

xM+/=y

所以|MN|=XM+/+0=与，所以8不正确；

M,N的中点的横坐标：中点到抛物线的准线的距离为：1+3=号，

333

所以以MN为直径的圆与/相切，所以C正确；

3x2-10x4-3=0,

不妨可得X”=3,漏=:，坨=-26，/=竽^，

|。M|=，9+12=向,|CW|=/+£=半,|MW|=y,

所以AOMN不是等腰三角形，所以。不正确.

故选：AC.

25.(多选题)(2022•新高考I)已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C:》？=2p)，(p>0)上，过点5(0,-1)

的直线交C于尸，。两点，则()

A.C的准线为y=-lB.直线AB与C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA\1D.\BP\\BQ\>\BA^

【答案】BCD

【解析】点4(1,1)在抛物线C:d=2py(p>0)上，

2p=l,解得p=L

抛物线C的方程为f=y,准线方程为y=-选项A错误；

由于8(0,-1),则原B=1T—D=2,直线A3的方程为y=2x-l,

1—0

联立1>,=2》一1,可得炉―2x+l=0,解得x=l,故直线43与抛物线C相切，选项5正确；

[x'=y

根据对称性及选项8的分析，不妨设过点3的直线方程为y=fcc-1仅>2),与抛物线在第一象限交于

yj,Q(X2,y2),

2

联立2，消去y并整理可得x—A%+1=0,则xt+x2=k,%%=1,

[y=x

2

»2=(g-D(m2-1)=kxtx2-k(xt+x2)+1=1,

10Pl-|OQ|=Jx：+.J*??+%2-J2X1加•=R当々y%=243|2，由于等号在x,=x,=y,=y2=1

时才能取到，故等号不成立，选项C正确；

272

18Pli8Q卜小以+(乂+1)2."以+(%+1)>收+4乂-｛芯+4y2=扃'=5axi%)=5=jBA『，选项。正

确.

故选：BCD.

26.(多选题)(2022•新高考II)已知O为坐标原点，过抛物线C:V=2Px(p>0)焦点F的直线与。交于A,

8两点，其中A在第一象限，点M(p,0).若|AF|=MM|,贝lj()

A.直线45的斜率为26B.|O8|=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【解析】如图,

2

由抛物线焦点弦的性质可得则则8（1

5-0

kAB=kAF=——=2\/6、故A正确；

4~2

|0例=/§+午=率,|0尸地，\OB\AOF\,故B错误;

\AB\=^-+^+p=^->2p=4\OF\,故C正确；

|OA『=誓，|08『=号|必2=考，18M『=等，w

\OA\"+\AM|2>|0M『，|。例2+1BM|2>|0M|2,

ZOAM,NO8W均为锐角，可得NO4M+NC®W<180。，故。正确.

故选：ACD.

知识点9：范围与最值问题

27.（2023•乙卷（理））己知：O的半径为1,直线必与。相切于点A,直线尸B与O交于8,C两点,

。为BC的中点，若|P0|=及，则P4P。的最大值为（）

.1+V2口1+2夜

C.1+V2D.2+V2

22

【答案】A

【解析】如图，设NOPC=a,则一工效卜7T

47

根据题意可得：ZAPO=45°,

二.尸APD=|PA||PD|-cosg+马

=1xV2cosacos((2+—)

4

=cos2a-sinacosa

_1+cos2a-sin2a

2

=-+—cos(2a+—),又一工效h—,

22444

.••当20+工=0,a=--,cos(2a+马=1时,

484

尸PO取得最大值,+也.

22

28.（2021•北京）已知直线y=依+加（加为常数）与圆d+9=4交于“，N、当女变化时，若|MV|的最

小值为2,则加=（）

A.±1B.±72C.土D.±2

【答案】C

【解析】圆C:x?+y2=4,直线/:y=Ax+/n,

直线被圆C所截的弦长的最小值为2,设弦长为a,

则圆心C到直线/的距离1=

当弦长取得最小值2时，则d有最大值"彳=G,

又d因为F..0,则+

Jl+k2

故d的最大值为I团1=G,解得,*=±6.

故选：C.

29.（2021•新高考I）已知4，工是椭圆C:]+?=l的两个焦点，点”在C上，则的最大

值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

22

【解析】F,,乃是椭圆C:/+?=l的两个焦点，点M在C上，|M/"+|g|=6,

所以|何可|.|桃|,,（吆口乎空1）2=9,当且仅当|班|=|次|=3时，取等号，

所以|知耳卜|“g|的最大值为9.

故选：C.

30.（2023•乙卷（文））已知实数x,y满足丁+丁-4》-2丫-4=0,则x—y的最大值是（）

A.1+—B.4C.1+3近D.7

2

【答案】C

【解析】根据题意，x2+r-4x-2.y-4=0,即（x-"+（y-l>=9,其几何意义是以（2,1）为圆心，半径

为3的圆，

设2=%-丁，变形可得x-y-z=O，其几何意义为直线x-y-z=O，

直线y=x—z与圆。-2）2+（）-1）2=9有公共点,则有与±2,3,解可得1-3应励1+372,

Vi+i

故x-y的最大值为1+3夜.

故选：C.

2

31.（2021•乙卷（文））设8是椭圆C:土+丁=1的上顶点，点P在C上，贝ij|PB|的最大值为（)

A.-B.>/6C.x/5D.2

2

【答案】A

【解析】B是椭圆C:曰+丁=1的上顶点，所以3（0,1）,

点P在C上,设P(石cos。，sin(9),6>e[0,2zr),

所以IP81=\/(y/5cos0-0)2+(sin0-1)2="cos'，-2sin6+2

=\l-4sin20—2sin0+6=J-4(sin0+；)2+当

当sin6=-；时，|PB|取得最大值，最大值为

故选：A.

32.（多选题）（2021•新高考I）己知点尸在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点A（4,0）,8（0,2）,则（）

A.点尸到直线的距离小于10B.点尸到直线的距离大于2

C.当NP8A最小时，|PB|=3四D.当NPB4最大时，|尸8|=3&

【答案】ACD

【解析】4(4,0),8(0,2),

.•.过A、3的直线方程为:+]=1,即x+2y-4=0,

圆(x-5)?+(y-5)2=16的圆心坐标为(5,5),

圆心到直线x+2y-4=0的距离〃=^^1^=?=座>4,

Vl2+22V55

点P到直线AB的距离的范围为[增-4,乎+胤，

116<1175.,1175.

<5,/.4<1,+4<10in,

5---------5------------5

.•.点P到直线的距离小于10,但不一定大于2,故A正确，B错误；

如图，当过5