2022-2023学年高二数学上学期期中期末练习04 直线和圆的方程（难点） 含解析

专题04直线和圆的方程(难点)

一、单选题

1.过坐标原点。作直线/：(α+2)x+(l-α)y-6=0的垂线，垂足为〃(s,f),则一+产的取值范围是()

A.[θ,2√2]B.(θ,2√2]C.[θ,8]D.(0,8]

【答案】D

【分析】根据给定条件，将./+产表示成4的函数，求出函数的值域的作答.

【解析】依题意，0"=(s∕),直线/的方向向量〃=(〃-1,〃+2),则有/；:(，

[(a+2)s—(Q-1)E=6

_6(。+2)

2222

S—(α+2)+(α-l)s+t=-------------------=..........--------

解得6(，-1)'因此‘("Ady犯+%+”

t=------------------乙------22

(4+2)2+("1)2--

36

因当“=一g时，2(a+；)2+g取最小值则有°<2(4+1尸+：―'

所以/+产的取值范围是(0网.

故选：D

2.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣

的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回

到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为8(-2,0),若将军从山

脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3,则“将军饮马”的最短总路程为()

A.叵B,5C.叵D.ɪð

333

【答案】A

【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.

【解析】如图所示，

设点B（-2,0）关于直线》+2丫=3的对称点为。（西,Β），在直线x+2y=3上取点P,连接PC,则

x=O

阀=IPeI.，解得1,即点C（0,4）,所以

y∣=4

IPAl+1PM=IPA∣+∣PC∣≥∣AC∣=Jθ-g]+（4-θ）2=华，当且仅当A,P,C三点共线时等号成立，所以

“将军饮马”的最短总路程为叵.

3

故选：A.

3.直线1：y=px（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数）,

那么满足条件的直线1有

A.6条B.7条C.8条D.无数条

【答案】B

【解析】试题分析：｛K）=io+工7,所以

y=x+10p-∖p-∖p-∖p-∖

p-l=±l,±2,±5,±10"0/值有7个，直线有7条

故选：B

考-J八占、、•.直11线«交占,、、、

4.已知点MQA）与点N（0,T）在直线3x-4y+5=0的两侧，给出以下结论:

φ3α-4⅛+5>0;

②当4>0时，α+6有最小值，无最大值；

③a?+b2>1；

的取值范围是（3,-》.」弓,小）.

④当a>0且ακl时，—ɪ

正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由M与N的位置关系有3a-46+5<O,数形结合法判断M位置，结合空的几何意义判断α+b、

<7-1

空的范围，应用点线距离公式有"+△>(/J)2判断③.

4-1√32+42

【解析】将N(O,-1)代入有3xO-4x(-l)+5=9>O,

而Λ/与N在3x-4y+5=0的两侧，贝!]3α-4∕2+5<O,①错误;

所以〃+6>3,故a+b无最值，②错误；

4

由上图知：M在直线左上方，则4+〃>(/,52>=1，③正确；

√32+4-

由3x-4y+5=O过(θɪ)且α>0且α≠1,即"在直线上方与)，轴右侧部分，

而合表示(1,-1)与M连线的斜率，由图知：合€(-8,-收)，④正确.

故选：B

5.已知点A(TO),B(l,0),C(0,l),直线y=αr+A(α>0)将AABC分割为面积相等的两部分，则匕的

取值范围是()

∕cnA&1](.√21]「11)

a∙(°」)b∙1--升3C.1---D.

\/∖/L/

【答案】B

bh

【分析】先求得直线V=⑪+6(α>0)与X轴的交点为M(-±,0),由-2≤0可得点M在射线OA上.求

aa

出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得力=:；②若点M在点。和点A之间，求得

③若点M在点A的左侧，求得;>Ql-也.再把以上得到的三个匕的范围取并集，可得结

3232

果.

【解析】由题意可得，三角形ABC的面积为j-ABOC=l,

由于直线y=分+6(a>0)(α>0)与X轴的交点为M[-*O),

由直线y=0x+外a>。)将“8C分割为面积相等的两部分，可得b>0,

故-2<0,故点M在射线OA上.

a

y=ax+b1-b。十八

设直线y=OX+人和8C的交点为N,则由可得点的坐标为

X÷γ=1N〃α+l/

①若点M和点A重合，如图:

把A、N两点的坐标代入直线y=ar+%,求得“=b=(

②若点M在点。和点A之间，如图:

即*即HU5誓斗可得°=I⅛>O'求得Y,

故有

③若点M在点A的左侧,

设直线y=奴+6和AC的交点为尸，则由求得点P的坐标为(土*,巴=〕，

[y=x÷lIa-Ia-∖)

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于即g(l-b)∙%-x∕=g,

即;(I-b)∙=g,化筒可得2(1-6)-=2T.

由于此时6>α>0,0<α<LΛ2(I-⅛)2=∣a2-l∣=l-a2.

两边开方可得及(1-6)=√m.∙.美，化简可得人>1一冬

故有1-^∑<⅛<1

23

综上可得6的取值范围应是(1-4，；]，

k)

故选：B.

6.已知直线4：x-γ+2=O,l2：x-y-2=0,直线g垂直于《，4,且垂足分别为A,B,若C(Y,0),

£>(4,0),则Ial+∣W∣+∣BQ∣的最小值为()

A.√K)+2√2B.8+√2C.2√10+2√2D.8

【答案】C

【分析】根据条件设出直线/3的方程X+y=2〃?，求出点A,B坐标，用胆表示出∣C4∣+∣AB∣+怛。，再借

助几何意义即可计算得解.

(解析】因直线，3垂直于∕∣.Z21则设直线h的方程为：x+y=2m(meR),

∖x+y=2m[x+y=2m,、

由C得点A(m-l,m+l),由｛∙C得点8(机+1,"Li),而Cz(-4,0,0(4,0,

[x-y=-2[x-y=2

22

于是得ICAl+∣AB∣+怛£)|="(m+3)2+(优+1)2+2√2+√(∕n-3)+(w-l),

22

而J(∕M+3)2+(—+1)2+λ∕(∕n-3)+(∕n-l)表示动点M("")到定点灰-3,-1)与F(3,1)的距离的和，

显然，动点"(a,M在直线N=X上，点E(-3,-l)与F(3,l)在直线y=x两侧，因此，

∣ME∣+∣Λ∕F∣≥∣EF∣=2√iθ,

当且仅当点M是直线y=x与线段所：y=gx(-3≤x≤3)的交点，即原点时取“=”，此时,片0,

从而得＞∕(w+3)2+(ZM+1)2+ʌ/(w-ɜ)2+(∕n-l)2取最小值2Λ∕1O，

所以，当直线/3方程为：χ+y=o时，∣C4∣+∣AB∣+∣明取最小值2√iU+2√Σ.

故选：C

7.若曲线G:Y+y2-2x=O与曲线C?:WX2-"+,UX=O有三个不同的公共点，则实数机的取值范围是

A，T'与B.(-8,-亭g,+8)

C.(→o,0)(0,-κo)D.(-冬0)(。岑)

【答案】D

【分析】C表示的是圆，Cz表示的两条直线，结合三个不同的交点，从而确定只需直线广加L优=0与圆

相交，根据圆心到直线距离小于半径，求出”的范围，再去掉不合要求的值，从而确定实数〃?的取值范围.

【解析】由题意可知曲线G：χ2+y2-2x=0表示一个圆，

化为标准方程得：(X-I)2+V=l,

所以圆心坐标为(1,0),半径Ll;

C2：/Tiχ2_肛+如=0表示两条直线X=O和y-ntχ-m=0f

由直线厂〃?氏-/=0可知：此直线过定点(-1,0),

其中直线mθ与圆有I个交点为(0,0),要想G,G有3个不同的交点，

只需直线厂处:-m=0与圆有2个交点，即直线与圆相交，

在平面直角坐标系中画出图象如图所示：

.√3√3

所fic以q机e--—

<>

当"7=0时，直线厂加Lm=O化简为y=。，此时直线y=。与圆的交点为(0,0),(2,0),

综上：当〃?=0时，G与G交点个数为2个，不合要求，

(a\(八

所以m∈--T-,0θ,ʒ-,

故选：D.

8.已知圆Uχ2+V-8χ=0.动直线Lx+∕ny-2扬-4=0于圆C交于A,B两点，线段A8的中点为P,

则IOPl的取值范围是()

A.[√2,5√2]B.[2>^,4√2]C.[>^,4√2]D.[√2,2√6)∪(2√6,4^]

【答案】B

【分析】根据题意可得。(4,0)和直线/过定点时(4,2应)，设「(工，y),利用平面向量的坐标表示CP∙MP=O

得出P的轨迹方程(x-4)，+(y-&)2=2,进而

根据IOHlrt1=IOM—，IoHa=IoM+-计算即可.

【解析】由题意知，圆C：(X-4)2+V=16,得圆心C(4,0),半径为4,

/：x+wy-2√2w-4=0=>(y-2√2>+(x-4)=0,得直线/过定点M(4,20),

设P(x,y),则CP=(X-4,y),MP=(x-4,γ-2√2),

根据题意，得AB_LCP,所以C尸_LMP，有CP∙M尸=0,

即(X-4)2+(y-√Σ)2=2,

所以中点P的轨迹是以N(4,√Σ)为圆心，半径为r=√∑的圆，所以IONl=30,

所以I®L=IoMf=2夜,IOPL=∖ON∖+r=4√2,

所以|。"的取值范围为[20,4√Σ],

故选：B

9.已知直线x+y-仁0(4>0)与圆x2+γ2=4交于不同的两点A、B,。是坐标原点,且有∣。4+081≥∕∣A3∣,

那么人的取值范围是()

A.(>∕3,+∞)B.[√2,+∞)C.[√2,2√2)D.[√3,2√2)

【答案】C

【分析】由题设，∣OA+O8∣为等腰△AOB底边中线长度的2倍，∣A8∣为底边长度，而/是直线在坐标轴

上的截距，由己知条件并结合数形结合思想及圆的性质，求k的范围.

【解析】

设AB中点为C,则OCLAB,,.,∖OA+OB∖≥^-∖AB∖,

...∣2OC∣≥q∣A8∣,Λ∣AB∣≤2√3∣OC∣,∙"c片"4,

2

.∙.∣OC∣2≥1,「直线x+y-I=O(⅛>0)与圆x+y2=4交于不同的两点A、Bf

Λ∣OC∣2<4,Λ4>∣OC∣2≥I,

f

・二4>≥1,Vfc>O,.*.λ∕2≤<2√2.

故选：C.

故选：B.

12.太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图如图是放置在平面直

角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图"，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的

边界为一个半圆，已知直线Ly=α(x-2).给出以下命题:

①当。=0时，若直线/截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为加，S2(S,≥S2),则工：S?=3:l；

②当4=时，直线/与黑色阴影区域有1个公共点；

③当αe[0,l]时，直线/与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.

其中所有正确命题的序号是().

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】根据直线和圆的位置关系，逐项分析判断即可得解.

【解析】如图1所示，大圆的半径为2,小圆的半径为1,

所以大圆的面积为4π,小圆的面积为兀.

对于①，当。=0时，直线/的方程为y=o.

此时直线/将黑色阴影区域的面积分为两部分，

S∣=π+巴=电，工=兀」」，

所以SI：S2=3:1,故①正确.

对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为

X2+(y-l)2=l(x>0)

44

当。=-§时，直线/的方程为y=-](x-2),

即4x+3y-8=0,小圆圆心(0,1)到直线/的距离d=∖1,=ɪ，

所以直线/与该半圆弧相切，如图2所示，

所以直线/与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确.

对于③，当αw[0,l)时，如图3所示，

直线/：y=a(x-2)与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，

当α=l时，直线/：y=x-2与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误.

综上所述，①②正确.

故选：A.

二、多选题

/、/、CaM+by,÷c

13.设M(X方)、N(X,%)为不同的两点，直线/：6+卧+。=0,b=I?',以下命题中正确的

2CIXr~v+c

为()

A.存在实数使得点N在直线/上；

B.若5=1,则过M,N的直线与直线/平行：

C.若S=T,则直线/经过MN的中点；

D.若5>1,则点M,N在直线/的同侧且直线/与线段MN的延长线相交；

【答案】BCD

【分析】对于A,点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到—+g+c=0,进而可判断A不正确.

ax,+c

对于B,当6=0时，若5=1,贝IJI=广瓦，整理得用=々，再结合N不在直线/上科判断，当。/0时，

若s=ι,可判断故为#毛，进而得到FF=-，，再综合得答案.

X2-X1U

对于C,若5=—1,即可得至IJa(WL)+伙七2i)+c=0,即可判断C.

对于D,若3>1,则αη+6χ+c>书+皿+。〉。，或g+AX+cva^+g+cvO,根据点与直线的位置关系

即可判定D.

【解析】解：对于A选项，若点N在直线/上则"+g+C=O,

••・不存在实数b,使点N在直线/上，故A不正确；

对于B选项，当匕=O时，若5=1,贝IJI=詈整理得玉=七，此时直线垂直于X轴，直线/:ɑr+C=O

也垂直于X轴，由于N不在直线/上，故过M、N两点的直线与直线/平行；当匕工0时，若5=1,则

]=αxl+⅛l+c整理得々a-XJ=A(Mf),此时若王=々成立，则％=%，与M(XQJ、N(XZ,%)为

Cix^十Oy2-Vc

不同的两点矛盾，故为工电，所以江&=-2，即如v=k,,所以过用、N两点的直线与直线/平行，综

合可知，B正确；

对于C选项，若S=-I,则g+“X+c+唯+b%+c=0

即，α(gg+伙巧&)+c=0,

二直线/经过线段MN的中点，即C正确；

对于D选项，若b>l,贝IJaq+bχ+c>G⅛+Zy⅛+。>0,g5ζoη+hy2+c<ax2+by2+c<0,

所以(0η+i>y2+C)(OA⅞+by2+c)>0,且Iarl+by2+Cl>∣0r3+by2+tj,

所以点朋,N在直线/的同一侧且到直线/的距离不相等，所以直线/与线段MN不平行.故D正确.

故选：BCD.

14.如图，平面中两条直线乙和4相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线4和4的

距离，则称有序非负实数对(P，4)是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为()

A.若p=4=0,贝广距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个

B.若pq=O,且p+4≠0,则“距离坐标”为(PM)的点有且仅有2个

C.若pq#O,则“距离坐标"为(",q)的点有且仅有4个

D.若p=q,则点M在一条过点。的直线上

【答案】ABC

【分析】根据点M的“距离坐标''的定义逐一判断即可.

【解析】A.若p=q=O,则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点0,因此有且仅有1个，故正确.

B.若Pq=0,且0+4≠O,则“距离坐标”为(θ,q)或(p,0)的点有且仅有2个，故正确.

C.若pq≠0,则“距离坐标”为(p，4)的点有且仅有4个，如图，故正确.

D.若P=4,则点M在的轨迹是两条过。的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确.

h

故选：ABC.

15.已知圆M：(x-2y+y2=ι,点P是直线/：x+y=O上一动点，过点P作圆M的切线∕¾,PB,切点

分别是A,B,下列说法正确的有()

A.圆M上恰有一个点到直线/的距离为理B.切线长PA的最小值为1

2

C.四边形AMBP面积的最小值为2D.直线AB恒过定点

【答案】BD

【分析】利用圆心到直线的距离可判断A,利用圆的性质可得切线长IPH=幅不I利用点到直线的距离

可判断B,由题可得四功形AMBP面积为IPAllM4∣=∣P4∣,可判断C,由题可知点A,B,在以PW为直径

的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D.

【解析】由圆M：(x—2)-+y=1,可知圆心”(2,0),半径r=l,

.••圆心加(2,0)到直线/：χ+y=o的距离为且=&,圆M上恰有一个点到直线/的距离为&一1，故A

√2

错误;

由圆的性质可得切线长|/训=4?时『-产=J∣PM∣2-],

.∙.当IPMI最小时，IM有最小值,X∣PM∣miπ=√2,

Λ∣PA∣πιin=l,故B正确；

•/四边形AM8P面积为∣Z¾∣∣M4∣=|网,

.∙.四边形AMBP面积的最小值为1,故C错误;

设P(f,τ),由题可知点A,B,在以PM为直径的圆上，又M(2,0),

所以(XT)(X-2)+(y+f)(y-0)=O,即/+9一。+?)》+/+2/=。,

又圆M：(x-2)2+∕=l,即f+y2-4x+3=0,

；・直线AB的方程为：(2—∕)x+fy-3+2/=0,即2x—3—/(x—y—2)=。,

2x-3=031(3lʌ

由Cn-得x=；，y=V,即直线AB恒过定点不一%,故D正确.

[x-y-2=022\22J

故选：BD.

16.(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条

直线被后人称为三角形的“欧拉线'’.在平面直角坐标系中作.ABC,IABl=IACl=4,点8(T,3),点C(4,-2),

且其“欧拉线”与圆M:(x-3)?+V=/相切，则下列结论正确的是()

A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为2夜

B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为3五

C.若点(x,y)在圆M上，则x+J5y的最小值是3-20

D.圆(x-α-iy+(y-α)2=8与圆M有公共点，则。的取值范围是1-20≤α≤1+2&

【答案】ACD

【分析】求出线段BC的中垂线的方程，由圆心到中垂线的距离等于半径求出厂的值，可得圆M的方程，

求出圆心到x-y+3=0的距离"，则八d+尸分别为圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离和最大

距离可判断选项A、B；令z=x+√5y,令圆心到该直线的距离等于半径列方程求出Z的值可判断C；计算

圆心距小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，解不等式求出。的取值范围可判断D,进而可得

正确选项.

【解析】因为IABl=IAe|=4,所以ABC是等腰三角形，可得..ABC的外心、重心、垂心都位于；ABC的

垂直平分线上，由点5(T3),点C(4,-2)可得线段BC的中点为且直线BC的斜率

做。==算=7'所以线段BC的垂直平分线的方程为y-g=χ-1即χ-y-ι=o.又圆

M:(x—3『+丁=，的圆心为(3,0),直线x-y-l=0与圆〃相切，所以点(3,0)到直线x-y-l=O的距离

为=夜=r,所以圆m(x-3y+V=2.

√2

对于选项A、B：圆”的圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离"=曾=3&,所以圆上的点到直线

x-y+3=0的最小距离为3√Σ-√Σ=2√Σ,最大距离为3√5+√Σ=4√Σ,故选项A正确，选项B错误；

对于C,令z=x+石y,即x+/y-z=0,当直线x+Gy-z=0与圆M相切时，圆心(3,0)到直线

x+√5y-z=0的距离为=&,解得z=3+2夜或z=3-2α,贝廉+石y的最小值是3—20，故选

项C正确；

对于D,圆(x-α-iy+(y-α)2=8的圆心为(“+1M),半径为2&，若该圆与圆M有公共点，贝IJ

22

2√2-√2≤5∕(a+l-3)+Λ≤2^+√2,即2≤(α-2y+∕≤i8,Wf⅜l-2√2≤α≤l+2√2.故选项D正

确.

故选：ACD.

三、填空题

17.已知动点A到P(1,3)的距离是到Q(4,0)的距离的2倍，记动点A的轨迹为C,直线/：x-0-4=0与

C交于E,F两点,若SAC(2F=gSAO°E(点。为坐标原点，S表示面积)，则f=___________.

【答案】-1

【分析】由题意求出A的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解

2

［解析］设A(x,y),则J(XT)2+(),一3)2=2λ∕(x-4)+√，

整理得(x-5)'+(y+l)2=8.

设E("J,F(x2,y2).联立卜5)~+G+l)-=8

x=ty+4

整理得(『+I)y2—(2/-2)尸6=0,

I2/—2G6不

故7y+%=T7If①'＞∣3,2=~^-

又SAOQF=_SAO0E＞故)'|=—3%③.

联立①②③，解得t=-1.

故答案为：-1

18.定义点P(分,人)到直线Γ.Ax+By+C=θ(A2+B2≠θ)的有向距离d=丹；誓C已知点6好到直

线/的有向距离分别是4,W，给出以下命题：①若4-4=0,则直线68与直线/平行；②若4+4=0,

则直线66与直线/平行；③若4+4=0,则直线62与直线/垂直；④若44＜。，则直线42与直线/

相交.其中正确命题的个数是______.

【答案】1

【分析】设点6鸟的坐标分别为(为,%),(%，%)，求出4，4,可知当4=4=0时，命题①②③均不正确，

当＜0时，6打在直线的两边，可以判断命题④正确.

/、/、，Ar1+Byx+C,Ax^+By,+C

【解析】设点的坐标分别为a，X）,（X2，%），则4=%Z，dl=y∣A2+B2

Axl+By1+C_Ax2+By2+C

若4-d2=0,则4=4,即

7A2+B2VA2+B2

所以AXl+By∣+C=Ax2+By2+C,若[=出=0,

即Arl+Byl+C=Ax2+By2+C=0,则点耳,P2都在直线I上,

此时直线66与直线/重合，故命题①②③均不正确，

当＜0时，&g在直线的两边，则直线62与直线/相交，故命题④正确.

故答案为：L

【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关

键，综合性较强.

19.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P满足瑞=应，则Mg⅛的最大值为____.

【答案】18+12√2##12^+18

（分析］建立直角坐标系，利用圜=血列式化简，可得点P的轨迹方程，再代入网？时,从而可

得答案.

【解析】以经过AB的直线为无轴，线段AB的垂直平分线为＞轴建立直角坐标系,

则A(T,O),8(1,0),设P(x,y),由微=&，

两边平方并整理得（x-3y+V=8,

所以点P的轨迹为以（3,0）为圆心，2应为半径的圆,

所以y2=8-(χ-3)2(3-2√Σ≤x≤3+2√5),

贝IJ有必L]⅛=γ+丁+1=+8-(X-3)2+1=6χ≤18+12√∑，

所以IpAMPBf的最大值为］8+12√L

2

故答案为：18+12√∑∙

2

20.已知点4为圆G+y?=2和O2I（X-3）÷y?=5在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆。∣,

0?于C,D两点（C,。异于点A）,且∣AC=2∣AQ∣,则直线CZ）的斜率是___________.

【答案】1或5

【分析】I先求出4(1,1).设直线C。为：y—I=MxT).过01作OELCO于尸，过。?作0/J∙C。于E由

里表示叫ACl=2后而=2卜生空),

垂径定:f

后函=2卜-(竽.根据IAq=2∣AQl列方程，解出女的值.

∖AD∖=2

2

【解析】因为点A为圆Q：V+V=2和Q：(x-3)+V=5在第一象限内的公共点，

X2+y2=2fɪ=1

所以由，/22U解得：Jy=-I舍去)故A(U).

(χ-3)+/=5Iy=I

由题意TU知，直线CD的斜率存在，设其为K则直线C。为：J-1=⅛(Λ-1).

过。I作QFLC。于凡过O?作0/LC。于E.

⅛ΓΛ

£

⅛∙T

则IqFl

~∙I/∖b1∣VI(∖r)LI1∣V

由垂径员色理得：IACI=2,2一|0小2卜，M=2"一卜Ef=2归号J.

所W号卜4一(副

因为∣A(

解得：)C=I或&=5.

故答案1⅛:1或5.

四、解4空题

21.已夕切直线L(2∕l-l)x+(l-2)y+l12-7=0,Λ∈∕?.

(1)若直?线/与直线4：x+。+团y+l=0垂直，求实数2的值

(2)若直彳发/在X轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线/的方程.

【答案】(I))=O或L=2

(2)X+2y-2=0或3x+4y=0

【分析】(I)根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；

(2)求出在坐标轴上的截距，由条件求出/1,即可得出直线方程.

(1)

因为直线/与直线∕jχ+(i+%)y+ι=o垂直,

所以(22—1)×1+(1-2)(1+Λ)=O,解得2=O或4=2.

(2)

ʌ八,日7-1UʌC7-1U

令y=。，得X=,令X=O,γ=-~~—

2/L—1I-A

7-1UC7-1U37

由题意知---------=2×----------，解得九=£或2=(,

22-11-2

所以直线/的方.程为x+2y-2=。或3x+4y=0.

22.已知直线/：kx-y+↑+2k=0.

(1)求/经过的定点坐标P；

(2)若直线/交X轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B.

①.AOB的面积为S,求S的最小值和此时直线/的方程；

②当PA+；PB取最小值时，求直线/的方程.

【答案】⑴(—2,1)；(2)①S的最小值为4,x-2y+4=0；②x-y+3=0.

【分析】(1)整理已知方程，使得左的系数等于O即可求解；

(2)①求出点A,B的坐标，利用％表示AOB的面积为S,利用基本不等式求最值，由等号成立的条件

12

可得女的值，进而可得直线/的方程；②设直线/的倾斜角为α,则O<α<πχ,可得=—,PB=——，

2sɪnacosa

再利用三角函数的性质计算PA+(P8=-!—+—!—的最小值，以及此时ɑ的值，进而可得及的值以及直

2SlnaCOSa

线/的方程.

【解析】(1)由玄-y+l+2k=°可得：Mx+2)+l-y=0,

Ix+2=OIX=—2、

由,=O可得|),=1，所以/经过的定点坐标2,1)；

(2)直线/：kx-y+∖+2k=0f

-∖-2k

令X=O可得y=l+2A；令y=0,可得X=

k

∣1,8(0,1+2A)

所以A

"可…>。,

⅛-

1+2Qo

(l+2k)=g∙∣4+^∙+4k

①二AOB的面积S=5

Ik

≥14+2

2

当且仅当J=软即4=：时等号成立，S的最小值为4,

K乙

此时直线/的方程为：gx-y+2=0即x-2y+4=0;

Tr12

②设直线/的倾斜角为。，则0<α<三,可得PA=^一,PB=——

2SmaCOSa

LL……ICC11sina+cosa

所以尸A+—PB=-------+--------=------------------,

2SinacosaSinaCoSa

令I=Sina+coscr=>∕2sina-∖--∖,

因为0<α<j可得？<□+?<手，—<sinfa+-1<1,

2444214j

f=5∕Σsin(α+∙^∙)∈(l,V∑],

将，=Sina+cosα两边平方可得：t2=(Sin2+cosa)?=l+2sinα∙cosc,

所以Sinacosa=,

2

…Innsina+cosat2t2

所以2SinaCOSa/一1∕2-l1,

I---

2t

因为>=—在(l,√f∣上单调递增，所以o<r-≤2∣

ɪ2

y=-≥√2j—j∙220,此时一应Sinja+j]=√∑,

t——t——<4)

TlJi

可得a=—,所以Z=tana=tan—=1,

44

所以直线的方程为χ-y+3=o.

23.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,

⑴若过定点(-2,0)的直线/与圆C相切，求直线/的方程；

(2)若过定点(T,0)且倾斜角为30。的直线/与圆C相交于A,B两点，求线段AB的中点P的坐标;

(3)问是否存在斜率为1的直线/,使/被圆C截得的弦为EF,且以E尸为直径的圆经过原点？若存在，请

写出求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(I)J=-2或5x-12y+10=0

I-GC

⑵【丁，丁J

(3)存在，x-γ+l=Ongx-y-4=0

【分析】(1)首先设直线/的方程为：x=my-2f与圆的方程联立，令△=(),即可求解加的值；

(2)设直线/的方程为：ɪ=√3y-l,与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标；

(3)方法一，设直线/：y=x+b,与圆的方程联立，利用韦达定理表示O启.OF=O,即可求解8；方法

二，设圆系方程，利用圆心在直线y=x+8,以及圆经过原点，即可求解参数.

(1)

根据题意，设直线/的方程为：x=my-2

联立直线与圆的方程并整理得：(病+l)y2+(4-6m)y+4=0

12

2

Δ=20IΠ—48机所以20帆2—48〃?=0，叫=。，m2=—

从而，直线/的方程为：工=-2或5x-12y+10=0；

(2)

根据题意，设直线/的方程为：x=^3y-∖

代入圆C方程得：4√+4(l-√3)y-l=0,显然A>0,

设力(x∣,y∣),B(x2,y2),则%+%=6一1，Λ1+Λ⅛=1-X∕3

√3-lλ∣

所以点P的坐标为［长，土厂

(3)

假设存在这样的直线/：y=χ+o

2

联立圆的方程并整理得：2Y+(2b+2)x+b+4/7-4=0

当A=-4(⅛2+6⅛-9)>0,=>-3-3√2<b<3√2-3

设E(W,必)，尸(七,”)，则W+匕=-(6+1)，x3x4=∣(⅛2+4⅛-4)

所以为%=^∙(⅛2+2⅛-4)

因为以Er为直径的圆经过原点，所以OE=(Λ3,%),OF=(x4,y4),OEOF=O

2

：.x3x4+y4y4=0,Bpb+3b-4=0

均满足-3-3夜<⅛<3√2-3∙

.∖⅛1=1,b2=-4

所以直线/的方程为：x-y÷l=0∏gx-y-4=0.

(3)法二：可以设圆系方程¢+/—2x+4y-4+4(%—y+Z?)=。

则圆心坐标(卜；-2亍2,亍-4

圆心在直线y=χ+〃上,

得；甘-4-⅛2+"①

且该圆过原点，得劝-4=0②

由①_②_，求得[⅛，=1，或[/\?=—4

[λ=4[A=-I

所以直线/的方程为：χ-y+l=0或x-y-4=0.

24.如图，设直线3x=0,∕2:3x-4y=0.点A的坐标为(1，α)(">().过点A的直线/的斜率为A,且

与乙，4分别交于点例，N(M,N的纵坐标均为正数).

(1)设α=l,求一McW面积的最小值；

11

(2)是否存在实数小使得礴+网的值与%无关？若存在，求出所有这样的实数出若不存在，说明

理由.

【答案】(1)ɪ-;(2)存在；a=2.

【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线/的方程，再利用两条直线的交点坐标得M(0,。-女)和

Nl片咚，亭¥1，再结合题目条件得人<1，当α=l时，得直线°A的方程为X-、二°，

14人一34左一3)4

、，4"43〃一3、L

W(0,1-4)和N,以及IOAI=&,再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距

∖QK—ɔ^TK—ɔJ

离，从而得ZXMON面积s=n!~Q-,令，=3-4%,则，＞0,从而得S

3-42

=∣^÷→2^∣,再利用基本不等式求最值，计算得结论；

⑵利用⑴的结论，结合两点间的距离公式得IoM=Q-%和IoNI=第U,计算[⅛+向=黑苗，

由2-Z＞0得结论.

【解析】⑴因为直线/过点A(l，且斜率为2,

所以直线/的方程为y=Mx-l)+a

因为直线/与4，4分别交于点"，N,所以AwJ,

4

[x=0fx=0/、

因此由,得，，即M(O,a—&),

[y=攵(zx-ln)+aγy=a-k

4⅛-4iz

3x7Γn得.Y，即N-