湖南省长沙市长沙县省示范学校2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市长沙县省示范学校2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.或〖答案〗A〖解析〗因为集合，所以.故选：A.2.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题知，由于均为单调递增，所以随着的增大也增大，故在单调递增，，根据零点存在定理，零点在区间内.故选：C.3.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，故正确〖答案〗是充分不必要条件.故选：B.4.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由题意得，解得.故选：B.5.已知正数满足，则的最小值为（）A.5 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗因为，则，当且仅当，即时取等号.故选：．6.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.的解集为或〖答案〗D〖解析〗不等式的解集为或，则函数开口向下，故，A正确；不等式的解集为或，则对于函数，有，，B，C正确；不等式的解集为或，即方程的解为，则，且，即，，解得，故D错误.故选：D.7.已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为当时，为减函数，又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数，当时，一次函数单调递减，当时，指数函数，所以将代入得：，又因为在上为单调递减函数，所以，解得：.故选：D．8.设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵对都有，∴，即的周期为4，∵当时，，∴当时，则，∵偶函数，∴当时，∵，∴，∴作出在区间内的图像如下：∵在内关于的方程恰好有三个不同的实数根，∴与在内有三个不同的交点，∴只需满足在的下方，过或在其上方，即，∴.故选：D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（）A.1 B. C.3 D.2〖答案〗AC〖解析〗因为的值域为R，所以，又因为为奇函数，所以.故选：AC.10.设a，bR，则下列结论正确的是（）A.若a＞b＞0，则 B.若a＜b＜0，则C.若a＋b＝2，则≥4 D.若，则a＞b〖答案〗AC〖解析〗选项A显然正确；选项B，a＝﹣2，b＝﹣1代入即可验证，不等式不成立，故B错误；选项C，，当且仅当a＝b＝1时，取“＝”，故C正确；选项D，a＝﹣1，b＝满足，不符合a＞b，故D错误.故选：AC.11.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数与的图象关于对称C.为奇函数D.函数单调递增区间为，〖答案〗BCD〖解析〗因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；函数与互为反函数，故其图象关于对称，故B正确；因为，可求得定义域为关于原点对称，又，故函数为奇函数，故C正确；因为，所以函数的单调递增区间为，和，故D正确．故选：BCD．12.若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由题意知对于定义域内的任意x，有，则为奇函数；对于定义域内的任意，当时，有，为定义域内的减函数；对于A，的定义域为R，函数为偶函数，不符合题意；对于B，的定义域为R，函数为奇函数，在R上单调递减，符合题意；对于C，定义域为，在上均单调递增，函数图象在处是不连续的，故在定义域上函数不是减函数，不符合题意；对于D，，作出其图象如图示：可知该函数在定义域上为奇函数，且单调递减，符合题意.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13._____________．〖答案〗〖解析〗由诱导公式可得．故〖答案〗为：.14.当且时，函数的图象一定经过定点______________.〖答案〗〖解析〗令，可得当时，，所以图象一定经过定点.故〖答案〗为：.15.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是____________．〖答案〗〖解析〗由题意可得，扇形AOB的面积是，扇形COD的面积是．则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．故〖答案〗为：.16.函数的图象如图，则的值为______．〖答案〗〖解析〗由图象可知：最小正周期，，.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.集合.（1）当时，求；（2）问题：已知______，求的取值范围.从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①；②；③.解：（1）由题知，，因为，解得，所以，当时，，所以.（2）选①或②，由题知，由（1）得，，由题得，，当时，，解得，当时，，解得，综上，或.选③，当时，，解得，当时，，或，解得，或，综上，或19.已知函数（为常数）.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若在上有最小值1，求的值.解：已知函数，则，化简可得：，（1）最小正周期为：，由，，解得：，，单调增区间为，.（2）由题意：时，，，当时，最小值为，解得：，故在上有最小值1，的值为2．20.2013年9月7日，在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，n（且）年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第n（且）年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元．（1）求实数k的值．并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润＝纯利润÷年数）最大？并求出最大值．解：（1）依题意可得，，∵已知，∴，∴（且），令，解得，∵，∴该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元．（2）年平均利润为，令（且），则函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，∴，∴到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元．21.如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于.（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；（2）求四边形的面积的最大值.解：（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，，圆的半径为，点坐标为，点的坐标为，坐标为.（2）四边形的面积，，，，当时，即时，，四边形的面积的最大值为.22.若对定义域内任意，都有，则称函数为“隔