全等三角形中的动态问题（解析版）-八年级数学复习三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题03全等三角形中的动态问题

初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探

究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

解决动点问题常见的答题思路是：

1.注意分类讨论；

2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；

3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.

【典例解析】

【例1—1】（202。周口市月考）如图，CA±Aβ,垂足为点A,AB=S,AC=4,射线BMLA8,垂足为点B,

一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动，

且始终保持ED=CB,当点E离开点A后，运动秒时，ADEB与ABCA全等.

【答案】0,2,6,8.

【解析】解：①当E在线段48上，AC=BE时∙，ΔACB^ΔBED,

=AC=%

,BE=4,

.∙.AE=8-4=4,

点E的运动时间为4÷2=2（秒）；

②当E在BN上，AC=BE时•,

∙.∙AC=4,

：.BE=4,

.∙.AE=8+4=12,

.∙.点E的运动时间为12÷2=6（秒）；

③当E在线段AB上，AB=EB时，AACB丝ABDE,

这时E在4点未动，因此时间为O秒；

④当E在BN上,AB=EB时，AACB学ABDE,

AE=8+8=16,

点E的运动时间为16÷2=8（秒），

故答案为0,2,6,8.

【例1一2】（2020•江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCO中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,

连接。E,动点尸从点8出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CZ）—D4向终点A运动，设点P的运动时间

为/秒，当/的值为秒时，AABP和AOCE全等.

A.18.1或3C.1或7Z）.3或7

【答案】C

【解析】解：AB=CD,若NABP=/OCE=90。，BP=CE=2,根据SAS证得4A8P丝AOCE,

由题意得：BP=2t=2,

即t=∖,

同理，AP=CE=2,根据SAS证得A尸gAOCE,

由题意得：AP=I6—2=2,

即t=7.

当f的值为1或7秒时.aAB尸和ADCE全等.

故答案为C

【变式1—1］（2020•无锡市月考）如图，在AABC中，ZACB=90o,AC=Jcm,BC=3cm,CZ）为AB边上

的高.点E从点B出发沿直线BC以Icmls的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.

(1)试说明：ZA=ZBCD;

(2)当点E运动多长时间时，CF=Ab请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】W：(I)VZACB=90o,CDLAB,

：.ZΛ+ZACD=90o,ZBCD+ZACD=90o,

(2)①当点E在射线BC上移动5s时，CF=AB.

可知BE=2x5=10,

二CE=BE-BC=IO—3=7,

二CE=AC

"：ZA=ZBCD,NECF=NBCD,

INA=NECF

ZECF=ZA

在△CFE与AABC中<CE=AC,

NCEF=NACB

ΛΔΔABC,

二CF=AB

②当点E在射线CB上移动2s时，CF=AB.

可知BE=2x2=4,CE'=BE'+BC=4+3=7,

：.CE'=AC.

NECF=ZA

在^CFE与公ABC中《CE'=AC

NCEF=ZACB

.".∆CF'E'^∆ABC,

,CF1=AB.

综上，当点E运动5s或2s时，CF=AB.

【变式1—2](2020•河北灵寿期末)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A、8两点的坐标分别为

A(0,⑼、Bg0),且Q-〃-3|+j2〃一6=0,点尸从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运

动，设点P的运动时间为f秒.

(1)求04、08的长；

(2)连接PB,设APOB的面积为S,用/的式子表示S；

(3)过点尸作直线A8的垂线，垂足为D直线产。与X轴交于点E,在点尸运动的过程中，是否存在这样的

点、P，使△EO尸会ZsAOB?若存在，请求出r的值；若不存在，请说明理由.

,

【解析】解：(I)∙'∖tn-n-3∣+λ∕2∙-6=0,

Λ∖m-n-3∖=√2n-6=0,

•∙H=3,m=6,

，点A(0,6),点3(3,0)；

(2)连接PB,

f秒后，AP=t,0P=∖6-t∖,

"：ZOAB+ZOHA=90o,ZOAB+ZAPD^90o,NoPE=NAPI),

：.NOBA=NOPE,

OP=OB,nTffi∆EOP^∕∖AOB,

.'.AP=AO-OP=3,或AP'=0A+0P'=9

；.r=3或9.

【例2】（2020•惠州市月考）如图，点C在线段BD上,A8_LB。于B,ElUBD于D.ZACE=9Qo,且AC

=5cm,CE=6cm,点P以2s∕s的速度沿A—C—E向终点E运动,同时点Q以3s∕s的速度从E开

始，在线段EC上往返运动（即沿ETC-ETCT…运动），当点尸到达终点时，P,。同时停止运动.过

P,Q分别作8。的垂线，垂足为M,N.设运动时间为ts,当以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全

等时，r的值为.

1123

【答案】1或W•或

【解析】解：①当点P在AC上，点。在CE上时,

;以P,C,M为顶点的三角形与^QCN全等，

：.PC=CQ,

Λ5-2/=6-36解得：r=l；

②当点尸在AC上，点。第一次从点C返回时，

・・・以P,C,M为顶点的三角形与AQCN全等，

IPC=CQ,

∙*.5-2t=3t-6,解得：，=9；

③当点尸在“上，点。第一次从E点返回时，

・・,以P,CfM为顶点的三角形与AQCN全等，

：,PC=CQ,

23

Λ2∕-5=18-3/,解得：r=∙y;

1123

综上所述：z的值为1或一或

55

1123

故答案为：1或一或三.

55

【变式2一1](2020•江阴市月考)如图，在四边形ABC。中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D

点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点尸从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C

作匀速移动，点G从点8出发沿Bo向点。匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两

点也随之停止运动.

(1)试证明：AD//BC.

(2)在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有AOEG与ABFG全等的情况出现，请你

探究当点G的运动速度取哪些值时，ADEG与ABFG全等.

【答案】见解析.

AD=BC

【解析】解：(I)证明：在AABQ和ACOB中,<AB=CD

BD=DB

：.AABD/ACDB,

二NADB=ZCBD,

.∖AD∕∕BC;

(2)解：设运动时间为，，点G的运动速度为V,

4DE=BF

①当0＜二一时，若△DEG冬ABFG,贝IX

3DG=BG'

。=4—3/r=l

，解得：《，V—3；

6—BG=BGBG=3

DE=BG

②若△DEG空ABGF,贝卜

DG=BF'

t=BGI=-1

，解得：《…（舍去）;

6—BG=4—3。

48DE=BF

③当一<∕≤-时，若△DEGmABFG,则《

33DG=BG'

Z=3/—4t=2

,解得：《,v=l.5；

6-BG=BGBG=3

DE=BG

④若ADEG出ABGF,则<

DG=BF'

5

t=

I=BG2

,“CJ解得：

6—BG=3/—4=3'

BG

^2

综上，点G的速度为1.5或3或L

【变式2一2](2020•重庆巴南月考)如图(1),AB=Acm,ACVAB,BD±AB,AC=BD=3cm.⅛P½

线段AB上以Iem/s的速度由点A向点B运动，同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它

们运动的时间为t(5).

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当r=ι时，AACP与△BPQ是否全等，请说明理由,

并判断此时线段尸C和线段PQ的位置关系；

(2)如图(2),将图(1)中的“AC_LAB,BoJ为改“NCA8=NoBA=60。"，其他条件不变.设点Q的

运动速度为XCa∕s,是否存在实数X,使得△4CP与ABPQ全等？若存在，求出相应的X、，的值：若

不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：⑴当片1时，AP=BQ=∖,BP=AC=3,

又NA=N3=90°,

/.∕∖ACP^ΛBPQ(SAS).

：.ZACP=ZBPQ,

ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90*.

,NCPQ=90°,

即线段尸C与线段PQ垂直；

(2)①若△ACP^ΛBPQ,

贝IJAC=B尸，AP=BQ,

3=4—//—ɪ

得：〈解得《,

t=XtX=1

②若△ACP^∆BQP,

贝IjAC=8Q,AP=BP,

't=2

3=Xt

<，解得：3

f=4τX=­

2

Z=I

综上所述，存在《I或＜3使得AACP与aBPQ全等.

lI2

【变式2一3］（2020.江苏兴化月考）如图，在AABC中，NACB=90。，AC=6,8C=8.点P从点A出发，

沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点。从点8出发沿折线BC-CA以每秒3个单

位长度的速度向终点A运动，P、。两点同时出发.分别过尸、Q两点作PEL/于E,QFL/于F.设点尸

的运动时间为f（秒）：

（1）当P、Q两点相遇时，求，的值；

（2）在整个运动过程中，求C尸的长（用含，的代数式表示）；

（3）当APEC与AQFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）由题意得：f+3∕=6+8,

7

解得：―一（秒），

2

7

当R。两点相遇时，/的值为5秒；

（2）由题意可知4P=f,

6-t(t<6)

则CP=<

Z-6(6<∕≤14)

（3）①当P在AC上，。在BC上时,

•：ZACB=90,

ΛZPCE+ZβCF=90o,

〈PEL于E,QF±l^rF.

：.NEPC+NPCE=90°,NPEC=NeFQ=90°,

"EPC=NQCF,

：.丛PCE名丛CQF,

：.PC=CQ,

.'.6-r=8-3/,解得r=l,

.∙.CQ=8-3r=5；

②当P在AC上，。在AC上时，即A。重合时•，则CQ=PC,

由题意得，6-t=3t-8,

解得：r=3.5,

二CQ=3f-8=2.5,

③当P在8C上，。在AC上时，即A、。重合时，W∣JCQ=AC=6,

综上，当APEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6.

【例3】（2020,惠州市月考）如图,在AABC中，AB=AC^lScm,BC=IOcm,ZB=ZC,AD=2BD.如果

点P在线段BC上以2cm∕s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段C4上由C点向A点运动.

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，ABPD与ACQP是否全等,请说明理由；

（2）若点。的运动速度与点尸的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使ABPO与ACQP

全等？

（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC

三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在^ABC的哪条边上相遇？

【答案】见解析.

【解析】解：(1)①与△CQP全等，理由如下:

,:AB=AC=∖Scrn,AD=2BD,

.*.AD=]2cm,BD=6cm,

经过2s后，BP=4an,CQ=4cm,

：.BP=CQfCP=6an=BD,

在^BPD和aCQP中，

φ：BD=CP1ZB=ZC,BP=CQ,

：・/XBPD学工CQP(SAS),

②•・•点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,

ΛBP≠CQ,

F4BPDAbCQP全等,NB=NC,

.*.BP=PC=ɪ-BC=5cm,BD=CQ=Gcmy

ΛZ=1,

2

ɪ=12

二点Q的运动速度=55cm∕s,

2

12

二当点Q的运动速度为wc"?/S时，能够使△BPD与^CQP全等;

（2）设经过X秒，点尸与点Q第一次相遇，

12

由题意可得：一X-2x=36,解得：x=90,

18+18+10

Λ90-----------------x3=21(s),

2

,经过90s点P与点。第一次在4ABC的边AB上相遇.

【变式3一1］（2019•山西太原月考）如图1,在长方形ABCQ中，AB=CD=5cm,BC=12cm,点P从点、B

出发，以2cm∕s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为以

（I）PC=___的；（用含f的式子表示）

（2）当f为何值时，△ABP名ADCP?.

（3）如图2,当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以VCmk的速度沿CD向点D运动，是否存

在这样的V值，使得某时刻AABP与以P,Q,C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出V的值；若不

存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）当点P以2cm∕s的速度沿BC向点C运动时间为AS时，BP=It

...PC=12-27

故答案为：12—2r.

(2)V∆ABP^∆DCP

：.BP=CP

：.2t=12-2t

解得：/=3.

(3)存在，理由如下：

①当BP=CQ,AB=PC时，∆ABP^APCQ,

：.PC=AB=5

：.BP=BC-PC=US=I

：.Irt=-I

解得/=3.5

：.CQ=BP=I,贝∣J3.5V=7

解得v=2.

②当A8=CQ,PB=PC时，ΔABP^/XQCP

Λ2∕=6

解得片3

ΛCβ=3v=5,

解得v=~•

3

综上所述，当v=2或g时，4A8P与以P,Q,C为顶点的直角三角形全等.

【变式3—2](2020•四川成都)如图，已知四边形ABe。中，AB=12厘米，BC=8厘米，CQ=14厘米，

∕8=NC,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由8点向C点运动，同时，

点Q在线段Cn上由C点向。点运动.当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q

三点所构成的三角形全等.

9

【答案】3或一.

2

【解析】解：设点P运动的时间为，秒，则8P=3∕,CP=8-3K

VZB=ZC,

①当8E=CP=6,BP=CQ时,ABPE与〉CQP全等,

2

此时，6=8-3/,解得，=一,

3

JBP=CQ=Z,

此时，点。的运动速度为2÷∙∣=3厘米/秒；

②当BE=CQ=6,Bp=CP时，4BPE与4CQP全等,

此时,3f=8-3f,

4

解得看一，

3

49

；•点Q的运动速度为6÷-=-厘米/秒；

32

9

故答案为3或一.

2

【习题精练】

I.（2020•江苏东台月考）如图，有一个直角三角形48C,ZC=90o,AC=10,BC=6,线段PQ=A8,点

。在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2“〃/S的速度运动，问P

点运动秒时（f>0）,才能使AABC也△Q两全等.

【答案】2或8.

【解析】解：∙∙FABC丝AQ∕¾,

；.BC=M=6,

①当点P在线段C4上时，

CP=AC-AP=10-6=4,

4

二P点运动时间为：一=2（秒）,

2

②当点P在线段CA的延长线上时,

CP=AC+AP=10+6=16,

综上所述，P点运动时间为：2秒或8秒.

2.（2020•江苏泰州月考）如图，AB=12,CALA8于A,DBlAB且AC=4机，尸点从B向A运动，每

分钟走1机，Q点从B向D运动,每分钟走2〃?，P、Q两点同时出发，运动分钟后ACAP与APQB

全等.

【答案】4.

【解析】解：：C4_LAB于4,DBLABTB,

：.NA=NB=90°,

设运动X分钟后△CAP与^PQB全等；

贝∣J3P=x,BQ=2x,则AP=(12—x),

分两种情况：

φ⅛BP=AC,则户4,

AP=I2-4=8,BQ=S,AP=BQ,

：.XCAP^IXPBQ；

②若BP=AP,则12-Λ=X,

解得：x=6,BQ=∖2≠AC,

此时△CAP与aPQB不全等；

综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等：

故答案为：4.

3.（2020•常州市月考）如图，AOC中.ZC=90o,AC=10c∕n,BC=5cm.ADLAC,AB=PQ,P、。两

点分别在AC、AO上运动，当AQ=时，△42C才能和AAPQ全等.

【解析】W：VADlAG

.∙.ZC=ZMρ=90o,

当BC=AQ=5cm时，且AB=PQ,

：.Rt△ABCmRt4PQA,

当AQ=AC=IOcw时，且AB=PQ,

：.Rt△ABgRtAQPA.

故答案为：5a”或10。”.

4.（2020•江西新余期末）如图，AABC中，NAeB=90°,AC=8cm,BC=I5cm,点M从A点出发

沿A→C→3路径向终点运动，终点为5点，点N从3点出发沿3→C→A路径向终点运动，终点为A

点，点M和N分别以每秒2cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运

动，分别过〃和N作MEl./于E，NFL/于尸•设运动时间为f秒，要使以点M,E，C为顶点的三

角形与以点N,F，C为顶点的三角形全等，则f的值为.

【答案】M23或7或8.

【解析】解：①当0勺＜4时，点加在AC上，点N在8C上,

此时AM=2r,BN=3t,AC=8,BC=15.

当MC=NC即8-2f=15-3/时全等,

解得r=7,舍去;

点、N也在BC上,

若MC=NC,则点”与点N重合，即2∕-8=15-3r,

23

解得f=-；

23

当50＜一时，点M在8C匕点N在AC匕

当MC=NC即2∕-8=3fT5时全等,

解得f=7；

点M在BC上,如图④,

当MC=NC即2L8=8,

解得?=8；

故答案为：?23或7或8.

5.（2020・武城县月考）如图，已知四边形ABC。中，AB=12厘米，BC=8厘米，CC=14厘米，NB=NC,

点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时•，点Q在线段

C。上由C点向。点运动.当点。的运动速度为多少时，能够使ABPE与以C、P、。三点所构成的三角形

9

【答案】3厘米/秒或一厘米/秒

2

【解析】解：设点尸运动的时间为/秒，则8P=3f,CP=8—33

VZB=ZC,

①当BE=CP=6,BP=C。时，ABPE与ACQP全等,

2

此时，6=8—3/,解得t=-,

3

：.BP=CQ=I,

此时，点。的运动速度为2÷∣∙=3厘米/秒；

②当BE=CQ=6,BP=CP时，△BPE与△CQP全等，

4

此时，3r=8-3f,解得匚一，

3

49

•••点Q的运动速度为6÷—=一厘米/秒.

32

6.（2020・盐城市盐都区月考）如图，有一个直角AABC,ZC=90o,AC=6,BC=3,一条线段PQ=AB,P、Q

两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=时，才能使以点P、A、。为

顶点的三角形与AABC全等.

【答案】3或6.

【解析】解：HC中点或C点时，AABC和APQA全等,

①当AP=3=8C时，

AB=PQ

在Rt&ACB和RtAQAP中，《'

CB=AP,

：.Rt&ACB^RtΔQAP

②当AP=6=AC时，

AB=PQ

在RtAACB和RtAPAQ中,《

AC-AP;,

：.Rt△ACB^RtΔPAQ

故答案为3或6.

7(2020•四川青羊期中)如图，在AABC中,已知4B=AC,ZBAC=90o,AH是AABC的高，AH=4cm,

BC=?,cm,直线CM_LBC,动点。从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从

点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接A。、AE,设运动时间为f(f>0)

秒.

(1)请直接写出C£>、CE的长度(用含有，的代数式表示)：CD=cm,CE=cm；

(2)当r为多少时，△ABO的面积为12皿2?

(3)请利用备用图探究，当，为多少时，AABOgAACE?并简要说明理由.

故答案为3r,f；

(2)∖'SABD^~BD∙AH^12,AH=4,

Δ2

：.AHXBD=24,

：.BD=6.

2

若。在B点右侧，则CO=BC-80=2,/=—；

3

若。在B点左侧，则CO=BC+BZ)=14,f=一；

3

214

综上所述：当，为一S或一S时，△ABO的面积为12cm?；

33

(3)①当E在射线CM上时，。在CB上，则需满足BO=CE,ΔABD^∕∖ACE.

Λr=8-3/,

Λ∕=2,

②当E在CM的反向延长线上时，。在C8延长线上，则需满足BO=CE,ΔABD^∕∖ACE.

∙∖t=3t-8,

8.(2020∙郑州市月考)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点A、B两点的坐标分别A(机，O),B

(0,〃)，且Q-〃-3∣+λ∕2ι-6=0,点尸从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，

设点P运动时间为t秒.

备用图

(1)求。4、。B的长;

(2)连接PB,若^POB的面积不大于3且不等于0,求t的范围；

(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P运动的过程中，是否存

在这样的点P,使AEO尸会ZiAOB?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)3∣+J2.-6=0,

3=0,2"-6=0

Λm=6,n=3

.'.OA=6,。8=3；

(2)①当P在线段AO上时，AP=t,OP=6-r

V∆BPO的面积不大于3且不等于0,

Λ0<9-L5r<3,解得40<6；

②当P在线段A。的延长线上时，AP=t,0P=t-6

Λ0<1.5r-9<3,解得6vr≤8;

(3)Φ∆AOB^∆EOP,

：.OB=OP=3,则/=3,

(2)∆AOB^ΛEOP,

9.(2020•宜兴市月考)如图，在AABC中，NBAD=NDAC,DFlAB,DM±AC,AF^iθcm,AC=Ucm,

动点E以2cτπ∕s的速度从A点向F点运动，动点G以\cmJs的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点

时，另一个点随之停止运动，设运动时间为八

(1)求证：AF=AM;

(2)当f取何值时，4DFE与4DMG全等;

(3)求证：在运动过程中，不管f取何值，都有SOED=25ZXDGC.

【解析】解：(1)证明：VZBAD=ZDAC,DFLAB,DMVAC,

：.DF=DM,

DF=DM

在RiAAFD和RmAMD中，〈，

AD=AD

JRsAFDQRiAAMD(HL)；

(2)解：①当OVy4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上.

EF=10-2r,Λ∕G=4-/

Λ10—2/=4-r,解得：r=6(不合题意，舍去)；

②当4夕V5时，点G在线段AM上，点E在线段Ab上.

EF=10-2r,MG=L4,

,14

Λ10-2/=/-4,解得：Z=一，

3

14

当片一时，ADFE与ADMG号等二

3

u

(3)证明：：ZBAD=ZDACfDFl.ABfDMlACf

：・DF=DM,

z

*∙*SΔAEir—AE∙DF,5ΔDGC=—CG∙DM,

22

・SAADE=AE

SADGCCG

Y点E以IcmJs的速度从A点向厂点运动，动点G以TCmJS的速度从C点向A点运动，

：.AE=ItfCG=I9

.ΛE

・・——=2,

CG

即乎吟，

'丛DGC

,在运动过程中，不管取何值，都有SAAEF2SADGC.

10.(2020∙江苏工业园区期末)如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF,其

中AB=8cm,BC=6cm,AC=IOcto.现将△ABC和4EDF按如图②的方式摆放(点A与点。、点B与点E

分别重合).动点尸从点A出发，沿AC以2cm∕s的速度向点C匀速移动；同时，动点。从点E出发，沿射

线ED以acm/s(0<a<3)的速度匀速移动，连接PQ、CQ,FQ,设移动时间为fs(OWW5).

⑴当t=2时，SXAQF=3SXBQC,则a=；

(2)当以RC、。为顶点的三角形与ABQC全等时，求。的值；

(3)如图③，在动点尸、。出发的同时，AABC也以3cm∕s的速度沿射线EO匀速移动，当以A、P、。为

顶点的三角形与AMQ全等时，求。与，的值.

C

【答案】见解析.

o

【解析】解：(1)由题意得：ZBAF=ZABC=901BQ=at=2afAF=BCf

=

*∙*S∆AQF3S∆BQCiSAAQF=ɪAF×AQfSABQC=—BCXBQ,

.∙.AQ=33Q,

ΛAB=4Bρ=8,

：.BQ=2=2a,

•∙ci--1；

故答案为：1：

(2)因为以P、C、。为顶点的三角形与△BQC全等，CQ是公共边，

o

则点P与8为对应顶点，PQ=BQ=at,PC=BC=6,ZCPQ=ZABC=90f

：.AP=AC-PC=IO-6=4,PQ±AC9

YA尸=2r=4,

.∙.f=2,

/.PQ=BQ=2a,

ΔABC的面积=△ACQ的面积+△BCQ的面积，

—×8×6=ɪxl0x2α+Lχ2qχ6,

222

3

解得：〃=不；

2

(3)由题意得：ZA=ZE9

・・・NA与NE为对应角，分两种情况：

①AP与E。为对应边，A0与EF为对应边，则AP=EQ,AQ=EF=Wf

β.'EQ=at,

:∙at=2tf

；・a=2,

β

..EQ=2tf

VBE=36

：.BQ=BE-EQ=ι,

.∖AQ=AB+BQ=S+t=10,

解得：f=2；

②AP与EF为对应边，A。与EQ为对应边，贝UAP=E尸=10,AQ=EQ9

Λ2r=10,

Λr=5,

∙t∙AQ=EQ=5a,

VBE=3t=∖59

ΛBβ=15-5α,或3Q=5a-15,

当5。=15-5〃时，AQ=15-5α+8=23-54,或AQ=8∙(15-5«)=5〃-7,

Λ5α=23-5a9或5α=5α-7(舍去)，

解得：4=2.3；

当BQ=5a-15时，AQ=5a-15+8=5〃-7,

或4。=8-(54-15)=7-5af

.∖5a=5a-7(舍去)，或5a=7-5α,

解得:4=0.7,舍去；

综上所述，〃=2时∙，f=2；或4=2.3时，f=5.

11.(2019∙江苏期末)如图①，在ΔA3C中，AB=Ucm,BC=20cm9过点C作射线CD//Ab.点M

从点5出发，以3cmJs的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以。cmls的速度沿CD匀速移动.点M、

N同时出发，当点M到达点。时.，点〃、N同时停止移动.连接AM、MN,设移动时间为，(s).

(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为5；

(2)当AABM与∖MCN全等时，

①若点M、N的移动速度相同，求，的值；

②若点M、N的移动速度不同，求。的值；

(3)如图②，当点、M、N开始移动时，点夕同时从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点5匀速移动，到

达点5后立刻以原速度沿B4返回.当点M到达点。时.，点M、N、P同时停止移动.在移动的过程中,

是否存在APBM与AMCN全等的情形?若存在，求出，的值；若不存在，说明理由.

图②

【答案】见解析.

20

【解析】解：(1)20÷3=-,

3

20

故答案为：~~~；

3

(2)CD//ABf

：.NB=NDCB,

Y/XCNM与＞ABM全等，

•••△(^^^△84例或4CMNqABMA,

①由题意得：BM=CN=33

JXCMN9XBAM

：,AB=CM,

：.12=20-36

解得:Z=j;

②由题意得：CN*BM,

：./\CMN9丛BMA,

.∙.AB=CN=12,CM=BM,

：.CM=BM=LBC,

2

Λ3∕=10,

解得：，="

3

β.'CN=at,

，工=12

解得：a=—；

(3)存在

∖uCD∕∕AB,

：.AB=ZDCB,

Y∕∖CNM与〉PBM全等,

：,ACMN”丛BPM或卜CMN@LBMP,

①当△CMNg∕∖8PM时，贝IJBP=CM,

若此时P由A向B运动，则BP=12-2/,CM=20-3tf

TBP=CM,

Λ12-2f=20-3r,

解得：1=8（舍去）

若此时尸由5向A运动，则8P=2L12,CM=20-3r,

VBP=CM,

Λ2r-12=2O-3/,

解得：/=6.4,

②当△CMNg∕∖3MP时，则BP=CN,CM=BM,

：.CM=BM=-BC

2

.∙.3r=10,

解得：/=—

3

当f=W∙时，点P的路程为AP=2/=型，

33

此时BP=AB-AP=12--,

33

,,,16

则CN=BP=-

3

16

即at=—，

3

••I

•I------,

3

Λ67=1.6符合题意

综上所述，满足条件的f的值有：f=6.4或r=二.

3

12.如图，ABC中，NACB=90°,AC=Scm,BC=I5。加，点M从A点出发沿ATCTB路径向终

点运动,终点为B点，点N从8点出发沿BTCT4路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒

2cm和3cm的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过M和N作_L/

于E,Nr_L/于F设运动时间为，秒，要使以点M,E,C为顶点的三角形与以点N,F,C为顶点的三角

形全等，则f的值为.

【答案】三23或7或8

23

【解析】解：点M从点4到点C需要AC÷2=4s,到点8共需（AC+8C）÷2=-s

2

23

点N从点B到点C需要BC÷3=5s,到点A共需（AC+8C）÷3=—S

3

①当0与＜4时，即点M在AC上，点N在BC上，

此时AM=2f,BN=3t,

ΛCM=8-2r,NC=I5—3t

'：NMEC=NCFN=NACB=90°,

：.ZMCE+NNCF=90。，ZCNF+NNCF=90°

：.NMCE=NCNF

若CM=NC时，利用AAS可得△MCEWACNF

即8-2z=15-3r

解得：仁7（不符合前提条件，故舍去）；

②当43〈5时，即点M在BC上，点N在8C上,

A

∖XM(N)

-----------ɪj--------------Z

CE(F)

易知：当M、N重合时满足题意

此时CE=2/—8,CTV=I5—3%CE=CN

Λ2r-8=15-3/

23

解得:∕=y;

23

③当5MV一时，即点M在BC上，点N在AC上,

3

ΛCM=2r-8,NC=3t-15

∖∙/MEC=NCFN=/ACB=9U。,

：.ZMCE+NNCF=90°,ZCNF+NNCF=90。

：.ZMCE=ZCNF

若CM=NC时，利用AAS可得△MCEmACNF

即2f-8=3r-15

解得：r=7；

2323

④当一&<——时，即点M在5C上，点N与点A重合,

.∙.CM=2f-8,NC=S

YNMEC=NCFN=NACB=90。,

：.ZMCE+NNCF=90。,ZCNF+ZNCF=90o

：.ZMCE=ZCNF

若CM=NC时，利用AAS可得△MCE4ACNF

即2L8=8

解得：/=8.

23

故答案为：号或7或8.

13.(2019•湖北襄州)在平面直角坐标系中，点A(0,5),B(12,0),在y轴负半轴上取点E,使OA=

EO,作/CEF=NAEB,直线CO交84的延长线于点D

(1)根据题意，可求得OE=；

(2)求证：AADO^aECO;

(3)动点P从E出发沿E-O-B路线运动速度为每秒1个单位，到8点处停止运动；动点。从B出发沿

B-O-E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动.二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停

止.在某时刻，作PM_LCZ)于点M,QNLCZ)于点N.问两动点运动多长时间△OPM与AOQN全等？

【答案】见解析.

【解析】解：(1)VA(0,5),

.".OE=OA=5,

故答案为5.

(2),COE=OA,OBA,AE,

BA=BE,

：.NBAO=NBE0,

"：ZCEF=ZAEB,

.∙.NCEF=NBAO,

：.ZCEO=ZDAO,

ZCEO=ZDAO

在AAOO与AECO中，IOA=OE,

ZCOE=ZAOD

/.∕∖ADO^ΛECO.

(2)设运动的时间为“少，当PO=QO时，易证AOPM咨Z∖0QM

①当点P、Q分别在），轴、X轴上时尸O=QO得：

57=12-3r,

7,

解得f=—（秒），

2

②当点尸、。都在y轴上时PO=QO得：

5-f=3f-12,

17

解得f=一（秒），

4

③当点P在X轴上，。在），轴上时，则Po=Qo得：

t-5=3t-12,

7

解得r=-（秒）不合题意；

2

当点Q运动到点E提前停止时，

有r-5=5,解得f=10（秒），

717

综上所述：当两动点运动时间为万、1、10秒时，40PM与40QN全等.

14.（2019•福建省惠安期中）如图，在AABC中，BC=Scm,AG∕∕BC,AG=8“"，点F从点B出发，沿线

段BC以4cm∕s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以Icmls的速度向终点G运动，当

点E到达点G时，E、尸两点同时停止运动，EF与AC交于点D,设点E的运动时间为f（秒）

（1）分别写出当归≤2和2<∕≤4时线段"的长度（用含/的代数式表示）；

（2）当BF=AE时，求/的值；

（3）若AADE咨ACDF,求所有满足条件的，值.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）根据题意，

当0M≤2时，BF=47；

当2<∕≤4时，BF=16-4t;

（2）根据题意，由B尸=AE,则

Q

16-4/=2/,解得：t=—；

3

Q

・♦•当Bb=AE时，，的值为：一；

3

（3）当OV∕≤2时，AADEWACDF,

则AE二C/，即8-4r=2∕,

4

解得：/=—；

3

当2V∕≤4时，AADEgACDF,

则AE=CR即4r-8=2r,

解得：片4;

4

则六一或4时，AADE4ACDF.

3

15.（2020・无锡市月考）△4BC中，AB=AC=12厘米，ZB=ZC,