福建省泉州市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省泉州市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意集合，，则.故选：A.2.已知角终边上有一点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知角终边上有一点，故.故选：B.3.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，由题意，即，故A错误；对于B，由题意，即，故B错误；对于C，由题意，即，故C正确；对于D，由题意，即，故D错误.故选：C.4.若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意函数与函数互为反函数，所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，对比选项可知A符合题意.故选：A.5.已知，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，所以，化简得，因为，所以，所以，解得.故选：B.6.若函数存在最大值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，在上单调递增，此时，无最大值；又因为在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，结合题意可得，解得，即实数的取值范围为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，的定义域为R，且为奇函数，在R上单调递增，正确；对于C，设，定义域为R，满足，故函数为奇函数；当时，在上单调递增，且，当时，在上单调递增，且，故在R上单调递增，C正确；对于D，设，定义域为R，且满足，故为奇函数；又在R上单调递增，在R上单调递减，故在R上单调递增，D正确.故选：BCD.8.生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量在8月份随时间（单位：日，）的变化近似地满足函数，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则（）A.B.C.8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少D.8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天〖答案〗AD〖解析〗不妨设8月1日时为，则设T为最小正周期，则，即，A正确；又，B错误；因为函数的最小正周期为12，所以种群数量从8月13日至19日逐渐增加，从8月19日至25日逐渐减少，C错误；由以上分析可知，当时，y取到最小值100，即，故，则，令，则，则，即，故或或，共13天，D正确.故选：AD.9.定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（）A. B.2是的一个周期C.是的一个对称中心 D.为偶函数〖答案〗ACD〖解析〗定义在上的奇函数满足，所以，故A正确；且，所以，即的周期是4，不是2，故B错误；因为，所以的对称轴为，又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确；因为，所以，即为偶函数，故D正确.故选：ACD.10.已知，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由于，故，当且仅当，结合，即时，等号成立，即的最小值为，A正确；对于B，由于，，则，当且仅当时，等号成立，故，即的最大值为，B正确；对于C，又，得，故，由于，而对称轴为，则在上单调递减，在上无最值，C错误；对于D，令，则，故，由于，故，，则，当且仅当，结合，即时，等号成立，所以，即的最小值为，D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将〖答案〗填在答题卡相应位置.11.已知，则_____________.（结果用表示）〖答案〗〖解析〗由题意.故〖答案〗为：.12.函数的零点个数为_________.〖答案〗1〖解析〗由题意知在上单调递减，当时，，此时函数有1个零点；当时，，，此时函数在上有唯一零点，当时，，，此时函数在上有唯一零点，综合可得函数的零点个数为1.故〖答案〗为：1.13.对于任意且，函数的图象恒过定点.若的图象也过点，则______________.〖答案〗〖解析〗因为函数的图象恒过定点，所以，所以，所以，又的图象也过点，所以，又，解得，所以.故〖答案〗为：.14.将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为_____________.〖答案〗〖解析〗由题意得，当时，有，此时，令，则，因为时，所以，因为对于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如图所示：由图可知，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.集合.（1）若，求（2）若是充分条件，求的取值范围.解：（1）由，解得，则，时，，故或，.（2）因为，，而是的充分条件，故，故，解得.16.已知二次函数的图象过原点，且满足.（1）求的〖解析〗式；（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出其单调递增区间；（3）对于任意，函数在上都存在一个最大值，写出关于函数〖解析〗式.解：（1）设，由于二次函数的图象过原点，故，由，得，即，故，故.（2），作出其图象如图：单调递增区间为.（3）由的图象可知，当时，由，得，当时，；当时，；当时，，故.17.已知函数的图象关于点对称.（1）求的最小正周期和对称轴方程：（2）已知,求.解：（1）由题意得，该函数图象关于点对称，则，即，解得，故，则的最小正周期为；令，则，即的对称轴方程为.（2）因为，故，则，故.18.已知.（1）证明是奇函数，并说出在其定义域上的单调性；（2）若存在实数和，使得，且，求的取值范围.解：（1）因为的定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，由复合函数单调性可知单调递减.（2）因为，是奇函数，且在上单调递减，所以，由题意得在有解，，令，则，令，则，由得，因为在上单调递减，在上单调递增，且时，，或时，，所以，在有解，等价于在上有解，当时，，因为，所以满足题意；当时，因为，所以满足题意；当时，，令，解得，所以在上有解，所以的取值范围为.19.某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比.已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量.（1）写出的值，并对的值给出一个合理的解释；（2）已知，①求；②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？解：（1）由题意得，的值表示的含义为没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化.（2）①：由，，得；又，则.②：设清洗前物品上污渍残留量为单位1，“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”后残留污渍量为，“用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”后残留污渍量为：，，当时，，即“用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”效果好；当时，，两种方案效果相同；当时，，即“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”效果好.20.给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”.（1）证明：函数对于不具有“确界保持性”；（2）判断函数对于是否具有“确界保持性”；（3）若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值.解：（1）证明：令，因为，不满足函数值域为，故函数对于不具有“确界保持性”.（2）函数对于具有“确界保持性”；理由如下：令，在上单调递减，且当时，，故函数对于具有“确界保持性”.（3）令，根据“确界保持性”定义可知在上单调递减，故，即的值域为；由于，可以看到，若当，即时，则可化简为，且在上均单调递减，故先证明符合题意；当时，，先证