四川省乐山市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省乐山市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚﹒4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（）A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球〖答案〗D〖解析〗对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意．故选：D．2.已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗直线l的斜率.故选：C.3.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面〖答案〗A〖解析〗由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A4.已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程,又经过，两点，所以，解得，所以圆的标准方程.故选：A.5.如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若，则四边形ABCD周长为（）A. B.4 C. D.8〖答案〗D〖解析〗根据斜二测画法特点可知，所以为等腰直角三角形，所以，所以在原始图形中，根据勾股定理可得所以四边形的周长为.故选：D6.已知直线：，直线过点，且，则直线与直线间的距离是（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由题意知直线：，直线过点，且，设，代入可得，故的方程为：，故直线与直线间的距离是，故选：B7.已知正方体棱长为1，点是正方体表面上一个动点，满足，则点的轨迹长度为（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，动点的轨迹为过点与直线垂直的截面与正方体的表面的交线.如图所示：在正方体中，，又平面且，所以平面，因为平面，所以.又在正方体中，，又平面且，所以平面，因为平面，所以.又因为，由平面且，所以平面.于是点P的轨迹长度为不包含点的的周长，即周长等于.故选：D.8.已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（）A.4 B. C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由题意知，圆C：的圆心,半径，因为与是圆C：的两条切线，所以，,则，当最小时，也最小,又点是直线上一动点，故圆心到直线的距离，为的最小值，此时，则此时四边形的面积也最小，最小值为.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底D.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底〖答案〗ACD〖解析〗对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量，由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，A正确；对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基底，B错误；对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C正确；对于D，由于是空间的一个基底，故不共面，而与共面，故与不共面，且不共线，故也是空间的一个基底，D正确，故选：ACD10.已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（）A.直线l与圆的位置关系是相切 B.直线l与圆的位置关系是相离C.圆与圆的公共弦长是 D.圆上的点到直线l的距离为1的点有3个〖答案〗BC〖解析〗对于选项A:因为圆：，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，因为，所以直线l与圆的位置关系是相交，故选项A错误；对于选项B:因为圆：，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，因为，所以直线l与圆的位置关系是相离，故选项B正确；对于选项C：联立，相减得公共弦所在得直线方程为：，所以圆心到的距离为，所以公共弦长为，故选项C正确;对于选项D：因为，且，所以圆上的点到直线l的距离为1的点有4个（在直线l的两侧各2个）,故选项D错误;故选：BC.11.如图，在正方体中，，点为线段上的一动点，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥的体积为定值C.当点P与点重合时，平面平面D.当时，直线与平面所成角的正切值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A，连接，假设，又，平面，平面，，可得平面，由于平面，平面，进而，事实上，只有当和重合时才成立，得不恒成立；故A不正确；对于B，因为平面平面，根据面面平行的性质，得到平面，又点在线段上，所以点到平面的距离是定值，同时的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，连接、和，在正方体中，因为四边形是矩形，所以，因为，且平面，平面，所以平面，同理可得平面又平面，平面，平面，，所以平面平面，所以当点与点重合时，可得平面平面成立，故C正确；对于D，取棱中点为，连接和，由于，可得点即为棱中点，同时为棱的中点，可得，且，同时平面，即为直线与平面所成角，，故D正确.故选：BCD..12.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）A.点在抛物线（）的准线上B.存在点，使得C.D.面积的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗设，设直线：，联立得，则，设过点的切线为，联立得，由，可得，同理可得过点的切线斜率为，所以处切线方程分别为，联立可得，故A正确；又即，，所以，，所以，，即，C正确；又，所以，，所以，B错；由上述知，，又因为直线斜率为，所以，设准线与轴的交点为，则面积，当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），此时面积取最小值，D正确.故选：ACD三、填空题：本大题共4小题．13.已知向量，，若，则___________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.故〖答案〗为：.14.直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的一般方程是______________．〖答案〗〖解析〗直线的斜率为，设直线的斜率，则，即.由直线的点斜式方程可得：，即.故〖答案〗为：.15.如图，圆O的半径为2，A是圆内一个定点，且，B是圆外一个定点，且，P是圆O上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点Q，线段的垂直平分线和半径OP相交于点R，当点在圆上运动时，点Q和点R的运动轨迹分别是椭圆和双曲线，设它们的离心率分别为和，则___________．〖答案〗〖解析〗连接，因为线段的垂直平分线和半径相交于点Q，所以,即，所以点Q的轨迹是以为焦点，2为长轴长，焦距为1的椭圆，所以该椭圆的离心率为.因为线段BP的垂直平分线和半径OP相交于点R，所以,即，所以点R的轨迹是以为焦点，2为实轴长，焦距为4的双曲线，所以该双曲线的离心率为.所以.故〖答案〗为：.16.在多面体PABCQ中，，且QA，QB，QC两两垂直，则该多面体的外接球半径为___________，内切球半径为___________．〖答案〗①②〖解析〗由，且QA，QB，QC两两垂直可得：，又因为，所以该多面体PABCQ可看作是棱长为的正方体一部分，如图所示：则该多面体的外接球半径与棱长为正方体外接球的半径相同，故外接球的半径为.设的中心为，连接，内切球半径为.由及正方体的性质，可得：平面.由可得：.由可得：，，.由且QA，QB，QC两两垂直可得:，.因为，所以，即，解得.故〖答案〗为：；.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17.已知斜棱柱中，，．设，，．（1）用基底，，表示向量，并求；（2）求向量与向量夹角的余弦值．解：（1）．∴．（2）．∴．∴．∴．18.已知、分别是双曲线C：（，）的两个焦点，若双曲线的一条渐近线与直线恰好平行．（1）求双曲线C的离心率；（2）若，M为双曲线上一点，且，求的值﹒解：（1）根据题意，双曲线的渐近线为，因为双曲线一条渐近线与直线平行，所以，即．∵，∴．∴．（2）由得，即．由（1）知，，得．由双曲线的定义可得：，解得或．∵，∴．19.已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点．（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离．解：（1）取中点G，连结．∵E，G分别是的中点，∴且．∵F是中点，，∴且．∴为平行四边形．∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）∵E是中点，平面∴点E到平面的距离为．∵，，，∴，且,即．∴．∵为平行四边形，∴．∵，∴，即．∴．∵，∴．∴点B到平面的距离．20.已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点．（1）若，P在抛物线上，求的最小值；（2）若．求证：直线AB必过定点．解：（1）设，∵P在抛物线上，∴．∴．∴当，即时，的最小值为．（2）显然直线斜率不为零，设直线AB的方程为，，如图：联立得，有两个交点故．∴，．∵，∴．∴，得，∴或（舍）．∴直线AB过定点．21.已知直棱柱中，，，，，D为线段上任一点，E，F分别为，中点．（1）证明：；（2）当为何值时，平面与平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．解：（1）∵，，，∴．∵．∴．建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，．∴，．∴，∴．（2）∵，，设平面的一个法向量为：，∴，即，令，则，，∴．∵平面，∴取平面的一个法向量为，∴，又，，∴当时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，最小值为.22.已知椭圆T以坐标原点O为对称中心，以坐标轴为对称轴，且过，．（1）求椭圆T的标准方程；（2）若A、B为椭圆