湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，所以.故选：C.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗命题“”的否定是“”.故选：D.3.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗为R上单调递减函数，由，可得，为上单调递增函数，由，可得，则由“”可以得到“”，由“”不能得到“”，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为R，，即是奇函数，排除AC；当时，，则，选项B不满足，D满足.故选：D.5.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗显然点都在直线上，由正切函数定义得，所以.故选：B.6.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，由，得，则，于是，解得，所以.故选：C.7.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由于，故，，，又，故的大小关系为.故选：A.8.已知正实数满足：，，则的值是（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由两边取对数可得：，即，由可得：，即，构造函数，由和等价于和，即，由于在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增，所以等价于，故.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对A：因为，当时，，故A错误；对B：因为，所以，即，故B正确；对C：不妨设，，所以，故C错误；对D：因为，所以，所以，故D正确.故选：BD.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的定义域为C.函数的图象的对称中心为D.函数的单调递增区间为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，函数的最小正周期为，A正确；对于B，由，得，所以函数的定义域为，B正确；对于C，由，得，所以函数的对称中心为，C错误；对于D，由，得，所以函数的单调递增区间为，D正确.故选：ABD.11.镇江五峰山长江大桥是世界首座千米级公铁两用悬索桥，其两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，“悬链线”的函数〖解析〗式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数为，则（）A.双曲正切函数是偶函数B.C.D.若时，恒成立，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由题意，令，其定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，C正确；对于D，由题意，因为，令，则，令，则，所以函数在上单调递减，且，即当时，，因为当时，恒成立，所以，D正确.故选：BCD.12.已知函数是定义域为的奇函数，直线是函数的图象的一条对称轴，当时，，则（）A.B.C.在上单调递减D.方程恰有10个解〖答案〗AC〖解析〗由直线是函数的图象的一条对称轴，得，由函数是上的奇函数，得，则，即，，函数是周期函数，周期为4，A正确；当时，，则，B错误；显然函数在上单调递增，由奇函数的性质知，在上单调递增，因此函数在上单调递增，又的图象关于直线对称，则在上单调递减，C正确；方程的根，即函数与函数图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数与函数的部分图象，如图，观察图象知，函数与函数的图象共有9个交点，所以方程恰有9个解，D错误.故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.__________.〖答案〗6〖解析〗.故〖答案〗为：6.14.函数满足，请写出一个符合题意的函数的〖解析〗式____________________.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗取，则，满足题意.故〖答案〗为：(〖答案〗不唯一).15.酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过__________小时后才能开车.（参考数据：）〖答案〗7〖解析〗设他至少经过x小时后才能开车，则，即，故（小时），即他至少经过7小时后才能开车.故〖答案〗为：7.16.已知函数，若⫋，则__________，的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗设，则，由题意知，即，故，则，则，当时，，此时的解均为，不满足⫋，故；故要使得⫋，需满足有解，且显然其解不是0和n，()，故，解或，结合，可得或，故，即的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由题意，则或，当时，，所以.（2）若时，则，当时，则①，解得；当时，则②，解得，综上所述：的取值范围是.18.已知幂函数为偶函数.（1）求函数的〖解析〗式；（2）解关于的不等式.解：（1）由题意，因为为幂函数，所以，解得或，当时，，定义域为，关于原点对称，显然成立，故为偶函数，符合题意；当时，，此时的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意，故函数.（2）因为，则不等式等价于，即，当时，有，不等式的解集为；当时，有，不等式的解集为；当时，有，不等式的解集为，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19.已知函数，且函数在区间上的值域为.（1）求函数的〖解析〗式；（2）令函数，求函数的单调递增区间.解：（1）当时，，则，所以，由题意，解得故.（2）函数在定义域内单调递增，则在函数的单调递增区间内，单调递增且，所以有，得，即当时，此时单调递增，故函数的单调增区间为.20.已知，函数，.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1），令，解得，则的定义域为，关于原点对称，当时，，所以为偶函数，任取，且，则因为，所以，则，，又因为，则，所以，所以在上单调递减，由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减.（2）不等式等价于，由（1）得，当时，在时取得最大值0，又，当且仅当时，取得最小值2，所以当时，取得最大值，所以实数的取值范围为.21.随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：607080901008.81113.616.620为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数〖解析〗式；（2）现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.解：（1）与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①，由题意有：解得：所以.（2）设耗电量为，则，任取，，由，，，，则有，即，所以函数在区间单调递增，，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达地，又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，即，解得，所以总时间，当且仅当，即时取等，所以该汽车到达地的最少用时为小时.22.已知函数，函数与互为反函数.（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；（2）求证