黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三第一次模拟考试数学试题一､选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，解得，所以，所以.故选：B2.已知，若为纯虚数，则（）A. B.2 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗，若为纯虚数，则，即.故选：B.3.已知为奇函数，则（）A. B.2 C.1 D.〖答案〗A〖解析〗当时，，所以，通过对比系数得.故选：A4.某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）A.0.12 B.0.20 C.0.44 D.0.32〖答案〗C〖解析〗由题意，选到非碳酸饮料的概率为.故选：C.5.已知数列等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗设数列的公比为，首项为，若，则，即，满足必要性；当时，对任意正整数均有，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件，故选：B.6.若函数单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，即对任意恒成立，即恒成立，因（当且仅当时取“=”），所以.故选：D7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则.故选：A8.已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为和，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗，设，则，则，，.故选：C.二､多选题9.已知圆，则下列结论正确的有（）A.若圆和圆外离，则B.若圆和圆外切，则C.当时，圆和圆有且仅有一条公切线D.当时，圆和圆相交〖答案〗BCD〖解析〗.若和外离，则，解得或，故A错误；若和外切，，解得，故B正确；当时，和内切，故C正确；当时，和相交，故D正确.故选：BCD10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.当时，的最小正周期为B.当时，的最小值为C.当时，在区间上有4个零点D.若在上单调递减，则〖答案〗AB〖解析〗当时，，所以的最小正周期为，A选项正确；当时，，所以的最小值为，B选项正确；当时，，令，解得或，此时或或，在区间上有3个零点，C选项错误；，设，在上单调递减，则，根据复合函数的单调性，在上单调递增，所以，解得，D选项错误.故选：AB11.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（）A.B.四面体的体积为C.当时，点的轨迹长度为D.当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为〖答案〗AC〖解析〗对于A，依题意，可知，设F为的中点，连接，则，而平面，故平面，平面，故，A正确；对于B，将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，则，解得，由于，即异面直线和的距离为，且平面，，所以四面体的体积为，B错误；对于C，由以上分析可知，四面体的外接球半径为，由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，则，解得，所以的轨迹长度为，C正确；对于D，由题意可得,故的外接圆半径为，所以球心到所在平面的距离为，设三棱锥的高为h，由三棱锥的体积为时，可得，故，又由，故E点轨迹为外接球上平行于平面且到平面的距离为的两个截面圆，其中一个圆为外接球的大圆，所以点的轨迹长度大于，D错误，故选：AC.三､填空题12.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有__________种（用数字作答）.〖答案〗105〖解析〗由题意可得恰有两名女生人选的选法有种，恰有3名女生人选的选法有种，恰有4名女生人选的选法有种，所以至少有两名女生人选的选法有（种），故〖答案〗为：10513.已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗设，由已知，由对称性可得,所以，则，，且，因为，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，所以，所以.所以的最小值为.故〖答案〗：.14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗设，则，设切点为，则，则切线方程为，整理可得，所以，解得，所以，所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.四､解答题15.睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.解：（1），解得，依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为：（小时）；（2）100名学生的睡眠充足的频率为，以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，所以至少有两人睡眠时长充足的概率为.16.记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求边上的中线长.解：（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依题意，，解得，又，所以为钝角，所以由,解得，由正弦定理可得，又，所以，设的中点为，则，所以，所以边上的中线长为.17.如图1，在平面四边形中，，.点是线段上靠近端的三等分点，将沿折成四棱锥，且，连接，如图2.（1）在图2中，证明：平面；（2）求图2中，直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接交于点，连接，，平面平面平面，（2）解：在图1中，，在图2中，，平面，平面，平面，所以，而，由此以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，可取，又，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.解：（1）设，则线段的中点坐标为，因为以为直径的圆与轴相切，所以，化简得，所以的方程为；（2）设，由，则点处切线斜率为，所以直线方程为，整理为，令，则，所以，易知直线斜率为，所以直线，整理为，与联立可得，有，解得，即的横坐标为，所以，，所以面积为，又，当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为.19.已知函数.（1）设函数，讨论的单调性；（2）设分别为的极大值点