河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由抛物线得：焦点在x轴上，开口向右，p=2，所以其准线方程为，故选：B2.已知是公比为2的等比数列，若，则（）A100 B.80 C.50 D.40〖答案〗B〖解析〗设的公比为，则，所以，所以.故选：B.3.已知直线与垂直，则（）A0 B.0或 C. D.0或〖答案〗B〖解析〗因为，则有，解得或，故选：B.4.一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，则，令，则，即该质点瞬时速度为时，时间.故选:C.5.记数列的前项和为，已知，且，则（）A.6 B.5 C.3 D.1〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以.故选：C6.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗底面为菱形，，,为棱的中点,，解得.故选:A.7.曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题可知抛物线方程为，即，则，则该抛物线在各点处的曲率，当时，取最大值.故选：D.8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（）注：表示面积.A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，则.故，解得.又，所以，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和，则（）A. B. C.是等差数列 D.是递增数列〖答案〗AC〖解析〗，故A正确；当时，，当时，，不适合上式，故B错误；从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确；因为，故D错误.故选：AC.10.已知曲线，则（）A.当时，曲线是椭圆B.当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线C.存在实数，使得过点D.当时，直线总与曲线相交〖答案〗ABC〖解析〗当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确；当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确；令，整理得且，此方程有解，故C正确；当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误.故选：ABC.11.已知圆和圆，则（）A.圆与轴相切B.两圆公共弦所在直线的方程为C.有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切直线D.两圆的公切线段长为〖答案〗ACD〖解析〗圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.对于A，显然圆与轴相切，故A正确；对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误；对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；对于，因为，所以公切线段长为，故D正确.故选：ACD12.已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（）A.B.点到直线的距离为C.存在点，使得平面D.动点在一条抛物线上运动〖答案〗AD〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.对于选项A，易知，设，所以，又，得到，所以，故选项A正确；对于选项，因为，所以，又，则在方向上的投影向量的模为，又，所以点到直线的距离为，故选项B错误；对于选项C，设平面的一个法向量为，由选项A知，，，由，得到，取，所以平面的一个法向量为，由，得到，所以不存在点，使得平面，故选项C错误；对于选项D，因为平面平面，所以，所以点到直线的距离即点到点的距离，又点到直线与直线的距离相等，即点到点的距离等于点到直线的距离，又面，面，由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项正确，故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为____.〖答案〗〖解析〗由题意，，因为，所以，故曲线在点处的切线方程为.故〖答案〗为：.14.在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线方向向量，若所成角的余弦值为，则__________.〖答案〗〖解析〗设所成的角为.由题意知，解得.故〖答案〗为：.15.已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗设双曲线的半焦距为，则，因为，所以，在中，，所以为等边三角形，所以，根据双曲线定义可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以，解得，所以的离心率为.故〖答案〗为：.16.已知数列的通项公式为，其前项和为，不等式对任意的恒成立，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，当为奇数时，，随着值的增大而减小，所以，当为偶数时，，随着值的增大而增大，所以，所以，又因为函数在上单调递增，所以当，时，，所以，所以的最小值为.故〖答案〗为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）设的公比为，因为成等差数列，则，即，解得或1（舍去），所以.（2）由（1）可知的前三项为，则等差数列的首项为，公差为，所以，即.所以.18.如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）因为平面，平面，所以，又，由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系.又，为棱的中点，易知.所以，所以，所以.（2）因为平面，平面，所以.由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一个法向量.又因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且.（1）求的值；（2）过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程.解：（1）由题意可知圆的圆心为，半径.因为，所以，从而，即，两边平方整理得，又因为，所以.（2）由（1）知圆，点在圆上，又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，显然直线的斜率不为0，设其方程为，点到直线的距离为.根据三角形的面积公式可得.所以，解得，所以直线的方程为或.20.已知数列的各项都是正数，前项和为，且.（1）证明：等差数列；（2）求数列的前项和.解：（1）在中，令，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知.所以①，②①-②，得，所以.21.如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为.（1）求三棱柱的高；（2）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值.解：（1）设三棱柱的高为，因为，所以，又因为三棱锥的体积为，可得，解得，即三棱柱的高为.（2）过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）知，又因为为锐角，所以，在中，，所以.以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，可得平面的一个法向量为，所以，所以二