新教材高中数学第五章三角函数综合测试（含解析）

第五章综合测试

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.若扇形的面积为16cm2,圆心角为2rad,则该扇形的弧长为(B)

A.4cmB.8cm

C.12cmD.16cm

［解析］由S=5CR2,得16=£X2R2,R=4,所以/=G-R=8.

2.8§275。+85215。+8575。90515。的值是（A）

B亚

D•2

［解析］原式=sin215°+cos215°+sin15°cos150=1+^sin30°=/

sin（咨一e>cos（7c+。）

3.已知角。终边经过点（3,-4）,则----------7-----等于（C）

sin（/+e>cos（5+e）

［解析］由已知，tan6=-主所求原式可化为甘器登=一焉=*

4.下列函数中，最小正周期为兀，且图象关于直线x=^对称的是(A)

兀X7T

A.y=sin(2x+g)B.y=sin(］+d)

nTI

C.y=sin(2x—5)D.y=sin(2x-1)

［解析］由最小正周期为兀，可排除B,再将x=称代入函数，可知A正确.

5.若0"＜$＜在＜兀，旦cos夕=一孑，sin（a+/?）=^,

则sina的值是(C)

1C5

A.万B.

27

C.|D.23

27

jr7137t］72、/^

［解析］由0＜仪＜/＜伏沅，知］＜仪+£＜爹，且cos夕=-1,sin（a+夕）=§,得5山4=-^―,cos（a

+为=-呼

:.sina=sin［(a+p)—p\

=sin(a+/?)cos6一cos(a+0・sin夕=g.故选C.

6.己知〃是实数，则函数;U)=l+asin以的图象不可能是(D)

［解析］本题用排除法，对于D选项，由振幅⑷>1,而周期丁=而应小于2兀，与图中7>2兀

矛盾.

7.y=sin（2x一令一sin2x的一个单调递增区间是（B）

C.［招,皆|D.臣y］

|解析］y=sin(2x—2)-sin2x=sin2xcos^—cos2xsin2—sin2x=—(sin2xcos］+cos2xsin］)=

—sin(2A+?),其增区间是函数丁=5也(21+刍的减区间，即2E+与W2x+^W2E+与，.,.E+卷

招，当后=0时，碧］.

157r

8.函数於)=(1)”一|sin2x|在［0,彳］上零点的个数为(C)

A.2B.4

C.5D.6

［解析J分别作出函数y=(g)"和y=|sin2x|的图象，如图所示.

由图可知，这两个函数图象在［0,平］上共有5个不同的交点，所以函数«r）=q）x—kin2x|

在［0,初上的零点个数为5.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.与角一4半7r终边相同的角是（CD）

71c兀

A-6B-3

如n_她

363

［解析］与角一号终边相同的角是弧+（一用k/令k=\,可得与角告终边相同的

角是与，令k=-l,可得与角一号终边相同的角是一半，故选CD.

10.已知函数y（x）=sin4x+cos2x,则下列说法正确的是（ABD）

A.最小正周期是:

7T

B.7U）在（一70）上递增

C.是式x）图象的一条对称轴

3

-

4

［解析］由题知段)=sin\+1—sin2x=sin4x—sin"x+1=—siirx(l—sin2x)+I

=1-sin2xcos2x=1—^sin22x

11—cos4x1,7

=1—-----------=gcos4x+g.

二T=空=冬，A正确；

由余弦函数的单调性可知B正确；•.•靖)=拄±1,：.C错误；由余弦函数的有界性可知

3

确

HD正

4

11.已知co>0,Id冷若》=*和x=m是函数y（x）=cos（cwx+夕）的两条相邻的对称轴，将y

=/（x）的图象向左平移专个单位长度得到函数），=g（x）的图象，则下列说法正确的是（BD）

A.），=g（x）是奇函数

JT

B.y=g（x）的图象关于点（一2,0）对称

C.y=g（x）的图象关于直线对称

D.y=g。）的周期为2兀

［解析］:尸静产.兀是两条相邻的对称轴，

7兀

T=2X（-7：­-）=2K,.\CD=\,

•・於）=cos（x+s）.

①若函数在x=看处取得最大值,则加）=COS哈+9）=1,.9=2E,3=2E—表当k=0

TTTTTT717r

时,r=一不此时_/（x）=cos（x—1），将«r）图象向左平移不个单位得到g（x）=cos［（x+^—^）］=cosx.

所以B正确.

②若函数在》=袁处取得最小值，则

7171

人9=8$年+夕）=一1,

,Jl

不+@=2%兀-兀，

75

3=2E—5兀，当％=1时，（p=/

〈lei肯，不存在.

函数/U）的最小正周期为2兀，故D正确，故选BD.

12.已知函数/（x）=sin无cosx—cosz%,下列命题正确的是（BC）

A.火x）的最小正周期为2兀

B.府）在区间（0,6上为增函数

C.直线x=登是函数次x）图象的一条对称轴

D.函数7U）的图象可由函数g（x）=^sin的图象向右平移1个单位长度得到

I解析］.x）=,sin2x」+c；'♦=^sin（2x_：）_,显然A错；%e（0,令时，2x一扣（一

去0）,函数式x）为增函数，故B正确；令2x—A5+ht,无GZ,得尸去+竽上一，显然尤

="是函数段）图象的一条对称轴，故C正确；g（x）=¥-sin2x的图象向右平移1个单位得到y

=乎6间2（工一哥］=孚sin（2x—，的图象，故D错.故选BC.

ZoZ4

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.计算sin3300+cos2400+tan180°=~1.

［解析］原式=-sin30°—cos60。+0=一义一,=—1.

14.设函数/U)=2cos2x+*\/5sin2x+m已知当不仁［0,，时,於)的最小值为一2,贝"。=_二

［解析］Jlx)=2cos2x+yl3sin2x+a=1+cos2x+，5sin2x+。

TT

=2sin(2x+^)+rz+1

VxG［0,.,.2x+|e［1,yj,

二当2工+1=卷时，於)取得最小值a,；.a=-2.

15.函数於)=sin(ox+e)(3>0,9引0,2兀))的部分图象如图所示，则*2020)=一坐.

TJT

［解析］由题图可知，1=2,所以7=8,所以①7

jrJT7T

由点（1,1）在函数图象上，可得式l）=sinq+g）=l,故z+e=2E+2（keZ）,所以“=2E

TT

+Z（MZ）,

又9气0,2兀），所以夕=?故；（x）=sin堂+，

所以共2020）=sif竽"+：）=sin（505?r+：）=—sin^=一乎.

jr

16.函数八x）=cos（cox+a）（xeR，3>0）的最小正周期为兀，将的图象向左平移

兀

以0<94）个单位长度，所得图象关于原点对称，则°的值为.-

-_8

ITTT

［解析］./（X）的最小正周期为兀，.♦.（0=2,.♦.«¥）=85（2¥+1）将>/0）左移9个单位（0<夕5）,

jrJTJF

得到ga）=cos（2x+2s+»的图象，由于图象关于原点对称，.•.29+1=®+］,（A£Z）解得（P

=当+融GZ）.当仁0时，9=也

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）（1）已知角a的终边经过点尸（4m-3。）（20）,求2sina+cosa的

值；

（2）已知角a终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为34,求2sina+cosa的值.

［解析］(1)Vr=yfx1+y1=5\a\,当a>0时,r=5a,/.sina=~cosa=p.\2sina

2

十cosa=一§；

—3a34

当。<0时，r=-5a,/.since=-=£，cosa=一

—5〃J□

・・2sma十cosa=§.

34

(2)当点P在第一象限时，sina=W，cosa=§,

3

2sina+cosa=2；当点P在第二象限时，sina=^,

42_34

cosa=­5,2sina+cosa=5；当点尸在第三象限时，sina=一予cosct=—2sina+cosa

=-2；

342

当点尸在第四象限时，sina=—coso=5，2sina+cosa=一亍

■jr

18.(本小题满分12分)已知函数y=3tan(2x-R.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的定义域；

(3)说明此函数的图象是由y=tanA-的图象经过怎样的变换得到的？

［解析］⑴函数y=3tan(2xj)的最小正周期7=宗

⑵由；#也+/kGZ,得xW与+",kGZ,所以函数的定义域为｛x|xW与+京k

ez).

(3)把函数y=tanx图象上所有的点向右平移/个单位长度，得函数ktan(x-3的图象，然

后将图象上各点的横坐标缩短为原来的3倍(纵坐标不变)，最后将图象上各点的纵坐标伸长到

原来的3倍(横坐标不变)，得函数y=3tan(2x—；)的图象.

,.口工田八八一1j3A/2「3兀4sin2a+2sin%£-

19.(本小题湎分12分)已知cosa—sina=5，且兀〈［＜了，求］一tana的值.

［解析］因为cosa—sino=#^,所以1—2sinacosa=3所以2sinacosa=4.

3兀____________

又a£(兀，~2~),故sin«+cos«=­y］1+2sinacosct

_4^2

一-5，

sin2a+2sin2a(2sinacosa+2sin2a)cosa

所以-1-tana=

cosa-sina

—坞

2sinacosa(cos6x+sina)25v5728

cosa-sina3^275,

5

jr-IT

20.体小题满分12分）已知«r）=Asin（s;+9）（A：＞0,口＞0,lekg）的图象过点P（五，0）,

且图象上与点P最近的一个最低点是2（-1,-2）.

（1）求7U）的解析式；

（2）若八a+$）=],且a为第三象限的角，求sina+cosa的值.

[解析]（1）根据题意可知，A-2,£=盍一（一奇节

/.T=——n,解得co=2.

CD

7T7T___7T

又犬口）=0,・入皿五*2+夕）=0,而刷＜5，

兀兀

：・（p=—/.y（x）=2sin（2x-^）.

733

（2）由4[+无t）=3可得，2sin2a=],

3

即sin2a=V7.

Io

Ya为第三象限的角，

sina+cosa=­+sin2a=]+W=—

21.（本小题满分12分）某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度），（米）

随着时间/（0WfW24,单位：时）呈周期性变化，每天时刻2的浪高数据的平均值如下表：

r（时）~~0~~3~~6~9~I12I15I18I21~24

M米）

（1）作出这些数据的散点图；

（2）从y=s+b,y=Asin（＜cot+（/）'）+b；y=Atan（G/+9）中选一个合适的函数模型，并求出该

模型的解析式；

（3）如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于时才进行训练，试安排恰当的训

练时间.

[解析]（1）散点图如图所示.

W米

1.6..................................................

1.4...........................-................

1.2.................................................

1.0..................................................

0.8....................................*..........

0.6.................-.............................

0.4.................................................

0.2..................................................

°3691215182124耐

(2)由(1)知选择y=Asin(cot+(p)+h较合适.

令A>0,