福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据交集的概念可得，.故选：B.3.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，易知函数在R上是增函数，又，所以，又易知在上是减函数，所以，综上，.故选：B.4.若=，则sin=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.5.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为在上为增函数，且，，因为，所以，所以的零点所在区间为.故选：C.6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：.参考时间轴：A.战国 B.汉 C.唐 D.宋〖答案〗B〖解析〗由题可知，当时，，故，解得，所以，所以当时，解方程，两边取以为底的对数得，解得，所以，所以可推断该文物属于汉朝.故选：B.7.函数的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由于的定义域为，又，所以为奇函数，故可排除AB；由于当时，，故排除C.故选：D.8.已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件 D.充要条件〖答案〗A〖解析〗由得，，所以，即，所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件，如下图是一个周期为得函数，得不出，所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件，所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.9.已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；对于B，当时，不成立，B错误；对于C，由于，故，C正确；对于D，因为，则，故，故，D正确.故选：ACD.10.已知函数，则下列说法错误的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减〖答案〗BC〖解析〗因为，所以函数的最小正周期，故A正确；，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；，所以的图象关于点对称，故C错误；若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．故选：BC．11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A.水斗作周期运动的初相为B.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加C.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D.当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6〖答案〗AD〖解析〗对于A，由，知，，所以；当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．故选：AD．12.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（）A.若为函数的“完美区间”，则B.函数，存在“倍美好区间”C.函数，不存在“完美区间”D.函数，有无数个“2倍美好区间”〖答案〗ABD〖解析〗因为函数的对称轴为，故函数在单调递增，所以值域，又为函数的“完美区间”，所以，得或，因为，所以，故A对；假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，当时，在区间上单调递增，所以，解得，故B对；因为在上单调递增，在上单调递减，假设函数存在“完美区间”，当时，在单调递减，要使值域为，则，解得，即假设成立，故C错；假设函数定义域内任意子区间，因为在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“2倍美好区间”，故D对.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数在上单调递增，则__________.〖答案〗〖解析〗由，得或，又在上单调递增，所以.故〖答案〗为：.14.若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________.〖答案〗〖解析〗设扇形的半径为，因为扇形的周长为，扇形的面积为，由得，或，又因为，所以.故〖答案〗为：.15.已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗因为为方程的两个实数根，，所以，解得，或，若，则即，因为，故，若，则，不成立，若，则，故，故也不成立，故，所以，则，则，化简可得，由方程有解，可知：，即，解得：，则的最大值为.故〖答案〗为：.16.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是____________．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，此时函数无零点；当时，，当时，若，则，于是，若，函数的图象对称轴，此函数在上单调递增，，，即当且时，，函数无零点；于是只有当且时，函数才有零点，当，即时，，当时，函数，当时，，当时，函数取得最小值，而当时，，显然当，即时，函数有两个零点，要函数恰有4个零点，必有，当时，函数的图象对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，显然，而，因此函数在、上各有一个零点，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：.解：.18.（1）已知，求的最小值；（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.解：（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.（2）因为均为正实数，，所以，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.19.已知函数的图象关于点对称.（1）求的单调递增区间；（2）求不等式的解集.解：（1）由题意知，的图象关于点对称，，即，，故，令，得，即，函数的单调递增区间为．（2）由（1）知，，由，得，即，不等式的解集为.20.对于函数．（1）判断函数的单调性，并给出证明；（2）是否存在实数a使函数为奇函数？解：（1）在区间上的单调递增，证明如下：对任意，且，，因为在单调递增，且，所以，即，又，则，即，所以，所以在区间上单调递增．（2）假设存在实数a，使函数为奇函数，则对任意，都有，解得，故存在实数，使函数是奇函数．21.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）解：（1）过A，D作水平线，作如图，当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离），，故冰箱能够按要求运送入客户家中．（2）延长与直角走廊的边相交于、，则，，，又，则，，设，因为，所以，所以，则，再令，则，易知，上单调递增，所以单调递减，故当，即，时，取得最小值，由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．22.若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1），的值域为，不是上的有界函数，，时，，此时，时，，此时，是上的有界函数