2024年高考第一次模拟考试数学试题（全国乙卷）（理科）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（全国乙卷）（理科）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1．已知复数z满足，则（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，故选：A.2．已知集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为集合，所以，又，所以.故选：C3．下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗若关于x的不等式对恒成立，当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，而选项中只有是的充分不必要条件.故选：B.4．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．是函数的一个周期C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最小值为1〖答案〗C〖解析〗选项A：易知函数的定义域为，即，所以，所以是奇函数，其图象关于原点对称，所以A正确．选项B：，所以是函数的一个周期，所以B正确．选项C：根据，得的图象关于点对称，故C错误．选项D：．当时，，所以，所以，当，即时，等号成立，所以的最小值为1，所以D正确．故选：C.5．如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（

）．A．①和②都正确 B．①和②都错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确〖答案〗D〖解析〗对①：假设平面，平面，则，则，，故不垂直，假设不成立，①错误；对②：取中点，连接，为线段的中点，则，则在以为球心，半径为的球上，②正确；故选：D.6．如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（

）A．甲从到达处的方法有种B．甲从必须经过到达处的方法有种C．甲､乙两人在处相遇的概率为D．甲､乙两人相遇的概率为〖答案〗C〖解析〗A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误；B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为种；第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种，故甲经过到达N的方法数为种，B选项错误；C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种，故甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种；若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，∴两人在处相遇的走法种数为种；若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种；故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误，故选：C．7．已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]〖答案〗B〖解析〗由得，，所以，即，，因为，，，因为在上恰有1个零点，所以①，无解，②，解得，综上，实数ω的取值范围为，故选：B.8．已知实数满足，其中，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，则不等式为.作出可行域设，，则表示可行域内的点与点连线的斜率.由图象可知，直线的斜率最小，的斜率最大.联立可得，，所以，.联立可得，，所以，.所以，.根据不等式的性质，可知，所以，.故选：D.9．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米〖答案〗D〖解析〗在中，，设，则，当且仅当时取等号，设，则，又到的距离为20千米，所以，，故（时取等号），所以，得，故选：D.10．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，由，得，因为函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个变号零点，而，所以方程有两个不等的正根，所以，所以，所以，即．故BCD正确，A错误．故选：A．11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗如下图所示：

（1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形，此时，有个满足条件的等腰；（2）当构成以为一腰的等腰三角形时，则或，此时点在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形，不妨设点在第一象限，则，其中，则，或，由可得，所以，，解得，由可得，所以，，解得，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.12．已知，且，则的大小关系为（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗由题知，，记，则，当时，，单调递增，故比较的大小关系，只需比较的大小关系，即比较的大小关系，记，则，记，则，所以在上单调递减，又，所以，当时，，单调递减，所以，即，所以，所以.故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为.〖答案〗〖解析〗圆即，圆心为，半径，双曲线的渐近线方程为，依题意，即，又，所以，所以离心率.故〖答案〗为：14．在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为.〖答案〗〖解析〗由题意，，延长交于，则是中点，,又，，所以，又三点共线，所以，，，设，则，时，，递减，时，，递增，，又，即，所以的取值范围是，故〖答案〗为：，

15．在中，，，当取最大值时，．〖答案〗〖解析〗设，，，，，，，，，，，其中，，，，当时取最大值，，，，，即的值为.16．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该四棱锥体积的最大值为，则该球的体积为.〖答案〗〖解析〗若四棱锥体积最大，需满足四棱锥底面积最大，并且高也最大，先求底面积最大；

由图可知：,若使四边形面积最大，则四边形是正方形，此时四棱锥是正四棱锥;所以若四棱锥体积的最大值为，则此时四棱锥一定是正四棱锥，并且四棱锥的底面和顶点一定不在球的大圆同侧.因为，设在保证底面是正方形的前提下，设正方形的边长是，四棱锥的高为，外接球的半径为,所以.此时四棱锥的体积为：由图可知：在中，，整理得：，所以，即：令其中，所以，即，所以，所以在上单调递减，当时，，所以在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，即，所以此时球的体积为故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题17．当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：年份201720182019202020212022编号123456企业总数量（单位：百个）5078124121137352(1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：，其中，参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为解：(1)令，，则，，所以，所以；(2)设甲公司获得“优胜公司”为事件，则，所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．18．如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．

(1)求证：直线平面．(2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由．(1)证明：因为平面，平面，所以．又底面为矩形，，又，、平面，所以平面．(2)解：以A为原点，AP为z轴，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系．

所以，，，，，令，，得，所以，根据，则，所以，取的方向向量为，设平面的法向量为，，，根据，取，得，所以，即直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）数列中，，对任意正整数n都有.(1)求的通项公式；(2)设的前项和为，证明：①；②.(1)解：因为，所以，即，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则.(2)证明：①因为，所以；②由①得，设，则，两式相减得，即，从而，故.20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围．解：(1)由，，则，所以，即切线斜率为，又，则切点为，切线方程为，所以曲线在点处的切线方程为.(2)根据题意得，，则．由0为的极小值点，可知．设，则．（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意.（ⅱ）当时，设，则，所以在上单调递增，，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意.（ⅲ）当时，，且在上单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以，单调递增，不符合题意．（ⅳ）当时，，在上单调递增，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以0是的极大值点，不符合题意．综上，的取值范围是.21．已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.(1)求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；(2)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.解：(1)将点代入抛物线方程，可得，解得，所以抛物线方程为，设直线的方程为：，联立方程，消去y得，由韦达定理得：，根据抛物线定义：，可得，此时，解得或，设的中点坐标为，则，可得的垂直平分线方程为：，将代入整理得：，故的垂直平分线过定点.(2)由(1)可得，且点到直线的距离，则的面积为，可得，设，设，则令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减所以当时，的面积取最大值，此时，即

.（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点．(1)求曲线的普通方程；(2)若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．解：(1)由曲线的参数方程为（为参数），得，，，即（为焦点在轴上的椭圆）.(2)设直线的倾斜角为，直线过点直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，可得，，设，两点所对的参数为，，曲线与轴交于两点，在曲线的内部，一正