圆-2022年中考数学课本知识梳理（全国通用）(解析版)

专题12圆

F⅜⅜¼j,

~7\

圆是中学数学重要的重难点知识，中考中多以选择题、填空题和解答题形式计算问题出现，也是压轴

题的高频考点，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法，除了这些基础之外，还有对学生

的几何知识，函数与几何的综合问题的考查，动态问题，数形结合问题，分类讨论问题，存在性问题等等,

对综合能力的考查要求很高，难度系数较难。主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论思想、数形结

合的思想等。

1.理解圆、弧、圆心角、圆周角的概念，了解等弧、等圆的概念;

2.掌握垂径定理；

3.了解圆周角定理及其推论：圆周角与圆心角及其所对弧的关

系、直径所对圆周角的特征,圆内接四边形的对角互补.

4.了解点与圆、直线与圆的位置关系；

5.掌握切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；能

判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，了解切

线长定理.

6.弧长及扇形面积的计算

7.正多边形的概念

8.正多边形与圆的关系

快板框秦口

Vfc-----.==一一—一----∙S≡τ

与圆有关的角及性质

圆的内接正多边形

一、圆的有关概念及性质

考点一、圆的有关概念

1.圆的定义

如图所示，有两种定义方式：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫

做圆.固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作。0,线段OA叫做半径；

②圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

A

要点：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

2.与圆有关的概念

①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB,BC,AC都是弦.

②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是。。的直径，直径是圆中最长的弦.

③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是。。中的弧，分别记作BC,

BAC.

④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆.

⑤劣弧：像Be这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧.

⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧.

⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆.

⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中NAOB,NBOC是圆心角.

⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中NBAC、NACB都是圆周角.

考点二、圆的有关性质

L圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条.圆是中心对称图形，圆心是对称中心,

又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合.

2.垂径定理

①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图所示：

要点：在图中(1)直径CD,(2)CD±AB,(3)AM=MB,(4)AC=BC,(5)AD=BD.若上述5个条件有

2个成立，则另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理即知二推三.

注意：（1）（3）作条件时，应限制AB不能为直径.

3.弧、弦、圆心角之间的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.

4.圆周角定理及推论

①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

②圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

要点：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.

一、单选题

1.（2021•江苏镇江•中考真题）设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为/,满足2汁/=6,这样的圆锥的

侧面积（）

9999

A.有最大值∙πB.有最小值二πC.有最大值彳πD.有最小值；兀

47422

【答案】C

【分析】

329

由2r+∕=6,得出1=6-2r,代入圆锥的侧面积公式：S（M=π”,利用配方法整理得出，Swι=-2π（r-∣）+-π,

再根据二次函数的性质即可求解.

【解析】

解：V2r+∕=6,

Λ1=6-2r,

3939

22

.∙.圆锥的侧面积Swj=πr∕=π∕<6-2r）=-2π（户-3r）=-2π[（r--）--]=-2π（r--）+-τι,

39

・・・当时，S侧有最大值7九.

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，

扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积：S=J∙2Q∙"Q/是解题的关键.

2.（2021.四川巴中.中考真题）如图，AB是。。的弦，且48=6,点C是弧48中点，点。是优弧AB上的

一点，NAnC=30。，则圆心。至IJ弦AB的距离等于（）

D

C

A.ɜʌ/ɜB.；C.-73D.

【答案】C

【分析】

连接OA,AC,0C,OC交AB于E,先根据垂径定理求出AE=3,然后证明三角形OAC是等边三角形，从

而可以得到NoAE=30。，再利用三线合一定理求解即可.

【解析】

解：如图所示，连接。4,AC,0C,OC交AB于E,

YC是弧AB的中点，AB=6,

：.OCLAB,AE=BE=3,

,：ZADC=30o,

.∙.∕A0C=2NAnC=60。，

XVOA=OC,

二ZiOAC是等边三角形，

YOCJLAB,

ʌOC=OE-^-OC=^-AO,OE2+AE2=AO2,

22

•••OE2+32=4OE2

,

.∙OE=Wl

圆心O到弦AB的距离为√3,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在

于能够熟练掌握相关知识进行求解.

3.（2021・广西百色・中考真题）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3,

则它们的周长比是1：3,面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相

等且互相垂直的平行四边形是正方形.其中真命题有（）

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根据有关性质，对命题逐个判断即可.

【解析】

解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题;

②若两个相似四边形的相似比是1：3,面积比是1：9,而不是1：6,为假命题；

③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题；

④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；

故答案选C.

【点睛】

此题考查了命题的判定，熟练掌握命题有关内容的基础知识是解题的关键.

4.（2021•贵州遵义•中考真题）如图，点C是以点。为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC,BC,OC.若

AC=4,BC=3,则sin/BOC的值是（）

【答案】B

【分析】

如图，过点C作CHLAB于从利用勾股定理求出A8,再利用面积法求出C”,可得结论.

【解析】

解：如图，过点C作CH_LAB于H.

二

VAB是直径，

，NACB=90。，

∙.∙AC=4,BC=3,

∙,∙AB=AC1+BC2=√42+32=5>

OC=AB=∣∙,

：S.C=g∙ABYH=I∙AC∙BC,

.∙∙S=吆=乜，

55

12

.∙∙s加NB。C=更=1=*,

OC525

2

故选：B.

【点睛】

本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用面积法求出C”的长，属于中考常考题

型.

5.（2021・四川内江・中考真题）如图，）。是AABC的外接圆，NBAC=60°,若。的半径OC为2,则弦BC

的长为（）

O

A.4B.2√3C.3D.石

【答案】B

【分析】

过点。作OMJ.8C,交BC于点M,根据圆周角定理以及垂径定理可得结果.

【解析】

解：过点。作OM_LBC,交BC于点M,

「0。是ΔABC的外接圆，ZfiAC=60°,

.∙.ZBOC=2ZBAC=120°,

又OB=OC,OMLBC,

NCoM=-NBOC=60o,MB=MC,

2

..在RtACOM中，NoCM=30°,

..OM=^OC=I,CM=NoC2-OM2=5

.∙.BC=2CM=2√3，

故选：B.

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键.

6.（2021.山东青岛.中考真题）如图，AB是O的直径，点E,C在。上，点A是EC的中点，过点A画

。的切线，交BC的延长线于点£）,连接EC.若NA£>3=58.5。，则NACE的度数为（）

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

【答案】B

【分析】

根据切线的性质得到BALAO,根据直角三角形的性质求出NB,根据圆周角定理得到NACB=90。，进而求

出∕BAC,根据垂径定理得到BALEC,进而得出答案.

【解析】

解：∙.N。是。。的切线，

：.BALAD,

VNAOB=58.5°,

ΛZB=90o-ZΛDβ=31.5o,

∙.∙AB是。。的直径，

,ZACB=90o,

，ZBΛC=90o-ZB≈58.5o,

；点A是弧EC的中点，

：.BALEC,

：.ZACE=90o-ZBAC=31.5o,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

7.（2021•辽宁沈阳・中考真题）如图，ABC是。的内接三角形，AB=2√3,ZACB=GOo,连接。4,OB,

则AB的长是（）

r4兀

D.—

3

【答案】D

【分析】

过点。作ODLM于£>,根据垂径定理求出AD,根据圆周角定理求出NAO3,根据正弦的定义求出04,

根据弧长公式计算求解.

【解析】

解：过点。作ODj于。,

贝∣jAO=OB=LAB=G,

2

由圆周角定理得：NAO3=2NACB=I20。,

.∙.NA")=60°,

/.OA=———

sinAAOD

2

120Tx24乃

λb1803

故选：D.

【点睛】

本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键.

8.（2021•青海西宁•中考真题）如图，ABC的内切圆。与AB,8C,AC分别相切于点。，E,F,连接OE,

OF,ZC=90o,AC=6,BC=S,则阴影部分的面积为（）

A.2」乃

B.4——πC.4-πD.∖--π

224

【答案】C

【分析】

连接。。，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为广，然后求出内切圆的半径，再利用正方形

的面积减去扇形的面积，即可得到答案.

【解析】

解：连接。。，如图：

在；A8C中，ZC=90o,AC=6,BC=S,

由勾股定理，则

AB^y∣AC2+BC2=√62+82=IO，

设半径为r,则8=0E=O户="，

二CF=CE=OE=OF=K,

•••四边形CEoF是正方形；

由切线长定理，^∖AD=AF=6-r,BE=BD=8-r,

•：AB^AD+BD,

***6—+8—/"=10,

解得：r=2,

,OD=OE=OF=I-,

9xπx22

，阴影部分的面积为：S=2x2-0=4-πi

360

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是

熟练掌握所学的知识，正确的进行解题.

9.（2021•西藏•中考真题）如图，ABCO内接于00,/0=70。，OAj_BC交0。于点A,连接AC,则NOAC

的度数为（）

D

A

A.40oB.55oC.70oD.IlOo

【答案】B

【分析】

连接。&O3根据圆周角定理得到NBOC=2N。=140。，根据垂径定理得到NCQ4=；NBOC=70。，根

据等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】

解：连接08,OC9

VZD=70o,

ΛZBOC=2ZZ)=140o,

VOA±BC,

ZCOA=-ZBOC=70°,

2

VOA=OCf

.∖ZOAC=ZOCA=-(180°-70°)=55°,

2

故选：B.

A

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助

线是解题的关键.

10.（2021∙辽宁阜新•中考真题）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0,2）.将弓形沿X轴正方向

无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2（）2br时，圆心的横坐标是（）

A.2020万B.Iolot+2020C.202UD.101U+2020

【答案】D

【分析】

求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为202反时圆心的位置，故可求解.

【解析】

如图，圆心在（0,2）,可得,=2

/她，；万我

，OA=-X2πr=πAB=2r=4,BC--×2πr=π,='2r=%=/

4

•••一个周期圆心经过的路径长为OA+1耻+⅛bjBC=4万,

ΛC（4+2%，0）,

故当圆心经过的路径长为202Dr时,

202U÷4Λ∙=505...1

，圆心的横坐标是505x（4+2乃）+乃=Ioll"+2020

【点睛】

此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长.

二、填空题

IL（2021∙江苏淮安.中考真题）若圆锥的侧面积为18π,底面半径为3,则该圆锥的母线长是—.

【答案】6

【分析】

根据圆锥的侧面积=”/,列出方程求解即可.

【解析】

解：♦.•圆锥的侧面积为18兀，底面半径为3,

3π∕=18π.

解得:1=6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解.

12.（2021.四川德阳•中考真题）在锐角三角形ABC中，/4=30。，BC=2,设BC边上的高为/?,则//的取

值范围是.

【答案】2√3<⅛,2+√3

【分析】

如图，BC为O的弦，OB=OC=2,证明AOBC为等边三角形得到NBOC=60。，则根据圆周角定理得到

NBAC=30。，作直径BO、CE,连接应;、CD,则NDC8=NEBC=90。，当点A在OE上（不含。、E点）

时，ΔA3C为锐角三角形，易得CO=√⅛C=2g,当A点为OE的中点时，A点到BC的距离最大，即Zz最

大，延长AO交BC于如图，根据垂径定理得到AHJ.3C,所以BH=CH=1,6*W=√3,则AH=2+√5,

然后写出6的范围.

【解析】

解：如图，BC为，。的弦，OB=OC=2,

,BC=2,

OB=OC=BC,

.∙.AO3C为等边三角形，

/.ZBOC=60°,

.•.NBAC=LzBOC=30°,

2

作直径3D、CE,连接BE、CD,则ZDCb=NfiBC=90o,

.・・当点A在CE上（不含。、E点）时，AABC为锐角三角形，

在RtΔBCD中，ZD=ZA4C=30o,

.∙.CD=√3βC=2√3.

当A点为OE的中点时，A点到BC的距离最大，即〃最大，

延长A。交BC于H,如图,

A点为。E的中点，

片B=*C，

.∙.AHlBC,

.-.BH=CH=I,

:.OH=6BH=√3,

:.AH=OA+OH=2+45,

〃的范围为2√5<∕⅛,2+√5.

故答案为2百<∕ζ,2+√5.

A

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和勾股定理.

13.（2021•江苏淮安・中考真题）如图，AB是。。的直径，CO是。O的弦，ZCAB=55o,则/。的度数是

【答案】35。

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角推出/ACB=90。，再结合图形由直角三角形的性质得到NB=90。-ZCAB^

35°,进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出NO=NB=35。.

【解析】

解：AB是。。的直径，

，ZACB=90o,

•：ZCAB=55°,

：./8=90。-NCAB=35。，

ΛZD=ZB=350.

故答案为:35°.

【点睛】

本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知

识进行求解.

14.(2021•辽宁盘锦•中考真题)如图，在平面直角坐标系Xoy中，点A在X轴负半轴上，点B在P轴正半

轴上，。。经过A,B,O,C四点，ZACO=120o,AB=4,则圆心点。的坐标是

【答案】。(-百，1)

【分析】

先利用圆内接四边形的性质得到/ABO=60。，再根据圆周角定理得到AB为。O的直径，则D点为AB的

中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到0B=2,0A=26,所以4(-2√3,O),B(0,2),

然后利用线段的中点坐标公式得到。点坐标.

【解析】

解：：四边形ABOC为圆的内接四边形，

二ZABO+ZACO=180°,

二ZABO=∖80o-120°=60°,

；NAOB=90。，

.∙.AB为。。的直径，

.'O点为A8的中点，

在RtAABo中，VZASO=60o,

.,.0B=^AB=2,

ΛOA=√3OB=2√3,

(-2+,O),B(0,2),

；•。点坐标为(-6，1).

故答案为(-√3,1).

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了坐标与图形性质.

15.(2021•江苏徐州•中考真题)如图，AB是O的直径，点C、。在。上，若NAPC=58。，则

ZBAC=°.

【答案】32

【分析】

由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90。然后根据三角形内角和即可求出ZBAC的度数.

【解析】

•：ZADC=58。，

,ZABC=ZADC=5^,

又,YB是直径，

NAC3=90°,

ZBΛC=90°-58°=32°.

故答案为：32.

【点睛】

此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角的性

质和直径所对圆周角的性质.

16.（2021・内蒙古・中考真题）如图，在ABC。中，AZ）=I2,以4。为直径的。与BC相切于点E,连接

OC.若OC=AB,则AfiCZJ的周长为.

【答案】24+66

【分析】

连接OE,作AFLBC于F,先证明AOEF为矩形，进而证明Rt△A8F丝Rt△OCE,得到8F=CE=3,利用

勾股定理求出0C=3有，即可求出ABs的周长.

【解析】

解：如图，连接OE,作AFLBC于F,

,：BE为。的切线，

NoEC=NoEB=90°,

'：AD//BC,

:,AF//OE,

四边形AFEO为平行四边形，

,.∙NoEF=90。，

.∙.AoEF为矩形，

：.AF=OE,EF=AO=AD=6,

：.四边形ABCD为平行四边形，

：.AB=CD,BC=AD=∖2,

"：AB=OC

ΛRtΔABF丝RsOCE,

，BF=CE=3,

二在Λt∆OCE中，OC=yjOE2+CE2=3√5，

：.AB=CD=OC=3y∕5,

.,.ABCQ的周长为为（12+3石）×2=24+6√5.

EC

故答案为：24+6√5

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，平行四边形等知识，熟知

相关定理，并根据题意添加辅助线是解题关键.

17.（2021.辽宁营口•中考真题）如图，ZMew=40。，以。为圆心，4为半径作弧交（W于点A,交。N于点

B,分别以点4,B为圆心，大于;AB的长为半径画弧，两弧在NMoN的内部相交于点C,画射线OC交AB

于点D,E为OA上一动点，连接8E,DE,则阴影部分周长的最小值为.

4

【答案】→+4

【分析】

先求出BO的长，作点。关于OM的对称点D¢,连接5D0交OM于点E,连接OD¢,则=+

D¢E'=B,此时，BE+。E的最小值=Bo¢,进而即可求解.

【解析】

解：由题意得：OC平分NMOM

，NBOD=-ZMON=20°，

2

...I/20π×44

..8Q的长=------=-π,

1809

作点。关于OM的对称点D¢,连接8以交OM于点£,连接0。叁则BE+DE=BE+Z)¢£=53,此

时，3E+OE的最小值=3OC,

∙/NA。M=NAoD=N8。。=20。，

o

：.ZBOD¢=60f

YOgOD=OB,

・・・4。。'是等边三角形,

：・BD¢=08=4,

4

阴影部分周长的最小值=1t+4,

本题主要考查弧长公式以及等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造8E+OE的最小值=BD¢,

是解题的关键.

18.（2021∙广西柳州.中考真题）如图，一次函数y=2x与反比例数），=：（%＞（））的图像交于A,B两点,点

z、7

M在以C（2,0）为圆心，半径为1的C上，N是A〃的中点，已知QN长的最大值为则上的值是

32

【答案】

【分析】

根据题意得出ON是一A8M的中位线，所以。N取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究BM也取到

最大值时化的值，根据8,C,M三点共线时，BM取得最大值，解出B的坐标代入反比例函数即可求解.

【解析】

解：连接BM,如下图：

在二ABM中，

V。，N分别是AB,AM的中点,

.∙.ON是.ABM的中位线,

.-.ON=-BM,

2

3

已知QN长的最大值为:，

此时的=3,

显然当氏CM三点共线时，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM=BC+l=3,

BC—2,

2

设即2),由两点间的距离公式：BC=y∣(t-2)+4r=2,

(r-2)2+4/2=4,

4

解得：乙=1，2=0(取舍)，

•/8

4Rk

将以子？代入y='Q0),

解得：⅛=3∙2g,

故答案是：∣j.

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键

是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时女的值.

二、与圆有关的位置关系、正多边形与圆、弧长及扇形面积

考点三、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点与圆心的距离为d,圆的半径为广，

则点在圆外0d>r；点在圆上。d=r；点在圆内。d<r.

②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆.

③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

要点：

(1)圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示.

③经过在同一直线上的三点不能作圆.

④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.

(G2)三角形的外接圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接

圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就

是三角形三条边的垂直平分线交点.它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径.如图所

2.直线与圆的位置关系

①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表.

①设圆心到直线I的距离为d,圆的半径为r,

则直线与圆相离od>r；直线与圆相切=d=r；直线与圆相交Od<r.

②圆的切线.

切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线.这个公共点叫切点.

切线的判定定理：经过半径的外端.且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

友情提示：直线/是。O的切线，必须符合两个条件：①直线/经过。。上的一点A；②OAj

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条

切线的夹角.

③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的

内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点.

要点：

找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点.

三角形外心、内心有关知识比较

①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

②三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.

三角形的内心到三角形三边的距离相等.

3.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径（RNr）.d为圆心距.

①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.

设两圆心的距离为d,两圆的半径为4、々，则两圆外离Od>∕j+弓

两圆外切Ol=r\+r2

两圆相交Oh—目<d<4+弓

两圆内切Od=卜一目

两圆内含u>d<∣{-G∣

②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.

由对称性知：两圆相切，连心线经过切点.两圆相交，连心线垂直平分公共弦.

③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.

两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线.

两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线.

④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

要点：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍.其中相切和相交是重点.

②同心圆是内含的特殊情况.

③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.

④"口一"''时，要特别注意，r∣>Γ2∙

考点四、正多边形和圆

L正多边形的有关概念

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半

径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多

边形的每一个中心角都等于国-.

n

要点：

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径.

2.正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆.正多边形都是轴对称图形，偶数

条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长（半径或边心

距）之比.

3.正多边形的有关计算

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算.

360oCn.180°180°

a--------,a-2K∙sin-------,r-Kn∙cos------,

nnnnnn

R2=rn+国,£=〃•%,S,=；4•小A=1匕•小

考点五、圆中的计算问题

1.弧长公式：/=—,其中/为n。的圆心角所对弧的长，R为圆的半径.

180

2.扇形面积公式：S扇二喀,其中S啕=!东.圆心角所对的扇形的面积，另外S扇=L∕R∙

36022

3.圆锥的侧面积和全面积：

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长.

圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和.

要点：

在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径.

考点六、求阴影面积的几种常用方法

（1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形法；（5）构造方程法.

一、单选题

1.（2021•江苏镇江・中考真题）如图，ZBAC=36°,点。在边AB上，。。与边AC相切于点。，交边AB

于点E,F,连接FC,则NAFZ）等于（

C.35°D.37°

【答案】A

【分析】

连接。。，根据切线的性质得到/490=90。，根据直角三角形的性质得到/人。。=90。-36。=54。，根据圆

周角定理即可得到结论.

【解析】

解：连接。

与边AC相切于点。，

.∙.ZADO=90°,

,/ZBAC=36°,

.∙.ZAOD=900-36°=54°,

.,.ZAFD=-ZAOD=-×54"=27,

22

故选:A.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

2.(2021.广西梧州.中考真题)在平面直角坐标系中，已知点A(0,1),B(0,-5),若在X轴正半轴上有

一点C,使NACB=30。，则点C的横坐标是()

A.3√3+4√2B.12C.6+3√3D.6√3

【答案】A

【分析】

如图，作，A3C的外接圆。，连接D4,OC,过。作3〃_LX轴于H,作OGLy轴于G,则四边形

DGQH是矩形，再证明AABD是等边三角形，再分别求解。",C"即可得到答案.

【解析】

解：如图，作的外接圆D,连接D4,0B,DC,过。作ZWj_x轴于"，作。G_Ly轴于G,则四边形

/X7OH是矩形，

A(0,l),B(0,-5),ZACB=30o,

.∙.AB=6,ZADB=60o,DA=DB,

.1A8D是等边三角形，

AG=BG=3,DG-ʌ/ð2—32=3-73,

OH=DG=3√3,DH=OG=AG-AO=2,

:.CH=^CD2-DH2=√62-22=

:.OC=OH+CH=7>s∣3+4√2.

ΛC(3√3+4>^,0).

故选：A.

【点睛】

本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定

与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.

3.(2021・湖南湘潭・中考真题)如图，BC为。。的直径，弦ADlBC于点E,直线/切。。于点C,延长0。

交/于点F,若AE=2,ZABC=22.5°,则C尸的长度为()

B

CF

A.2B.2√2C.2y∕3D.4

【答案】B

【分析】

根据垂径定理求得4C=CO，AE=DE=2,即可得到NCOD=2N4BC=45。，则△OEO是等腰直角三角形，得

出。。=2收，根据切线的性质得到BCLCF得到AOb是等腰直角三角形，进而即可求得

CF=OC=OD=26.

【解析】

解：’."C为。。的直径，弦A。，BC于点E,AE=2,ZASC=22.5。，

ʌAC=CD,AE=DE=2,

：.ZCOD=2ZABC=45o,

.∙.AOEO是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

OD=y∣22+22=2√2^

Y直线/切。。于点C,

；.BCLCF,

...△0CF是等腰直角三角形，

：.CF=OC,

OC=OD=2叵,

CF=2√2>

故选：B.

【点睛】

本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得C尸=。C=OD

是解题的关键.

4.（2021・湖北荆门•中考真题）如图，PA,PB是。。的切线，A,B是切点，若NP=70°,则NABO=（）

【答案】B

【分析】

先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB,再利用等腰三角形的性质即可求出NPAB的度数，最后利用切

线的性质解题即可.

【解析】

解：PA,PB是。。的切线，

.-.PA=PB

..ZPAB=APBA

.NP=70。

NPBA=（180°-70o）÷2=55o

OBLPB

:.ZOBP=900

/.ZABO=90°-55°=35°

故选：B.

【点睛】

本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

5.（2021・湖南娄底•中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿X轴移动，当OA与直

线/:>=之》只有一个公共点时，点A的坐标为（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(+13,0)

【答案】D

【分析】

当。A与直线/:y=^x只有一个公共点时，则此时G)A与直线/:>=也相切，(需考虑左右两侧相切的情

况)；设切点为8,此时B点同时在OA与直线/:y=^x上，故可以表示出B点坐标，过8点作3C〃Q4,

则此时ZXAOBSAOBC,利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论.

【解析】

如下图所示，连接AB,过B点作3C〃OA,

此时5点坐标可表示为(x,9

二OC=∙j∣W,BC=W,

在Rf。8C中，OB=NBC2+OC?=

又,：A半径为5,

，AB=5,

'：BCIIOA,

.∙.ΛAOB^ΛOBC,

,OAABOB

贝nI]—=——=——，

BOOCBC

OA_5

131I5IIɪ

一ʃTM

12l112l1

.∙.OA=I3,

；左右两侧都有相切的可能，

∙,.A点坐标为（±13,0）,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键.

6.（2021・福建・中考真题）如图，AB为，O的直径，点P在AB的延长线上，PCP。与：Q相切，切点分

别为C,D.若AB=6,PC=4,则SinNC4D等于（）

【答案】D

【分析】

连接OC,CP,OP是。。的切线，根据定理可知NoCP=90。，ZCAP=ZPAD,利用三角形的一个外角等

于与其不相邻的两个内角的和可求NCAO=NCOP,在Rt△OCP中求出SinNCoP即可.

【解析】

解：连接0C,

C

CP,OP是G）O的切线，则NoCP=90。，ZCAP=ZPADf

：.ACAD=2ACAP,

∖,OA=OC

：.ZOAC=NACO,

：.ZCOP=2ZCAO

：.ZCOP=ZCAD

・・・AB=6

：.0C=3

在Rt△CO尸中，OC=3,PC=4

：.OP=S.

4

.β.sinZC4D=sinZCOP=-

5

故选：D.

【点睛】

本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解.

7.（2021.河北•中考真题）如图，点。为正六边形ABCOEE对角线正。上一点，SΛAFO=S,SΛCDO=2,则

S正六边形ABCDEP的值是（)

C.40D.随点。位置而变化

【答案】B

【分析】

连接AC.AD,CF,AD与CF交于点可知M是正六边形ABCOE尸的中心,根据矩形的性质求出SΔAFM=5,

再求出正六边形面积即可.

【解析】

解：连接AC、AD.CF,4。与C尸交于点M,可知M是正六边形ASCZJE万的中心，

多边形ABCDEF是正六边形，

：.AB=BC,NB=NBAF=120°,

/.∕BAC=30°,

/.ZMC=90o,

同理，NDCA=NFDC=NDFA=90。,

，四边形ACZ)F是矩形，

^ΔAFO+^ΔCOO=ɪS矩形AFDc=1°,SMFM=WS矩形C='>

S正六边彩ABeDEF=6SAAHM=30,

故选：B.

【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解.

8.（2021•山东潍坊・中考真题）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法,

其步骤是：①在。。上任取一点4连接4。并延长交。。于点B；②以点8为圆心，8。为半径作圆弧分

别交。。于C,两点；③连接CO,OO并延长分别交。。于点E,E④顺次连接BC,CF,FA,AE,ED,

DB,得到六边形AFe3QE.连接A。，EF,交于点G,则下列结论错误的是.

,ED

A.ΔAoE的内心与外心都是点GB.ZFGA≈ZF0A

C.点G是线段EF的三等分点D.EF=√2AF

【答案】D

【分析】

证明△AOE是等边三角形,EnL。4,AOLOE,可判断A；.证明/AGF=NAO尸=60。,可判断B；证明FG=2GE,

可判断C；证明EF=GAE可判断

【解析】

解：如图,

'ED

在正六边形AEDBCF中，ZAOF=ZAOE=ZEOD=60o,

'：OF=OA=OE=OD,

.".∕∖AOF,AOE,AEOO都是等边三角形,

：.AF=AE=OE=OF,OA=AE=ED=OD,

二四边形AEoF,四边形AoOE都是菱形，

ΛAD10E,EFA.OA,

/∖A0E的内心与外心都是点G,故A正确,

•：NEAF=I20°,ZEAD=30o,

：.ZMD=90o,

,.∙NAFE=30。,

,NAGF=ZAOF=GO0,故B正确，

'：ZGAE=ZGEA=30o,

：.GA=GE,

"FG=IAG,

LFG=2GE,

二点G是线段EF的三等分点，故C正确，

'：AF=AE,ZFAE=UOo,

：.EF=CAF,故O错误，

故答案为：D.

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解

题的关键是证明四边形AEOF,四边形AoDE都是菱形.

9.（2021•内蒙古呼和浩特•中考真题）如图，正方形的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形，则可求

出此正八边形的外接圆直径d,根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似

代替其外接圆周长，便可估计的值,下面d及万的值都正确的是（）

8(√2-1)B.d=4(#二1),I4sin22.5°

ςzr≈8sin22.5°SS

-sin22.5°sin22.5°

4(√2-1)

ς^≈8sin22.5oD.4=8(立二1),乃a4sin22.5°

sin22.5°sin22.5°

【答案】C

【分析】

根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可.

【解析】

解：设剪去AABC边长AC=BC=X,可得:

2x+∙j2x-4，

解得44-2近，

贝IJβD=4√2-4,

:正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度,

.∙.NC4B=NCSA=45°,

则∕8FD=22.5°,

・•・外接圆直径d=BF=4(°7),

sin22.5°

根据题意知〃*周长÷d=[32√2・32)÷*EI)=8sin22.5°，

`>S加22.5。

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理、多边